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UNIVERSIDAD CATOLICA DE SANTA MARIA

CALCULO INTEGRAL Tema: Ecuaciones diferenciales Nombre: Bryan Martin Apellidos: Magaño Cruz Semestre: Par Seccion: B Programa: Ingeniería Industrial

Arequipa-2014

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones diferenciales homogéneas Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen a ecuaciones en variables separadas, como el ejemplo anterior. Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario definir lo que es una función homogénea.

Definición Funciones Homogéneas

Una función si

para todo

se dice homogénea de grado

y todo

.

Ejemplo 1. La función

es homogénea de grado

2. Las funciones , son homogéneas de grado 0. 3. Las funciones

,

,

,

son homogéneas de grado 2. Ahora definimos lo que es una ecuación diferencial homogénea.

Definición Ecuaciones diferenciales homogénea

.

Una ecuación diferencial ordinaria del primer orden

Es homogénea si la función

es homogénea de orden 0

Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma

sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes son funciones homogéneos del mismo grado.

y

Teorema Si la ecuacion diferencial ordinaria de primer orden

Es homogénea , entonces el cambio de la variable la reduce una ecuación diferencial en variables separadas

Demostración: Al hacer la sustitución obtenemos

Pero como tenemos que

es una función homogénea de grado cero

de donde

la cual es separable, como se quería.

Ejemplo Resuelva la ecuación diferencial

La ecuación diferencial es homogénea pues y

son homogéneas de grado dos

Haciendo la sustitución

de donde

Integrando y volviendo a las variables

y

obtenemos

Note que es una solución singular de la ecuación diferencial dada.

Observación: Cuando la ecuación diferencial homogénea está escrita en la forma

conviene más rescribirla en la forma

y aplicar quí el cambio de variable Ejemplo Resuelva la ecuación diferencial

Factorizando

Haciendo la sustitución

Integrando

Y despejando

.

Observación: al dividir por el factor perdido algunas soluciones, pero y

se pudo haber no es solución

que son soluciones singulares.

Orden de la ecuación El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación.

Grado de la ecuación Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Ecuación diferencial lineal Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma

, es

decir: 

Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero.



En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.



Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.

Ejemplos:



es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones

, con k un número real

cualquiera. 

es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones

,

con a y b reales. 

es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones

, con a y b reales.

Usos Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como eneconomía. 

En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

Donde M es la matriz que describe la masade la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.  La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

 donde es el tiempo y es la coordenada del punto sobre la cuerda y una constante que corresponde a la velocidad de propagación de dicha onda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.

Ecuaciones semilineales y cuasilineales No existe un procedimiento general para resolver ecuaciones diferenciales no lineales. Sin embargo, algunos casos particulares de no linealidad sí pueden ser resueltos. Son de interés el caso semilineal y el caso cuasilineal. Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama cuasilineal si es "lineal" en la derivada de orden n. Más específicamente, si la ecuación diferencial ordinaria para la función puede escribirse en la forma:

Se dice que dicha ecuación es cuasilineal si afín, es decir, .

es una función

Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama semilineal si puede escribirse como suma de una función "lineal" de la derivada de orden n más una función cualquiera del resto de derivadas. Formalmente, si la ecuación diferencial ordinaria para la función puede escribirse en la forma:

Se dice que dicha ecuación es semilineal si lineal.

es una función

Solucion de una ecuacuon diferencial

Tipos de soluciones Una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:

1. Solución general: una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. Solución general Es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa. 1. Solución particular: Si fijando cualquier punto por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto recibe el nombre de condición inicial.

, que

Solución particular Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico. 1. Solución singular: una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general. Solución singular Solución de la ecuación no consistente en una particular de la general.