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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CINTALAPA SEMESTRE: 3º. F

MATERIA: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

CARRERA: INGENIERÍA INFORMÁTICA. 1

INTEGRANTES:

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

MANUEL VICTOR HURTADO VALENCIA ADRIANA PAULINA ÁNGEL VÁZQUEZ EMMANUEL CANDELARIO ESPINOSA CLEMENTE BRYANT JARED DOMÍNGUEZ MONTERO ANTONIO FLORES CAMACHO

CATEDRÁTICO:

CINTALAPA DE FIGUEROA, CHIAPAS A 22 DE OCTUBRE DEL 2019

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INDICE INTRODUCCION………………………………………………………………………………3 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS………………………………………………...4 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD EN FORMA GENERAL…………………………5 DISTRIBUCION NORMAL…………………………………………………………...5 DISTRIBUCION BINOMINAL………………………………………………………..6 DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA…………………………………………….7 DISTRIBUCION DE POISSON………………………………………………………8 VALOR ESPERADO………………………………………………………………………….9 VARIANZA…………………………………………………………………………………….12 2

DESVIACION ESTANDAR………………………………………………………………….13 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

FUNCION ACUMULADA……………………………………………………………………14 CALCULOS DE PROBABILIDAD…………………………………………………………16 CONCLUSION……………………………………………………………………………….17 BIBLIOGRAFIA………………………………………………………………………………18 ANEXOS………………………………………………………………………………………19

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INTRODUCCION La finalidad de este trabajo es con el fin de conocer un poco más de la probabilidad y estadística y tiene como objetivo su entendimiento de temas que abarca las variables aleatorias continuas, se espera que el lector comprenda en su mayoría lo que se trata de explicar en detalle en este trabajo. La probabilidad es importante en la vida cotidiana nos ayuda en diferentes ámbitos de nuestra vida, y por eso este trabajo va con la finalidad de hacer esa ayuda un poco más amplia.

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VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

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VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Una variable aleatoria X es continua si su función de distribución es una función continua. En la práctica, se corresponden con variables asociadas con experimentos en los cuales la variable medida puede tomar cualquier valor en un intervalo: mediciones biométricas, intervalos de tiempo, áreas, etc. Ejemplos 

Resultado de un generador de números aleatorios entre 0 y 1. Es el ejemplo más sencillo que podemos considerar, es un caso particular de una familia de variables aleatorias que tienen una distribución uniforme en un intervalo [a, b]. Se corresponde con la elección al azar de cualquier valor entre a y b.



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Estatura de una persona elegida al azar en una población. El valor que se VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS obtenga será una medición en cualquier unidad de longitud (m, cm, etc.) dentro

de unos límites condicionados por la naturaleza de la variable. El resultado es impredecible con antelación, pero existen intervalos de valores más probables que otros debido a la distribución de alturas en la población. Más adelante veremos que, generalmente, variables biométricas como la altura se adaptan un modelo de distribución denominado distribución Normal y representada por una campana de Gauss. Dentro de las variables aleatorias continuas tenemos las variables aleatorias absolutamente continuas. Diremos que una variable aleatoria X continua tiene una distribución absolutamente continua si existe una función real f, positiva e integrable en el conjunto de números reales, tal que la función de distribución F de X se puede expresar como

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Una variable aleatoria con distribución absolutamente continua, por extensión, se clasifica como variable aleatoria absolutamente continua. En el presente manual, todas las variables aleatorias continuas con las que trabajemos pertenecen al grupo de las variables absolutamente continuas, en particular, los ejemplos y casos expuestos.[ CITATION ANO17 \l 2058 ]

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD EN FORMA GENERAL El tipo de distribución depende del tipo de variable que se esté tratando. Existen muchas, a continuación, las principales o más conocidas: 

Para variables continuas: en el caso de que la variable aleatoria sea continua, la distribución asociada es una distribución normal o de tipo Gaussiana.

5



Para variables discretas: en el caso de que la VARIABLES variable aleatoria sea discreta, ALEATORIAS CONTINUAS pueden existir varios tipos de distribuciones, las principales son la distribución binomial, la distribución hipergeométrica y la distribución de Poisson.

DISTRIBUCIÓN NORMAL Distribución normal o gaussiana. Función de densidad de probabilidad para la variable

aleatoria

continúa.

Fue

descubierta

por Carl

Gauss al

estudiar

el

comportamiento de los procesos aleatorios. Es ampliamente utilizada en estadística y teoría de las probabilidades.[ CITATION COL08 \l 2058 ] Es una de las más importantes en el área de estadística. Su desarrollo y explicación se les atribuyen a diferentes investigadores, especialmente a Carl Friedrich Gauss. Esta distribución considera dos parámetros, los cuales son el promedio o la media (μ) y la desviación estándar (σ). Gracias a estos dos parámetros, tiene asociada una ecuación, de la cual se desarrolla una gráfica conocida como campana de Gauss.

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Esta gráfica es simétrica con respecto a la media y su apertura o ancho viene dada por la desviación estándar. A su vez, en la gráfica se ve reflejada la distribución de la probabilidad de la variable en estudio. De esta distribución normal se desarrollan otros tres tipos de distribuciones: 

T de Student



Ji-cuadrado



F de Fisher

Ejemplos de Distribución Normal Algunos ejemplos donde puede darse una distribución normal son: 

El efecto de un medicamento o fármaco.



El cambio de temperatura en una época del año específica.



Caracteres morfológicos como el peso o la estatura en un grupo de individuos.

 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 6

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

La Distribución binomial es uno de los modelos de distribución teórica de probabilidad que se utiliza cuando la variable aleatoria discreta es el número de éxitos en una muestra compuesta por n observaciones. Es una de las distribuciones de probabilidad

más

útiles

que

se

emplea

en

control

de calidad,

producción,

investigaciones, etc.[ CITATION Gut07 \l 2058 ] Fue desarrollada por Jacob Bernoulli, posee diversas aplicaciones en el área de bioestadística, específicamente en la realización de experimentos, también es conocida como distribución de Bernoulli. Un experimento o estudio tiene una distribución binomial cuando se cumplen las siguientes condiciones: 

En el experimento solo existen dos posibles resultados, el éxito o el fracaso.



La repetición del mismo experimento presenta un resultado que es independiente de los resultados anteriores.



La probabilidad del éxito o del fracaso es constante.

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

Cada experimento posee un mismo número de réplicas.

Ejemplos de Distribución Binomial Se aplica a experimentos y relaciones en las áreas de medicina o biología, aunque también puede ser aplicada en las finanzas y economía. Algunos ejemplos de su aplicación son: 

Si una persona presenta o no una enfermedad como cáncer, viruela, o hepatitis.



Si una mujer se encuentra o no embarazada.



Si la publicación de un artículo fue exitosa o no.

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

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Este tipo de distribución está relacionada conVARIABLES muestreos sin reemplazo ALEATORIAS CONTINUAS y aleatorios. En el muestreo sin reemplazo no se devuelve o descarta ningún elemento seleccionado hasta finalizar dicho muestreo. A su vez, este tipo de distribución se da en casos donde se investiga la ausencia o presencia de alguna característica. Es parecida a la binomial, pero en el caso de la hipergeométrica, la probabilidad asociada a cada resultado no permanece constante, esto debido a la característica de muestreo sin reemplazo. Sin embargo, si el número de muestras es muy grande, la distribución puede acercarse a una binomial. Ejemplos de Distribución Hipergeométrica Es común tener este tipo de distribución en muestras de poblaciones relativamente pequeñas. Algunos ejemplos donde se da una distribución de este tipo pueden ser:

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Cuando se realiza el control de calidad de una empresa, la cual puede depender y variar según el fabricante. El control de instrumentos defectuosos en una oficina o empresa. Cuando se desea conocer la probabilidad de escoger un instrumento u objeto defectuoso. DISTRIBUCIÓN DE POISSON Fue desarrollada por Siméon Denis Poisson, este tipo de distribución, explica la probabilidad de que cierto evento ocurra un determinado número de veces en un tiempo establecido. Por lo general este tipo de distribución ocurre cuando se observa la aparición de algún suceso o evento raro en dicho tiempo establecido. Además de verse como la probabilidad en un tiempo establecido, también puede verse como la probabilidad de éxito en una unidad de área o número de producto. 8

En este tipo de distribución, la probabilidad de éxito también es independiente en VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

cada intervalo establecido, por lo que no es constante. Algún evento o proceso que conlleve una distribución de Poisson es estable. Por otro lado, conocer el número de sucesos que ocurren en un intervalo establecido no significa que se pueda predecir la cantidad de eventos que ocurrirán en el siguiente. Ejemplos de Distribución de Poisson Este tipo de distribución se observa en diferentes procesos, algunos ejemplos de esta pueden ser: Cuando se desea estudiar la probabilidad o el número de veces que pueda darse una reacción adversa a la aplicación de un fármaco. Cuando se requiere conocer el número de defectos en un lote de tela. En este caso el intervalo establecido sería una unidad de área.

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Cuando se pretende conocer el número de bacterias por unidad de área en un cultivo. Cuando se espera conocer la cantidad de llegadas de embarcaciones en un sitio en particular.[ CITATION Mat18 \l 2058 ] VALOR ESPERADO La esperanza matemática, también llamada valor esperado, es igual al sumatorio de las probabilidades de que exista un suceso aleatorio, multiplicado por el valor del suceso aleatorio. O, dicho de otra forma, el valor medio de un conjunto de datos. Teniendo en cuenta, eso sí, que el término esperanza matemática está acuñado por la teoría de la probabilidad. Mientras que en matemáticas, se denomina media matemática al valor promedio de un suceso que ha ocurrido. En distribuciones discretas con la misma probabilidad en cada suceso la media aritmética es igual que la esperanza matemática.[ CITATION Jos14 \l 2058 ] El concepto de valor esperado surge de los juegos de azar con la esperanza de 9

ganar el juego en repetidas ocasiones.

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

La esperanza matemática evoluciona en términos de valor esperado, es decir, el valor promediado durante un gran número de repeticiones del fenómeno, este valor promedio se obtiene de un gran número de experimentos. La esperanza matemática de una variable discreta se calcula de la siguiente forma:

E(x) significa el operador del valor esperado, es decir, el valor promedio de la variable x; x es la variable discreta, función de los valores que toma x, y p(x) es la probabilidad de x.

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La esperanza matemática cuenta con operadores, los cuales permiten simplificar el cálculo de la esperanza:

1. Si C es una constante, entonces E(x) = CE(X). 2. Si x y y son variables aleatorias, entonces E(x + y) = E(x) + E(y). 3. Si x y y son variables aleatorias independientes, entonces E(xy) = E(x) E(y).

Ejemplo: x es el número de puntos obtenidos cuando se lanza un dado equilibrado, con 10

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS este dato se calculará la esperanza matemática. Lo más recomendable es realizar una

pequeña tabla donde las columnas tengan el valor de x (valores que puede tomar la variable discreta, p(x) la probabilidad que ocurra la variable discreta, y finalmente x p(x) que representa la multiplicación de x con p(x)). Los valores que toma x son, en este ejemplo, las caras del dado (1 a 6). En el caso de p(x), se anota la probabilidad de ocurrencia de la variable discreta: la probabilidad de que salga cualquier número entre el 1 y el 6 es 1/6:

x

1

2

3

4

5

6

p(x)

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6 1

x p(x)

1/6

2/6

3/6

4/6

5/6

6/6

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Si la fórmula es:

Entonces: 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6 = 21/6 = 3.5

Respuesta: la esperanza matemática, o el primer momento alrededor de la media, de 11

lanzar un dado al aire es 3.5.[ CITATION Eri12 \l 2058 ]

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

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VARIACION Y DESVIACION ESTANDAR VARIANZA La varianza de las variables aleatorias, por lo tanto, consiste en una medida vinculada a su dispersión. Se trata de la esperanza del cuadrado de la desviación de esa variable considerada frente su media y se mide en una unidad diferente. Lo que hace la varianza es establecer la variabilidad de la variable aleatoria. Es importante tener en cuenta que, en ciertos casos, es preferible emplear otras medidas de dispersión ante las características de las distribuciones. Se denomina varianza muestral cuando se calcula la varianza de una comunidad, grupo o población en base a una muestra. La covarianza, por otra parte, es la medida de dispersión conjunta de un par de variables. 12

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Los expertos hablan de análisis de la varianza para nombrar a la colección de

modelos estadísticos y sus procedimientos asociados en la cual la varianza aparece particionada en distintos componentes. [ CITATION Jul10 \l 2058 ] La varianza de una muestra se calcula casi en la misma forma que la desviación media, con dos pequeñas diferencias: 1) las desviaciones se elevan al cuadrado antes de ser sumadas y, 2) se obtiene el promedio, utilizando n -1 en lugar de n.

La varianza muestral se puede calcular mediante la fórmula siguiente:

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Si el conjunto de números constituye una población, o bien, si el objeto de resumir los datos es únicamente para describir un conjunto de datos en lugar de sacar inferencias respecto a una población, entonces se deberá sustituir en el denominador, ( n - 1 ) por n.[ CITATION Osv09 \l 2058 ] DESVÍO ESTÁNDAR Uno de los conceptos más importantes relacionados con la varianza es la desviación estándar, también conocida como típica, que representa la magnitud de la dispersión de variables de intervalo y de razón, y resulta muy útil en el campo de la estadística descriptiva. Para obtenerla, simplemente se parte de la varianza y se calcula su raíz cuadrada[ CITATION Jul10 \l 2058 ] El desvío estándar es simplemente la raíz cuadrada positiva de la varianza. De este modo si la varianza es 8.1, la desviación estándar es 9. Para obtener la desviación estándar se puede utilizar la siguiente fórmula: 13

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

El desvío estándar es una de las medidas de resumen que más se utiliza y desempeña un papel muy importante en la estadística. Es importante observar que las unidades de la desviación estándar son las mismas que las de la media. Por ejemplo, si la media está en unidades monetarias, la desviación estándar también lo estará. Si la media es en metros, lo mismo ocurrirá con la desviación estándar, la varianza se expresa en unidades al cuadrado.[ CITATION Osv09 \l 2058 ]

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FUNCIÓN DE PROBABABILIDAD ACUMULADA La función distribución acumulada  distribución de probabilidad es  o igual al valor 

 de la variable aleatoria discreta  , cuya

, es la probabilidad de que la variable   sea menor

 Esto es,

Ejemplo Para el ejemplo tratado anteriormente, La función distribución acumulada  14

variable aleatoria discreta   es determinada así:

 de la

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

1. Divida el rango de la variable en subintervalos: 

 

 y 

. Esta

división es realizada de acuerdo a la partición de la recta real dada en la función de probabilidad. 2. Calcule la función de probabilidad acumulada para un un valor   que se encuentre en el intervalo como la suma de las probabilidades de los valores de la variable menores a  .

Ya que según la definición de la función de probabilidad 

 cuando 

como es en este caso.

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Luego La función distribución acumulada 

 de la variable aleatoria discreta   es

dada por 15

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

[ CITATION Hen08 \l 2058 ]

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CALCULOS DE PROBABILIDAD Cálculo de la Probabilidad Para calcular la probabilidad de un evento se toma en cuenta todos los casos posibles de ocurrencia del evento; es decir, de cuántas formas puede ocurrir determinada situación. Los casos favorables de ocurrencia de un evento serán los que cumplan con la condición

que

estoy

buscando.

Así para el tiro de una moneda tengo 2 casos posibles de ocurrencia (o cae águila o cae sol) y sólo 1 caso favorable de que pueda caer águila (pues sólo hay un águila en la

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moneda).

Para calcular la probabilidad de un evento se utiliza la siguiente fórmula:

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Para nuestro ejemplo: Probabilidad de "que caiga un águila" tenemos:

Por lo tanto, existe una probabilidad del 50% que yo obtenga un águila al tirar una moneda. [ CITATION CON08 \l 2058 ]

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CONCLUSION Este trabajo sirvió como apoyo a la comprensión de la distribución, la importancia de las variables aleatorias, la aplicación de la varianza y de otros conceptos. Además ayudo a poner de manifiesto ante la disciplina matemática en las cuales está involucrado el quehacer humano de forma definida o implícita. Estos temas nos abren un panorama más amplio al mundo de las matemáticas y a su comprensión. Así también a su mejor entendimiento y su aplicación en ejercicios. 17

Además cabe resaltar que la distribución cobra VARIABLES importancia en el lenguaje ALEATORIAS CONTINUAS informático. en especial para hacer referencia a las coloquialmente denominadas “distro”, basadas en un núcleo Linux, que incluyen paquetes de software apropiados para cubrir las necesidades de un grupo definido de usuarios. De esta forma, las variaciones, las distribuciones entre otros temas envueltos en las variables aleatorias continuas permite comprender su gran complejidad e importancia en la vida diaria de los seres humanos.

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Bibliografía Alvarado, E. P. (2012). probabilidad y estadistica. Estado de Mexico: TERCER MILENIO. ANONIMO. (12 de 07 de 2017). UB. Recuperado el 11 de 10 de 2019, de UB: http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo2/B0C2m1t9.htm AUTORES, C. D. (2008). Estadística, probabilidad y precálculo, Manual esencial. Santiago de Chile: Santillana. Castillo, O. J. (2009). ESTADISTICA MODULO 1. ESTADO DE MEXICOA: HARLA. CONEVyT. (2008). conevyt. Recuperado el 10 de 11 de 2019, de conevyt: https://www.conevyt.org.mx/actividades/probabilidad/lectura3.html Gutiérrez, P. H. (2007). Control Estadístico de Calidad y Seis Sigmas. La Habana: Felix Varela. Lopez, J. F. (2014). ECONOMIPEDIA. Recuperado el 10 de 11 de 2019, de ECONOMIPEDIA: https://economipedia.com/definiciones/esperanza-matematica.html Mendoza, H. (2008). UNAL.EDU. Recuperado el 10 de 11 de 2019, de UNAL.EDU: http://red.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un2/cont_223_65.html Perez, J. (2010). DEFINICION.DE. Recuperado el 10 de 11 de 2019, de DEFINICION.DE: https://definicion.de/varianza/ Riquelme, M. (13 de 11 de 2018). WEB Y EMPRESAS. Recuperado el 10 de 11 de 2019, de WEB Y EMPRESAS: https://www.webyempresas.com/distribucion-de-probabilidad/

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ANEXO MAPA CONCEPTUAL

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

VALOR ESPERADO

VARIANZA

DESVIACION ESTANDAR

FUNCION ACUMULADA

Es igual al sumatorio de las probabilidades de que exista un suceso aleatorio, multiplicado por el valor del suceso aleatorio.

Es una medida de dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media.

 Es la medida de dispersión más común, que indica qué tan dispersos están los datos con respecto a la media. Mientras mayor sea la desviación estándar, mayor será la dispersión de los datos.

Es una función matemática de la variable real: x (minúscula); que describe la probabilidad de que X tenga un valor menor o igual que x.

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