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UNIVERSIDAD DE LA COSTA ESTADISTICA UNIVERSIDAD DE LA COSTA CUC FACULTAD DE INGENIERIA

PROGRAMA: ESTADISTICA

DOCENTE: JAVIER RODRIGUEZ HERAS

TEMA: DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS BINOMIAL – POISSON DISTRIBUCION NORMAL

PRESENTADO POR:

CRISTIAN CAMILO PONTIERS PIANETA LUIS DURANGO LUNA

28 DE ABRIL DE 2020 BARRANQUILLA – ATLÁNTICO

UNIVERSIDAD DE LA COSTA ESTADISTICA

Desarrollo Actividad Punto 1 1. De un cargamento de 100 artículos, se sabe que el 10% de los artículos están defectuosos. Se eligen al azar con reemplazo y sin orden 20 artículos del cargamento y se examinan. Sea X la variable aleatoria que representa al número de artículos defectuosos encontrados. Calcule la probabilidad de encontrar a) ningún artículo defectuoso, b) 2 artículos defectuosos c) a lo sumo un artículo defectuoso. a. P(X = 0) = (20C0) (0.1)0 (0.9)20 → = (1) (1) (0.1215766545905693) = 0.1215 La probabilidad de que no haga ningún artículo defectuoso es de 0.12

b. P(X = 2) = (20C2) (0.1)2 (0.9)18 → = (190) (0.01) (0.1500946352969991) = 0.28517980706429829 La probabilidad de que haga 2 artículo defectuoso es de 0.28

1

c. → P (X≤1) = ∑ ❑(nCx) (P)x (1-P)n-x x=0

→[ (20C0) (0.1)0 (0.9)20 + (20C1) (0.1)1 (0.9)19 ] [ (1) (1) (0.1215766545905693) + (20) (0.1) (0.1350851717672992) ] = (0.1215766545905693 + 0.2701703435345984) = 0.3917469981251677 La probabilidad de que haga a lo sumo un artículo defectuoso es de 0.39

Punto 2. 2. Una semilla tiene un porcentaje de germinación del 83%. Si se siembran 12 semillas, ¿cuál es la probabilidad de que germinen (a) todas, (b) 10, (c) a lo más 2, (d) al menos 10? P = 0.83 a) P (X ¿ 12) = B (12;12;0.83) = 0.10689001

UNIVERSIDAD DE LA COSTA ESTADISTICA b) P (X ¿ 10) = B (10;12;0.83) = 0.29595297 c) P (X ≤ 2) = B (2;12;0.83) = 0.0000009166 d) P (X ≥ 10) = 1 - P (X ¿ 10) = 1 - P (X ≤ 9) = 1 - B (9; 12; 0.83) = 1 - 0.202056244 = 0.7979437 Punto 3 3. El número de cartas perdidas en el correo en un día tiene un promedio de 4. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día determinado (a) se pierdan a lo más dos cartas en el correo? (b) se pierdan tres cartas en el correo? (c) se extravíen cuatro o cinco? (d) al menos desaparezca una carta en el correo? a) P (X ≤ 2) = 0.238 b) P (X = 3) = P (X ≤ 3) - P (X ≤ 2) = 0.433 – 0.238 = 0.195 c) P (4 ≤ X ≤ 5) = P (X ≤ 5) - P (X ≤ 4) = P (X ≤ 5) - P (X ≤ 4) + P (X ≤ 4) - P (X ≤ 3) = (0.785 – 0.629) + (0.629 – O.433) = 0.352 d) P (X ≥ 1) = 1 - P (X ¿ 1) = 1 – 0.092 = 0.908

Punto 4 4. De una producción de 2.000 tornillos, se sabe que el 5% están defectuosos. Supongamos que se selecciona una muestra al azar de 20 tornillos. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de tornillos defectuosos en la muestra no exceda a 3? (b) ¿cuál es la probabilidad de que el número de tornillos defectuosos en la muestra es por lo menos 6? (c) ¿cuál es la probabilidad de que el número de tornillos defectuosos en la muestra sea estrictamente mayor que 2, pero menor o igual de 6? (d) ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de los 20 tornillos esté defectuoso? (e) Calcule e interprete el valor esperado y la desviación estándar del número de tornillos defectuosos en la muestra. a) n = 20 p = 0.05 P (X > 3) = 0.984; con las tablas. b) P (X ≥ 6) = 1 - P(X < 6)= 1- P (X ≤ 5) = 1 - 1.000 = 0

UNIVERSIDAD DE LA COSTA ESTADISTICA c) P (X ≥ 2) = 1 - 0.925 = 0.075 d) P (X = 0) = 0.358; con las tablas. e) E(X) = (20) (0.25) = 1 σ =√ σ 2= √np (1− p)=√ 0.95=0.97467

Punto 5 5. Las estadísticas muestran que hay un promedio de tres accidentes por semana en una ruta determinada. Determine la probabilidad de que durante cierta semana seleccionada al azar haya. Datos: λ=3 (a) 4, P ( x=4 )=

e−3∗3 4 0.04978706∗81 = =0.16803 4! 24

(b) 3 o 4,

P ( x=3 )=

0.04978706∗33 =0.22404177+0.16803=0.39207 3!

(c) a lo más tres, P ( x ≤ 3 )=P ( x=0 ) + P ( x=1 ) + P ( x =2 )+ P ( x=3 )

P ( x ≤ 3 )=

e−3∗3 0 e−3∗31 e−3∗32 e−3∗33 + + + 0! 1! 2! 3!

P ( x ≤ 3 )=0.04978706+ 0.14736118+0.2294177+ 0.39207=0.81526001 (d) Al menos 4 accidentes. P ( x ≤ 4 )=0.46803+0.81526001=0.98329001

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Punto 6 6. Los estudios indican que, en promedio, se producen 2 averías diarias en las carreteras urbanas durante las horas “pico” de la tarde. Asumamos que la distribución es de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día concreto se produzcan? (a) menos de tres,

P ( x=3 )=

( e−3∗23 ) 0.1353∗¿ = =0.1084 ¿ 3!

6

(b) más de cinco averías en estas carreteras durante las horas “pico” de la tarde? P ( x ≤ 5 )=P ( x=0 ) + P ( x=1 ) + P ( x =2 )+ P ( x=3 )+ P ( x=4 ) P ( x =5 ) ¿

e−2∗20 e−2∗21 e−2∗22 e−2∗23 e−2∗24 e−2∗25 + + + + + 0! 1! 2! 3! 4! 5!

¿ 0.1353+0.2706+ 0.2706+0.1084+ 0.0902+ 0.03608=0.91118

Punto 7 7. Un fabricante de celulares, desea controlar la calidad de su producto y rechazar cualquier lote en el que la proporción de celulares defectuosos sea demasiado alta. Con este fin, de cada lote grande (digamos, 20.000 celulares) selecciona y prueba 25. Si por lo menos 3 de estos están defectuosos, todo el lote será rechazado. (a) ¿cuál es la probabilidad de que un lote sea rechazado si 5% de los celulares están defectuosos? (b) ¿cuál es la probabilidad de que un lote sea rechazado si 10% de los celulares están defectuosos? (c) ¿cuál es la probabilidad de que un lote sea rechazado si 30% de los celulares están defectuosos? a. Se tiene una probabilidad de defectuoso de P: 0.05 → P (X≥3) = 1 – P (X 37) = 1 – Φ [(37 – 40) /6.3] = 1 - Φ [-0.47] = 1 – 0.3191 = 0.6809 (b) menos de 49 meses; P(X < 49) = Φ [49 – 40)/6.3] = Φ[1.42] = 0.9221 c) entre 37 y 49 meses P (37 < X < 49) = Φ [49 – 40) /6.3] - Φ [(37 – 40)/6.3] = Φ [1.43] - Φ [-0.48] = 0.9234 – 0.3170 = 0.6065