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Estadística I 1 Melanie Nogué Fructuoso

TEMA 4 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 1. Función de probabilidad y distribución Cuando el soporte de la variable es un intervalo, estamos hablando de variables aleatorias continuas, como por ejemplo:

X= tiempo que tarda una persona en llegar al trabajo Sop(X)=[0,∞)

1.1.

Cálculo de probabilidades

Utilizábamos la función de probabilidad para las variables aleatorias discretas de forma que la calculábamos asignando un valor a la variable X. No obstante, en las continuas no se puede aplicar, pues al calcular un valor concreto, la probabilidad daría 0. Entonces, en las variables aleatorias continuas se asignan probabilidades a intervalos: (

)

Para poder calcularlo, la función de densidad se definirá como: (

)

( )

∫

Es decir, todo lo que hasta ahora hemos calculado con las variables aleatorias discretas lo haremos mediante integrales. Por ejemplo: ( )

[

{

]

Queremos saber la probabilidad de que X tome valores entre 0 y 0,5: (

)

∫

Propiedades de las integrales: i.

∫

ii.

∫

iii.

∫

iv.

∫

v.

∫

[

]

Estadística I 2 Melanie Nogué Fructuoso vi.

∫

vii.

∫

viii.

∫

En el cálculo de probabilidades, da igual si > o < llevan el igual, pues no añade probabilidades. Si recordamos en matemáticas, las integrales son áreas, y en las VAC también representarán las probabilidades como áreas.

1.2.

-

Propiedades de la función de densidad

Debe ser siempre positiva. La integral en el soporte de la variable en la función de densidad da 1, es decir: ( )

∫

Esta última propiedad se usará por ejemplo en ejercicios donde se pregunte: Ejercicio ejemplo: ¿qué valor de K debe ser para que la función sea una función de densidad? ( )

[

{

]

∫

1.3.

Función de distribución

Nos da todas las probabilidades acumuladas hasta el punto a. se calcula a priori: ( )

(

)

( )

∫

Donde el menos infinito representa el valor mínimo del soporte y el infinito es el valor máximo. En nuestro ejemplo sería: ( )

(

)

∫

Y finalmente, la forma de colocarlo es: ( ( )

{

) [

[

) )

Estadística I 3 Melanie Nogué Fructuoso

Propiedades: i. ii. iii. iv.

Siempre se encuentra entre 0 y 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Si nos dan la función de distribución, para encontrar la función de densidad tendremos que derivar.

1.4.

Esperanza

O valor esperado, se define como: ( )

( )

∫

Propiedades: La más importante es que si queremos calcular cualquier función de x siendo E(g(x)), se hace: ( ( ))

1.5.

( )

∫

( )

Varianza

Tiene el mismo significado que para las VAD. ( )

( ) (

∫

( ))

O bien: ( )

1.6.

(

)

( ( ))

( )

( )

∫

( ( ))

Función de densidad conjunta y marginal

Como en dos VAD estamos trabajando con funciones de densidad y deberemos definir una nueva función de densidad conjunta. Si por ejemplo tenemos: (

)

{

(

)

[

]

[

]

Estadística I 4 Melanie Nogué Fructuoso

¿Cuál es el valor de K para que la función de densidad conjunta sea realmente una función de densidad? ∫

∫

(

)

∫

[

]

∫

La forma general es: (

)

∫ ∫

Si por ejemplo no nos dan los dos extremos de las variables u sólo nos dan el superior, a la hora de integrar cogeríamos el valor del soporte, por ejemplo: [

(

]

)

∫

También nos pueden preguntar por la probabilidad de que x e y estén relacionadas, como por ejemplo: (

)

Esto afectará a los límites de integración. En primer lugar, fijamos x y despejamos y, y entonces cambiamos el orden y decimos y