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1 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 1. Un maestro universitario nunca termina su clase antes de que suene la campana y siempre termina su clase a menos de 2 min después de que suena la campana. Sea X = el tiempo que transcurre entre la campana y el término de clase y suponga que la fdp de X es:

 kx 2  0

0 x2 de otra manera

f ( x)  

a. Encuentre el valor de k b. ¿Cuál es la probabilidad de que la clase termine a menos de 1 minuto después de que suene la campana? c. ¿Cuál es la probabilidad de que la clase continúe entre 60 y 90 s después de que suene la campana? d. ¿Cuál es la probabilidad de que la clase continúe por lo menos 90 s después de que suene la campana? 2. Suponga que el error al hacer cierta medición es una va continua X con fdp

 0.09375(4  x 2 ) 0 

2 x 2 de otra manera

f ( x)  

a. Trace la gráfica de f (x). b. Calcule P (X > 0). c. Calcule P(-1 < X < 1) d. Calcule P (X < - 0.5 o X > 0.5) a. F(x)= k∫ x

2

dx= k( x

b. P(x≥1)= P(x X) 4. El tiempo X (minutos) para que un asistente de laboratorio prepare el equipo para un experimento tiene una distribución uniforme con A = 25 y B = 35. a. Verifique que f(x) sea una fdp legítima. −16 F(x)= 32ʃ(x+4)-3dx= ( x + 4 ) 2 = -16(0-1/16)= 1 b. Determine la fda. 16 1 - ( x + 4 ) 2 x≥0

c. Utilice el resultado del inciso (b) para calcular la probabilidad de que el tiempo para la falla sea entre 2 y 5 años. P(2≤x≥5)= F(5) –F(2)= -16/81 + 16/36= 20/81 = 0.247 d. ¿Cuál es el tiempo esperado para la falla? E(x)= ʃ32x/(x+4)2 = 32 (

x 2( x+ 4)

2

l+½ʃ

dx ( x+ 4)

2

E(x)= -16(-1/4)= 4 e. Si el componente tiene un valor de rescate igual a 100/(4 + x) cuando su tiempo para fallar sea x, ¿cuál es el valor esperado de rescate? 100 x2 dx E(h(x))= ʃ 4+ x ( x+ 4 ) 3

(

)

E(x)= 16.67

5. La fda para X (= error de medición) es 

0 

x3   1 3    4 x   3   2 32   1 

F ( x)  

x  2 2 x 2 2 x

a. Calcule P(X < 0) b. Calcule P(-1 < X < 1) c. Calcule P(0.5 < X) d. Encuentre la función de densidad f(x).

3 1 3 x3 0 + (4 x− )¿ a. P(X < 0)= 2 32 3 −2 =0.5-0=0.5 3

1 3 x 1 b. P(-1 < X < 1)= 2 + 32 ( 4 x− 3 )¿−1 =0.84375-0.15625=0.6875

3

1 3 x 2 c. P(x>0.05)= 2 + 32 (4 x− 3 )¿0.05 =1-.5187=0.4813

6. Simbolice con X el tiempo que dura un libro prestado con fdp  0.5 x  0

f ( x)  

0 x2 de otra manera

a. Calcule E(X). b. Calcule V(X) y . c. Si a la persona que solicita el libro se le cobra una cantidad h(X) = X 2 cuando la duración del préstamo es X, calcule el cobro esperado E [h(X)]. 7. Avance del Tiempo” en flujo de tránsito es el tiempo transcurrido entre el tiempo en que un automóvil termina de pasar un punto fijo y el instante en que el siguiente automóvil comienza a pasar por ese punto. Sea X = avance entre dos automóviles consecutivos elegidos al azar. Suponga que en un cierto ambiente de tráfico, la distribución del tiempo de avance tiene la forma  k x 1  f ( x)   x 4  0 x 1 a. Determine el valor de k para el cual f(x) es una fdp legítima. F(x)=k/x4=1-x4=k=3

b. Obtenga la función de distribución acumulada. F(x)=k/x4=1/k-1/x4=1-x-3 c. Utilice la fda del inciso (b) para determinar la probabilidad de que el avance exceda 2 s y la probabilidad de que el avance esté entre 2 y 3 s.

4 p((x < 2) =k/x4=3/2(2)= 0.127 p(2 < x < 3) = f2-f3=.127-k/x4=.037=.088 d. Obtenga el valor medio y la desviación estándar del avance. E(x)=1,5 σ=

√( x−m)2

)f(x)= 0.866

e. ¿Cuál es la probabilidad de que el avance esté dentro de una desviación estándar del valor medio? (σ/2= 0.9245 8. Exprese con X el tiempo para la falla (en años) de cierto componente hidráulico. Suponga que la fdp de X es f(x) = 32/(x + 4)3 para x ≥ 0. f. Verifique que f(x) sea una fdp legítima. g. Determine la fda. h. Utilice el resultado del inciso (b) para calcular la probabilidad de que el tiempo para la falla sea entre 2 y 5 años. i. ¿Cuál es el tiempo esperado para la falla? j. Si el componente tiene un valor de rescate igual a 100/(4 + x) cuando su tiempo para fallar sea x, ¿cuál es el valor esperado de rescate? 9. Considere la fdp para el tiempo total de espera Y de dos autobuses  

1 25

f ( y)   

2 5



y

 251 y 0

0 y5 5  y  10 de otra manera

a. Calcule y grafique la fda de Y. (Sugerencia: considere de forma separada 0 ≤ y < 5 y 5 ≤ y ≤ 10 al calcular F(y). Una gráfica de la fdp podría ser útil.) b. Obtenga una expresión para el (100p)mo percentil. (Sugerencia: considere en forma separada 0 < p < .5 y .5 < p < 1. c. Calcule E(Y) y V(Y). ¿Cómo se comparan con el tiempo esperado y la varianza de un solo autobús cuando el tiempo es uniformemente  0,5 distribuido en ?

a. F(x)= F(x)= b.

1 5 ∫ 25 0 ydy= 10

∫5

1 y2 y2 5 ¿ 25 * 2 = 50 0

2 1 dy ∫ 5 25 ydy =

2 5 y-

y 2 10 ¿ 50 5

5 1 1 3 5 5 c. E(y) = ∫ 0 y 25 ydy= 75 y ¿ 0 =16.66-0=1.66 1 4 5 5 2 1 2 E( y ) = ∫ 0 y 25 ydy= 100 y ¿0 =6.25 V(y) =6.25 - 2.75 =3.25 10.El diámetro (en centímetros) de unos balines metálicos para uso industrial, es una va aleatoria continua X cuya función de densidad de probabilidad está dada por:

 2cx  cx 2  0.99c

f ( x)   

0

para 0.9  x  1.1 en cualquier otro caso

a. Obtenga el valor de la constante c. b. Halle la media, la desviación estándar y la mediana. c. Dibuje la gráfica de f(x) DISTRIBUCIÓN NORMAL 1. ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un árbol seleccionado al azar esté entre 5 y Sea Z una va normal estándar, calcule las siguientes probabilidades, dibujando figuras siempre que sea posible. a. P(0 ≤ Z ≤ 2.17) b. P(0 ≤ Z ≤ 1) c. P(-2.50 ≤ Z ≤ 0) d. P(- 2.50 ≤ Z ≤ 2.50) e. P(Z ≤ 1.37) f. P(- 1.75 ≤ Z) g. P(- 1.50 ≤ Z ≤ 2) h. P(1.37 ≤ Z ≤ 2.50) i. P(1.50 ≤ Z) j. P(Z ≤ 2.50) a) P(0≤Z≤2,17). Φ(2.17) – Φ(0) = 0.9859 – 0.5000= 0.4850 b) P(0≤Z≤1). Φ(1) – Φ(0) = 0.8413-0.5000 = 0.3413 c)P(−2,50≤Z≤0). Φ(0) – Φ(-2.50) = 0.5000 – 0.0062 = 0.4938 d)P(−2,50≤Z≤2,50). Φ(2.50) – Φ(-2.50) = 0.9938 – 0.0062 = 0.9876 e)P(Z≤1,37). Φ(1.37)= 0.9147 (directo de la tabla) f)P(−1,75≤Z). 1 – Φ(-1.75) = 1 – 0.0401 = 0.9599 g)P(−1,50≤Z≤2,00). Φ(2) – Φ(-1.50) = 0.9772 – 0.0668 = 0.9104 h) P(1,37≤Z≤2,50). Φ(2.50) – Φ(1.37) = 0.9938 – 0.9147 = 0.0791 i) P(1,50≤Z). 1 – Φ(1.50) = 1 – 0.9332 = 0.0668 j) P(|Z|≤2,50). Φ(2.50) – Φ(-2.50) = 0.9938 – 0.0062 = 0.9876

6 2. Suponga que la fuerza que actúa sobre una columna, que ayuda a sostener un edificio, está normalmente distribuida con media de 15.0 kips y desviación estándar 1.25 kips. ¿Cuál es la probabilidad de que la fuerza: a. sea a lo sumo 17 kips? b. Se encuentre entre 10 y 12 kips? c. difiera de 15 kips en a lo sumo 2 DE? a. P(x≤17) = P(z≤

17−15 1.25 ) = Φ(1.6) = 0.9452

b. P(10≤x≤12) = P (

12−15 10−15 ≥z≥ 1.25 1.25 ) = Φ(-2.4) - Φ(-4) = 0.0082-0 =

0.0082 c. P(15-2σ≤x≤15+2σ) = P(12.5≤x≤17.5) = P (

12−15 10−15 1.25 ≥z≥ 1.25 ) = Φ(2) -

Φ(-2) = 0.9772-0.0228 = 0.9544 3. El artículo “Monte Carlo Simulation – Tool for Better Understanding of LRFD”(J. Structural Engr., 1993, pp. 1586 – 1599) sugiere que la resistencia a la ruptura (ksi) para acero grado A36 está normalmente distribuida con = 43 y = 4.5. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia a la ruptura sea a lo sumo 40? y ¿mayor de 60? b. ¿Cuál valor de resistencia a la ruptura separa de los otros al 75% más fuerte? 4. Suponga que X tiene una distribución binomial con parámetro n = 25 y p. Calcule una de las siguientes probabilidades usando la aproximación normal (con la corrección de continuidad) para los casos p = 0.5, 0.6 y 0.8 y compárelas con las probabilidades exactas calculadas de la tabla correspondiente. a. P(15 ≤ X ≤ 20) P(15 ≤ X ≤ 20) = P(X ≤ 20) – P(X ≤ 15) = 1-p(15-20)(25)/.8=2.25=.0392 ⎟ ⎠ b. P(X ≤ 15) =.5/x2 (10/15)=.662 c. P(20 ≤ X)=10/x2=-10/x-1/2=.50 5. Suponga que 10% de todos los ejes de acero producidos por cierto proceso están fuera de las especificaciones, pero que se pueden volver a trabajar (en lugar de tener que enviarlos a la chatarra). Considere una muestra aleatoria de 200 ejes y exprese con X el número de los que estén fuera de las especificaciones y se puedan volver a trabajar. ¿Cuál es la probabilidad (aproximada) de que X sea: a. a lo sumo 30? P(x≤30)= Φ((30-20)/18^0.5= 0.9906 b. Menos de 30?

7 P(x≤29)= Φ(29-20)/18^0.5= 0.9830 6. Cuando se prueban tarjetas de circuito que se usan en la fabricación de reproductores de discos compactos, el porcentaje de defectuosos a largo plazo es 5%. Suponga que recibe un lote de 250 tarjetas y que la condición de cualquier tarjeta es independiente de las demás. a. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que al menos 10% de las tarjetas del lote esten defectuosas? b. ¿Cuál es la probabilidad aproximada de que haya exactamente 10 defectuosas en el lote? n= 250 p=.05 μ=np=12.5 σ=3.44 a. P(x≥25) = 1 - P(z≤

25+ 0.5−12.5 ¿ =1-Φ(2.32)=1-0.9898=0.0102 3.44

b. P(x=10) = P(z≤

10+ 0.5−12.5 ¿ 3.44

- P(z≤

9+0.5−12.5 ¿ =Φ(-0.58) - Φ(3.44

0.87)=0.2810-0.1922=0.0888 7. El artículo “Computer Assisted Net Weight Control” (Quality Progress, 1983, pp. 22 -25) sugiere una distribución normal, con media de 137.2 onzas y desviación estándar de 1.6 onzas, para el contenido real de frascos de cierto tipo. El contenido establecido era de 135 onzas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un solo frasco contenga más que el contenido establecido? b. P(x>)=1/ √ 2 Πσ (e-x_m)2/2σ2=0.122 c. Entre 10 frascos seleccionados al azar, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos 8 contengan más del contenido establecido? P(x