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• Luis Eduardo Bolaños Avendaño

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Unidad 2: Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares.

2.1 Ecuaciones paramétricas 

Curva: sucesión de pares ordenados ubicados en un plano rectangular provenientes de una relación entre dos variables, una independiente y otra dependiente. Dichos puntos brindan información como: 

Máximos y mínimos



Puntos de inflexión



Discontinuidades

2.1 Ecuaciones paramétricas 

Imagine que una partícula se mueve a lo largo de la curva C mostrada en la figura.



Es imposible describir C ecuación de la forma y=f(x).



Las coordenadas x e y de la partícula son funciones del tiempo t y, por tanto, se puede escribir por medio de x=f(t) y y=g(t).

por

una

2.1 Ecuaciones paramétricas 

Definición. Suponga que x y y se dan como funciones de una tercera variable t (llamada parámetro) mediante las ecuaciones x=f(t) y=g(t)

(llamadas ecuaciones paramétricas). Cada valor de t determina un punto (x, y), que se puede representar en un plano coordenado. 

Cuando t varia, el punto (x, y)=(f(t),g(t)) varia y traza una curva C, que llamamos curva paramétrica.



En muchas aplicaciones de curvas paramétricas, t denota el tiempo y, por tanto, se puede interpretar a (x,y)=(f(t),g(t)) como la posición de una partícula en el tiempo t.

2.1 Ecuaciones paramétricas 

Ejemplo 1. Bosqueje e identifique la curva definida por las ecuaciones paramétricas

2.1 Ecuaciones paramétricas 

En el ejemplo anterior no se restringe el parámetro t, así que asumimos que t puede ser cualquier numero real. Pero algunas veces restringiremos a t a un intervalo finito.

En general, la curva con ecuaciones paramétricas x= f(t) y=f(t) a ≤t≤ b tiene un punto inicial ( f(a),g(a)) y un punto terminal (f(b),g(b))

2.1 Ecuaciones paramétricas 

Una partícula cuya posición está dada por las ecuaciones paramétricas, se mueve a lo largo de la curva en la dirección de las flechas a medida que t aumenta.



Las ecuaciones paramétricas tienen una ventaja, nos dicen cuándo estuvo la partícula en un punto y la dirección de su movimiento



Ejemplo 2. ¿Qué curva representan las siguientes ecuaciones paramétricas?

El parámetro t puede interpretarse como el ángulo (en radianes) que se ve en la figura

2.1 Ecuaciones paramétricas 

Ejemplo 3. ¿Qué paramétricas?

curva

representan

las

siguientes

ecuaciones

Cuando t se incrementa de 0 a 2π el punto (x, y)=(sen 2t, cos 2t) empieza en (0, 1) y se mueve dos veces alrededor de la circunferencia en dirección de las manecillas del reloj.

2.1 Ecuaciones paramétricas 

Ejemplo 4. ¿Qué paramétricas?

curva

Si es posible, elimine el parámetro.

representan

las

siguientes

ecuaciones

2.1 Ecuaciones paramétricas 

Ejemplo 5. Dibuje e identifique la curva definida por las ecuaciones paramétricas

Si es posible, elimine el parámetro.

Diferentes conjuntos de ecuaciones paramétricas pueden representar la misma curva. Así, distinguimos entre una curva, como un conjunto de puntos, y una curva paramétrica, en la que los puntos están trazados de un modo particular.

2.1 Ecuaciones paramétricas 

a) Elimine el parámetro para hallar una ecuación cartesiana de la curva.



b) Bosqueje la curva e indique con una flecha la dirección en que se traza la curva cuando crece el parámetro.

2.2. Sistemas algebraicos de cómputo 

Existen ecuaciones paramétricas que requieren los recursos de un sistema algebraico de cómputo—como Mathematica, Maple o Sage—para la graficación de las curvas dadas por dichas ecuaciones paramétricas.



En Sage se sigue la siguiente sintaxis para graficar curvas paramétricas: parametric_plot((f(t), g(t)), (t, a, b))

donde [a,b] es el intervalo que recorre el parámetro. 

La variable que se usa por defecto es x, si se usa otra variable distinta, hay que definirla como tal en la hoja de trabajo.



Algunas opciones para la instrucción son: 

color: asignar color a la gráfica



Frame: enmarcar la gráfica, acepta los valores true o false.



Axes: activar o desactivar los ejes, acepta los valores true o false.



Thickness: grosor del trazo.



Fill: rellenar curva, acepta valores true o false.

2.2. Sistemas algebraicos de cómputo 

Existen ecuaciones paramétricas que requieren los recursos de un sistema algebraico de cómputo—como Mathematica, Maple o Sage—para la graficación de las curvas dadas por dichas ecuaciones paramétricas.



Ejemplo 6. Utilice Sage para graficar la curva dada.

−2 ≤ 𝑡 ≤ 2

2.2. Sistemas algebraicos de cómputo 

En general, cuando se quiera graficar una ecuación de la forma x = g(y), se utilizan las ecuaciones paramétricas



También, si se quiere graficar una ecuación de la foma y = f(x), utilice las ecuaciones paramétricas



Ejemplo 7. Utilizando Sage grafique las ecuaciones paramétricas

0 ≤ 𝑡 ≤ 2π

2.2. Sistemas algebraicos de cómputo

2.2. Sistemas algebraicos de cómputo 

Ejemplo 8. Utilizando Sage grafique las ecuaciones paramétricas 0 ≤ 𝑡 ≤ 20π

2.2. Sistemas algebraicos de cómputo 

En Geogebra se puede realizar la graficación con curvas paramétricas utilizando la siguiente sintaxis:

Curva[ , , , , ] Donde , es el intervalo que recorre el parámetro.

2.3 La cicloide 

La curva trazada por un punto P sobre la circunferencia de un circulo cuando este rueda a lo largo de una recta se llama cicloide.



Si el círculo tiene radio r y rueda a lo largo del eje x, y si una posición de P está en el origen, las ecuaciones paramétricas de la cicloide se determinan como sigue:

2.3 La cicloide 

Elegimos como parámetro al ángulo de rotación θ del círculo (θ=0 cuando P está en el origen). Suponga que el círculo ha girado θ radianes.



Debido a que el círculo ha estado en contacto con la recta, se ve de la figura, que la distancia que ha rodado desde el origen es



Por tanto, el centro del círculo es C(rθ, r). Sean (x, y) las coordenadas de P. Entonces, vemos que

2.3 La cicloide 

Así que las ecuaciones paramétricas de la cicloide son



Un arco de la cicloide viene de una rotación del círculo y, por tanto, se describe mediante

2.4 Cálculo con ecuaciones paramétricas

2.4.1. Derivadas y tangentes 

Suponga que f y g son funciones derivables y queremos encontrar la recta tangente en un punto sobre la curva donde y también es una función derivable de x. Entonces la regla de la cadena da



Si dx/dt≠0, podemos resolver para dy/dx:

2.4.1. Derivadas y tangentes 

La ecuación anterior nos posibilita para encontrar la pendiente dy/dx de la recta tangente a una curva paramétrica, sin tener que eliminar el parámetro t.



La curva tiene una tangente horizontal cuando dy/dt=0 (siempre que dx/dt≠0) y tiene una recta tangente vertical cuando dx/dt=0 (siempre que dy/dt≠0).



También es útil considerar 𝑑𝑥 2 . Esto lo podemos encontrar reemplazando y por dy/dx en la primer ecuación:

𝑑2 𝑦

2.4.1. Derivadas y tangentes 

Ejemplo 1. Para la curva dada por

𝑥= 𝑡y𝑥=

1 4

𝑡2 − 4 𝑡 ≥ 0

Halle la pendiente y la concavidad en el punto (2,3).

2.4.1. Derivadas y tangentes 

Ejemplo 2. Una curva C está definida por las ecuaciones paramétricas 𝑥 = 𝑡 2 , y = 𝑡 3 − 3𝑡

a)

Demuestre que C tiene dos rectas tangentes en el punto (3, 0) y encuentre sus ecuaciones.

b)

Encuentre el punto sobre C donde la recta tangente es horizontal o vertical.

c)

Determine dónde la curva es cóncava hacia arriba o hacia abajo.

d)

Trace la curva.

Como en las ecuaciones paramétricas x=f(t) y y=g(t) no se necesita que y esté definida en función de x, puede ocurrir que una curva plana forme un lazo y se corte a sí misma. En esos puntos puede haber más de una recta tangente.

2.4.2. Áreas 𝑏



Sabemos que el área bajo una curva y=F(x) de a a b es A=‫𝑥𝑑 𝑥 𝐹 𝑎׬‬, donde F(x)≥0.



Si la curva se traza por medio de las ecuaciones paramétricas x=f(t) y y=g(t), α≤t≤β entonces podemos calcular una fórmula para el área utilizando la regla de la sustitución para integrales definidas como sigue:



Los límites de integración para t se encuentran como de costumbre con la regla de sustitución. Cuando x=a, t es α o β. Cuando x=b, t es el valor restante.

2.4.2. Áreas 

Ejemplo 1. Encuentre el área bajo uno de los arcos de la cicloide



Ejemplo 2. Use las ecuaciones paramétricas de una elipse x=acosθ, y=bsenθ, 0≤θ≤2 π para encontrar el área que encierra.

2.4.3. Longitud de arco 

Frecuentemente dibujamos la gráfica de una función y = f(x) y nos referimos a ella como el lugar geométrico o curva que representa la función.



Cuando dibujamos tal gráfica, automáticamente asociamos una longitud con cualquier parte de ella (por ejemplo, la parte que va de P1 a P2 en la curva mostrada en la figura).



Formulamos ahora tres preguntas: 1.

¿Cuál es la clase de curvas (o lugares geométricos) con la que asociaremos una longitud?

2.

¿Cómo definiremos dicha longitud?

3.

Ya definida la longitud de una curva, ¿cómo la medimos?

2.4.3. Longitud de arco 

Estas preguntas se contestan fácilmente para líneas rectas. Todo segmento de línea recta tiene una longitud dada por la fórmula de la distancia

donde (x1,y1) y (x2,y2) son las coordenadas de los extremos del segmento. También estamos familiarizados con la fórmula para calcular la longitud de un arco circular. 

Un primer paso en una discusión precisa de la longitud de una curva, de la cual un arco circular es un caso especial, es la definición de lo que llamaremos un arco.

2.4.3. Longitud de arco 

Definición. Si un lugar geométrico está dado en la forma de una función tal que y=f(x), a≤x≤b, y si f es continua en este intervalo, entonces el lugar geométrico de f se denomina un arco. Cuando el lugar geométrico está dado por las ecuaciones paramétricas

se dice que es un arco si F y G son continuas en el intervalo [c,d] 

Es decir, solamente estudiaremos las longitudes de aquellas curvas que son arcos.

2.4.3. Longitud de arco 

En cuanto a la segunda pregunta, sabemos que la longitud de un arco de curva sólo se define para curvas que son rectificables. Si una curva es lisa o suave, entonces es rectificable y tiene longitud.



Cuando una curva está dada en ecuaciones paramétricas, si f’(t) y g’(t) son continuas en el intervalo [c,d], entonces la curva es lisa y por tanto rectificable y su longitud está definida.



Ahora pasamos a la tercera pregunta. Si C es una curva dada en la forma y = f(x), donde f tiene una derivada continua en [a,b], sabemos que su longitud está dada por la fórmula

2.4.3. Longitud de arco 

Suponiendo que C también se puede describir mediante las ecuaciones paramétricas x=F(t) y y=G(t), c≤t≤d, donde dx/dt = F’(t) > 0, lo que significa que la curva C es recorrida una sola vez de izquierda a derecha cuando t se incrementa de c hasta d y F(c) = a, F(d) = b. Sustituyendo la ecuación para derivar con ecuaciones paramétricas en la fórmula anterior se tiene



Como dx/dt > 0, tenemos

2.4.3. Longitud de arco 

Ejemplo 1. Encuentre la longitud de las curvas con ecuaciones paramétricas



Ejemplo 2. Encuentre la longitud de un arco de la cicloide



Ejemplo 3. Suponga que 𝑥 = + 1, 𝑦 = 2𝑡 . Determine la longitud del arco desde el punto correspondiente a t = 1 hasta el punto correspondiente a t = 3. 𝑡3

9 2

2.4.3. Longitud de arco 

Ejemplo 4. un círculo de radio 1 gira alrededor de otro mayor de radio 4. La epicicloide descrita por un punto de la circunferencia del círculo más pequeño esta dada por Hallar la distancia recorrida por el punto en una vuelta completa alrededor del círculo mayor.

2.4.4 Área de una superficie 

En la misma forma que para la longitud de arco, se puede adaptar la fórmula estudiada en cálculo integral para obtener una fórmula para el área de una superficie.



Si la curva dada por las ecuaciones paramétricas x=f(t), y=g(t), α≤t≤β, se hace rotar en torno al eje x, donde f’,g’ son continuas y g(t)≥0, entonces el área de la superficie resultante está dada por



Las fórmulas simbólicas generales 𝑠 = ‫ ׬‬2πyds y 𝑠 = ‫ ׬‬2πxds aún son válidas sólo que para ecuaciones paramétricas utilizamos

2.4.4. Área de una superficie 

Ejemplo 1. Calcule el área de la superficie generada al hacer girar un arco de la cicloide en torno al eje x.



Ejemplo 2. Demuestre que el área de la superficie de una esfera de radio r es 4πr 2 .



Ejemplo 3. Sea C el arco de la circunferencia 𝑥 2 +𝑦 2 = 9 que va desde (3,0) 3 3 3

hasta (2, 2 ). Encuentre el área de la superficie generada por revolución de C alrededor del eje x.

2.5 Coordenadas polares 

Un sistema coordenado representa un punto en el plano mediante un par ordenado de números llamados coordenadas.



Además de las coordenadas cartesianas existe otro sistema llamado sistema coordenado polar.



Se elige un punto en el plano que se llama polo (u origen) y se identifica con O. Luego se dibuja un rayo (semirrecta) que empieza en O llamado eje polar. Usualmente, este eje se traza horizontalmente a la derecha, y corresponde al eje x positivo en coordenadas cartesianas.

2.5 Coordenadas polares 

Si P es cualquier otro punto en el plano, sea r la distancia de 0 a P y sea θ el ángulo (por lo regular medido en radianes) entre el eje polar y la recta OP.



Entonces el punto P se representa mediante el par ordenado (r,θ) y r,θ se llaman coordenadas polares de P.



Un ángulo es positivo si se mide en el sentido contrario a las manecillas del reloj desde el eje polar, y negativo si se mide en el sentido de las manecillas del reloj.



Si P=0, entonces r=0 y se está de acuerdo en que (0,θ) representa el polo para cualquier valor de θ.

2.5 Coordenadas polares 

Si r es negativa los puntos (-r,θ) y (r,θ) están sobre la misma recta que pasa por 0 y a la misma distancia |r| desde 0, pero en lados opuestos de 0.



Si r>0, el punto (r,θ) está en el mismo cuadrante que θ, si r