• Categories
• Variable aleatoria
• Función de densidad de probabilidad
• Función (Matemáticas)
• Varianza
• Modelado científico

Citation preview

Variables Aleatorias Continuas

VARIABLES ALEATORIAS CONTÍNUAS. •

Dado que los posibles valores de una variable aleatoria continua X son infinitos y no enumerables, no tiene mucho sentido hablar, como en el caso de una v.a. discreta, de la probabilidad de que X tome un único valor (ya que intuitivamente esta probabilidad sería siempre 0).

•

Sin embargo, si es razonable hablar de la probabilidad de que X tome valores en un intervalo. Para ello se utiliza un modelo matemático conocido como la función de densidad.

VARIABLES ALEATORIAS CONTÍNUAS. Función de Densidad Se denomina función de densidad de probabilidad f(x) de una variable aleatoria continua X a la función que satisface lo siguiente:

VARIABLES ALEATORIAS CONTÍNUAS Función de densidad • Es importante indicar que la función de densidad no es una probabilidad sino un modelo matemático (que se supone refleja una realidad) que nos permite calcular probabilidades como áreas debajo de esta función. • Los requerimientos anteriores nos dicen que la función de densidad tiene una gráfica que nunca está debajo del eje x y que el área que hay debajo de esta gráfica es 1.

VARIABLES ALEATORIAS CONTÍNUAS

EJERCICIO 1

El tiempo que demora un empleado de la SUNAT en un proceso de fiscalización de una pequeña empresa (en horas), se distribuye uniformemente según

1 = {t / 1  t  12} Determine la función de densidad de probabilidad del Tiempo que demora un Empleado de la SUNAT en realizar el proceso de fiscalización de una pequeña empresa

EJERCICIO 2

Si las ventas diarias (en miles de nuevos soles) en una tienda se modelan con una variable continua X con función de densidad de probabilidad

f ( x)  c x ; 0  x  10 a) Calcular el valor de c b) Calcule e interprete P( X  5) c) Calcule e interprete P( X  8)

EJERCICIO 3

El porcentaje de grasa corporal en un hombre adulto de 40 años puede modelarse como una variable aleatoria continua X con la siguiente función de densidad de probabilidad:

f ( x)  a (12  x) ; 8  x  10 a) Determine el valor de a. b) Si se elige al azar a un hombre adulto de 40 años, calcule la probabilidad de que su porcentaje de grasa corporal sea mayor a 9,5%

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA

EJERCICIO 4

El tiempo de espera en una cola de servicios (en minutos), de los clientes de un establecimiento comercial, es una variable cuya función de densidad es: f(x) =

(x-1)   8  0 

, para

1  x  5

, de otro modo

a) Determine la función de distribución acumulativa. b) Halle la probabilidad de que un cliente deba esperar más de dos minutos más para ser atendido, si ya esperó dos minutos.

EJERCICIO 4 Función de distribución acumulativa de probabilidades

F(x) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

0

1

2

3

4

5

x

11

VARIABLES ALEATORIAS CONTÍNUAS Valor esperado de una variable aleatoria El valor esperado E(X) de una variable aleatoria continua X con distribución de probabilidad f(x) se define por:

EX  

 xf x dx RX

El valor esperado E(X), también, se le conoce como media de la variable X, denotada por μX.

VARIABLES ALEATORIAS CONTÍNUAS Valor esperado de una función de variable aleatoria Sea G(X) una función de la variable aleatoria X. El valor esperado de G(X) es:

E G  X   G x  f x dx



RX

VARIABLES ALEATORIAS CONTÍNUAS Varianza de una variable aleatoria La varianza V(X) de una variable aleatoria continua X con distribución de probabilidad f(x) se define por: V X   EX     2

2   x   f x dx  RX

Se cumple V  X   E X 2    X2





x 2 f x    X2

RX

La varianza de la variable aleatoria X, V(X), también se denota por  X2 .

EJERCICIO 5

El tiempo de espera en una cola de servicios (en minutos), de los clientes de un establecimiento comercial, es una variable cuya función de densidad es: f(x) =

(x-1)   8  0 

, para

1  x  5

, de otro modo

Halle los valores de la media, mediana y variancia del tiempo de atención.

INDEPENDENCIA

PROPIEDADES Propiedades de valores esperados en variables aleatorias

• E(b) = b • Si X e Y son variables aleatorias, a y b son constantes, entonces: E(aX + bY) = a E(X) + b E(Y) • Si X1, X2, X3, . . ., Xn son n variables aleatorias, y a1, a2, a3, . . ., an son n constantes, entonces: E  a1 X 1  a2 X 2  ...  an X n   a1E ( X 1 )  a2 E ( X 2 )  ...  an E ( X n )

PROPIEDADES Propiedades de la varianza en variables aleatorias

• Si Y = aX + b, con a y b son constantes, entonces:

 a  2 y

2

2 x

• Si X1, X2, X3, . . ., Xn son n variables aleatorias independientes, y a1, a2, a3, . . ., an son n constantes, entonces: V  a1 X 1  a2 X 2  ...  an X n   a12V ( X 1 )  a22V ( X 2 )  ...  an2V ( X n )

EJERCICIO 6

El tiempo de espera en una cola de servicios (en minutos), de los clientes de un establecimiento comercial, es una variable cuya función de densidad es: f(x) =

(x-1)   8  0 

, para

1  x  5

, de otro modo

Suponga que el costo de atención (nuevos soles) de un clientes es igual a : Y= g(X)= 5+1.2X, halle la media y variancia de la distribución de Y.

EJERCICIO 7

CAMBIO DE VARIABLE

EJERCICIO 8

Si la función de distribución (modelo probabilístico) de la variable aleatoria que modela el tiempo de vida (en días) de un producto está dada por:

0 𝑓𝑥 𝑥 = 2𝑒 −2𝑥

, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 , 𝑠𝑖 𝑥 > 0

Determinar la función de densidad para la variable: Y = 4X

EJERCICIO 9

OBSERVACIONES

OBSERVACIONES

OBSERVACIONES