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UNIVERSIDAD CATOLICA DE SANTA MARIA FACULTAD DE ARQUITECTURA, INGENIERIA CIVIL E INGENIERIA AMBIENTAL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

ASIGNATURA: DINÁMICA TEMA: TRABAJO DE DINÁMICA III FASE DOCENTE: ING. ENRIQUE ALFONSO UGARTE CALDERON TURNO: 09:00 a.m. – 11:00 a.m. SECCIÓN: ‘A’ GRUPO PRACTICAS: “02” REALIZADO POR:  ANGULO CAHUAYA, LUZ MELANY

INDICE 1.

2.

BIOGRAFIAS ........................................................................................................................................... 1 1.1

ISAAC NEWTON ............................................................................................................................. 1

1.2

ROBERT HOOKE ............................................................................................................................. 2

1.3

JAMES PRESCOTT JOULE................................................................................................................ 3

1.4

GASPARD CORIOLIS ....................................................................................................................... 5

1.5

FERDINAND P. BEER ...................................................................................................................... 6

1.6

E. RUSSELL JOHNSTON JR .............................................................................................................. 8

1.7

MERIAM J. ..................................................................................................................................... 9

1.8

DR. L. GLENN KRAIGE:.................................................................................................................. 10

1.9

ASLAMKASSIMALI ........................................................................................................................ 11

PROBLEMAS PROPUESTOS. - ............................................................................................................... 12 2.1

Movimiento Rectilíneo ................................................................................................................ 12

2.2

Movimiento Curvilíneo en general .............................................................................................. 12

2.3

Movimiento Curvilíneo: Componentes Rectangulares ............................................................... 12

2.4

Movimiento de un Proyectil ........................................................................................................ 12

2.5

Movimiento Curvilíneo: Componentes tangencial y normal ...................................................... 12

2.6

Movimiento Curvilíneo: Componentes radial y transversal ........................................................ 12

2.7

Movimiento Curvilíneo: Componentes cilíndricas ...................................................................... 12

2.8

Análisis del Movimiento dependiente absoluto de dos Partículas ............................................. 12

2.9

Análisis del Movimiento relativo de dos Partículas por medio de ejes de traslación ................. 12

2.10

Leyes del Movimiento de Newton .............................................................................................. 12

2.11

La Ecuación de Movimiento ........................................................................................................ 12

2.12 La Ecuación del Movimiento en coordenadas: rectangulares, normal, tangencial, polares y cilíndricas ................................................................................................................................................. 12 2.13

Trabajo de una fuerza.................................................................................................................. 12

2.14

Principio del Trabajo y la Energía ................................................................................................ 12

2.15

Fuerzas Conservativas y Energía Potencial.................................................................................. 12

2.16

Conservación de la Energía ......................................................................................................... 12

2.17

Principio del Impulso y la Cantidad del Movimiento Lineal ........................................................ 12

2.18

Impacto Central Directo y Central Oblicuo ................................................................................. 12

2.19

Cantidad de Movimiento Angular ............................................................................................... 12

2.20

Relación entre el Momento de una fuerza y Cantidad de Momento Angular ............................ 12

2.21

Principio del Impulso y Cantidad del Movimiento Angular ......................................................... 12

2.22

Ecuación Leyes de Newton a un sistema de Partículas. Fuerzas Efectivas ................................. 12

2.23

Cantidad de Movimiento Angular y Lineal de un Sistema de Partículas ..................................... 12

2.24

Conservación de la Cantidad de Movimiento para un sistema de Partículas ............................. 12

2.25

Energía Cinética de un Sistema de Partículas.............................................................................. 12

2.26

Principio del Trabajo y la Energía. Conservación de la Energía ................................................... 12

2.27

Principio del Impulso y la Cantidad del Movimiento de un Sistema de Partículas ..................... 12

2.28

Movimiento de un Cuerpo Rígido ............................................................................................... 12

2.29

Traslación .................................................................................................................................... 12

2.30

Rotación en torno a un eje fijo .................................................................................................... 12

2.31

Análisis del Movimiento en un plano absoluto en general ......................................................... 12

2.32

Análisis del Movimiento relativo: Velocidad ............................................................................... 12

2.33

Centro Instantáneo de Velocidad cero ........................................................................................ 12

2.34

Análisis del Movimiento relativo: Aceleración ............................................................................ 12

2.35

Análisis del Movimiento en un plano absoluto en general ......................................................... 12

2.36

Momentos de Inercia .................................................................................................................. 13

2.37

Ecuaciones de movimiento cinético en un plano ........................................................................ 13

2.38

Ecuaciones de movimiento: Traslación ....................................................................................... 13

2.39

Ecuaciones de movimiento: Rotación en torno a un eje fijo ...................................................... 13

2.40

Ecuaciones de movimiento: movimiento en el plano General ................................................... 13

2.41

Energía Cinética ........................................................................................................................... 13

2.42

Trabajo de una Fuerza ................................................................................................................. 13

2.43

Trabajo de un par ........................................................................................................................ 13

2.44

Principio del Trabajo y la Energía ................................................................................................ 13

2.45

Cantidad de Movimiento Lineal y Angular .................................................................................. 13

2.46

Principio del Impulso y la Cantidad del Movimiento .................................................................. 13

2.47

Conservación de la Cantidad de Movimiento ............................................................................. 13

2.48 .............................................................................................................. Error! Bookmark not defined. 2.49 .............................................................................................................. Error! Bookmark not defined. 2.50

Principio del Impulso y Momento Lineal ..................................................................................... 13

2.51

Principio de Impulso y Momento Lineal para un sistema de Partículas. .................................... 18

2.52

Conservación del Momento Lineal de un Sistema de Partículas ................................................ 22

2.53

Impacto........................................................................................................................................ 24

2.54

Momento Angular ....................................................................................................................... 32

2.55

Relación entre Momento de una Fuerza y el Momento Angular................................................ 36

2.56

Análisis del Movimiento Relativo Velocidad ............................................................................... 42

2.57

Método Grafico ........................................................................................................................... 44

3.

GLOSARIO. ........................................................................................................................................... 49

4.

BIBLIOGRAFÍAS. - ................................................................................................................................. 62

1

TRABAJOS PRÁCTICOS 1. BIOGRAFIAS 1.1 ISAAC NEWTON Fue un científico inglés, nació en el 25 de diciembre en 1642 del calendario antiguo. Estudio en la Universidad de Cambridge. Se inclinó a la investigación de la física y de las matemáticas. A los 29 años formuló algunas teorías que le llevarían por el camino de la ciencia moderna hasta el siglo XX. considerado como uno de los principales protagonistas de la "revolución científica" del siglo XVII y el "Padre de la mecánica moderna". Newton coincidió con Gottfried Leibniz en el descubrimiento del cálculo integral, lo que contribuyó a una renovación de las matemáticas. También formuló el teorema del binomio, que es llamado el binomio de newton. Sus investigaciones: Las primeras investigaciones giraron en torno a la óptica, donde explicó que la luz blanca era una mezcla de los colores que tiene el arcoíris. Con esto hizo una teoría sobre la naturaleza corpuscular de la luz. En 1668 diseño el primer telescopio reflector, el cual es un tipo de los que se usan actualmente en la mayoría de los observatorios astronómicos. Con esto escribió la obra "óptica" (1703) donde recogió su visión de esta materia.

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Su más grande obra es la nueva fundación de la mecánica. Donde en su obra "Principios matemáticos de la filosofía natural" formuló las tres leyes fundamentales del movimiento: La primera: ley de inercia, la que dice que todo cuerpo tiende a estar en movimiento uniforme o reposo si no se le aplica sobre él alguna fuerza. La segunda: Principio fundamental de la dinámica, según el cual la aceleración que tiene un cuerpo es igual a la fuerza ejercida sobre él, dividida por su masa. La tercera: explica que por cada fuerza o acción que se hace sobre un cuerpo, existe una reacción igual, pero de sentido contrario. De estas tres leyes, después él dedujo la cuarta, que para nosotros es la más conocida: La ley de la gravedad. Que, según la historia, nos dice que fue sugerida por la caída de una manzana de un árbol. Descubrió que la atracción que hay entre la tierra y la luna es directamente proporcional al producto de sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que hay entre ellas, donde se calcula la fuerza mediante el producto del cociente por una constante "G". 1.2 ROBERT HOOKE (Freshwater, Inglaterra, 1635 - Londres, 1703) Físico y astrónomo inglés. Aunque principalmente es conocido por sus estudios sobre la elasticidad. Formado en la Universidad de Oxford, Robert Hooke colaboró en el seno de esta institución con el químico británico Robert Boyle en la construcción de una bomba de aire (1655). Cinco años más tarde formuló la ley de la elasticidad que lleva su nombre, que establece la 2

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relación de proporcionalidad directa entre el estiramiento sufrido por un cuerpo sólido y la fuerza aplicada para producir ese estiramiento. Hooke formuló esta ley como resultado de sus experiencias, en las que colocaba pesos en la parte inferior de muelles de metal y medía hasta dónde se estiraban los muelles como reacción. Observó que la longitud en que se estiraba el muelle era siempre proporcional al peso que se le colocaba; es decir, si por ejemplo se duplicaba el peso, se duplicaba también la longitud. En esta ley se fundamenta el estudio de la elasticidad de los materiales. desarrolló el escape de áncora para el control de los relojes de péndulo (1666), y creó la junta universal que permitía transmitir el movimiento entre dos ejes inclinados entre sí, sin necesidad de montar en ellos engranajes de ruedas dentadas. En 1662 fue nombrado responsable de experimentación de la Royal Society de Londres, siendo elegido miembro de dicha sociedad al año siguiente. En 1666 sugirió que la fuerza de gravedad se podría determinar mediante el movimiento de un péndulo, e intentó demostrar la trayectoria elíptica que la Tierra describe alrededor del Sol; sus ideas se anticiparon a la ley de gravitación universal de Isaac Newton, pero no llegó a desarrollarlas matemáticamente. En 1672 descubrió el fenómeno de la difracción luminosa; para explicar este fenómeno, Hooke fue el primero en atribuir a la luz un comportamiento ondulatorio. 1.3 JAMES PRESCOTT JOULE (Salford, Reino Unido, 1818 - Sale, id., 1889). Físico británico, a quien se le debe la teoría mecánica del calor, y en cuyo honor la unidad de la energía en el sistema internacional recibe el nombre de Joule.

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Joule estudió aspectos relativos al magnetismo, especialmente los relativos a la imantación del hierro por la acción de corrientes eléctricas, que le llevaron a la invención del motor eléctrico. Descubrió también el fenómeno de magnetostricción, que aparece en los materiales ferromagnéticos, en los que su longitud depende de su estado de magnetización. Pero el área de investigación más fructífera de Joule es la relativa a las distintas formas de energía: con sus experimentos verifica que al fluir una corriente eléctrica a través de un conductor, éste experimenta un incremento de temperatura; a partir de ahí dedujo que si la fuente de energía eléctrica es una pila electroquímica, la energía habría de proceder de la transformación llevada a cabo por las reacciones químicas, que la convertirían en energía eléctrica y de esta se transformaría en calor. Si en el circuito se introduce un nuevo elemento, el motor eléctrico, se origina energía mecánica. Ello le lleva a la enunciación del principio de conservación de la energía, y aunque hubo otros físicos de renombre que contribuyeron al establecimiento de este principio como Meyer, Thomson y Helmholtz, fue Joule quien le proporcionó una mayor solidez. A pesar de que en 1848 ya había publicado un artículo refrene a la teoría cinética de los gases, donde por primera vez se estimaba la velocidad de las moléculas gaseosas, abandonó su linea de investigación y prefirió convertirse en ayudante de William Thomson (Lord Kelvin), y, como fruto de esta colaboración, se llegó al descubrimiento del efecto Joule-Thomson, según el cual es posible enfriar un gas en expansión si se lleva a cabo el trabajo necesario para separar las moléculas del gas. Ello posibilitó posteriormente la licuefacción de los gases y llevó a la ley de la energía interna de un gas perfecto, según la cual la energía interna de un gas perfecto es independiente de su volumen y dependiente de la temperatura. 4

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1.4 GASPARD CORIOLIS Nacido en plena Revolución francesa, era hijo de Jean-Baptiste-Elzéar Coriolis y de Marie-Sophie de Maillet. Coriolis se presentó en 1808 a las pruebas de ingreso de la Escuela Politécnica de París, donde obtiene el número ocho. Al terminar sus estudios, obtiene el número once de su promoción, lo que le permite integrarse en los Corps des ponts et chaussées (Cuerpo de ingenieros de caminos) para el que trabajó durante algunos años en Meurthe y Mosela y en el departamento de los Vosgos. Después del fallecimiento de su padre, aceptó un puesto de profesor en la École Polytechnique en 1816. En 1829, Coriolis se convirtió en profesor de análisis geométrico y de ingeniería mecánica en la Escuela Central de París, Fue profesor de análisis geométrico y de mecánica general en l'École Centrale des Arts et Manufactures. Su interés en la dinámica del giro de las máquinas le condujo a las ecuaciones diferenciales del movimiento desde el punto de vista de un sistema de coordenadas que a su vez está rotando, trabajo que presentó a la Académie des Sciences. Debido a la importancia de su trabajo, el efecto Coriolis lleva su nombre. En su memoria «Du calcul de l'effet des machines» (1829) llama trabajo a la cantidad ∫ ⃗⃗⃗⃗ 𝑓 usualmente

llamada

en

esa

época potencia

mecánica, cantidad

de

⃗⃗⃗ 𝑑𝑙,

acción ó efecto

dinámico precisando la ambigüedad de estas expresiones: las considera inapropiadas. En 1838, Coriolis (entonces ingeniero jefe del Cuerpo de Puentes y Caminos), decidió dejar la ingeniería para convertirse en director de estudios de la Escuela Politécnica, a la muerte de Dulong. Sin embargo, debido a su mal estado de salud (no estaba en condiciones de impartir su curso de

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'Mecánica Aplicada a edificios y maquinaria'), presentó su renuncia a la Politécnica, aunque el general al mando de la Escuela, decidió mantenerle en el cargo hasta su muerte en 1843. 1.5 FERDINAND P. BEER Era un francés ingeniero mecánico y profesor. Pasó la mayor parte de su carrera como miembro de la facultad en la Universidad de Lehigh, donde se desempeñó como presidente de la mecánica y los departamentos de ingeniería mecánica. Su aportación más importante fue la co-autoría de varios libros de texto en el campo de la mecánica. Nacido el 08 de Agosto de 1915 en Binic, Francia. En sus primeros años recibió una Maestría en Ciencias de la Sorbona y el trabajo de post-grado llevado a cabo en la Universidad de Brown. Desde la Universidad de Ginebra en Suiza, obtuvo una licencia de matemáticas en 1935 y un Doctorado en Ciencias en 1937.Se une al ejército francés durante la Segunda Guerra Mundial antes de mudarse a Estados Unidos y tomó un trabajo en Williams Colegio. Permaneció allí durante cuatro años, donde enseñan como parte de las artes de colaboración del programa de la escuela de ingeniería con el Instituto de Tecnología de Massachusetts.

En 1947, llegó a la Universidad de Lehigh, donde enseñó durante 37 años. Cuando un departamento de la mecánica se formó en 1957, Beer fue nombrado su primer presidente. En 1968, Beer se convirtió en el presidente de la Ingeniería Mecánica y Departamento de Mecánica. Se desempeñó en ese cargo hasta 1977. En 1970, Beer fue nombrado el presidente del Foro de la 6

7

Universidad de reciente formación, que se compone de 125 estudiantes y profesores con el objetivo de promover el debate entre los dos cuerpos.

En la Universidad de Connecticut junto con Russell Johnston, Beerco-escribió tres de los más vendidos libros de texto de ingeniería: Mecánica vectorial para ingenieros, Mecánica de Materiales y Mecánica para Ingenieros: Estática y Dinámica, que ganó el 1976 un premio de Printing Industries of America Graphic Arts. También fue autor de numerosos artículos publicados en revistas técnicas. En 1974, la Sociedad Americana para la Educación en Ingeniería(ASEE) le concedió la Western Electric para la enseñanza de la ingeniería. La División de Mecánica de la Sociedad de Ciencias, en 1980, le concedió su Premio Educador Distinguido. La investigación de Beer estudió la aplicación de cargas al azar a los sistemas mecánicos. Beer era un miembro de la Sociedad Americana de Ingenieros Mecánicos (ASME) y la Asociación Americana de Profesores Universitarios (AAUP). También fue miembro de la ASEE y sirvió como su presidente de la división de la mecánica. Beer estaba casado con Vivienne que murió antes que él. Juntos tuvieron dos hijas, Margarita V. Schaeffer y el Dr. Michelle CM. Murió el 30 de Abril de 2003 en Bethlehem, Pennsylvaniaa la edad de 87.

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1.6 E. RUSSELL JOHNSTON JR Profesor emérito de ingeniería civil, murió 24 de enero 2010. Johnston dio clases en la Universidad de Connecticut durante 26 años, instruir a miles de estudiantes en los principios de las estructuras, mecánica y materiales durante su carrera. Se desempeñó como jefe del departamento de ingeniería civil de 1972 a 1977. Antes de incorporarse a la Universidad de Connecticut, se desempeñó en la facultad en la Universidad de Lehigh y Worcester Polytechnic Institute. Johnston era el más conocido internacionalmente por sus colaboraciones con el fallecido Ferdinand Beer, con quien co-autor de los libros Mecánica para Ingenieros; Mecánica vectorial para ingenieros; y Mecánica de los Materiales, todos publicados por McGraw-Hill Publishing Co. El editor más tarde añadió sus nombres a sus Destacados Mecánica Premio Educador en reconocimiento a sus contribuciones a la enseñanza de la ingeniería. En 1991, Johnston recibió el Premio Ingeniero Sobresaliente Civil de la Sección de Connecticut de la Sociedad Americana de Ingenieros Civiles. En los últimos años, profesor de la Universidad de Connecticut emérito John De Wolf y UConn ex alumno David Mazurek, Ph.D. Ahora profesor en la Academia de la Guardia Costera de Estados Unidos, se añadieron como co-autores en las nuevas ediciones de Mecánica de Materiales y Estática y Mecánica de los Materiales.

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DeWolf dice que fue Johnston que lo contrató y se convirtió en su principal mentor en la Universidad de Connecticut. "Le encantaba trabajar con los estudiantes y profesores", dice DeWolf, "y es considerado como un gran maestro, educador principal, y un verdadero caballero. Él y su amigo de mucho tiempo y co-autor, FerdBeer, sentó las bases para la educación de ingeniería mecánica con su serie innovadora, que ha sido utilizado por más estudiantes que cualquier otro libro de ingeniería”.

1.7 MERIAM J. El profesor Meriam fue el primer autor que mostró claramente cómo emplear el método de los trabajos virtuales para resolver cierto tipo de problemas de estática; con respecto a dinámica, clarificó notablemente la exposición del movimiento plano y Cinemática y la Cinética.

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Es uno de los primeros promotores del Sistema Internacional de Unidades y las versiones de este sistema, publicados en 1975 fueron los primeros textos de Mecánica en unidades SI de Estados Unidades.

1.8 DR. L. GLENN KRAIGE: Co-autor de los libros de Mecánica para ingenieros de Dinámica y Estática, ha efectuado importantes contribuciones a la enseñanza de la Mecánica. Curso sus estudios en la Universidad de Virginia, donde se graduó y doctoró en ciencias e ingenierías, principalmente en tecnología aeroespacial, y actualmente ejerce de profesor de Ciencia de la Ingeniería y Mecánica en la Universidad Estatal e Instituto Politécnico de Virginia.

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1.9 ASLAMKASSIMALI AslamKassimali es profesor de Ingeniería Civil en la Universidad del Sur de Illinois. Es profesor de ingeniería estructural, análisis estructural no lineal y dinámica estructural y estabilidad. Consistentemente reconocida para la enseñanza de la excelencia, el Dr. Kassimali ha recibido 19 premios a la docencia en circulación en el departamento y el nivel de la universidad desde que llegó a la Southern Illinois University Carbondale-en 1980. En 1996 fue nombrado Maestro Vivo de toda la universidad. Hace investigaciones sobre Análisis lineal y no lineal de estructuras enmarcadas sometido a estático, dinámico y Cargas térmicas; Asistido por Computadora Análisis de Sistemas Estructurales; Estabilidad Estructural y Comportamiento Falla; Análisis de elementos finitos; Estructuras Compuestas.  EDUCACIÓN: 

Ph.D., Ingeniería Civil de la Universidad de Missouri, Columbia, Missouri, EE.UU., 1976



MS, Ingeniería Civil de la Universidad de Missouri, Columbia, Missouri, EE.UU., 1974



ME, Ingeniería Civil, Universidad del Estado de Iowa, Ames, Iowa, EE.UU. 1971



SER, Ingeniería Civil, Universidad de Karachi, Pakistán, 1969

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2. PROBLEMAS PROPUESTOS. -

2.1 Movimiento Rectilíneo 2.2 Movimiento Curvilíneo en general 2.3 Movimiento Curvilíneo: Componentes Rectangulares 2.4 Movimiento de un Proyectil 2.5 Movimiento Curvilíneo: Componentes tangencial y normal 2.6 Movimiento Curvilíneo: Componentes radial y transversal 2.7 Movimiento Curvilíneo: Componentes cilíndricas 2.8 Análisis del Movimiento dependiente absoluto de dos Partículas 2.9 Análisis del Movimiento relativo de dos Partículas por medio de ejes de traslación 2.10 Leyes del Movimiento de Newton 2.11 La Ecuación de Movimiento 2.12 La Ecuación del Movimiento en coordenadas: rectangulares, normal, tangencial, polares y cilíndricas 2.13 Trabajo de una fuerza 2.14 Principio del Trabajo y la Energía 2.15 Fuerzas Conservativas y Energía Potencial 2.16 Conservación de la Energía 2.17 Principio del Impulso y la Cantidad del Movimiento Lineal 2.18 Impacto Central Directo y Central Oblicuo 2.19 Cantidad de Movimiento Angular 2.20 Relación entre el Momento de una fuerza y Cantidad de Momento Angular 2.21 Principio del Impulso y Cantidad del Movimiento Angular 2.22 Ecuación Leyes de Newton a un sistema de Partículas. Fuerzas Efectivas 2.23 Cantidad de Movimiento Angular y Lineal de un Sistema de Partículas 2.24 Conservación de la Cantidad de Movimiento para un sistema de Partículas 2.25 Energía Cinética de un Sistema de Partículas 2.26 Principio del Trabajo y la Energía. Conservación de la Energía 2.27 Principio del Impulso y la Cantidad del Movimiento de un Sistema de Partículas 2.28 Movimiento de un Cuerpo Rígido 2.29 Traslación 2.30 Rotación en torno a un eje fijo 2.31 Análisis del Movimiento en un plano absoluto en general 2.32 Análisis del Movimiento relativo: Velocidad 2.33 Centro Instantáneo de Velocidad cero 2.34 Análisis del Movimiento relativo: Aceleración 2.35 Análisis del Movimiento en un plano absoluto en general 12

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2.36 2.37 2.38 2.39 2.40 2.41 2.42 2.43 2.44 2.45 2.46 2.47

Momentos de Inercia Ecuaciones de movimiento cinético en un plano Ecuaciones de movimiento: Traslación Ecuaciones de movimiento: Rotación en torno a un eje fijo Ecuaciones de movimiento: movimiento en el plano General Energía Cinética Trabajo de una Fuerza Trabajo de un par Principio del Trabajo y la Energía Cantidad de Movimiento Lineal y Angular Principio del Impulso y la Cantidad del Movimiento Conservación de la Cantidad de Movimiento

2.48 Principio del Impulso y Momento Lineal

1) El pequeño bloque de 20 𝑙𝑏 está colocado sobre el plano inclinado y sometido a fuerzas de 6 𝑙𝑏 𝑦 15 𝑙𝑏 que actúan paralelas a los bordes AB y AC respectivamente Si en un principio el bloque está en reposo determine su rapidez cuando 𝑡 = 3 𝑠 .El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano es 𝜇𝑘 = 0.2

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30°

𝑚(𝑣1 )𝑧 + ∑ ∫ 𝐹𝑧 𝑑𝑡 = 𝑚(𝑣2 )𝑧

𝑚(𝑣1 )𝑧 + ∑ ∫ 𝐹𝑧 𝑑𝑡 = 𝑚(𝑣2 )𝑧 20 20 (0) + 𝑁(3) − 20 cos 30°(3) = (0) 32.2 32.2 𝑁 = 17.32 𝑙𝑏 Luego 𝑚(𝑣1 )𝑥 + ∑ ∫ 𝐹𝑥 𝑑𝑡 = 𝑚(𝑣2 )𝑥 20 20 (0) + 6(3) − [0. .2(17.32) cos 𝜃](3) = (𝑣 cos 𝜃) 32.2 32.2 cos 𝜃 (𝑣 + 16.73) = 28.98 … … . 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (1) Se hace lo mismo para la componente y 14

15

𝑚(𝑣1 )𝑦 + ∑ ∫ 𝐹𝑦 𝑑𝑡 = 𝑚(𝑣2 )𝑦 20 20 (0) + 15(3) − (20 sin 30°)(3) − [0.2(17.32) sin 𝜃](3) = (𝑣 sin 𝜃) 32.2 32.2 sin 𝜃 (𝑣 + 16.73) = 24.15 … . . 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2) Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) cos 𝜃 (𝑣 + 16.73) = 28.98 … … . 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (1) sin 𝜃 (𝑣 + 16.73) = 24.15 … . . 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2) 𝑣=

24.15 − 16.73 𝑠𝑖𝑛𝜃

24.15 cos 𝜃 ( − 16.73 + 16.73) = 28.98 𝑠𝑖𝑛𝜃 24.15 = 𝑡𝑔𝜃 28.98 24.15 ) 𝜃 = 𝑎𝑟𝑡𝑔 ( 28.98

𝜃 = 39.80°

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Reemplazando 𝜃 = 39.80° en Ec. 1 cos 𝜃 (𝑣 + 16.73) = 28.98 cos(39.80) (𝑣 + 16.73) = 28.98

𝑣 = 20.99 𝑓𝑡⁄𝑠 = 21 𝑓𝑡⁄𝑠 2) La ballena jorobada de 5.5 Mg está varada en la playa debido a cambios en la marea. En un esfuerzo por rescatarla, se utiliza un remolcador de 12 Mg para liberarla mediante una cuerda inextensible atada a su cola. Para vencer la fuerza de fricción de la arena en la ballena, el remolcador retrocede hasta que la cuerda se afloja y luego avanza a 3 m/s. Si luego el remolcador apaga los motores, determine la fuerza de fricción promedio F en la ballena si ocurre un deslizamiento durante 1.5 s antes de que el remolcador se detenga después de que la cuerda se tensa. Además, ¿cuál es la fuerza promedio en la cuerda durante el remolcado?

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Solución: V

F

(+→) 𝑚1 (𝑣𝑥 )1 + ∑ ∫ 𝐹𝑥 𝑑𝑡 = 𝑚2 (𝑣𝑥 )2 0 + 12(103 )(3) − 𝐹 (1.5) = 0 + 0

𝐹 = 24 𝑘𝑁

V

T

(+→)𝑚(𝑣𝑥 )1 + ∑ ∫ 𝐹𝑥 𝑑𝑡 = 𝑚(𝑣𝑥 )2 12(103 )(3) − 𝑇(1.5) = 0

𝑇 = 24 𝑘𝑁 17

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2.49 Principio de Impulso y Momento Lineal para un sistema de Partículas.

1) La rampa de rodamiento libre pesa 120 𝑙𝑏. Si el embalaje de 80 𝑙𝑏 se suelta desde el punto de reposo en 𝐴, determine la distancia que la rampa se mueve cuando el embalaje se desliza 15 𝑝𝑖𝑒𝑠 cuesta abajo por la rampa hasta 𝐵.

(+→) ∑ 𝑚𝑣1 = ∑ 𝑚𝑣2 0=

120 80 𝑣𝑟 − (𝑣 ) 32.2 32.2 𝐵 𝑥 (𝑣𝐵 )𝑥 = 1.5 𝑣𝑟

4 −(𝑣𝐵 )𝑥 = 𝑣𝑟 − (𝑣𝐵/𝑟 )𝑥 ( ) 5 4 −1.5 𝑣𝑟 = 𝑣𝑟 − (𝑣𝐵/𝑟 )𝑥 ( ) 5 4 2.5 𝑣𝑟 = (𝑣𝐵/𝑟 )𝑥 ( ) 5 Integrando 4 2.5 𝑆𝑟 = (𝑆𝐵/𝑟 )𝑥 ( ) 5

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4 2.5 𝑆𝑟 = ( ) 15 5

𝑺𝒓 = 𝟒. 𝟖 𝒇𝒕

2) El bloque de masa 𝑚 se desplaza a 𝑣1 en la dirección 𝜃1 mostrada en la parte alta de la pendiente lisa. Determine su rapidez 𝑣2 y su dirección 𝜃2 cuando llega abajo.

𝑚𝑣1 sin 𝜃1 = 𝑚𝑣2 sin 𝜃2 𝑇1 + 𝑉1 = 𝑇2 + 𝑉2 1 1 𝑚𝑣12 + 𝑚𝑔ℎ = 𝑚𝑣22 + 0 2 2 𝒗𝟐 = √𝒗𝟐𝟏 + 𝟐𝒈𝒉 sin 𝜃2 =

𝑣𝑡 sin 𝜃1 √𝑣12 + 2𝑔ℎ

𝜽𝟐 = 𝐬𝐢𝐧−𝟏 (

19

𝒗𝒕 𝐬𝐢𝐧 𝜽𝟏

)

√𝒗𝟐 𝟏 +𝟐𝒈𝒉

20

3) Un bloque B de 15 lbf se encuentra en reposo y un resorte de constante k =72lb/pulg se mantiene comprimido 3 pulg mediante una cuerda. Después de colocar el bloque A de 5 lbf contra el extremo del resorte, se corta la cuerda ocasionalmente que A y B se muevan. Si se desprecia la fricción, determine las velocidades de los bloques A y B inmediatamente después de que A despegue de B.

Solución Calculamos las masas de los cuerpos 𝑚𝐴 =

5 = 0.155 𝑙𝑏. 𝑠 2 / 𝑝𝑖𝑒𝑠 32.2

𝑚𝐵 =

15 = 0.466 𝑙𝑏. 𝑠 2 / 𝑝𝑖𝑒𝑠 32.2

Convirtiendo 𝑘 = 72

𝑙𝑏 𝑙𝑏 = 864 𝑖𝑛 𝑝𝑖𝑒𝑠

𝑒 = 3 𝑖𝑛 = 0.25 𝑝𝑖𝑒𝑠 ℎ = 6 𝑖𝑛 = 0.5 𝑝𝑖𝑒𝑠

Utilizando conservación de cantidad de movimiento lineal

Inmediatamente antes

20 durante

Inmediatamente después

21

0 + 0 = 𝑚𝐴 𝑣𝐴 − 𝑚𝐵 𝑣𝐵 𝑣𝐵 =

𝑚𝐴 ∗ 𝑣𝐴 𝑚𝐵

𝑣𝐵 =

1 ∗ 𝑣𝐴 3

Entonces utilizando Conservación de la Energía

𝑣1𝑒 =

1 2 𝑘𝑒 2

1 𝑣1𝑒 = 𝑘 ∗ 864 ∗ 0.252 2 después 𝑣1𝑒 = 27 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑙𝑏

antes

𝑣2𝑒 = 𝑤𝐴 ∗ ℎ 𝑣2𝑒 = 5 ∗ 0.5 = 2.5 𝑝𝑖𝑒𝑠. 𝑙𝑏 𝑇2 = 𝑇2 =

1 1 𝑚𝐴 𝑣𝐴2 + 𝑚𝐵 𝑣𝐵2 2 2

1 1 𝑉𝐴 (0.1555)𝑣𝐴2 + (0.466)( ) 2 2 3 𝑇2 = 0.104 𝑣𝐴2

Entonces igualando 𝑇1 + 𝑉1 = 𝑇2 + 𝑉2 0 + 27 = 0.104 𝑣𝐴2 + 2.5 𝑣𝐴2 = 236.67 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 𝑣𝐴 = 15.38 𝑝𝑖𝑒𝑠 /𝑠 𝑣𝐵 = 5.13 𝑝𝑖𝑒𝑠 /𝑠

21

22

2.50 Conservación del Momento Lineal de un Sistema de Partículas

Un proyectil de 4 𝑘𝑔 viaja con una velocidad horizontal de 600 𝑚/𝑠 antes de que explote y se rompa en dos fragmentos A y B de 1.5 𝑘𝑔 𝑦 2.5 𝑘𝑔 de masa, respectivamente. Si los fragmentos viajan a lo largo de las trayectorias parabólicas mostradas, determine la magnitud de la velocidad de cada fragmento justo después de la explosión y la distancia horizontal 𝑑𝐴 donde el segmento A choca con el suelo en C.

Conservación del momento lineal (+→) 𝑚𝑣𝑥 = 𝑚𝐴 (𝑣𝐴 )𝑋 + 𝑚𝐵 (𝑣𝐵 )𝑋 4(600) = −1.5𝑣𝐴 cos 45° + 2.5𝑣𝐵 cos 30° 2.165𝑣𝐵 − 1.061𝑣𝐴 = 2400 … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (1) (↑ +) 𝑚𝑣𝑦 = 𝑚𝐴 (𝑣𝐴 )𝑦 + 𝑚𝐵 (𝑣𝐵 )𝑦 0 = 1.5𝑣𝐴 sin 45° − 2.5𝑣𝐵 sin 30° 𝑣𝐵 = 0.8485 𝑣𝐴 … . 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2) Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) 2.165𝑣𝐵 − 1.061𝑣𝐴 = 2400 … 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (1) 𝑣𝐵 = 0.8485 𝑣𝐴 … . 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2)

2.165(0.8485 𝑣𝐴 ) − 1.061𝑣𝐴 = 2400 22

23

2.165(0.8485 𝑣𝐴 ) − 1.061𝑣𝐴 = 2400 𝑣𝐴 = 3090.96 𝑚⁄𝑠 = 3.09(103 ) 𝑚⁄𝑠 Reemplazamos 𝑣𝐴 = 3090.96 𝑚⁄𝑠 en Ec. 2 𝑣𝐵 = 0.8485 𝑣𝐴 … . 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 (2) 𝑣𝐵 = 0.8485 (3090.96) 𝑣𝐵 = 2622.77 𝑚⁄𝑠 = 2.62(103 ) 𝑚⁄𝑠 Analizando el segmento A 1 (↑ +) 𝑆𝑦 = (𝑆0 )𝑦 + (𝑣0 )𝑦 𝑡 + 𝑎𝑦 𝑡 2 2

1 −60 = 0 + 3090.96 sin 45° 𝑡𝐴𝐶 + (−9.81)𝑡𝐴𝐶 2 2 4.905 𝑡𝐴𝐶 2 − 2185.64 𝑡𝐴𝐶 − 60 = 0 𝑡𝐴𝐶 = 445.62 𝑠 (← +) 𝑆𝑥 = (𝑆0 )𝑥 + (𝑣0 )𝑥 𝑡 𝑑𝐴 = 0 + 3090.96 cos 45°(445.62) = 𝟗73.96(103 )𝑚 = 974 𝑘𝑚

23

24

2.51 Impacto 1) Una esfera a de masa m=2 kg es lanzada horizontalmente desde la posición indicada, golpeando la superficie inclinada de una cuña b de 5kg que está en reposo. El bloque se apoya en rodillos el coeficiente de restitución entre la cuña y la esfera es e=0,60 y se desprecia la fricción .se obtiene un resorte de constante k=7800 n/m sin deformar como se muestra la figura, determinar: a) las velocidades de la cuña y la esfera inmediatamente después del impacto. b) la deformación máxima necesaria en el resorte para detener el movimiento de la cuña. Después del impacto considere una fuerza constante de 3n entre los rodillos y la superficie oponiéndose al movimiento.

Solución: Calculo de las velocidades de la cuña y la esfera inmediatamente después del impacto 

esfera antes del impacto

MRUV 𝑥 = 𝑉𝑜𝑥 ∗ 𝑡

24

25

… . (𝟏)

2 = 𝑉𝑜 ∗ 𝑡

1 𝑦 = 𝑉𝑜𝑦 ∗ 𝑡 − 𝑔 ∗ 𝑡 2 2 1 −5 = 0 − ∗ 9,81 ∗ 𝑡 2 … (𝟐) 2 𝑑𝑒 2

, 𝑡 = 1,01 𝑠 𝑒𝑛 1

𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑛𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑉𝑜 = 1,98

𝑚 𝑠

𝑐𝑡𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙

𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒄𝒕𝒐: 𝑉𝑎𝑦1= 𝑉𝑜𝑦 − 𝑔𝑡 𝑉𝑎𝑦1= 0 − 9,81 ∗ 1,01 𝑉𝑎𝑦1= − 9,908

𝑚 𝑠

𝑽𝒂𝒚= (−1,98; −9,908)𝑚/𝑠 𝑫𝒊𝒂𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒊𝒎𝒑𝒖𝒍𝒔𝒐 𝒚 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒍

𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒕, 𝒏 𝒚 𝒙, 𝒚 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒙, 𝒚 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠: 𝑉𝐴1 = (−1,98; −9,908) 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠: 𝑉𝐵1 = (0; 0) 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠: 𝑉𝐴2 = (𝑉𝐴𝑡2 𝑐𝑜𝑠45º + 𝑉𝐴𝑛2 𝑠𝑒𝑛45º; −𝑉𝐴𝑡2 𝑠𝑒𝑛45º + 𝑉𝐴𝑛2 𝑐𝑜𝑠45º) 25

26

𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠: 𝑉𝐵2 = (𝑉𝐵2 ; 0) 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒕, 𝒏 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠: 𝑉𝐴1 = (−1,98𝑐𝑜𝑠45º + 9,908𝑐𝑜𝑠45º; −1,98𝑠𝑒𝑛45º − 9,908𝑠𝑒𝑛45º) 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠: 𝑉𝐵1 = (0; 0) 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠: 𝑉𝐴2 = (𝑉𝐴𝑡2 ; 𝑉𝐴𝑛2 ) 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠: 𝑉𝐵2 = (𝑉𝐵2 𝑐𝑜𝑠45º; 𝑉𝐵2 𝑠𝑒𝑛45º) 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒍𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂 𝑨 (𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂) 𝑪𝑴𝑳 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒕 𝑉𝐴𝑡1 = 𝑉𝐴𝑡2 𝑉𝐴𝑡2 = 5,605 … . (𝟑) 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 1,44 𝑉𝐴𝑡2 + 1,44𝑉𝐴𝑛2 + 5 𝑉𝐵2 = −3,96 0 + 1𝑉𝐴𝑛2 + 0,707 𝑉𝐵2 = −5,043 𝑉𝐴𝑡2 + 0 + 0 = −5,605 𝑉𝐴𝑡2 = 5,605 𝑚/𝑠 𝑉𝐴𝑛2 = 2,802 𝑚/𝑠 𝑉𝐵2 = −3,17 𝑚/𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑽𝒆𝒍𝒐𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒄𝒕𝒐

26

27

𝑽𝒆𝒍𝒐𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒙 , 𝒚

𝑉𝐴2 = (5,944; −1,982) = 𝑚/𝑠 𝑉𝐵2 = (−3,17; 0) 𝑚/𝑠 𝑽𝒆𝒍𝒐𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒕 , 𝒏

𝑉𝐴2 = (5,605; 2,802) = 𝑚/𝑠 𝑉𝐵2 = (−2,24; −2,24) 𝑚/𝑠 𝑻𝒓𝒂𝒃𝒂𝒋𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒍𝒂 𝒄𝒖ñ𝒂 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑛 𝑓, 𝑑, 𝑦 𝑣 𝒗𝒆𝒍𝒐𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒕 , 𝒏

𝑇2 + 𝑉𝑒2 + ∑ 𝑈1−3 = 𝑇3 + 𝑉𝑒3 𝑉𝑒2 = 𝑆𝐼𝑁 𝐷𝐸𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝐶𝐼𝑂𝑁 = 𝑂 𝑇3 = 𝑆𝐸 𝐷𝐸𝑇𝐼𝐸𝑁𝐸 = 𝑂 1 1 𝑚𝐵 𝑉𝐵2 2 − 3(2 + 𝑆𝑚𝑎𝑥) = 𝑘 𝑆𝑚𝑎𝑥 2 2 2 1 7800 ∗ 5 ∗ 3,172 − 6 + 3(𝑆𝑚𝑎𝑥) = 𝑆𝑚𝑎𝑥 2 2 2 3900𝑆𝑚𝑎𝑥 2 − 3(𝑆𝑚𝑎𝑥) − 19,122 = 0 𝑆𝑚𝑎𝑥1 = 7,04𝑥10−2 27

28

𝑆𝑚𝑎𝑥2 = −6,964𝑥10−2

𝑆𝑚𝑎𝑥 = 0,0704 𝑚 2) La bala B de 20 g viaja a 980 m/s a un ángulo 𝛼 = 20° cuando queda incrustada en la masa A de 12 kg del péndulo. Antes del impacto, el péndulo se encontraba estacionario en la posición vertical. Encuentre el vector de velocidad de A inmediatamente después del impacto, suponiendo que A está suspendida de: (a) una varilla rígida, y (b) una cuerda elástica (deformable).

Para el caso (a) D.I.M.L C.I.M.L. en eje “x” 𝑚𝐴 𝑣𝐴 cos 20 = (𝑚𝐵 + 𝑚𝐴 )𝑣 0.020 ∗ 980 ∗ cos 20 = (12 + 0.02)𝑣 𝑣 = 1.532 𝑖 𝑚/𝑠

28

29

Para el caso (b)

Al ser una cuerda elástica deformable, la tensión no afecta a la cantidad de movimiento lineal en el eje “y” D.I.M.L

C.I.M.L. en eje “x” 𝑚𝐴 𝑣𝐴 cos 20 = (𝑚𝐵 + 𝑚𝐴 )𝑣𝑥 0.020 ∗ 980 ∗ cos 20 = (12 + 0.02)𝑣𝑥 𝑣𝑥 = 1.532 𝑚/𝑠 29

30

C.I.M.L. en eje “y” 𝑚𝐴 𝑣𝐴 sin 20 = (𝑚𝐵 + 𝑚𝐴 )𝑣𝑦 0.020 ∗ 980 ∗ sin 20 = (12 + 0.02)𝑣𝑦 𝑣𝑦 = 0.057 𝑚/𝑠 Entonces 𝑣 = (1.532 𝑖 + 0.057 𝑗) 𝑚/𝑠

3) Dos discos idénticos A y B, con 2 lb de peso cada uno, se deslizan sobre una mesa horizontal y colisionan con las velocidades (VA)1=8 pies/s y (vB)1=6 pies/s, dirigidas como se indica en la figura. Si el coeficiente de restitución para el impacto es e=0.8, calcule los vectores velocidad de los discos inmediatamente después de la colisión. Desprecie la fricción.

30

31

SOLUCIÒN:

DCL durante la colisión (fuerzas que actúan únicamente en el plano xy)

PCIML antes del impacto

PCIML después del impacto

APLICAMOS 1. PRINCIPIO DEL IMPUELSO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL 𝑚𝑣𝐴 + 𝐹 ∆𝑡 = 𝑚𝑣′𝐴

31

32

2.52 Momento Angular 1) El eslabón CA oscila con movimiento rotatorio alrededor de C como se ilustra, haciendo oscilar al miembro entorno de O para que cuando θ = 30ª, el movimiento angular del eslabón CA está dado por ω = 6 rad/seg y α = -30 rad/seg2. Determinar la velocidad angular y el movimiento angular del miembro ranurado en dicho instante

Realizando cálculos previos: 𝑂𝐴2 = 42 + 82 − 64 cos(30) 𝑂𝐴 = 4,95′′ 4,95 4 = 𝑠𝑒𝑛 (30) 𝑠𝑒𝑛 (𝛽) 𝛽 = 23,8 4 4,95 = 𝑠𝑒𝑛 (ƴ) 𝑠𝑒𝑛 (90) ƴ = 54

𝛷 = 12,2 En este problema se va a trabajar con dos sistemas de coordenadas I que sigue la dirección de CA e I’ que sigue la dirección de QP; el punto A que pertenece a CP, el punto B que pertenece a OP, donde en el instante dado se representa la velocidad relativa de A respecto a B que sigue a la dirección de I’ cuyo modulo es U, tal que: U= U I’. Donde: 32

33

I’ = sen (𝛷) I + cos (𝛷) J J’ = sen (𝛷) J - cos (𝛷) I r = sen (𝛽) J + cos (𝛽) I Tomando como referencia al punto A: CA = r𝐴 = 8 𝐼 pulg

ω𝐴/𝐶 = 6 K rad/seg

;

v𝐴 = ω𝐴/𝐶 x r𝐴 = 6 K x 8 𝐼 = 48 J ;

∝𝐴/𝐶 = -30 K rad/seg2

a𝐴 =∝𝐴/𝐶 x 𝑟𝐴 − ω𝐴/𝐶 2 r𝐴 = -30 K x 8 𝐼 − 62 (8)𝐼 𝑎𝐴 = -240 J− 288 𝐼 Tomando como referencia el punto B OA = r𝐵 = (4,95)𝑟 pulg r𝐵 = (4,95) sen (𝛽) J + cos (𝛽) I r𝐵 = 2,04J + 4,5 I v𝐵 = ω𝐵 x r𝐵 = ω𝐵 K x (2,04J + 4,5 I) 𝑂

𝑂

ω𝐵 K x (2,04J + 4,5 I) = 4,5 ω𝐵 𝐽 − 2,04ω𝐵 𝐼 𝑂

𝑂

𝑂

𝑎𝐵 =∝𝐵 x r𝐵 − ω𝐵 2 r𝐵 7 𝑂

𝑂

𝑎𝐵 =∝𝐵/𝑂 𝐾 x (2,04J + 4,5 I) − (4,5 ω𝐵 𝐽 − 2,04ω𝐵 𝐼)2 (2,04J + 4,5 I) 𝑂

𝑂

Utilizando la fórmula de Roto-traslación v𝐴 = v𝐵 + v𝐴/𝐵 v𝐴 = v𝐵 + 𝑈𝐼′ 48 J

= 4,5 ω𝐵 𝐽 − 2,04ω𝐵 𝐼 + 𝑈(sen (𝛷) I + cos (𝛷) J) 𝑂

48 J

𝑂

= (4,5 ω𝐵 − 0,97𝑈) 𝐽 + ( −2,04ω𝐵 + 0.22𝑈) I 𝑂

𝑂

U = 32,7 pulg/seg ω𝐵 = 3,53 𝑂

33

𝑟𝑎𝑑 𝑠𝑒𝑔

34

𝑎𝐴 = a𝐵 + a𝐴/𝐵 + a𝑐 a𝐴/𝐵 = Ů I’ = Ů (sen (𝛷) I + cos (𝛷) J) a𝐶 = 2ω𝐵 𝑥 𝑈 = 2(3,53)𝐾 𝑥 32,7 𝐼′ 𝑂

a𝐶 = 232 𝐽′ = 232 (sen (𝛷) J - cos (𝛷) I) a𝐵 =∝𝐵/𝑂 (−2,04I + 4,5 J) − 25,5 𝐽 − 56.2 𝐼 Igualando las dos ecuaciones: -240 J− 288 𝐼 =∝𝐵/𝑂 (−2,04I + 4,5 J) + Ů (sen (𝛷) I + cos (𝛷) J) + 232 (0.97 J + 0.22 I) -240 J− 288 𝐼 = (4,5 ∝𝐵 − 25,5 + 51 + 0,97Ů) 𝐽 − (2,04 ∝𝐵 + 56,2 + 224 − 0,22Ů) 𝐼 𝑂

𝑂

4,5 ∝𝐵 − 25,5 + 51 + 0,97Ů = −240 𝑂

2,04 ∝𝐵 + 56,2 + 224 − 0,22Ů = 288 𝑂

∝𝐵 = 17,4 𝑂

𝑟𝑎𝑑 𝑠𝑒𝑔2

2) El mecanismo intermitente mostrado consta del pasador P fijo en el disco 1 con una velocidad angular constante de 60 R.P.M. en sentido horario. Si dicho pasador entra en las ranuras radiales del disco 2 cuando θ = 45, saliendo luego de hacerlo hecho girar 90ª. Determinar la velocidad angular y aceleración del disco 2 cuando θ =30 ª

34

35

Cálculos previos: ω = 60(2π/60) rad/seg ω = 2π rad/seg 2

𝑟 = 𝑂2 𝑃 = √(4)2 + (4√2) − 2(4√2)(4)cos(30) 𝑟 = 2,98

𝑟𝑎𝑑 𝑠𝑒𝑔

2,98 4 = 𝑠𝑒𝑛 (30) 𝑠𝑒𝑛 (𝛽) 𝛽 = 42,2ª ƴ = 17,8ª Tomando como sistema de referencia: I’ = cos (ƴ) I + sen (ƴ) J = 0,952 I + 0.311J J’ = cos (ƴ) J - sen (ƴ) I = 0,952 J - 0.311 I Como P𝑂1 es constante, la velocidad absoluta de P respecto al punto fijo 𝑂1 es: v𝑃 = 𝑁 x r𝑂 = 2π K x 4 𝐼′ = 8π J’ v𝑃 = 8π(0,952 J − 0.311 I) Esta misma velocidad puede expresarse en coordenadas polares tomando como base el punto fijo 𝑂2 v𝑃 = ṙ(−𝐽) + 𝑟ωI = 2,98 ω I − ṙ𝐽 Igualando: 8π(0,952 J − 0.311 I) = ṙ(−𝐽) + 𝑟ωI = 2,98 ω I − ṙ𝐽 ω = 2,56 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 ṙ = 23,98 𝑝𝑢𝑙𝑔/𝑠𝑒𝑔

a𝑃 = Ṅ x 𝑟𝑃 − Ṅ 2 r𝑃 = ō − (2𝜋)2 4 𝐼′ = −16𝜋 2 (0,952 I + 0.311J) a𝑃 = (ȑ − 𝑟ω2 )(−𝐽) + (𝑟 ∝ +2ωṙ)𝐼 Igualamos las dos ecuaciones: 35

36

−16𝜋 2 (0,952 I + 0.311J) = (ȑ − 𝑟ω2 )(−𝐽) + (𝑟 ∝ +2ωṙ)𝐼 −16𝜋 2 (0.952) = 2,98 ∝ +2(2,56)(23,98) ∝ =

−(151,62 + 122,78) 2,98

∝ = 92,1

𝑟𝑎𝑑 ↺ 𝑠𝑒𝑔2

2.53 Relación entre Momento de una Fuerza y el Momento Angular 1) El carro de 150 lb de un juego mecánico está conectado a una pluma telescópica giratoria. Cuando r=15 pies, el carro se desplaza en una trayectoria circular horizontal a una rapidez de 30 pies/s. Si la pluma se acorta a razón de 3 pies/s, determine la rapidez del carro cuando r=10 pies. Además, determine el trabajo realizado por la fuerza axial F a lo largo de la pluma. Ignore el tamaño del carro y la masa de la pluma.

r

F

36

37

(V2)0 (V2)r =3 pies/s

r2

=

10

pie s

V2

r1 =

15 pie s

V1

Conservación del momento angular Análisis: Se usa la conservación del momento angular ya que las fuerzas exteriores son cero, entonces el momento angular total se conserva, es decir, permanece constante. (𝐻𝑜 )1 = (𝐻𝑜 )2 𝑟1 𝑚𝑣1 = 𝑟2 𝑚(𝑣2 )𝜃 (𝑣2 )𝜃 =

𝑟1 𝑣1 15(30) = = 45 𝑓𝑡/𝑠 𝑟2 10

(𝑣2 )𝜃 = √(𝑣2 )2𝑟 + (𝑣2 )2𝜃 (𝑣2 )𝜃 = √32 + 452

(𝑣2 )𝜃 = 45.10 𝑓𝑡/𝑠

Principio del trabajo y energía 37

38

Análisis: Se utiliza el principio de trabajo y energía ya que se relacionan velocidad, fuerza, masa y desplazamiento. 𝑇1 + ∑ 𝑈1−2 = 𝑇2 1 1 𝑚𝑣12 + 𝑈𝑓 = 𝑚𝑣22 2 2 1 150 1 150 ( ) (302 ) + 𝑈𝑓 = ( ) (45.102 ) 2 32.2 2 32.2

𝑼𝒇 = 𝟐𝟔𝟒𝟏 𝒇𝒕. 𝒍𝒃

2) El deslizador A y la placa B de la figura (a) se deslizan con fricción despreciable sobre la varilla guía vertical. La placa descansa sobre un resorte con rigidez K= 30 lb/pie cuando el deslizador se libera en la posición que se muestra. El impacto resultante entre A y B es plástico y la duración del impacto es despreciable. Determine: 1. Las velocidades de A y B inmediatamente después del impacto 2. El porcentaje de energía mecánica perdida durante el impacto 3. El impulso de la fuerza de contacto durante el impacto y 4. La máxima desviación de B después del impacto

Solución Existen 4 posiciones del sistema -

La posición inicial La posición inmediatamente anterior al impacto La posición inmediatamente posterior al impacto La posición de máxima desviación de B

Entonces inmediatamente antes de impacto aplicamos principio de trabajo y energía. 38

39

𝑈1−2 = 𝑇2 − 𝑇1 1 𝑊𝐴 ∆𝑦𝐴 = 𝑚𝐴 (𝑣𝐴 )22 − 0 2 10 ∗ 4 =

1 10 ∗ (𝑣 )2 − 0 2 32.2 𝐴 2

𝑣𝐴 = 16.050

𝑝𝑖𝑒𝑠 . 𝑠

Inmediatamente después del impacto DCL.

Se observa que después del impacto “plástico” las dos masas tienen la misma velocidad (𝑣𝐴 )3 = (𝑣𝐵 )3 = 𝑣3

Entonces se conserva la cantidad de movimiento del sistema en “y” (𝑙𝑦 )2 = (𝑙𝑦 )3 𝑚𝐴 (𝑣𝐴 )2 = (𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 ) ∗ 𝑣3 10 10 + 5 ∗ (16.050) = ∗ 𝑣3 32.2 32.2 𝑣3 = 10.700

39

𝑝𝑖𝑒𝑠 . 𝑠

40

Parte 2 Durante el impacto ∆𝑇 = 𝑇3 − 𝑇2 1

1

∆𝑇 = 2 (𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 ) ∗ − 2 ∗ 𝑚𝐴 ∗ (𝑣𝐴 )22 ∆𝑇 =

1 10 + 5 1 10 ( ) ∗ (10.700) − ∗ ∗ 16.0502 2 32.2 2 32.2 ∆𝑇 = 26.67 − 40.00 ∆𝑇 = −13.33 𝑙𝑏. 𝑝𝑖𝑒

Parte 3 Aplicando el Principio de Impulso y cantidad de movimiento lineal PICML (𝐿3−2 )𝑦 = (𝑝𝑦 )3 − (𝑝𝑦 )2 𝑡3

∫ 𝑃 𝑑𝑡 = 𝑚𝐴 ∗ (𝑣3 − (𝑣𝐴 )2 ) 𝑡2 𝑡3

∫ 𝑃 𝑑𝑡 = 𝑡2

10 ∗ (10.700 − 16.050) 32.2

𝑡3

∫ 𝑃 𝑑𝑡 = 1.661 𝑙𝑏. 𝑠 𝑡2

40

41

Parte 4 De la figura se observa que el desplazamiento de B es : ∆𝑦𝐵 = 𝛿4 − 𝛿3 𝛿3 𝑦 𝛿4 𝑠𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒 𝛿3 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑢𝑠𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝐵 𝛿3 =

𝑊𝐵 𝑘

𝛿3 =

5 30

𝛿3 = 0.167 𝑝𝑖𝑒𝑠 Aplicando el principio de impulso y cantidad de movimiento lineal 𝑈3−4 = 𝑇4 − 𝑇3 (𝑊𝐴 + 𝑊𝐵 ) ∗ (𝛿4 − 𝛿3 ) − (10 + 5) ∗ (𝛿4 − 0.167) −

1 1 𝑘(𝛿4 2 − 𝛿3 2 ) = 0 − (𝑚𝐴 + 𝑚𝐵 ) ∗ (𝑣)23 2 2

1 1 10 + 5 30(𝛿4 2 − 0.1672 ) = − ( ) ∗ (10.700)2 2 2 32.2 𝛿4 = 1.874 𝑝𝑖𝑒𝑠

Entonces: ∆𝑦𝐵 = 𝛿4 − 𝛿3 ∆𝑦𝐵 = 1.874 − 0.167 ∆𝑦𝐵 = 1.707 𝑝𝑖𝑒𝑠

41

42

2.54 Análisis del Movimiento Relativo Velocidad 1) Si el cilindro hidráulico se acorta a una velocidad constante de 𝑣𝐶 = 2 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠, determine la velocidad del extremo 𝐴 del eslabón 𝐴𝐶𝐵 en el instante que se muestra

A

B VB

60°

D

60°

VC= 2 pies/s

C

Análisis: •

Cuerpo B: traslación en el eje vertical

•

Extremo A: roto traslación

•

Extremo C: traslación en el eje horizontal

42

4 pies

43

X VB

(VA) y

Y (VA) x

W rA/C

rB/C

X

60°

VB 60°

(VA) y

𝑣𝐵 = 𝑣𝐶 + 𝜔 𝑥 𝑟𝐵⁄𝐶

𝑣𝐵 𝑗 + −2𝑖 + (−𝜔𝑘) 𝑥 (−4 cos 60° 𝑖

VC= 2 pies/s

(VA) x+ 4 sin 60° 𝑗 ) VC= 2 pies/s

W 𝑣𝐵 𝑗 = (3.464𝜔 − 2)𝑖 + 2𝜔𝑗

rA/C

rB/C Igualamos las componentes i

60° 0 = (3.464𝜔 − 2)

60°

VC= 2 pies/s 𝜔 = 0.5774 𝑟𝑎𝑑/𝑠

2 pies/s el dato de 𝝎 Analizamos los puntos A y V CC= usando

𝑣𝐴 = 𝑣𝐶 + 𝜔 𝑥 𝑟𝐴⁄𝐶 (𝑣𝐴 )𝑥 𝑖 + (𝑣𝐴 )𝑦 𝑗 = −2𝑖 + (−0.5774𝑘)𝑥(4 cos 60°𝑖 + 4 sin 60° 𝑗) (𝑣𝐴 )𝑥 𝑖 + (𝑣𝐴 )𝑦 𝑗 = −1.1547 𝑗

Igualamos las componentes i y j (𝑣𝐴 )𝑥 = 0 (𝒗𝑨 )𝒚 = −𝟏. 𝟏𝟓𝟒𝟕 𝒇𝒕/𝒔 Luego 43

44

𝒗𝑨 = 𝟏. 𝟏𝟓 𝒇𝒕/𝒔 ↓

2.55 Método Grafico

1) Una manivela AB tiene una velocidad angular constante en el sentido de las manecillas del reloj, tiene una velocidad angular de 10 rad/s, para la posición mostrada de la manivela determinar la velocidad de C.

𝑀È𝑇𝑂𝐷𝑂 𝐺𝑅À𝐹𝐼𝐶𝑂: 𝟏. 𝑨𝒏𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒍 𝒄𝒖𝒆𝒓𝒑𝒐 𝒓𝒊𝒈𝒊𝒅𝒐:

𝑪𝒖𝒆𝒓𝒑𝒐𝒔 𝒓𝒊𝒈𝒊𝒅𝒐𝒔: 𝐴𝐵

𝑅𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ò𝑛

𝐵𝐶

𝑅𝑜𝑡𝑜𝑡𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖ò𝑛

𝐶

𝑇𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑐𝑖ò𝑛

𝑨𝒏𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝑪𝑹 − 𝑨𝑩 (𝒎𝒐𝒗𝒊𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒐𝒕𝒂𝒄𝒊ò𝒏)

44

45

̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ 𝑟𝐴/𝐵 𝑉 𝐵 = 𝑊𝐴𝐵 𝑥 ̅̅̅̅̅̅

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛

𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜: 𝑊𝐴𝐵 ∗ 𝑟𝐴/𝐵 = 10 ∗ 0.3 = 3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ̅̅̅̅̅̅ 𝑊𝐴𝐵 𝑥 ̅̅̅̅̅̅ 𝑟𝐴/𝐵 = { } 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 + 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜

𝑨𝒏𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝑪𝑹 − 𝑩𝑪 (𝒎𝒐𝒗𝒊𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒐𝒕𝒂𝒄𝒊ò𝒏 + 𝒎𝒐𝒗𝒊𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒂𝒔𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏)

̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ 𝑟𝐶/𝐵 𝑉̅𝑐 = 𝑉 𝐵 + 𝑊𝐵𝐶 𝑥 ̅̅̅̅̅̅

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛

𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜: 𝑊𝐵𝐶 ∗ 𝑟𝐵/𝐶 = 𝑊𝐵𝐶 ∗ 0.5 = 𝑊𝐵𝐶 0.5 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ̅̅̅̅̅̅ 𝑊𝐵𝐶 𝑥 ̅̅̅̅̅̅ 𝑟𝐵/𝐶 = { } 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 + 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜

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𝑨𝒏𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 𝑪 (𝒎𝒐𝒗𝒊𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒕𝒓𝒂𝒔𝒍𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏) ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ 𝑟𝐶/𝐵 𝑉̅𝑐 = 𝑉 𝐵 + 𝑊𝐵𝐶 𝑥 ̅̅̅̅̅̅

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛

𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜: 𝑉𝐶 𝑉̅𝑐 = { } 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 + 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜

2) Si el bloque en C se mueve hacia abajo con una rapidez de 4 𝑓𝑡/𝑠, determinar la velocidad angular de la barra AB en el instante mostrado.

Análisis barra AB

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Al estar fijo en A, la velocidad de B siempre será perpendicular a la barra. En este caso hacia abajo. 𝑣𝑏 = 𝑤𝐴𝐵 ∗ 𝑟𝐴𝐵 𝑤𝐴𝐵 =

𝑣𝑏 … (1) 𝑟𝐴𝐵

Análisis barra BC. Ya que el bloque C esta confinado, solo puede moverse verticalmente, entonces la velocidad del vertice C, es hacia abajo. 𝑣𝑐 = 𝑣𝑏 + 𝜔𝐵𝐶 × 𝑟𝐶/𝐵 … (2)

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Ya que ambas velocidades son paralelas la barra en este instante experimenta tan solo traslación. Entonces en la ecuación 2, el termino 𝜔𝐵𝐶 = 0. 𝑣𝑏 = 𝑣𝑐 = 4 𝑓𝑡/𝑠 … (3) Remplazando 3 en 1.

𝜔𝐴𝐵 =

4 𝑓𝑡/𝑠 2 𝑓𝑡

𝜔𝐴𝐵 = 2

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𝑟𝑎𝑑 𝑠

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3. GLOSARIO. 1. ACELERACION ABSOLUTA:  DEFINICIÓN: Recibe el nombre de aceleración absoluta, la aceleración del movimiento absoluto, en la composición de movimientos; a la resultante geométrica de la aceleración de arrastre, de la relativa y de la centrífuga compuesta. También recibe en nombre de aceleración compuesta. La aceleración absoluta 𝑎𝐵 de una partícula puede obtenerse de la fórmula de la aceleración relativa 𝑎𝐵 = 𝑎𝐴 + 𝑎𝐵/𝐴 .  BIBLIOGRAFIA: Mecánica Vectorial para Ingenieros, “DINAMICA” Beer Johnston Cornwell (Pág. 789 inciso 15.8 Aceleración absoluta y relativa en el movimiento plano)

2. ACELERACION RELATIVA:  DEFINICIÓN: La aceleración relativa hace referencia a la que presenta una partícula con respecto a un sistema de referencia (xyz), llamado referencial relativo o móvil por estar en movimiento con respecto a otro sistema de referencia (XYZ) considerado como referencial absoluto o fijo. 𝑎𝐵 = 𝑎𝐴 + 𝑎𝐵/𝐴 Puede descomponerse en 2 componentes uno tangencial que será perpendicular a la línea A/B y una compo0nente normal dirigida hacia A.  BIBLIOGRAFIA: Mecánica Vectorial para Ingenieros, “DINAMICA” Beer Johnston Cornwell (Pág. 789-790 inciso 15.8 Aceleración absoluta y relativa en el movimiento plano)

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3. CANTIDAD DE MOVIMIENTO:  DEFINICIÓN: La cantidad de movimiento es el producto de la velocidad por la masa. La velocidad es un vector mientras que la masa es un escalar. Como resultado obtenemos un vector con la misma dirección y sentido que la velocidad.  BIBLIOGRAFIA: https://jhonfisica.wordpress.com/tercer-corte/impulso/cantidad-de-movimiento/ 4. CENTRO DE MASA:  DEFINICIÓN: Punto en el cual se puede considerar concentrada toda la masa de un objeto o de un sistema. Es el punto G definido por el vector posición 𝑟̅ , el cual satisface la relación: 𝑛

𝑚𝑟̅ = ∑ 𝑚𝑖 𝑟𝑖 𝑖=1

Donde 𝑚 representa la masa total de las partículas.  BIBLIOGRAFIA: Mecánica Vectorial para Ingenieros, “DINAMICA” Beer Johnston Cornwell (Pág. 709 inciso 14.4 Movimiento de un Centro de Masa de un Sistema de Partículas)

5. CENTRO INSTANTANEO DE ROTACION:

 DEFINICIÓN: Considere el movimiento plano general de una placa. Se intenta demostrar que, en cualquier instante dado, la velocidad de las diversas partículas de la placa es la misma como si la placa girara alrededor de cierto eje perpendicular a su plano, el cual se conoce como eje de rotación 50

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instantáneo. Este eje interseca el plano de la placa en el punto C, denominado CENTRO INSTANTANEO DE ROTACION de la placa.  BIBLIOGRAFIA: Mecánica Vectorial para Ingenieros, “DINAMICA” Beer Johnston Cornwell (Pág. 780 inciso 15.7 Centro Instantáneo de Rotación en el movimiento plano)

6. CICLOIDE:  DEFINICIÓN: Curva plana que es descrita físicamente como la trayectoria de un punto perteneciente a una circunferencia generatriz, al rodar sobre una línea recta directriz, sin deslizarse.  BIBLIOGRAFIA: https://www.ecured.cu/Cicloide 7. COEFICIENTE DE RESTITUCION:  DEFINICIÓN: El coeficiente de restitución es una medida del grado de conservación de la energía cinética en un choque entre partículas clásicas. Es la medida de la elasticidad de un choque. Denominamos elásticos a aquellos choques en los que no hay pérdida de energía, los cuales vienen representados por un valor de e = 1. Por el contrario, un choque es perfectamente inelástico si toda la energía se pierde en el choque, y por tanto tienen un valor de e = 0.  BIBLIOGRAFIA:

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http://palmera.pntic.mec.es/~atola/Laboratorio/Practicas%204_ESO/MEDIDA%20EL%20C OEFICIENTE%20DE%20RESTITUCION.pdf 8. CUERPO RIGIDO:  DEFINICIÓN: Sistema dinámico que no presenta deformaciones entre sus partes ante la acción de fuerzas. Matemáticamente, se define como cuerpo rígido aquel en que la distancia entre dos puntos cualesquiera del cuerpo permanece invariante. En estricto rigor, todos los cuerpos presentan algún grado de deformación  BIBLIOGRAFIA: 9. EFECTO DE CORIOLIS:  DEFINICIÓN: Efecto que se observa en un sistema de referencia en rotación cuando un cuerpo se encuentra en movimiento respecto de dicho sistema de referencia. Este efecto consiste en la existencia de una aceleración relativa del cuerpo en dicho sistema en rotación. Esta aceleración es siempre perpendicular al eje de rotación del sistema y a la velocidad del cuerpo.  BIBLIOGRAFIA:

10. FUERZAS CENTRALES:  DEFINICIÓN:

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Las fuerzas centrales son fuerzas conservativas en las que su dirección se orienta siempre hacia un mismo punto fijo y su módulo depende de la distancia entre dicho punto fijo y su punto de aplicación.  BIBLIOGRAFIA:

11. FUERZA CONSERVATIVA:  DEFINICIÓN: Decimos que una fuerza es conservativa cuando el trabajo que realiza sobre un cuerpo depende sólo de los puntos inicial y final y no del camino seguido para llegar de uno a otro.  BIBLIOGRAFIA:

12. FUERZA IMPULSIVA:  DEFINICIÓN: Son generalmente las fuerzas de muy corta duración.  BIBLIOGRAFIA:

13. HIPOCICLOIDE:  DEFINICIÓN:

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54

Una curva

hipocicloide es

la

una circunferencia generatriz que

trayectoria rueda

sin

descrita

por

deslizar

un por

punto el

situado

interior

de

sobre otra

circunferencia directriz, sin deslizamiento. Es un tipo de ruleta cicloidal.  BIBLIOGRAFIA:

14. IMPULSO:  DEFINICIÓN: El impulso es el producto entre una fuerza y el tiempo durante el cual está aplicada. Es una magnitud vectorial. El módulo del impulso se representa como el área bajo la curva de la fuerza en el tiempo.  BIBLIOGRAFIA:

15. IMPACTO CENTRAL DIRECTO:  DEFINICIÓN: Ocurre cuando la dirección del movimiento de los centros de masa de las dos partículas va a lo largo de la línea de impacto.  BIBLIOGRAFIA:

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16. IMPACTO CENTRAL OBLICUO:  DEFINICIÓN: Ocurre cuando el movimiento de una o de las dos partículas forma un ángulo con la línea de impacto.  BIBLIOGRAFIA:

17. MECANISMO:  DEFINICIÓN: Conjunto de piezas o elementos que ajustados entre sí y empleando energía mecánica hacen un trabajo o cumplen una función.  BIBLIOGRAFIA:

18. MOMENTUM LINEAL:  DEFINICIÓN: El momento lineal se define como el producto de la masa por el vector velocidad. Será por tanto una magnitud vectorial.  BIBLIOGRAFIA:

19. MOVIMIENTO DE RODADURA:  DEFINICIÓN:

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Cuando un sólido rota a la vez que se traslada describir el movimiento con respecto a un SR inercial puede ser una tarea ardua, pero se simplifica si el sólido realiza lo que se conoce como rodadura, es decir, que gira sin deslizar.  BIBLIOGRAFIA:

20. MOVIMIENTO PLANO:  DEFINICIÓN: Caso en que cada partícula del cuerpo se mueve en forma paralela a un plano fijo. Nótese que este caso incluye tanto el caso de cuerpos planos propiamente tales, tales como láminas, discos, etc., moviéndose en su propio plano, como el caso de cuerpos espaciales que se mueven en la forma antes descrita.  BIBLIOGRAFIA:

21. MOVIMIENTO ROTOTRASLACIONAL:  DEFINICIÓN: Movimiento combinado de traslación y rotación de dos cuerpos en un plano X-Y paralelo al piso, implican desplazamientos complejos y funciones no sencillas de variación de los parámetros cinemáticos.  BIBLIOGRAFIA:

22. TRASLACION: 23. DEFINICIÓN: 56

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Movimiento que desarrollan los cuerpos que trazan curvas de amplio radio en comparación a sus respectivas dimensiones.  BIBLIOGRAFIA:

24. VECTOR EQUIPOLENTE: Igual

módulo:

Es

decir

miden

igual

(misma

Dirección: Están en líneas paralelas Sentido: Apuntan hacia el mismo lado.  BIBLIOGRAFIA:

25. ACELERACIÓN: Variación de la velocidad de un cuerpo en la unidad de tiempo.

 BIBLIOGRAFIA:

26. ACELERACIÓN CENTRÍPETA (AC): Aparece al haber variación de la velocidad en dirección

 BIBLIOGRAFIA: 57

magnitud)

58

27. DESPLAZAMIENTO: Cambio de posición de cuerpo  BIBLIOGRAFIA:

28. ESPACIO RECORRIDO: Medida de la trayectoria que describe el móvil  BIBLIOGRAFIA:

29. FRECUENCIA (F): Número de vueltas que da un cuerpo en una unidad de tiempo.  BIBLIOGRAFIA:

30. FUERZA ELÁSTICA RECUPERADORA: Es la fuerza ejercida por un resorte o muelle que es deformado. Esta fuerza está dirigida en sentido contrario a la deformación y su magnitud depende de dicho alargamiento.  BIBLIOGRAFIA:

58

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31. FUERZA CENTRÍPETA: Es la componente radical de la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo que posee una trayectoria circular.  BIBLIOGRAFIA:

32. FUERZA CENTRÍFUGA: Es la reacción de fuerza centrípeta, cuando esta es producida por un solo agente y es ejercida por la partícula sobre el agente que ocasiona el movimiento.  BIBLIOGRAFIA:

33. FUERZA DE ROZAMIENTO ESTÁTICA: Es la fuerza que actúa sobre dos superficies en contacto cuando una fuerza externa trata de desplazarlos, tiene la misma magnitud que la fuerza externa y sentido contrario.  BIBLIOGRAFIA:

34. MOVIMIENTO UNIFORME: Cuando el móvil recorre espacios iguales en tiempos iguales.  BIBLIOGRAFIA:

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35. MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE VARIADO: La velocidad del móvil cambia igualmente en tiempos iguales.  BIBLIOGRAFIA:

36. NORMAL: Fuerza ejercida sobre un cuerpo por la superficie donde está apoyado. La fuerza normal es siempre perpendicular a la superficie de contacto.  BIBLIOGRAFIA:

37. PENDIENTE DE UNA RECTA: Dados dos puntos de la recta se calcula la pendiente hallando el cociente entre el avance vertical y el avance horizontal.  BIBLIOGRAFIA:

38. TRAYECTORIA: Conjunto de puntos ocupados por un cuerpo en su movimiento.  BIBLIOGRAFIA:

39. VELOCIDAD MEDIA: 60

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Desplazamiento que sufre un cuerpo en la unidad de tiempo.  BIBLIOGRAFIA:

40. VELOCIDAD LINEAL (VL): Es un vector tangente a la trayectoria y tiene que ver con el arco recorrido en la unidad de tiempo.  BIBLIOGRAFIA:

41. VELOCIDAD ANGULAR (W): Tiene que ver con el ángulo barrido en la unidad de tiempo. Es un vector perpendicular al plano de la hoja, que sale o entra de acuerdo con el sentido de rotación del cuerpo.  BIBLIOGRAFIA:

42. MOMENTO DE UNA FUERZA: Magnitud resultante del producto del valor de una fuerza por su distancia a un punto de referencia.  BIBLIOGRAFIA:

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4. BIBLIOGRAFÍAS. -

Beer, J. C. (2013). Dinámica, 10 Edición. Mexico: INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. Fernández, J. L. (11 de Octubre de 2014). FISICALAB. Obtenido de FISICALAB: https://www.fisicalab.com/apartado/fuerzas-conservativas#contenidos Hernandez, A. (15 de Noviembre de 2014). PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMINETO. Obtenido de PRINCIPIO DE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMINETO: https://prezi.com/r8-rf4jvdi2/principio-de-impulso-y-cantidad-de-movimineto/ HIBBELER, R. C. (2016). Ingeniería mecánica, Dinámica14ª edición. MEXICO: Pearson Educación de Mexico,S.A. de C.v.

Zacarías, A; Ramírez, M; Santos, M; Granados, A; Vera, G y Mota, A. (2015). Dinámica: mecánica para ingenieros. México: Editorial Patria. HIBBELER, R. (2010). Ingenieria Mecanica: Dinamica. Mexico: Editorial Pearson

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