• Author / Uploaded
• andiedux

Citation preview



Estadística y Probabilidades

Modelos de probabilidad aleatorias discretas



para

variables

[email protected]

Bibliografía recomendada: Cordova, Manuel. 2003. Estadística: Descriptiva e Inferencial. Ed. Moshera S.R.L. 5ta edición. Pp 202 – 278 2016-1

Experimento Un experimento o fenómeno es determinista si se obtiene el mismo resultado cuando se repite el experimento en las mismas condiciones. Ejemplo: Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la pelota bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará. Un experimento o fenómeno es aleatorio (o estocástico) cuando al repetir el experimento en igualdad de condiciones los resultados varían, a pesar de mantener constantes las condiciones con las que se realiza el experimento.

Variable aleatoria, variable estocástica, variable de probabilidad, variante

Una variable aleatoria X es una función numérica que asocia a cada suceso del espacio muestral E de un experimento aleatorio un valor numérico real.

X :E  w  X ( w) donde: w = es un elemento del espacio muestral Llamar variable a una función resulta algo confuso, por ello hay que insistir en qué es una función.

Las v. a. se pueden clasificar en:

DISCRETAS, cuyo rango es un conjunto finito o infinito numerable de valores. Provienen de contar, solamente pueden ser representados con números enteros. CONTINUAS, cuyo rango es un conjunto finito no numerable de valores. Provienen de medir, se pueden representar con números enteros o fraccionarios. Entre dos valores siempre existe un numero intermedio.

Ejemplo de variable aleatoria discreta:

Número de caras al lanzar tres monedas (fenómeno aleatorio). Elementos del espacio muestral sucesos o eventos

+++

++C +C+

C++

CC+

C+C

+CC CCC

Ley de correspondencia

Números reales (# de caras)

0

1

2

3 caras

Establecer una variable aleatoria para un experimento aleatorio no es más que una forma de asignar de "manera natural" números a los eventos. Tienen un número fijo de valores.

La v. a. es una función que atribuye a cada evento un número que no es aleatorio, sino fijo y predeterminado; lo que es aleatorio es el resultado del experimento sobre cuyo espacio muestral se define la v. a. Ejemplo: Dado el espacio muestral de lanzar un dado las veces que sean necesarias hasta obtener el número 2. S = D, ND, NND, NNND, ... La función X definida como el “número de lanzamientos realizados hasta que dé 2” es una v. a. cuyo rango (dominio) es el conjunto:

Rx = 1; 2; 3; ...

Ejemplos

EXPERIMENTO Almacen con 50 árboles de navidad

RESULTADO

VARIABLES ALEATORIAS

GAMA DE VARIABLES ALEATORIAS

N° de árboles de navidad X= N° de árboles de 0,1,2 … 50 vendidos navidad vendidos Y= N° de artículos Inspecccionar 600 artículos N° de artículos aceptables 0,1,2 … 600 aceptables Z= N° de personas que N° de personas que que Enviar 5 000 cartas de ventas que responden a las 0,1,2 … 5 000 responden a las cartas cartas % de construcción R= % de construcción Construir un edificio de departamentos completado en cuatro completado en cuatro 0 ≤ R ≤ 100 meses meses Tiempo de duracción del S= tiempo que funciona el Probar la vida de un foco (en min.) 0 ≤ S ≤ 80 000 foco hasta 80 000 foco

Ejemplos

EXPERIMENTO

Estudiantes que contestan un cuestionario

Se inspecciona una máquina Consumidores responden cuánto les agrada un

VARIABLE ALEATORIA

RESULTADO Muy de acuerdo (MA) De acuerdo (A) Neutral (N) En desacuerdo (D) Muy en desacuerdo (MD)

X=

1 si MD

Defectuoso Y= No defectuoso Mucho Promedio Poco

5 si MA 4 si A 3 si N 2 si D

GAMA DE VARIABLES ALEATORIAS 1; 2; 3; 4 y 5

Z=

0 si defectuoso 1 si no defectuoso 3 si mucho 2 si promedio 1 si poco

0y1

1; 2 y 3

Requerimientos de una distribución de probabilidad X

P(X)

X

P(X)

X

P(X)

-1 0 1 2 3

.1 .2 .4 .2 .1 1.0

-1 0 1 2 3

-.1 .3 .4 .3 .1 1.0

-1 0 1 2 3

.1 .3 .4 .3 .1 1.2

0  p( x)  1 para todo x

 p( x)  1 x

Ejercicio La empresa Juega Por Gusto, organizadora de juegos de azar, vende en día determinado 200 boletos a S/.10 cada uno. Del total de boletos dos son ganadores de S/.1000; ocho de S/.500; 10 de S/.200; (12 + UD) de S/.100 y 60 de S/.10. Sea X una v. a. que representa la ganancia de un jugador. a) Encuentra la distribución de probabilidad de X. b) ¿Cuál será el promedio de ganancia por jugador?

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA La distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta puede ser: 1.- Una relación teórica de resultados y probabilidades que se puede obtener de un modelo matemático y que representa algún fenómeno de interés. 2.- Una relación empírica de resultados y sus frecuencias relativas observadas. 3.- Una relación subjetiva de resultados relacionados con sus probabilidades subjetivas o artificiales que representan el grado de convicción del encargado en tomar decisiones sobre la probabilidad de posibles resultados.

Las más útiles son: 1.- La distribución de probabilidad uniforme discreta o rectangular. 2.- La distribución de probabilidad de Bernoulli. 3.- La distribución de probabilidad Binomial.

4.- La distribución de probabilidad Hipergeométrica. 5.- La distribución de probabilidad de Poisson.

Función masa (ley o modelo o distribución) de probabilidad (función de cuantía, función de probabilidad) de una v. a. discreta

Se denomina función de probabilidad de una v. a. discreta X a una función f(x) que asigna a todo X un número real x, tal que la probabilidad de que X asuma ese valor: FDP = f(x) = p = P(X = x) = P(X = y) Ejemplo: Si hablamos del número de caras al lanzar dos monedas, tenemos: Rx = 0; 1; 2 Esp. Muestral = cc, cs, sc, ss f(0) = P(X = 0) = 1/4 f(1) = P(X = 1) = 1/2 f(2) = P(X = 2) = 1/4

Variable Aleatoria Discreta Aun si el espacio muestral es infinito numerable, también podemos definir una variable aleatoria discreta y una función de probabilidad. Ejemplo: Sea X = Número de lanzamientos de una moneda antes de que aparezca una cara. Entonces: P(X = 1) = P(C) = 1/2 P(X = 2) = P(+C) = 1/2 . 1/2 = 1/4 P(X = 3) = P(++C) = 1/2 . 1/2 . 1/2 = 1/8 ... y en general P(X = n) = (1/2)n, n = 1; 2, … n

Sea el experimento “lanzar dos dados”. Definamos el espacio muestral E como: E = {(1;1),(1; 2),...(1; 6),...,(5; 6),(6;6)}

Definamos la variable aleatoria discreta X como:

con S = {2; 3; ... ;12} la suma de puntos. Una posible función de probabilidad (función de cuantía):

f :   [0;1] f ( 2)  P(X  2 )  P( (1;1) )  1/ 36 f (3)  P(X  3 )  P( (1;2)  ( 2;1) )  2 / 36 f ( 4)  P(X  4 )  P( (1;3)  (3;1)  ( 2;2) )  3 / 36 ...

Función de distribución acumulada para una v.a. (Distribución de probabilidad acumulada) Dada una variable aleatoria discreta X se llama función de distribución acumulada a la función F definida como:

F :   [0;1] x  FDA  F ( x)  P( X  x) En el ejemplo de la suma de los dos dados:

F(5) = P(X  5) = P(X = 2 o X = 3 o X = 4 o X = 5) F(5) = 𝛟(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/36

Experimento I: Se lanza tres veces una moneda y definimos la variable aleatoria X como el número de caras que se obtienen.

Se pide: -Determina el espacio muestral -Determina la función de probabilidad -Determina la función de distribución -Grafica ambas funciones

Experimento II: Se lanzan dos veces un dado clásico y definimos la variable aleatoria X como la diferencia de puntos entre la primera y la segunda tirada.

Se pide: -Determina el espacio muestral -Determina la función de probabilidad -Determina la función de distribución -Grafica ambas funciones

Algunos problemas de probabilidad están relacionados con la probabilidad P(a  X  b) de que X asuma algún valor en un intervalo (a, b]. Observa que:

P(a  X  b) = F(b) - F(a) En el ejemplo del lanzamiento de dos dados, calcula la probabilidad de que los dados sumen al menos 4 pero no más de 8:

P(3 < X  8) = F(8) - F(3) = 26/36 - 3/36 = 23/36

Ejercicio: 1) Sea X la v. a. que describe el lanzamiento de un dado cargado. La distribución de probabilidad de X está dado por: P(X=1) = P(X=2) = 1/6; P(X=3) =1/12; P(X=4) = P(X=5) = ¼ a) Determina f(X). b) Establece F(X). c) Grafica ambas funciones. d) Halla P(3 0, excepto para una distribución con p(x) = 1 en un punto y p(x) = 0 en el resto (una distribución delta de Dirac), en cuyo caso 2 = 0.

Distribución de probabilidad de Bernoulli (distribución dicotómica) Experimento de Bernoulli: solo son posibles dos resultados éxito o fracaso. Definimos una v. a. discreta X tal que: éxito  1 fracaso  0 Si la probabilidad de éxito es p y la de fracaso 1 - p, podemos construir una función de probabilidad: 1 x

P( x)  p (1  p) x

x  0;1

Un típico experimento de Bernoulli es el lanzamiento de una moneda con probabilidad p para cara y (1 - p) para cruz.

1 x

P( x)  p (1  p) x

Función de distribución de probabilidad:

x  0; 1

1  p, para x  0 f ( x)    p, para x  1

Calcular la esperanza y la varianza de la distribución de Bernoulli.

E[ X ]     x P ( X  x )  1

x 0

0 * P ( X  0)  1 * P ( X  1)  p 1

Var ( X )  E[ X ]  ( E[ X ])   x P ( X  x )  p 2

2

2

x 0

 0 * P ( X  0)  1 * P ( X  1)  p   p(1  p ) 2

2

2

2

Distribución de probabilidad binomial P(x~(n,p)); b(x;n;p); P(X=r|n,p) La distribución binomial aparece cuando estamos interesados en el número de veces que un suceso A ocurre (éxitos) en n intentos independientes. Experimento: N° de caras en n lanzamientos de una moneda.

Si A tiene una probabilidad de éxito p () en un intento, entonces 1- p es la probabilidad de que A no ocurra (probabilidad de fracaso).

Ejemplo. Experimento aleatorio: n = 3 lanzamientos de una moneda. Probabilidad de éxito en cada lanzamiento (S) = p = . Probabilidad de fracaso en cada lanzamiento (F) = 1- p = q.

3 p 2 (1  p)

3 p(1  p) 2

Distribución Binomial Supongamos que el experimento consta de n intentos y definamos la v. a. X = Número de veces que ocurre A. En nuestro ejemplo: X = Número de veces que sale cara. Entonces X puede tomar los valores 0, 1, 2, ... n. Si consideramos uno de estos valores, por ejemplo en x de los n intentos ocurre A y en (n – x) no. Entonces la probabilidad de cada posible combinación es pxqn-x y existen  n  idénticas combinaciones.  x

La función de probabilidad P(X = x) será la distribución binomial:

n x n! n x B(n, p)  p( x)    p (1  p)  p x (1  p) n  x x!(n  x)!  x

Distribución binomial para n = 5 y distintos valores de p, B(5, p)

Incrementos de n en una distribución binomial

Ejemplo 1: ¿Cuál es la probabilidad de que en una familia de cuatro hijos exactamente dos sean niñas?

n x p(x)    p ( 1  p)n  x  x p  0.5; n  4; x  2  4 2 4- 2   p( 2 )    ( 0.5 ) ( 1-0.5 )  2

Ejemplo 2: Si una décima parte de personas tiene cierto grupo sanguíneo, ¿cuál es la probabilidad de que entre 100 personas escogidas al azar exactamente ocho de ellas pertenezcan a este grupo sanguíneo?

n x n x p(x)    p ( 1  p)  x p  0.1; n  100; x  8 100  p( 8 )    ( 0.1 )8( 1 - 0.1 )92  8 

¿Y si la pregunta anterior, fuera ocho como máximo?

n x n x p(x  8 )     p ( 1  p) x 0  x  8 100  x 100 x (0.1) ( 0.9 )    x 0  x  8

Ejemplo 3. Calcula la probabilidad de obtener al menos dos 6 al lanzar un dado cuatro veces.  n  k nk P(k )    p q k 

(k  0,1,....n)

p = 1/6, q = 5/6, n = 4 Al menos dos 6, implica que nos valen k = 2, 3, 4. P(2) + P(3) + P (4)

 4  1   5   4  1   5   4  1                   2  6   6   3  6   6   4  6  2

2

3

4

1 171  4 (6  25  4  5  1)   0.132 6 1296

Características de la distribución binomial Media:

Caso 1:

 = E(X) = n p

P(X) n 0.6 0.4 0.2 0.0 0 1 Caso 2:

1= 5 * 0,1 = 0,5 2=

5 * 0,5 = 0,25

Desviación estándar:   np (1  p)  1  5 * 0,1 * (1  0,1)  0,67  2  5 * 0,5 * (1  0,5)  1,1

P(X)

.6 .4 .2 0

= 5 p = 0.1 X 2

3

4

5

n = 5 p = 0.5 X

0

1

2

3

4

5

Ejercicio 1. Supòn que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje de las plumas (flechas) de las grúas pórtico es de 0,05. Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes, contesta: a) ¿cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas? b) ¿y de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas? c) ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa? R. 0,0476; 0,9984 y 0,4013 respectivamente

Distribución de probabilidad de Poisson X~p(λ) Un proceso poissoniano es aquél compuesto de eventos discretos que son independientes en el espacio y/o en el tiempo. En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de distancia, área, volumen, tiempo, pieza, etc. Ejemplos de λ : - Número promedio de defectos por m2 de una tela sintética - Cantidad de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día. - Número de bacterias por cm3 de cultivo - Periodicidad de llamadas telefónicas a un conmutador por hora. - Número medio de llegadas de embarcaciones a un puerto por mes.

Distribución de probabilidad de Poisson Al asumirse que un proceso de Poisson es estacionario, se concluye que la media ( ) del proceso siempre es proporcional a la magnitud del conjunto de tiempo o de espacio. Por tanto, si la media de que se disponga corresponde a un determinado periodo, para otro periodo que se requiera puede determinarse la media. Un proceso estacionario (o proceso estrictamente estacionario) es un proceso estocástico cuya distribución de probabilidad en un instante de tiempo fijo o una posición fija es la misma para todos los instantes de tiempo o posiciones. En consecuencia, parámetros tales como la media y la varianza, si existen, no varían a lo largo del tiempo o la posición. Por ejemplo, el ruido blanco (es una señal no correlativa, es decir, en el eje del tiempo la señal toma valores sin ninguna relación unos con otros) es estacionario. Sin embargo, el sonido de un golpe de platillos no es estacionario, pues la energía acústica del golpe (y por lo tanto su varianza) disminuye con el tiempo.



Distribución de Poisson La distribución de Poisson se ha encontrado aplicable a problemas donde la variable aleatoria representa al número de ocurrencias de un evento raro, dentro de un intervalo dado del tiempo o espacio. λ es un número real positivo, equivalente al número esperado de ocurrencias durante un intervalo dado. Por ejemplo, si los eventos ocurren como promedio cada 4 minutos, y se está interesado en el número de eventos ocurriendo en un intervalo de 10 minutos, se usaría como modelo una distribución de Poisson con λ = 2,5.

e  p( x )  , x  0;1;2; ...   0 x ! Donde: 

x

e = 2,7182818284590452353602874713527…

Características de la distribución de Poisson Media:  E ( X )   Varianza:

.6 .4 .2 0

X 0

2  Nota: el máximo de la distribución se encuentra en x  

= 0.5

P(X)

1

2

3

4

5

= 6

P(X)

.6 .4 .2 0

X 0

2

4

6

8

10

Ejemplo 1. La señal promedio recibida en un telescopio de una fuente celeste es de 10 fotones por minuto. (a) Calcular la probabilidad de recibir 7 fotones en un minuto determinado. Una distribución de Poisson con μ = 10: μ x μ p( x )  e x!

( x  0;1,...)

P(X = 7) = 107 e−10 / 7! = 0,09, es decir 9% Parece muy baja. Comparemos con el valor de máxima probabilidad que ocurrirá para x = 10: μ = 10 P(X = 10) = 1010 x e−10 / 10! = 0.125, es decir 12.5% Las probabilidades poissonianas para un número de eventos dado, son siempre pequeñas, incluso en el máximo de la distribución de probabilidad. (b) ¿Cuál es la probabilidad de recibir 7 fotones en un segundo dado? (c) ¿Cuál es la probabilidad de recibir 7 fotones en una hora establecida?

Ejemplo 2. Si en promedio, entran dos coches por minuto en un taller, ¿cuál es la probabilidad de que durante un minuto entren cuatro o más coches? Solución: Si asumimos que un minuto puede dividirse en muchos intervalos cortos de tiempo independientes y que la probabilidad de que un coche entre en uno de esos intervalos es p, que para un intervalo pequeño será también pequeño, podemos aproximar la distribución a una Poisson con  = n*p = 2. El suceso complementario “entran 3 coches o menos” tiene probabilidad: μx p( x ) 

x!

e μ

( x  0;1;...)

2 20 0!

P( A )  p(0)  p(1)  p(2)  p(3)  e (  c

y la respuesta es 1 – 0,857 = 0,143

21 1!



22 2!

 )  0,857 23 3!

Ejercicio

La empresa electrónica Elba Lazo observa que el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio de estos fallos es ocho, responde: 1. ¿cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas? 2. ¿y de que fallen no más de dos componentes en 50 horas? 3. ¿cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas? R: 0,27067; 0,2381 y 0,41696

Distribución de Poisson como aproximación de la Distribución Binomial Cuando en una distribución binomial el número de intentos (n) es grande (>= 100) y la probabilidad de éxito (p) es pequeña (n*p 30 se resuelve por el modelo Normal.

APROXIMACIÓN DE POISSON A LA BINOMIAL

Algunos experimentos binomiales dadas sus características, es posible aproximarlas con la distribución de Poisson. Estas características son, n   (n es muy grande) y p0 (p es muy pequeña), por lo que: x 

p( x ,n , p ) n Cx p q x

n x



 

x!

Donde:  =  = n*p = número esperado de éxitos = tasa promedio de éxitos n = número de repeticiones del experimento p = probabilidad de éxito = p(éxito)

Ejemplo: Se sabe que el 5% de los libros encuadernados en el CEUPS de la Facultad tienen encuadernaciones defectuosas. Determina la probabilidad de que 2 de 100 libros encuadernados en ese Centro, tengan encuadernaciones defectuosas, usando: a) la fórmula de la distribución Binomial, b) la aproximación de Poisson a la distribución Binomial.

Propuesta de solución: a) n = 100 p = 0,05 = p (encuadernación defectuosa) = p (éxito) q = 0,95 = p (encuadernación no defectuosa) = p(fracaso) x = variable que nos define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra = 0; 1; 2; 3; ...100 encuadernaciones defectuosas. Respuesta: 0,0812

b) (...) n = 100 encuadernaciones p = 0,05  = np = (100)(0,05) = 5 x = variable que define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra = 0; 1; 2; 3; … 100 encuadernaciones defectuosas

p( x  2,  5 ) 

 x



x!

2

5

( 5 ) ( 2.718 )  2!

 0.0843

(...) Interpretación

Al comparar los resultados de las probabilidades con una y otra distribución, nos damos cuenta de que la diferencia entre un cálculo y otro es de tan solo 0,0031; por lo que la aproximación de Poisson es una buena opción para calcular probabilidades binomiales.

Recordando …

Experimentos con reemplazo Elegir al azar con reemplazo significa que escogemos al azar un elemento de un conjunto y lo regresamos para elegir de nuevo al azar. Esto garantiza la independencia de las elecciones y nos lleva a una distribución binomial. Si una caja contiene N bolas de las cuales A son rojas, entonces la probabilidad de escoger al azar una bola roja es: p = A/N. Si repetimos el experimento sacando n bolas con reemplazo la probabilidad de que x sean rojas es:

 n  A  P( x )      x  N 

x

A  1   N 

n x

( x  0;1;....n ) (Una distribución binomial)

Recordando …

Experimentos sin reemplazo Elegir al azar sin reemplazo significa que no devolvemos el elemento elegido al azar al conjunto. De modo que las probabilidades de la siguiente elección dependen de las anteriores. Si repetimos el experimento anterior sacando n bolas sin reemplazo, ¿cuál será ahora la probabilidad de que X sean rojas?

N Casos posibles     n

Para calcular los casos favorables observa que: I) N = A + (N – A). II) De las A bolas rojas tomaremos x bolas III) De las (N – A) bolas no rojas tomaremos (n – x).

Distribución Hipergeométrica

• Dados N, A y B números naturales, se llama variable aleatoria Hipergeométrica de parámetros (n; A; B) a una variable que trata de medir el número de “éxitos”(bolas azules, por ejemplo) cuando se extrae una muestra de tamaño n sin reemplazamiento, de una urna con N = A + B bolas, de las que A son azules y el resto blancas. Esta distribución es análoga a la Binomial, pero se basa en un muestreo reemplazamiento.

Hipergeométrica...

Los experimentos que tienen una distribución Hipergeométrica tienen las siguientes características:

a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados. b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes. c) Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás. d) El número de repeticiones del experimento (n) es constante.

Distribución Hipergeométrica

 A  N  A     x  n  x   H (n, N , A)  P( x)  N   n nA  N

( x  0;1; ... n)

 nA  A  N  n     1     N  N  N  1  2

Distribución Hipergeométrica... donde: N: Tamaño del espacio poblacional n: Tamaño de la muestra, cada número de ensayos A: Número de éxitos en el espacio muestral N – A: Tamaño de fracasos en el espacio poblacional x: Tamaño de éxitos en la muestra. Está en el intervalo [0;n] (n – x): Tamaño de fracasos en la muestra

Distribución Hipergeométrica...

Ejemplo 1. Supón que durante la semana se fabricaron 50 (N) estaciones del juego Ivan versus Mutants para video. Cuarenta (A) de ellas funcionaron perfectamente, y el resto tuvieron al menos un defecto. Se seleccionó al azar una muestra de cinco (n) estaciones, ¿cuál es la probabilidad que cuatro (X) de las cinco funcionen perfectamente?

Distribución Hipergeométrica...

 40  50  40     4  5  4   P (4)   0,431  50    5 Respuesta. La probabilidad de seleccionar cinco estaciones de juego y encontrar que cuatro funcionan perfectamente es de 0,431.

Distribución Hipergeométrica...

Ejemplo 2. Se quiere seleccionar al azar 2 bolas de una caja que contiene 10 bolas, 3 de las cuales son rojas. Encuentra la función de probabilidad de la variable aleatoria X = Número de bolas rojas en cada elección (con y sin reemplazo). Tenemos N = 10, A = 3, N - A = 7, n = 2 Con reemplazo (distribución binomial):

 2  3  p( x )      x  10 

x

7    10 

2 x

, p(0)  0,49, p(1)  0,42, p(2)  0,09

Distribución Hipergeométrica...

Tenemos N = 10, A = 3, N - A = 7, n = 2 Sin reemplazo (Distribución hipergeométrica)  3  7     x  2  x   p( x )  10    2

21 3 p(0)  p(1)   0,47 , p( 2)   0,07 45 45

Ejercicio Clemencia Pérez auditora de SUNAT está seleccionando una muestra de seis declaraciones juradas de impuesto a la renta de los docentes de la Facu para una posible auditoría. Si dos o más de ellas indican deducciones ”no autorizadas”, se auditará todo el grupo (población) de 100 declaraciones. Si el 25% de las declaraciones son incorrectas, determina: (a) La verdadera distribución de probabilidad de número de declaraciones incorrectas en la muestra. ¿Cuáles son los parámetros (Media y varianza)? Halla la probabilidad de una auditoría detallada. (b) Utiliza una aproximación (binomial) a la verdadera distribución de probabilidad para hallar la probabilidad de una auditoría más detallada. 25 X .

75 6-x

h(x, 100, 6, 25 ) =

. x=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 100 6

Los parámetros son: E(X) = 6*(25/100) = 3/2

y

Var(X) = 6*(25/100)[1-25/100][94/99] = 47/44.

Se hará una auditoria más detallada, si X toma valores mayores o iguales que 2: Es decir: P [X≥2] = 1 –P[X ≤ 1 ] = 1 –[ P[X = 0] + P[ X= 1 ]] 75

=1 -

6

25

75

1

5

+ 100 6

= 0,4691