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• Cristhian Prado

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VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Distribución Uniforme Distribución de Bernoulli Distribución Binomial Distribución Binomial Negativa Distribución Geométrica Distribución Hipergeométrica a. Aproximación de la Distribución Hipergeométrica con la Distribución Binomial Distribución de Poisson a. Aproximación de la Distribución Binomial mediante la Distribución de Poisson Distribución Multinomial

Distribución Uniforme Ud(n) Una variable aleatoria tiene distribución discreta uniforme si su espacio muestral tiene n resultados y cada uno con igual probabilidad.

X: Variable aleatoria discreta x=x1, x2,,…,xn. los valores que puede tomar, con igual probabilidad. La Distribución de Probabilidad de X es:  1  , x  x1 , x2 ,..., xn f ( x)   n  0, otro x

n 1 2 ( n  1)(n  1)  2  V ( x)  12

  E( X ) 

MENÚ

Distribución Bernoulli Ber(p) Es aquel donde existen solamente dos resultados: éxito o fracaso.

Ing. Vanessa Salazar V.

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X: Variable aleatoria cuyos valores pueden ser 1: “éxito”, 0: “fracaso”. p: Valor de probabilidad de éxito. 1-p=q: Valor de probabilidad de fracaso. X~Ber.(p) La Distribución de Probabilidad de X es: x 1  p, f ( x)    1  p, x  0 x 1 0

P(X=x) p 1-p

  E( X )  p  2  V ( X )  p.q

Demostración:

  E ( X )  0(1  p )  1( p)  p  2  V ( X )  E ( X 2 )  [ E ( X )2 ] E ( X 2 )  0 2 (1  p)  12 ( p)  p

 2  V ( X )  p  ( p) 2  2  V ( X )  p(1  p )  pq MENÚ

Distribución Binomial B(n,p) Tiene las mismas características de un experimento Bernoulli, cuando éste se repite n veces de tal forma que las repeticiones sean independientes entre si y es de interés la variable aleatoria relacionada con la cantidad de “éxitos” que se obtienen del experimento, entonces tenemos una distribución binomial. Características de un experimento Binomial 1. La cantidad de ensayos que se realizan es finita. Sea esta cantidad n. 2. Cada ensayo o prueba tiene únicamente 2 resultados posibles: “éxito” o “fracaso”. 3. Todos los ensayos realizados son independientes. 4. La probabilidad de “éxito” en cada ensayo permanece constante. Sea este valor p.

Ing. Vanessa Salazar V.

3 X:

Variable aleatoria discreta con distribución binomial. (Número de éxitos obtenidos en una serie de n ensayos realizados). Valor de probabilidad de éxito.

p:

X~B(n, p) La Distribución de Probabilidad de X es:

 n f ( x)    p x (1  p) n x , x  0,1, 2,..., n  x

  E ( X )  n. p  2  V ( X )  n. p.(1  p )

m(t )  (q  et p ) n Demostración: Los términos de la distribución binomial coinciden con el desarrollo del binomio:

 n   n n 0  n n x n  x 0 n  n 1 n 1 (q  p )    p q   p q  ...   p q     pq 0 1 n         x 0 x n

La función generadora de momentos para la distribución binomial: n  n   n x n x m(t )  E (e )   e f ( x )   e   p q    (et p ) x q n  x x 0 x 0 x  x  0 x tx

n

tx

n

tx

Luego de la simplificación algebraica se puede observar que la útima expresión tiene la misma forma que la fórmula del binomio sustituyendo p por etp. Entonces se tiene m(t )  ( q  et p ) n MENÚ

PARAMETROS: Son valores que pertenecen a un problema particular. Por ejemplo, para la distribución binomial sus parámetros son n y p. Para distinguir entre variables y parámetros, se puede usar la siguiente notación:

 n f ( x; n, p )    p x (1  p) n  x , x  0,1, 2,..., n  x  n t n t Distribución Acumulada  F ( x )  P ( X  x )     p (1  p ) , x  0 t  x  t

Distribución Binomial Negativa BN(k, p)

Ing. Vanessa Salazar V.

4 Los experimentos estadísticos con este modelo de probabilidad tienen características similares a los experimentos binomiales. La diferencia es que en este nuevo modelo la variable de interés se refiere a la cantidad de ensayos que se realizan hasta obtener una cantidad requerida de éxitos: k X: p: x=

MENÚ

Variable aleatoria con distribución binomial negativa. (Cantidad de ensayos realizados hasta obtener k “éxitos”) Valor de probabilidad de éxito. k, k+1, k+2, … (valores que puede tomar la variable X) X~BN.(k, p)

La Distribución de Probabilidad de X es:

 x  1 k x k  p (1  p ) , x  k , k  1, k  2,...  k  1

f ( x)  

k p k  q  2 V (X )    p  p

  E( X ) 



pet  m(t )   t  1  (1  p )e 

k

Distribución de Probabilidad Geométrica Ge(p) Es un caso especial de la distribución Binomial Negativa, cuando k=1. Es decir, interesa conocer la probabilidad respecto a la cantidad de ensayos que se realizan hasta obtener el primer “éxito”. X:

Variable aleatoria discreta con distribución geométrica. (Cantidad de ensayos realizados hasta obtener el primer éxito.). p: Valor de probabilidad de éxito. x= 1, 2, 3,… (valores que puede tomar la variable X) X~Ge(p) La Distribución de Probabilidad de X es:

f ( x)  p (1  p ) x 1 , x  1, 2,3,...   E( X ) 

1 p

 2  V (X ) 

q p2

pet m(t )  1  (1  p )et

Ing. Vanessa Salazar V.

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MENÚ

Distribución Hipergeométrica H(N, K, n) Esta distribución se refiere a los experimentos estadísticos que consisten en tomar una muestra sin reemplazo, de un conjunto finito el cual contiene algunos elementos considerados “éxitos” y los restantes son considerados “fracasos”. Tomar una muestra sin reemplazo significa que los elementos son tomados uno a uno, sin devolverlos. Podemos concluir entonces que los ensayos ya no pueden ser considerados independientes porque la probabilidad de “éxito” al tomar cada elemento es afectada por el resultado de los ensayos anteriores debido a que la cantidad de elementos de la población está cambiando. X:

Variable aleatoria discreta con distribución hipergeométrica (Cantidad de resultados considerados “éxitos” que se obtienen en la muestra) N: Cantidad de elementos del conjunto del que se toma la muestra K: Cantidad de elementos existentes que se consideran “éxitos” n: Tamaño de la muestra x=0,1,2,3,…,n (valores que puede tomar X) X~H(N, K, n) La Distribución de probabilidad de X es:  K  N  K  x  n  x   f ( x)     , x  0,1, 2,...n  N  n  

K N nk  K  N  n  2  V ( X )   1    N N  N  1

  E( X )  n

MENÚ

Ing. Vanessa Salazar V.

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Aproximación de la Distribución Hipergeométrica con la Distribución Binomial Si el tamaño de la muestra n es muy pequeño con respecto a N, entonces podemos considerar que los ensayos son “aproximadamente independientes. Ejemplo: Si N=1000 y n=10 y hay 200 elementos considerados éxitos, entonces la probabilidad de “éxito” del primer ensayo será 200/10000=0.2, la probabilidad de “éxito” del segundo ensayo será 199/999=0.1992 o 200/999=0.2002 dependiendo si el primer resultado fue o no un “éxito”. Ambos valores son muy parecidos. En esta situación se puede considerar que el modelo hipergeométrico es “aproximadamente Binomial” y se puede usar la fórmula de la distribución con p=K/N. Por algunos estudios con respecto a este tema, se establece que esta aproximación es aceptable si n