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Distribuciones continuas: 5.7 Una universidad espera recibir, para el siguiente año escolar, 16000 solicitudes de ingreso al primer año de licenciatura. Se supone que las calificaciones obtenidas por los aspirantes a las prueba SAT se pueden calcular, de manera adecuada, por una distribución normal con media 950 y desviación estándar 100. Si la universidad decide admitir al 25% de todos los aspirantes que obtengan calificaciones más altas en la prueba SAT, ¿cuál es la mínima calificación que es necesario obtener en esta prueba para ser admitido por la universidad?. μ= 950 σ = 100 16000*0.25= 4000 z= 0.68 x−950 100 68=x −950 68+950=x 1018=x 0.68=

Respuesta: 1018 5.9 La demanda mensual de cierto producto A tiene una distribución normal con una media de 200 unidades y desviación estándar igual a 40 unidades. La demanda de otros producto B también tiene una distribución normal con media de 500 unidades y desviación estándar igual a 80 unidades. Un comerciante que vende estos productos tiene en su almacén 280 unidades de A y 650 de B al comienzo de un mes, ¿cuál es la probabilidad de que, en el mes, se vendan todas las unidades de ambos productos? Puede suponerse la independencia entre ambos eventos. Producto A ; μ = 200, σ = 40, N(200, 40) P ( A ≥ 280 )=1−P ( A ≤ 280 ) 280−200 1−P ( A ≤280 )=1−P Z ≤ 40 1−P ( A ≤280 )=1−P ( Z ≤2 ) 1−P ( Z ≤2 )=1−0.9772 P ( A ≥ 280 )=1−P ( Z ≤ 2 )=0.0228

(

)

Producto B ; μ = 500, σ = 80, N(500, 80) P ( B ≥ 650 )=1−P ( A ≤ 650 ) 650−500 1−P ( A ≤650 )=1−P Z ≤ 80 1−P ( A ≤650 )=1−P ( Z ≤1.88 ) 1−P ( Z ≤1.88 )=1−0.969 9

(

)

P ( A ≥ 650 )=1−P ( Z ≤1.88 ) =0.030 1 P ( A ∩ B ) =0.0288× 0.0301 P ( A ∩ B ) =0.00069 Respuesta: 0.00069 5.11 En una tienda de descuento la demanda diaria de acumuladores para automóvil se calcula mediante una distribución normal con una media de 50 acumuladores que tienen una desviación estándar de 10. En dos días consecutivos se venden 80 y 75 acumuladores respectivamente. Si estos días son típicos, ¿qué tan probable es, bajo las suposiciones dadas, vender 80 o más y 75 o más acumuladores? μ= 50, σ=10 P ( X ≥ 80 )=1−P ( X ≤ 80 )

(

1−P ( X ≤ 80 )=1−P Z ≤

80−50 10

)

75−50 10

)

P ( X ≥ 80 )=1−P ( Z ≤3 ) P ( X ≥ 80 )=1−0.9987 P ( X ≥ 80 )=0.0013 P ( X ≥ 75 ) =1−P ( X ≤75 )

(

1−P ( X ≤75 )=1−P Z ≤ P ( X ≥ 75 ) =1−P ( Z ≤2.5 ) P ( X ≥ 75 ) =1−0.9938 P ( X ≥ 75 ) =0.0062

P ( A ∩ B ) =0.0013× 0.0062 P ( A ∩ B ) =0.00000 8 Respuesta: 0.000008; la ocurrencia es muy poco probable. 5.13 Un fabricante de escapes para automóviles desea garantizar su producto durante un período igual al de la duración del vehículo. El fabricante supone que el tiempo de duración de su producto es una variable aleatoria con una distribución normal, con una vida promedio de 3 años y una deviación estándar de 6 meses. Si el costo promedio por unidad es de $10, ¿cuál puede ser el costo total de reemplazo para los primeros dos años, si se instalan 1000000 unidades? μ=3; σ=1/2 2−3 1 2 P ( X ≤ 2 )=P ( Z ≤−2 )

(

P ( X ≤ 2 )=P Z ≤

)

P ( X ≤ 2 )=0.0228 0.0228 ×10 $ ×1000000 Unidades=$ 228000

Respuesta: $228000 5.15 Un periódico llevó a cabo una encuesta entre 400 personas seleccionadas aleatoriamente, en un estado, sobre el control de armas. De las 400 personas, 220 se pronunciaron a favor de un estricto control. a) ¿Qué tan probable resulta el hecho de tener 220 o más personas a favor del control de armas, si a población de ese estado se encuentra dividida en opinión de igual manera? Distribuidauniforme a=1b=400 1 f (x)= b−a 1 f ( x)= 399 f (x)=0.002506 b) Supóngase que se encuesta a 2000 personas teniendo la misma proporción de éstas a favor del control de armas que la del inciso anterior. ¿Cómo cambiaría su respuesta al inciso a)?. Distribuidauniforme a=1b=2000 1 f (x)= b−a 1 f ( x)= 1999 f (x)=0.000500 c) Si el número de personas encuestadas es de 10000, ¿cuál es la probabilidad de tener una ocurrencia diferente a la del inciso b)? Distribuidauniforme a=1b=10000 1 f (x)= b−a 1 f ( x)= 9999 f (x)=0.000100

Respuesta: a) 0.02506 b) 0 c)0 5.17 una organización llevó a cabo una encuesta entre 1600 personas, seleccionadas de manera aleatoria de toda la población del país, para conocer su opinión con respecto a la seguridad en las plantas de energía nuclear. De este grupo, el 60% opinó que las plantas de energía nuclear tienen muy poca seguridad. Con base en

estos resultados ¿existe alguna razón para dudar que la población en general tiene una opinión neutral con respecto a este asunto? f ( x )=

1 =0,000625 1599

40 de f ( x )=0.000625 × 0.4 p=0.00025 Respuesta: Si , la probabilidad de ocurrencia es virtualmente 0; 1 de cada 4000 personas. 5.19 Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme sobre el intervalo (a, b). a) ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor que se encuentre en una desviación estándar de la media?. a+ b μ= 2 (b−a)2 b−a σ= = 12 2 √3

√

μ+σ =

a+b b−a + 2 2 √3

√ 3 ( a+ b ) + μ+σ =

μ+σ =

μ+σ =

√3 ( b−a ) √3

2 √3

√ 3 ( a+ b ) + √ 3(b−a) 2 ×3

√ 3(2b) 6

μ+σ √ 3 = =0.5774 b 3 b) ¿Puede tomar X un valor que se encuentre a dos desviaciones estándar de la media?. μ+2 σ ≤b μ−b ≤−2 σ p=

a+b b−a −b ≤ 2 √3 a−b −( a−b) ≤ 2 √3

a−b a−b + ≤0 2 √3 1 1 (a−b)( + )≤ 0 2 √3

( a−b ) 1.7735≤ 0 a−b ≤ 0 a≤b Respuesta: a) 0.5774; b) no 5.21 Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme sobre el intervalo (a, b). Si E(X)=10 y Var(X)= 12, encontrar los valores de a y de b. a+b =E ( X )=10 2 a+b=20 a=20−b 2 (b−a) =12 12 ( b−20+b )2=144 2 b−20=12 2 b=32 ; b=16 a=20−b=20−16=4 Respuesta: a= 4, b=16 5.23 Sea X una variable aleatoria con distribución beta y parámetros α= 3 y β= 1. a) Graficar la función de densidad de probabilidad. b) Obtener la media, la varianza, la desviación media, el coeficiente de asimetría y la curtosis relativa. c) ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor que se encuentre dentro de una desviación estándar a partir de la media? ¿ A dos desviaciones estándar? d) Determinar los cuantiles de esta distribución. Respuesta: b) E(X) = 0.75, Var(X)=0.0375, D.M.(X) = 0.1582, α3(X)= -0.8607, α4(X)= 3.0952; c) 0.6679, 0.9523; d) 0.63, 0.7937, 0.9086 5.29 Sea X una variable aleatoria con distribución gama con α= 2 y θ= 50. a) ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un valor menor al valor de la media? μ=αθ

μ=2 ×50=100 100 ) γ (2) 1.188 50 P ( X μ) P ( X >θ )=1−P ( X ≤ θ ) −θ θ

P ( X >θ )=1−1+e =0.3679 b) ¿Cuáles son las probabilidades de que X tome un valor que se encuentre en un intervalo igual a una desviación estándar, primero , y en un intervalo igual a dos desviaciones estándar de la media? P ( X ≤ μ+σ )=P ( X ≤θ+θ ) P ( X ≤ μ+σ )=P ( X ≤2 θ )

P ( X ≤ 2 θ )=1−e

−2 θ θ

=0.8647

P ( X ≤ μ+2 σ ) =P ( X ≤ θ+2 θ ) P ( X ≤ μ+2 σ ) =P ( X ≤ 3 θ ) P ( X ≤ μ+2 σ ) =1−e

−3 θ θ

P ( X ≤ μ+2 σ ) =0.9502 Respuesta: a) 0.3679; b) 0.8647, 0.9502 5.41 Un dispositivo tiene una frecuencia de falla constante h(t) = 10 2 por hora.. a) ¿Cuál es la confiabilidad del dispositivo para t = 200 horas?. b) Si 500 de estos dispositivos fallan de manera independiente, ¿cuál es el número esperados de fallas entre éstos, después de 200 horas? Respuesta: a) 0.1353; b)433