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• Leo Ticona

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La noción de semejanza corresponde a la idea de ampliación o reducción de una figura alterando su tamaño sin modificar sus proporciones.

a c  b d

El recíproco del teorema fundamental de la proporcionalidad es también cierto.

En términos corrientes, dos figuras geométricas son semejantes, si tienen exactamente la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. Por ejemplo, dos circunferencias cualesquiera son semejantes, dos cuadrados cualesquiera son semejantes, dos triángulos equiláteros cualesquiera también son semejantes.

 PROPORCIONALIDAD, TEOREMA DE TALES En esta sección manejaremos los conceptos aritméticos de razón y proporción muy necesarios para describir ciertas relaciones geométricas. Definición 01 a Una razón es de la forma b a c y una proporción es de la forma  b d Los segmentos cuyas longitudes son proporcionales se denominan segmentos proporcionales. Así los segmentos AB y BC son proporcionales a los segmentos CD y DEsi, y AB CD solo si .  BC DE TEOREMA 01: teorema fundamental de la proporcionalidad Dado el ABC, si D y E son puntos de AB y BC tales que DE  AC . Entonces,

TEOREMA 02: teorema de Tales Tres o más rectas paralelas determinan sobre dos o más rectas secantes a ellas, segmentos proporcionales. a c  b d L A D 1 L2 B

E

L3 C

a b  c d

F

ab cd  a c

ab cd  b d

TEOREMA 03: teorema de la bisectriz interior a c  b d



TEOREMA 04: teorema de la bisectriz exterior

A

B  

a c  b d

C

D

TEOREMA 05: teorema de las bisectrices 

a d  b c

C

D

P  

A

B

Definición 02

Los puntos A, B, C y D que satisfacen la ecuación a b  d c se dice que constituyen una cuaterna armónica. Y el conjunto de las cuatro rectas concurrentes en el punto P y que pasan por los puntos A, B, C y D, se llama HAZ ARMONICO. TEOREMA 06: teorema del incentro P es incentro del ABC ab m  c n



TEOREMA 07: teorema del excentro P es excentro del ABC B  

Dos polígonos son semejantes  sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son segmentos proporcionales.

En la figura, los cuadriláteros ABCD y MNPQ son semejantes  ∡A  ∡M, ∡B  ∡N, a b c d ∡C  ∡P, ∡D  ∡Q y    . x y z w Se escribe: ABCD  MNPQ , donde el orden de las letras indica la correspondencia. TEOREMA 10: el teorema de la semejanza AAA Dos s son semejantes si los tres ángulos de uno de ellos son congruentes con los tres ángulos del otro. Asi ABC  DEF

ab m  c n



 

A





P

D

C

TEOREMA 08: teorema de Menelao ab c mnp



COROLARIO 01: el corolario AA Si ∡A  ∡D y ∡C  ∡F  ABC  DEF

COROLARIO 02 Si DE  AC  ABC  DBE

TEOREMA 09: teorema de Ceva ab c mnp

 SEMEJANZA DE POLÍGONOS



COROLARIO 03 Si∡C  ∡F  ABC  DEF

a c  b d





TEOREMA 11: el teorema de la semejanza LAL a c Si  y ∡A  ∡D  ABC  DEF b d

TEOREMA 12: el teorema de la semejanza LLL a c m Si    ABC  DEF b d n

(03) TEOREMA: teorema de Van Aubel m a c   n b d

(04) PROPIEDAD: DE AC

D

TEOREMA 13 Si ABC  DEF 

a c  b d

B

F

A

a h r R    a' h' r ' R'

E

C

G

(05) PROPIEDAD a b  (2r)h

R' r' a'

h'

(06) PROPIEDAD: BC  EG  AD  TEOREMAS Y PROPIEDADES ADICIONALES

(01) PROPIEDAD: AB  CD a c  b d

(02) PROPIEDAD

EF  FG 

ab ab

(07) PROPIEDAD x

ab ab

(08) PROPIEDAD: P es punto de tangencia. x  ab

(09) PROPIEDAD r  ab

Prof. G. Platero