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• Josè A. Jimènez

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IPN - ESIQIE

PRIMER DEPARTAMENTAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS LUNES 25 DE FEBRERO DEL 2013, DE 12:00 -14:00 HRS ACADEMIA DE MATEMATICAS

A TM

DESCONECTE TODOS SUS DISPOSITIVOS DE COMUNICACIÓN, NO UTILICE CALCULADORA, PUEDE CONSULTAR FORMULARIO, NO RESUELVA SOBRE ESTA HOJA DE EXAMEN, REGRESE ESTA HOJA AL FINALIZAR SU EXAMEN NOMBRE ALUMNO BOLETA 1. Un tanque contiene 100 litros de salmuera en los cuales se disuelven 80 gramos de sal. Una salmuera que contiene 2 gramos de sal por litro se bombea dentro del tanque con un gasto de 6 L/min, la solución mantenida homogénea mediante agitación se bombea fuera del tanque con la misma razón de entrada, halle la cantidad de sal dentro del tanque al cabo de 10 minutos. (4 ptos) Solución: Modelo matemático.

dA 6 A + = 12 − − − − − − − − − − − − − −2 ptos dt 100 A ( t ) 40e −3t /50 (−3 + 5e3t /50 ) = − − − − − −1 pto A (10 ) 265.202 min =

− − − − − − − − − −1 pto

2. Resuelva la ecuación diferencial de variables separables.

(2 Ptos)

dy xy + 4 x − y − 4 = dx xy − 5 x + y − 5 SOLUCION

dy ( y + 4 )( x − 1) = dx ( y − 5 )( x + 1)  y −5 

( x − 1)

∫  y + 4  dy = ∫ ( x + 1) dx Una forma de la solución implícita:

y − 9 ln ( y + 4 ) = x − 2 ln ( x + 1) + c

3. Resuelva la siguiente ecuación diferencial utilizando una sustitución adecuada.

Solución:

dy 2 =( −9 x + y + e ) dx

Sea u =−9 x + y + e Podrá consultar las respuestas del examen en la página de la academia de matemáticas

https://sites.google.com/site/matematicasesiqieipn

(2 ptos)

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PRIMER DEPARTAMENTAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS LUNES 25 DE FEBRERO DEL 2013, DE 12:00 -14:00 HRS ACADEMIA DE MATEMATICAS

Entonces

du dy =−9 + dx dx

du = u2 − 9 dx

⇒

TM

dy du = + 9 , sustituyendo términos tenemos que dx dx

Lo que nos reduce a una ecuación diferencial de variables separables, separando variables tenemos que

1 3−u = x+c ln 6 3+u

⇒

1 3 − e − y + 9x =+ x c ln 6 3 + e + y − 9x

⇒

 1 − ce6 x 6x  1 + ce

y 3 Solución general=

 1 − ce6 x  u= 3 6x   1 + ce   1 − ce6 x  −e y= 9x + 3 6x   1 + ce 

  + 9x − e 

4. Resuelva la siguiente ecuación diferencial homogénea.

dr r − s = ds r + s

Solución:

2

r 1 r arctan   + ln 1 +   = c − ln s s 2 s 5. Resuelva la ecuación diferencial lineal sujeto a la condición inicial.

( x + 1) Solución:

A

dy +y= ln x; dx

y ( x) =

y ( 0) = −1

−1 − x + x ln x 1+ x

6. Resuelva la siguiente ecuación diferencial reducible a exacta. −3 x dy (10 − 6 y + e ) = 2 dx

Solución:  5e3 x x  5 xe −3 x +  + Ce −3 x +Ce −3 x =e −3 x  y ( x) = + 3 2 3 2  o 5 x e3 x y= ( x ) e3 x + + C 3 2 Podrá consultar las respuestas del examen en la página de la academia de matemáticas

https://sites.google.com/site/matematicasesiqieipn