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VECTORES Hermann G. Grassmann en el desarrollo de las nuevas álgebras que estaban por venir en la segunda mitad del siglo XIX. Después de proponer en su Ausdehnungslehre nuevas bases para todas las matemáticas, comenzando con definiciones de naturaleza más bien filosófica, Grassmann demostró que si la geometría se hubiese expresado en forma algebraica como él proponía, el número tres no hubiese desempeñado el papel preponderante que hoy día tiene como número que expresa el espacio que nos rodea; de hecho, el número de posibles dimensiones de interés para la geometría es ilimitado. Grassmann no pudo formalizar su trabajo ya que en aquel momento no existía un lenguaje algebraico adecuado donde sus ideas pudieran ser plasmadas. Sin embargo, su álgebra lineal fue comprendida y reconocida finalmente alrededor de 1920, cuando Hermann Weyl y otros publicaron su definición formal que ya había sido estudiada y formulada 30 años atrás por el matemático italiano Giusseppe Peano (1858-1932). Grassmann desarrolló la teoría de la independencia lineal de modo extraordinariamente similar a la presentación que hoy día podemos encontrar en los textos modernos de álgebra lineal. Definió la noción de subespacio, independencia, longitud, desdoblamiento, dimensión, unión e intersección de subespacios, y proyección de elementos en los subespacios. Fue a principios del siglo XX cuando los trabajos de Grassmann comenzaron a ser considerados y valorados. Sin embargo, a pesar de ello tuvo algunos incondicionales como su compatriota Hermann Hankel (1839-1873), que escribió Theorie der complexen Zahlensysteme und ihre Functionen en 1867, donde llevó a cabo una clara y concisa comparación desde el punto de la notación del cálculo cuaterniónico con el grassmaniano. De hecho, previamente el propio Grassmann encontró una forma de reducir su cálculo al formalismo de los cuaterniones. El trabajo de Grassmann consistió fundamentalmente en una generalización del actual producto vectorial, de ahí su valor. Grassmann se guio de su intuición geométrica, definiendo un nuevo producto que en la actualidad se denomina producto exterior (ab = a ∧ b) que él denominaba producto escalón, relacionado íntimamente con el actual producto vectorial, pero sin la restricción de una dimensionalidad fija de éste. Debido a un actual abuso de la notación, algunos docentes y profesores expresan erróneamente el producto vectorial con el símbolo ∧, a pesar de que conceptualmente son diferentes en origen y formulación, ya que el producto exterior es asociativo, mientras que el producto Revista “Pensamiento Matemático”- Número 1 - Oct’11 ISSN 2174-0410 20 Historias de Matemáticas - Hamilton y el Descubrimiento de los Cuaterniones José Manuel Sánchez Muñoz vectorial o producto cruz no lo es al ser un álgebra de Lie. Peter Guthrie Tait James Clerk Maxwell El descubrimiento de los cuaterniones nunca colmaron las expectativas que Hamilton había depositado en ellos con el fin de crear un lenguaje matemático aplicable a la realidad física. Sin embargo, Hamilton contó con un ingente número de defensores a ultranza en favor de la utilización de los cuaterniones en el desarrollo de la física. Entre ellos caben destacar a los físicos escoceses Peter Guthrie Tait (1831-1901) y James Clerk Maxwell (1831-1879), aunque este último, más que defender el uso de los cuaterniones, defendió su metodología como acercamiento de la realidad física. De hecho, Tait escribió Tratado Elemental sobre Cuaterniones en 1867, en el que reclamaba la importancia de los cuaterniones en la física. El tratado de Tait, contenía equivalencias con las operaciones modernas del producto escalar y vectorial de vectores, aunque desarrolladas en notación cuaterniona. En particular, especificaba que S.αβ = −TαTβ cos θ, donde T es la longitud del vector y θ es el ángulo entre α y β, y entonces V.αβ = TαTβ sen θ · η donde η es el vector unitario perpendicular a ambos α y

β. Por su parte Maxwell, en su Tratado sobre Electricidad y Magnetismo, también defendió en cierto modo las ideas de Hamilton. Su principal propósito era evitar explícitamente las coordenadas cartesianas, y fijar su estudio desde un punto del espacio en lugar de en tres coordenadas, y considerar la magnitud y dirección de una fuerza en lugar de sus tres componentes. Maxwell expresó sus resultados tanto en la forma de coordenadas como en la forma cuaterniona. En los preliminares de la segunda edición de su tratado comentaba: “Pero aún por muchos propósitos del razonamiento físico, para diferenciarlo del cálculo, es deseable evitar explícitamente el uso de las Coordenadas Cartesianas y fijar la atención en un punto del espacio en lugar de en sus coordenadas, y en la magnitud y dirección (de la fuerza) en lugar de en sus tres componentes. Esta forma de comprender geométrica y físicamente magnitudes es más primaria y natural que la otra, aunque las ideas conectadas a ésta no encontraron su completo desarrollo hasta que Hamilton dio un gran salto en el tratamiento del espacio, mediante el invento del Cálculo de los Cuaterniones. (...) Ya que los métodos de Descartes son todavía aquellos con los que los estudiantes de ciencias están más familiarizados, además de ser los más útiles para realizar cálculos, por lo que expresamos todos nuestros resultados en la forma cartesiana. Estoy convencido, sin embargo, que la introducción de las ideas y métodos de los Cuaterniones, será de un gran uso para el estudio de todas las partes de nuestra materia, y especialmente de la electrodinámica, donde tenemos que tratar con un gran número de magnitudes físicas, y las relaciones entre ellas pueden ser expresadas de forma muy simple haciendo uso del método de Hamilton, en lugar de las ecuaciones de costumbre. (...) 11. Una de las características más importantes del método de Hamilton, es la división de las magnitudes en Escalares y Vectores.” Revista “Pensamiento Matemático”- Número 1 - Oct’11 ISSN 2174-0410 21 Historias de Matemáticas Hamilton y el Descubrimiento de los Cuaterniones José Manuel Sánchez Muñoz, Pero Maxwell no estaba de acuerdo con el Cálculo desarrollado por Hamilton, y llevó a cabo una crítica directa de la existencia en la constitución de los cuaterniones de dos partes no homogéneas, una parte escalar y una parte vectorial (geométrica). De ahí su aceptación de las ideas vinculadas con esta teoría, pero su rechazo de sus métodos de cálculo. William K. Clifford El primer intento por llevar a cabo una transición desde el método de los cuaterniones hacia lo que actualmente denominamos análisis vectorial, fue llevado a cabo por el matemático William Kingdom Clifford (1845-1879). Hoy día es ampliamente conocido por sus álgebras de Clifford, un tipo de álgebra asociativa que generaliza al cuerpo de los números complejos y a los cuaterniones de Hamilton. Un resultado posterior, los octoniones (bicuaterniones), es ahora conocido como espacio de Clifford-Klein y es empleado para el estudio de movimientos en espacios no euclidianos y en ciertas superficies. En su Elementos de Dinámica publicado en 1878, introdujo el producto vectorial, prácticamente tal y como hoy lo conocemos, aunque sólo un refinamiento posterior de la teoría de determinantes acabó de darle la forma, esto es: C =A×B= i j k Ax Ay Az Bx By Bz También introdujo la noción de producto geométrico, que funde los productos escalar y exterior en un solo objeto mediante las álgebras que hoy se nombran en su honor. Dicho producto es muy similar al producto de cuaterniones, pero no está restringido a 4 dimensiones. Vale: ab = a · b + a ∧ b Clifford, reveló la importancia del uso de métodos vectoriales en detrimento de los cuaterniones cuyo uso era demasiado limitado. De este modo sus consideraciones para establecer un nuevo producto son fundamentalmente geométricas. Clifford interpretó el área de un paralelogramo como generada por el movimiento de un vector ab sobre un vector ac, definiendo así el producto vectorial, cuyo resultado es un vector de longitud (ab · ac) sen bac c y cuya dirección depende del sentido de recorrido. Por otro lado, el examen de un volumen construido en torno a la transición de ab (el cual representa

ahora un área) a lo largo de ac, determina el segundo producto, el producto escalar, como la magnitud (ab · ac) cos bac c. Esas dos multiplicaciones son evidentemente equivalentes a las que se obtienen con los cuaterniones (de hecho, no es totalmente un azar si las notaciones empleadas son similares), pero, y es la gran diferencia con Maxwell, Clifford se deshace del poco atrayente manejo de los cuaterniones para considerar productos de dos vectores de manera separada, lo que no hacían los científicos anteriores quienes veían en ellos las dos partes de un mismo y único producto. Revista “Pensamiento Matemático”- Número 1 - Oct’11 ISSN 2174-0410 22 Historias de Matemáticas - Hamilton y el Descubrimiento de los Cuaterniones José Manuel Sánchez Muñoz Josiah Williard Gibbs Oliver Heaviside A finales del siglo XIX se realizaron algunos descubrimientos físicos debido a la aparición de los cuaterniones. Pero una pequeña revolución matemática estaba a punto de hacer aparición de la mano (de forma independiente) del matemático americano Josiah Williard Gibbs (1839-1925) de la Universidad de Yale, y del matemático inglés Oliver Heaviside (1850-1925). Ambos publicaron sus trabajos en los años 1881 y 1882 respectivamente. Heaviside participó de forma activa en la extensión de las ecuaciones de campo de Maxwell y proporcionó algunas de las primeras soluciones completas. En el estudio del electromagnetismo, Maxwell había utilizado los cuaterniones, pero de un modo muy simplificado. Para los propó- sitos pedagógicos y sistematizadores de Heaviside esto no era suficiente, por lo que elaboró el análisis vectorial como un álgebra independiente, formulada en el capítulo III de Teoría del Electromagnetismo del mismo modo que hoy día sigue siendo la forma actual, donde se encuentran las razones de su rechazo a la teoría cuaterniona, razón por la que en multitud de ocasiones mantuvo polémicos enfrentamientos con P. G. Tait. Paralelamente al trabajo de Heaviside, Gibbs desarrolló un cálculo simbólico separando las partes vectoriales y escalar de los cuaterniones. A diferencia de Heaviside, su claridad y rigor matemático llevó a dar un impulso a los métodos de éste. En particular, por ejemplo, desarrolló la teoría del operador nabla, en su expresión actual, con todas sus matrices, esto es, rotacional, divergencia, gradiente e identidades. Utilizando sólo la porción vectorial de un cuaternión para representar cantidades físicas, es decir, u = bi + cj + dk, desarrolló un nuevo sistema tridimensional denominado análisis vectorial. En lugar de hacer uso del producto de los cuaterniones de Hamilton, introdujo dos nuevos tipos de multiplicación; por un lado, el producto escalar de v = bi + cj + dk y v ′ = b ′ i + c ′ j + d ′ k, definido por: v · v ′ = bb′ + cc′ + dd′ y el producto vectorial dado por: v × v ′ = (cd′ − c ′ d) i + (db′ − b ′ d) j + (bc′ − b ′ c) k. A pesar de la defensa a ultranza de los cuaterniones por parte de los seguidores de Hamilton, finalmente las teorías vectoriales de Gibbs y Heaviside se impusieron, gracias sobre todo a los desarrollos refinados del álgebra y la teoría de determinantes, que hizo que el análisis vectorial fuera tomando cuerpo como entidad independiente, no sin antes dejar algún enfrentamiento dramático con los cuaternionistas liderados fundamentalmente por Tait, que se negaban a reconocer la utilidad práctica de la nueva estructura creada. Sin embargo, tras la publicación de Análisis Vectorial de Gibbs en 1901 (su publicación de 1881 se realizó de forma privada a modo de libro de texto para sus estudiantes), y la publicación de los nuevos tratados sobre electromagnetismo en lenguaje vectorial, los cuaterniones fueron progresivamente reemplazados. En cierto modo, el origen del mismo análisis vectorial quedó envuelto en un poderoso lenguaje matemático auto consistente del que quedaron las unidades imaginarias, sino Revista “Pensamiento Matemático”- Número 1 - Oct’11 ISSN 2174-0410 23 Historias de Matemáticas - Hamilton y el Descubrimiento de los Cuaterniones José Manuel Sánchez Muñoz ¿quién jamás sintió curiosidad por saber de dónde salían las letras i, j, k del determinante formal que permite calcular el producto vectorial?

Historia y definición de los vectores En física, matemáticas e ingeniería, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida por un módulo (o longitud) y una dirección (u orientación). Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos o flechas en el plano o en el espacio .

Vectores fijos en Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

Módulo, dirección y sentido del vector fijo Módulo: Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo. Dirección: Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Sentido:

Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. Vectores equipolentes: Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

Vectores libres en

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir, los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Módulo, dirección y sentido del vector libre Se llama módulo, dirección y sentido de un vector libre no nulo, al módulo, dirección y sentido de uno cualquiera de sus representantes. Operaciones con vectores. Dependencia lineal Suma y resta de vectores libres: La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma: Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo. Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores.

Base canónica Los vectores =(1,0) y = (0,1) reciben el nombre de base canónica de los vectores del plano, y los escalares u1 y u2, componentes de =(u1,u2) en la base canónica.

Operaciones de vectores con coordenadas Suma y resta de vectores libres: La suma y resta de vectores se realiza sumando o restando cada una de las componentes de cada uno y da como resultado otro vector. V1 = (x1, y1) V2 = (x2, y2) V1 + V2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1+ y2) Gráficamente la suma y resta de vectores se puede realizar por el método del paralelogramo, es decir trazar sobre cada vector una recta paralela al otro formando un paralelogramo, cuya diagonal es la suma.

Modulo y argumento de un vector: Modulo: Aplicando el teorema de Pitágoras, tomando la longitud de cada cateto como el valor de cada coordenada del vector, obtenemos la longitud del segmento a la que llamamos módulo del vector.

El módulo del vector nos sirve también para calcular la distancia entre dos puntos que han servido de origen y extremo, es decir, distancia (P, Q) = PQ = módulo(v).

Argumento: La dirección de un vector viene señalada por la recta que lo contiene y todas sus paralelas, o lo que es lo mismo, por el ángulo que forma con la horizontal (argumento). Fíjate que puedes aplicar la definición de tangente trigonométrica para calcular el argumento, es decir si v (vx, vy) tiene por argumento α ocurrirá que tg α=v y/vx, de lo que obtenemos dos valores para α (en dos cuadrantes diferentes) que nos marcarán la misma dirección, pero sentidos contrarios. El vector v está perfectamente definido por su módulo R y el argumento α, así v=Rα definirá el vector y se llaman coordenadas polares. Producto escalar de dos vectores El producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como r · v, se obtiene de la suma de los productos formados por las componentes de uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores r y v, expresados en un mismo sistema de coordenadas: r = rxi + ryj + rzk v = vxi + vyj + vzk teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores: i·i=j·j=k·k=1 i·j=i·k=j·k=0 el resultado de multiplicar escalarmente r por v es: r · v = rx· vx + ry · vy+ rz · vz Esta operación no solo nos permite el cálculo de la longitud de los segmentos orientados que representan (sus módulos), sino también calcular el ángulo que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar también se puede hallar en función de sus módulos y del coseno del ángulo que forman mediante la fórmula: r · v = |r| · |v| · cos (r, v) El producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre el primer. Ángulo de dos vectores: El

producto

escalar

de

Con lo que deducimos que:

dos

vectores

es

por

definición

un

escalar.

ANALISIS DIMENSIONAL El análisis dimensional es una herramienta muy poderosa, que permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en forma de variables independientes. Su resultado fundamental, el teorema π de Vaschy-Buckingham (más conocido por teorema π) permite cambiar el conjunto original de parámetros de entrada dimensionales de un problema físico por otro conjunto de parámetros de entrada adimensionales más reducido. Estos parámetros adimensionales se obtienen mediante combinaciones adecuadas de los parámetros dimensionales y no son únicos, aunque sí lo es el número mínimo necesario para estudiar cada sistema. De este modo, al obtener uno de estos conjuntos de tamaño mínimo se consigue:  

Analizar con mayor facilidad el sistema objeto de estudio Reducir drásticamente el número de ensayos que debe realizarse para averiguar el comportamiento o respuesta del sistema.

El análisis dimensional es la base de los ensayos con maquetas a escala reducida utilizados en muchas ramas de la ingeniería, tales como la aeronáutica, la automoción o la ingeniería civil. A partir de dichos ensayos se obtiene información sobre lo que ocurre en el fenómeno a escala real cuando existe semejanza física entre el fenómeno real y el ensayo, gracias a que los resultados obtenidos en una maqueta a escala son válidos para el modelo a tamaño real si los números adimensionales que se toman como variables independientes para la experimentación tienen el mismo valor en la maqueta y en el modelo real. Así, para este tipo de cálculos, se utilizan ecuaciones dimensionales, que son expresiones algebraicas que tienen como variables a las unidades fundamentales y derivadas, las cuales se usan para demostrar fórmulas, equivalencias o para dar unidades a una respuesta. Finalmente, el análisis dimensional también es una herramienta útil para detectar errores en los cálculos científicos e ingenieriles. Con este fin se comprueba la congruencia de las unidades empleadas en los cálculos, prestando especial atención a las unidades de los resultados. El análisis dimensional es una parte de la física que estudia la forma como se relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales. Tal estudio se hace básicamente para descubrir valores numéricos, a los que los llamaremos “dimensiones”, los cuales aparecen como exponentes de los símbolos de las magnitudes fundamentales. Análisis dimensional

Para reducir un problema dimensional a otro adimensional con menos parámetros, se siguen los siguientes pasos generales: 1. Contar el número de variables dimensionales n. 2. Contar el número de unidades básicas (longitud, tiempo, masa, temperatura, etc.) m 3. Determinar el número de grupos adimensionales. El número de grupos o números adimensionales es n - m. 4. Hacer que cada número dependa de n - m variables fijas y que cada uno dependa además de una de las n - m variables restantes (se recomienda que las variables fijas sean una del fluido o medio, una geométrica y otra cinemática; ello para asegurar que los números adimensionales hallados tengan en cuenta todos los datos del problema). 5. Cada se pone como un producto de las variables que lo determinan elevadas cada una a una potencia desconocida. Para garantizar adimensionalidad deben hallarse todos los valores de los exponentes tal que se cancelen todas las dimensiones implicadas. 6. El número que contenga la variable que se desea determinar se pone como función de los demás números adimensionales. 7. En caso de trabajar con un modelo a escala, éste debe tener todos sus números adimensionales iguales a las del prototipo para asegurar similitud. Aplicaciones del Análisis dimensional    

Detección de errores de cálculo. Resolución de problemas cuya solución directa conlleva dificultades matemáticas insalvables. Creación y estudio de modelos reducidos. Consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en los modelos, etc.

Principio de Fourier de homogeneidad dimensional El principio de Fourier homogeneidad dimensional es un principio de buena formación de las expresiones que relacionan magnitudes físicas de manera algebraica. Es decir, es un principio de consistencia matemática que postula solo es posible sumar o restar entre sí magnitudes físicas de la misma naturaleza. En consecuencia, no podemos sumar longitud con tiempo, o masa con longitud, etc. Fines del Análisis Dimensional 1. El análisis dimensional sirve para expresar (relacionar) las magnitudes derivadas en términos de las fundamentales. 2. Sirven para comprobar la veracidad o falsedad de las fórmulas físicas, haciendo uso del principio de homogeneidad dimensional. 3. Sirven para deducir nuevas fórmulas a partir de datos experimentales.

ECUACIONES DIMENSIONALES Llamadas también “fórmulas dimensionales”, son expresiones matemáticas que colocan a las magnitudes derivadas en función de las fundamentales, utilizando para ello las reglas básicas del álgebra, excepto la suma y resta. Notación: Si: A se lee como magnitud "A"; entonces: [A]: se lee como “ecuación dimensional de A" MAGNITUD En términos físicos es todo aquello susceptible de ser medido. 



Magnitudes Fundamentales.- Aquellas que sirven de base y responden a un sistema. Ejm. Longitud (L), masa (M), tiempo (T), temperatura termodinámica (q), cantidad de sustancia (N), intensidad luminosa (J), intensidad de corriente (I). Magnitudes Derivadas.- Aquellas que están en relación con las magnitudes fundamentales. Ejm. Velocidad, Fuerza, aceleración, presión, trabajo, etc.

· CANTIDAD Porción de magnitud. Está representado mediante el número y una unidad. Ejm. 5 Kg; 20 m/s; 56,8 J, Etc. UNIDAD Base de comparación para establecer las mediciones. Ejm. La unidad de la magnitud longitud es el metro, de la masa es el kilogramo, etc. DIMENSIÓN Número al cual esta elevado una magnitud. FÓRMULA FÍSICA Es aquel modelo matemático que resulta de la aplicación de una ley o principio físico y en la que están relacionadas las magnitudes involucradas con el fenómeno. d = vo t + ½ a t2

FORMULA DIMENSIONAL Es la expresión de una magnitud en términos de las magnitudes fundamentales. Se adopta el símbolo [ ] para representar la fórmula dimensional de la magnitud física. [X] = La.Mb.Tc.qd. Ie.Jf.Ng

ECUACIÓN DIMENSIONAL Es aquella relación de igualdad en donde funcionan como variables las magnitudes y/o las dimensiones. PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL (Ley de Föurier) En toda fórmula física, las fórmulas dimensionales de cada uno de los términos son iguales e iguales a su suma PROPIEDADES: Las fórmulas dimensionales de todo número real es la unidad (1)    

[A.B] = [A]. [B] [A/B] = [A] / [B] [Ar] = [A]r, Donde r es un número real. [Ca] = [A], donde c es una constante.

Magnitud Derivada

F.D.

Unidad

Tipo

Área o Superficie

L2

m2

E

Volumen o Capacidad

L3

m3

E

Velocidad lineal

LT-1

m/s

V

Aceleración lineal

LT-2

m/s2

V

Aceleración de la Gravedad

LT-2

m/s2

V

Fuerza, Peso, Tensión, Reacción

MLT-2

kg . m/s2 = Newton (N)

V

Torque o Momento

ML2T-2

N.m

V

Trabajo, Energía, Calor

ML2T-2

N . m = Joule (J)

E

Potencia

ML2T-3

Joule/s = Watt (W)

E

Densidad

ML-3

kg/m3

E

Peso específico

ML-2T-2

N/m3

E

Impulso, ímpetu, Impulsión

MLT-1

N.s

V

Cantidad de Movimiento

MLT-1

kg . m/s

V

Presión

ML-1T-2

N/m2 = Pascal (Pa)

E

Periodo

T

s

E

Frecuencia Angular

T-1

s-1 = Hertz (Hz)

E

Velocidad Angular

T-1

rad/s

V

Aceleración Angular

T-2

rad/s2

V

Caudal o Gasto

L3T-1

m3/s

E

Calor Latente específico

L2T-2

cal/g

E

Capacidad Calorífica

ML2T-2q-1

cal/°K

E

Calor Específico

L2T-2q-1

cal/g.°K

E

Carga Eléctrica

IT

A . s = Coulomb (C)

E

Potencial Eléctrico

ML2T-3I-1

J/C = Voltio (V)

E

Resistencia Eléctrica

ML2T-3I-2

V/A = Ohm (W)

E

Intensidad de Campo Eléctrico

MLT-3I-1

N/C

V

Capacidad Eléctrica

M-1L-2T4I2

C/V = Faradio (f)

E

Nota: E = escalar y V = vectorial

OBJETIVOS DEL ANÁLISIS DIMENSIONAL: 1. 2.

Expresar las magnitudes derivadas en función de las magnitudes fundamentales Comprobar si las fórmulas físicas son correctas, mediante el principio de Homogeneidad.