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UNIVERSIDAD PÚBLICA DE EL ALTO – ÁREA DE Cs. Y TECNOLOGÍA PRIMER EXAMEN PARCIAL DE CÁLCULO I (SEMESTRE II II/2018 /2018) 18) APELLIDO PATERNO

APELLIDO MATERNO

NOMBRE(S)

PARALELO

Nº DE CEDULA DE IDENTIDAD

FIRMA DEL ESTUDIANTE

PREGUNTAS 2 2 2 1) Hallar conjunto solución de la inecuación: ( x − 2 ) + ( x + 2 ) + 2 ≥ ( x − 3 ) + ( x + 3 ) x+6 ≥ x+2 2) Hallar conjunto solución de la inecuación: x−2 x−6 2

3) Hallar el Dominio de la siguiente función: ƒ ( x ) =

8

 2  x 3 − 3x 2 + 2x + log4  2x 2+ x − 3   x +4 

4) Hallar el Dominio y Rango de la siguiente función: e y = x 2 + x + 1

( x x− 1) = 2x( x −−12x) y ( ƒ
g) ( x ) = 4x 2

5) Sea: ƒ

2

2

− 4x + 2. Hallar g (1) .

x 6) Analizar: Dominio, Rango, Intersecciones, Asíntotas, Simetrías y Graficar de la siguiente función: y = 2 x − 2x − 24 Nota.- Sólo responda 5 (cinco) preguntas y cada pregunta vale 20%. DESARROLLO Resuelva de forma ordenada y sistemática cada problema. 1) Hallar

conjunto

solución

de

la

inecuación:

( x − 2) + ( x + 2) + 2 ≥ ( x − 3 ) + ( x + 3 ) Solución Desarrollando los binomios, se tiene: x 2 − 4x + 4 + x 2 + 4x + 4 + 2 ≥ x 2 − 6x + 9 + x 2 + 6x + 9 2

2

2

2

2x 2 + 10 ≥ 2x 2 + 18 ⇒ 10 ≥ 18 (Proposición falsa) Nota.- Cuando al resolver una inecuación queda sin variables, entonces se responde a la proposición: - Si la proposición es verdadera, entonces: Cs = ∀x ∈ ℝ - Si la proposición es falsa, entonces: Cs = ∅ Rpta.- Por tanto: Cs = ∅ 2) Hallar conjunto solución de la x+6 ≥ x+2 x−2 x−6 Solución Aplicando el siguiente x ≥ y ⇔ x ≥ y ∨ x ≤ − y, tenemos:

inecuación:

teorema:

x + 6 ≥ x + 2 ..... ( A ) ∨ x + 6 ≤ − x + 2 ..... (B ) x−2 x−6 x−2 x−6 Resolviendo A, se obtiene: x + 6 − x + 2 ≥ 0 ⇒ ( x + 6 )( x − 6 ) − ( x + 2 )( x − 2 ) ≥ 0 ( x − 2) ( x − 6) x−2 x−6 x 2 − 36 − x 2 + 4 ≥ 0 ⇒ ( x − 2) ( x − 6) −32 ( x − 2 ) ( x − 6 ) ≥ 0 ⇒ Llevando las raíces a la 0+6 ≥ 0+2 ⇒ x=0 ⇒ 0−2 0−6 se obtiene CsA:

−32 ≥0 ( x − 2) ( x − 6)

x=2, x=6 recta real y analizando si: 6 ≥ 2 ⇒ − 3 ≥ − 1 (F ) , 3 −2 −6

Cs A = x ∈]2,6[ Resolviendo B, se obtiene: x + 6 − x + 2 ≤ 0 ⇒ ( x + 6 )( x − 6 ) + ( x + 2 )( x − 2 ) ≤ 0 ( x − 2) ( x − 6 ) x−2 x−6

x 2 − 36 + x 2 − 4 ≤ 0 ( x − 2) ( x − 6)

⇒

2 ( x 2 − 20 ) ≤ 0 ( x − 2) ( x − 6)

2 x 2 − ( 20 ) ≤0 ( x − 2) ( x − 6)

⇒

2 ( x − 20 )( x + 20 ) ≤0 ( x − 2) ( x − 6)

(

2

)

2 ( x − 20 )( x + 20 ) ( x − 2 ) ( x − 6 ) ≤ 0

x = 2 5 , x = −2 5 , x = 2 , x = 6 Llevando las raíces a la recta real y analizando si: 0 + 6 ≤ − 0 + 2 ⇒ 6 ≤ − 2 ⇒ −3 ≤ 1 ( V ) , x=0 ⇒ 0−2 0−6 −2 −6 3 se obtiene CsB:

CsB = x ∈ [ −2 5,2[∪[2 5,6[ Finalmente, uniendo CsA y CsB, del cual se determina Cs total:

Rpta.- Cs = x ∈ [ −2 5,6[ − {2}

JHONNY PUJRO VITO

2 3) Hallar

ƒ(x) =

el 8

Dominio

de

la siguiente  2  x 3 − 3x 2 + 2x + log4  2x 2+ x − 3   x +4 

función:

y finalmente resolviendo tenemos:

Solución Aplicando las siguientes restricciones a cada función:  y = n ƒ ( x ), n ∈ ℕ y par ⇔ ƒ ( x ) ≥ 0 , tenemos:   y = log ( ƒ ( x ) ) ⇔ ƒ ( x ) > 0 2x 2 + x − 3 x 3 − 3x 2 + 2x ≥ 0..... ( fA ) ∧ > 0..... ( fB ) x2 + 4 Determinando el D(fA), se tiene:

x ( x 2 − 3x + 2 ) ≥ 0 ⇒ x ( x − 2 )( x − 1) ≥ 0 x , x = 2 , x =1 Llevando las raíces a la recta real y analizando si: x = 3 ⇒ 33 − 3 ⋅ 32 + 2 ⋅ 3 ≥ 0 ⇒ 6 ≥ 0 ( V ) , se obtiene D(fA):

D ( fA ) = [0,1] ∪ [2, +∞[ Determinando el D(fB), se tiene: ( x − 1) ( 2x + 3 ) > 0 ⇒ ( x − 1) ( 2x + 3 ) ( x 2 + 4 ) > 0 x2 + 4 La inecuación es equivalente a ( x − 1) ( 2x + 3 ) > 0 ⇒ x = 1 , x = −3 2 Llevando las raíces a la recta real y analizando si: 2 ⋅ 02 + 0 − 3 3 x=0 ⇒ > 0 ⇒ − > 0 (F ) , se obtiene 2 4 0 +4 D(fB):

D ( fB ) =] − ∞, −3 4[∪]1, +∞[ Finalmente, intersectando D(fA) y D(fB), del cual se determina D(f) de la función ƒ(x):

Rpta.- D ( f ) = [2, +∞[ 4) Hallar el Dominio y Rango de la siguiente función: ey = x2 + x + 1 Solución Determinando Dominio: Previamente despejando la variable y, luego aplicando la restricción: y = ln ( ƒ ( x ) ) ⇔ ƒ ( x ) > 0 y finalmente resolviendo tenemos:

e y = x 2 + x + 1 //ln

ylne = ln ( x + x + 1) 2

⇒ ⇒

lne y = ln ( x 2 + x + 1) y = ln ( x + x + 1) 2

1 > 0 (Proposición verdadera ) Rpta.- Por tanto: D ( f ) = ∀x ∈ ℝ =] − ∞, +∞[ Determinando Rango: x + x +1> 0 2

⇔

Previamente despejando la variable x, luego aplicando la siguiente restricción: y = n ƒ ( x ), n ∈ ℕ y par ⇔ ƒ ( x ) ≥ 0,

0 = x2 + x + 1 − ey

x 2 + x + (1 − e y ) = 0

⇒

2 x = −b ± b − 4ac 2a

⇒

x=

−1 ± 12 − 4 (1) (1 − e y ) 2 ⋅1

y y x = −1 ± 1 − 4 + 4e ⇒ x = −1 ± 4e − 3 2 2 y y 4e − 3 ≥ 0 ⇒ e ≥ 3 4 ⇒ lne y ≥ ln ( 3 4 )

y ⋅ lne ≥ ln ( 3 4 )

y ≥ ln ( 3 4 )

⇒

Rpta.- Por tanto: Ran ( f ) = y ≥ ln ( 3 4 ) = [ln ( 3 4 ) , +∞[

( x x− 1) = 2x( x −−12x) 2

5) Sea: ƒ

2

y

( ƒ
g) ( x ) = 4x 2 − 4x + 2.

Hallar g (1) . Solución En la primera función desarrollando el segundo miembro, se tiene: 2 ( ) ƒ x = 2x − 2x = 2x x − 1 2 ( )( x −1 x − 1 x − 1) ( x − 1)

( ) ƒ ( x ) = 2x ..... (1) x −1 x −1

Ahora, determinando ƒ(x), para ello efectuamos el primer cambio de variable, se tiene: u = x ..... ( 2 ) x −1 Despejando la variable x, de (2), se tiene: u ( x − 1) = x ⇒ ux − u = x ⇒ x ( u − 1) = u x = u ..... ( 3 ) u −1 Reemplazando (2) y (3) en (1), resulta: 2u 2u 2 u u − 1 u − 1 u − 1 = 2u ƒ (u) = = = u − 1 u − ( u − 1) u − u + 1 1 u −1 u −1 u −1 ƒ ( u ) = 2u..... ( 4 ) Efectuemos el segundo cambio de variable, resulta: x = u..... ( 5 ) Sustituyendo (5) en (4), se obtiene ƒ(x): ƒ ( x ) = 2x La función compuesta escribiendo en su otra forma, es decir: ( ƒ
g ) ( x ) = ƒ ( g ( x ) )

( )

ƒ ( g ( x ) ) = 4x 2 − 4x + 2 Ahora, aplicando el siguiente ƒ ( g ( x ) ) = A ⇒ g ( x ) = ƒ −1 ( A ) , se tiene:

teorema:

g ( x ) = ƒ −1 ( 4x 2 − 4x + 2 ) ..... ( 6 ) Calculando la función inversa de ƒ(x), para ello intercambiando variables (x→y , y→x) y luego despejando la nueva variable y, se obtiene: x = 2y ⇒ x = y ⇒ ƒ −1 ( x ) = x 2 2

JHONNY PUJRO VITO

3 Luego, evaluando la función inversa de ƒ(x), con: 2 x = 4x – 4x + 2, tenemos:

Analizando intersecciones de la función, conseguimos: Con el eje x: se obtiene haciendo y = 0:

Reemplazando (7) en (6), se determina la función g(x): g ( x ) = 2x 2 − 2x + 1..... ( 8 ) Finalmente, evaluando la función g(x) con x = 1, tenemos: 2 g (1) = 2 (1) − 2 (1) + 1 ⇒ g (1) = 2 − 2 + 1 ⇒ g (1) = 1

x 2 ⋅ 0 − 2x ⋅ 0 − 24 ⋅ 0 − x = 0 ⇒ − x = 0 ⇒ x = 0 Con el eje y: se obtiene haciendo x=0: 0 2 ⋅ y − 2 ⋅ 0 ⋅ y − 24y − 0 = 0 ⇒ − 24y = 0 ⇒ y = 0 Rpta.- La intersección en el eje “x” es: x = 0 y la intersección con el eje “y” es: y = 0 Analizando asíntotas de la función, tenemos: Cálculo de la Asíntota vertical, tenemos: y= 2 x ⇒ x 2 − 2x − 24 = 0 x − 2x − 24 ( x − 6 ) ( x + 4 ) = 0 ⇒ x = 6 , x = −4 Cálculo de la Asíntota horizontal, tenemos:

2 ( 2 ) ƒ −1 ( 4x 2 − 4x + 2 ) = 4x − 4x + 2 = 2 2x − 2x + 1 2 2 ƒ −1 ( 4x 2 − 4x + 2 ) = 2x 2 − 2x + 1..... ( 7 )

Rpta.- g (1) = 1 6) Analizar: Dominio, Rango, Intersecciones, Asíntotas, Simetrías y Graficar de la siguiente función: y= 2 x x − 2x − 24 Solución También esta función podemos escribir como: x 2 y − 2xy − 24y − x = 0 ⇔ F ( x, y ) = y − 2 x x − 2x − 24 Analizando Dominio, para ello aplicando la restricción: f ( x) y= ⇔ D ( f ) = ∀x ∈ ℝ, g ( x ) ≠ 0, se obtiene: g( x )

x x ⇒ y= ( x − 6) ( x + 4) x 2 − 2x − 24 Rpta.- D ( f ) = ∀ x ∈ ℝ − {6, −4} Analizando rango, la cual se obtiene despajando la variable x, luego aplicando la restricción: n ( ) ( ) y finalmente y = ƒ x , n ∈ ℕ y par ⇔ ƒ x ≥ 0 resolviendo, se obtiene: y= 2 x ⇒ y ( x 2 − 2x − 24 ) = x x − 2x − 24 x 2 y − 2xy − 24y = x ⇒ x 2 y − 2xy − x − 24y = 0 y=

yx 2 − ( 2y + 1) x − 24y = 0

2 ⇒ x = −b ± b − 4ac 2a

2y + 1 ±  − ( 2y + 1)  − 4 ( y )( −24y ) x= 2⋅y 2

x=

2

x x ≠ ( −y ) − 2 y− 2 x − 2x − 24 x − 2x − 24    F ( x,y )

2

100y 2 + 4y + 1 ≥ 0..... ( fA ) ∧ ∀y ∈ ℝ − {0} .....Ran ( fB ) Resolviendo Ran(fA), se tiene: 100y 2 + 4y + 1 ≥ 0 ⇔ 1 ≥ 0 (Proposición verdadera )

F ( x, − y )

Entonces ∃ simetría con el eje x Con el eje y: Existirá simetría, si: F ( x, y ) = F ( − x, y ) ( −x ) x y− 2 ≠ y− 2 x − 2x − 24 ( − x ) − 2 ( − x ) − 24    F ( x,y )

F ( − x,y )

Entonces ∃/ simetría con el eje y Con el origen: Existirá simetría, si: F ( x, y ) = F ( − x, − y ) ( −x ) x y− 2 ≠ ( −y ) − 2 x − 2x − 24 ( − x ) − 2 ( − x ) − 24     F ( x,y )

2y + 1 ± 4y + 4y + 1 + 96y 2y + 1 ± 100y + 4y + 1 = 2y 2y 2

2y + 1 ± 100y 2 + 4y + 1 ⇒ y=0 2y Rpta.- La Asíntota vertical son: x = 6 y x = – 4 y la asíntota horizontal es: y = 0 Analizando simetrías de la función, obtenemos: Previamente expresamos la función como: x2 x2 y= 2 − 2 ⇔ F ( x,y ) = y − 2 +2 x −9 x −9 Con el eje x: Existirá simetría, si: F ( x, y ) = F ( x, − y ) x=

F ( − x, − y )

Entonces ∃ simetría con el origen Rpta.- La simetría con el eje “x” no existe, simetría con el eje “y” no existe y simetría con el origen no existe La Grafica de la función es:

Ran ( fA ) = ∀y ∈ ℝ Finalmente, intersectando Ran(fA) y Ran(fB), del cual se determina Ran(f):

Rpta.- Ran ( f ) = ∀ y ∈ ℝ − {0}

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