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• Luis Lino

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Las matemáticas son fáciles

Unidad II

Inecuaciones y funciones reales I

Prof.: Christiam Huertas www.mathesm.blogspot.com 27/02/2012

Prof.: Christiam Huertas

1

Inecuaciones lineales y funciones reales I

UNIDAD

II

Capítulo 1 Inecuación lineal Las expresiones “a lo menos”, “cuando mucho”, “como mínimo”, “como máximo”, “sobrepasa”, “no alcanza” y otras, están presentes en nuestro lenguaje diario y en general se refieren a situaciones en las cuales se establecen comparaciones entre dos magnitudes. Por ejemplo, que la máxima velocidad permitida en carretera es de 100 km/h, quiere decir que el rango de velocidades permitidas se encuentra entre 0 y 100 km/h, y expresado en términos matemáticos, se escribe . O bien, “el doctor indico que debe bajar por lo menos 6 kg”, quiere decir que el peso ideal ( ) es menor o igual que el peso actual ( ) menos 6 kg, y expresado matemáticamente se escribe . Se ve, entonces, que las inecuaciones permiten modelar o representar algunas situaciones de comparación. En este capítulo precisamente aprenderemos a manejarnos con este tipo de situaciones. Inecuación 1.1 Una inecuación en una variable es una proposición que involucra dos expresiones, de las que al menos una contiene a la variable, separadas por uno de los símbolos de desigualdad: , , o . Ejemplo 1 a) b) c) d)

Ejemplos de inecuaciones

e) Prof.: Christiam Huertas

2

1.1.1 Solución de una inecuación Una solución de una inecuación en es un valor de es verdadera.

para el que la inecuación

Ejemplo 2 Solución de una inecuación Consideremos la inecuación . Buscamos valores de para el cual se verifique la inecuación: Si Si Si Si

( )

:

(F)

Entonces

no es solución.

(V)

Entonces

es solución.

(V)

Entonces

( )

: : √ :

(

)

(√ ) √

es solución.

√ √

(V) Entonces √ es solución.

Así, podemos encontrar más soluciones, pero no es la forma correcta. Lo que tenemos que hacer es resolver la inecuación y hallar todas las soluciones. 1.1.2 Conjunto solución de una inecuación El conjunto solución de una inecuación es el conjunto formado por todas las soluciones de la inecuación y se denota por . Ejemplo 3 Ejemplo de conjunto solución En la inecuación , vemos que se verifica si es cualquier número menor que 3; es decir, las soluciones son todos los números que pertenecen al 〉. Por lo tanto, 〈 〉. intervalo 〈 Gráficamente:

𝑥

1.1.3 Resolución de una inecuación Resolver una inecuación en significa determinar todos los valores de para los que la inecuación es verdadera; es decir, tenemos que hallar su conjunto solución. Prof.: Christiam Huertas

3

Un método para resolver una inecuación es sustituirla por una serie de desigualdades equivalentes hasta obtener una desigualdad con una solución obvia, como . Se obtienen desigualdades equivalentes aplicando las propiedades de desigualdades estudiadas anteriormente. Ejemplo 4 Ejemplo de resolución de una inecuación Resuelva la inecuación . Solución Aplicaremos las propiedades de desigualdades para resolver la inecuación: Restamos x Sumamos 1 Es decir; las soluciones son todos los números mayores que 4. Por lo tanto, 〈 〉 . Inecuación lineal 1.2 Una inecuación lineal o de primer grado es una desigualdad que se verifica para uno o más valores reales de su variable. Una inecuación lineal es una inecuación de la forma: donde

y

es la variable.

1.2.1 Resolución de una inecuación lineal Una inecuación de primer grado se resuelve empleando las leyes de orden dadas anteriormente. Ejemplo 5 Resuelva la inecuación

. Solución

Se tiene la inecuación: Restamos Dividimos entre Prof.: Christiam Huertas

4

El conjunto solución es el intervalo 〈 Ejemplo 6 Resuelva la inecuación

〉.

. Solución

Se tiene la inecuación: Restamos 7 Restamos Dividimos entre El conjunto solución es el intervalo , Ejemplo 7 Resuelva la inecuación

⟩.

. Solución

Se tiene la inecuación: Sumamos Dividimos entre 3 El conjunto solución es el intervalo 〈

〉.

Ejemplo 8 Resuelva la inecuación

. Solución

Se tiene la inecuación: Multiplicamos por

(

)

.

/

( )

Restamos

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5

Dividimos entre Que es equivalente a El conjunto solución es el intervalo ,

-.

Ejemplo 9 Lucero S.A.C., una firma de confecciones, determina que sus ingresos totales, en dólares, a partir de la venta de prendas, están dados por . Determine el número de vestidos que debe vender Lucero para asegurar que sus ingresos totales sean superiores a $ 70 050. Solución Se sabe que si vende prendas, el ingreso total es de dolares. Se quiere que los ingresos sean superiores a $ 70 050, entonces de debe tener la siguiente condición: Ingreso Resto 50 Multiplico por Así, los ingresos totales de la compañía excederán $ 70 050 cuando venda más de 350 prendas.

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6

Capítulo 2 Producto cartesiano El nombre de producto cartesiano de dos conjuntos fue dado en honor al gran matemático francés Descartes (1596-1650), quien al considerar el plano como un conjunto de pares de números inició una nueva rama de las Matemáticas llamada Geometría Analítica.

Par ordenado 2.1 Los pares ordenados aparecen con naturalidad con bastante frecuencia. Observemos los siguientes cuadros: el primero muestra una lista de objetos con sus respectivas cantidades y precios; y el segundo, una lista de nombres con sus respectivos números telefónicos. Concepto Lápices Lapiceros Plumones

Cantidad Precio (S/.) 2 cajas 12 5 cajas 20 12 cajas 84

Apellidos y nombres Pérez Soto Abel Torres Castro Ana Suarez Quispe Luana

Teléfono 5326487 4366612 3451278

Es notorio que a cada objeto de la primera lista está asociada una pareja de números en el orden cantidad – precio, estas parejas son: (

)(

)(

)

donde el primer número de cada pareja corresponde a la cantidad y el segundo número, al precio. Igualmente se puede observar en la segunda lista, que cada número telefónico está asociado al nombre completo de una persona, formando parejas de nombres y número telefónico, en ese orden. Estos ejemplos nos ilustran la idea de par ordenado. Dados dos conjuntos (no vacíos), un par ordenado está formado por dos elementos, uno por cada conjunto, guardando un orden estricto.

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7

Notación El par ordenado se escribe entre paréntesis, separado por una coma: ( ) Primera componente Segunda componente Se lee: Par ordenado Ejemplo 1   

coma .

Ejemplos de pares ordenados

( ) (√ ) ( )

  

La definición formal de par ordenado: ( Kuratowski, quien la introdujo en 1921.

( ( (

)

(

)

{* + *

)

) ) +}, se debe a

2.1.1 Igualdad de pares ordenados Dos pares ordenados son iguales si y solamente si sus primeros componentes son iguales y sus segundos componentes también son iguales. Simbólicamente se expresa así: ( ) ( Ejemplo 2 Determine el valor de ( ) son iguales.

e

)

si se sabe que los pares ordenados (

Solución Como los pares ordenados son iguales: ( se debe cumplir que y y Es decir, e .

)

(

)y

)

2.1.2 Plano cartesiano El plano cartesiano se forma con dos rectas reales que se interceptan perpendicularmente, donde el punto de intersección es en cero ( ), llamado centro u origen de coordenadas. Prof.: Christiam Huertas

8

𝑌

𝑋

Plano cartesiano A la recta horizontal se le llama eje o eje de las abscisas. A la derecha del cero se ubican convencionalmente valores positivos y a la izquierda valores negativos. A la recta vertical se le llama eje o eje de las ordenadas. Sobre el cero, convencionalmente se ubican los valores positivos y bajo este los valores negativos. 2.1.2 Representación geométrica de un par ordenado La representación de un par ordenado en el plano cartesiano se realiza de la siguiente manera: la primera componente va siempre en el eje y la segunda en el eje . 𝑌 𝑏

(𝑎 𝑏)

𝑎

𝑋

Representación geométrica del par ordenado (a,b) La representación de un par ordenado queda determinada mediante un punto que se ubica con respecto a cada una de sus componentes en la intersección de las paralelas al eje de las y de las respectivamente.

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9

Ejemplo 3 Represente geométricamente los siguientes pares ordenados: ( )( )( )( )( )( ) Solución Lo ubicamos en el plano cartesiano. 𝑌

𝑋

Cálculo del producto cartesiano 2.2 Dados dos conjuntos y no vacios, se llama producto cartesiano al conjunto de pares ordenados, formado por todos los elementos de , como primeros componentes, asociados a los elementos de , como segundos componentes. Notación

Ejemplo 4 Dados los conjuntos de y (es decir, Por definición,

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Definición *( )

+

* +y * +. Halle el producto cartesiano ) y el producto cartesiano de y (es decir, ). Solución *( ) + *( )( )( )( )( )( )+

10

*( *(

También, Notamos que

) )(

)(

+ )(

)(

es diferente que

)(

)+

.

Otros métodos útiles para obtener el producto cartesiano de dos conjuntos, es el diagrama del árbol y la tabla de doble entrada; las cuales se muestran a continuación: a)

b)

Diagrama del árbol

( ( (

) ) )

( ( (

) ) )

Tabla de doble entrada 𝐵

𝐴

1 ( (

3 5

2 ) )

( (

4 ) )

( (

) )

2.2.1 Representación gráfica del producto cartesiano El producto cartesiano de y se puede representar mediante las siguientes graficas: a)

Diagrama sagital de 𝐴

𝐵 ∙

∙ ∙

∙

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∙

11

b) Representación de en el plano cartesiano También se puede representar en el plano cartesiano: en el eje , los elementos del conjunto ; y en el eje , los elementos del conjunto . 𝒀 𝐴

𝐵

𝑿

Ejemplo 5 Dados los conjuntos * + * Halle el producto cartesiano

+

. Solución Expresamos los conjuntos por extensión: * + * + * + * *( *(

Por definición,

Tenga en cuenta que: ( 2.1.1

+

) )(

+ )(

)(

)

)(

)( (

) )(

)+

.

Propiedades del producto cartesiano 1.

El producto cartesiano no es conmutativo. En general si y son 2 conjuntos no vacíos:

Salvo en el caso en que

.

A

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12

Notación Si , entonces:

Ejemplo 6 Dado el conjunto

*

Se tiene el conjunto 𝐴

+. Halle

. Solución

*

+

𝐴 ( ( (

) ) )

( ( (

) ) )

( ( (

) ) )

Es decir; *(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

2.

El producto cartesiano es nulo o vacío, si y solo si es vacío o es vacío.

)+

A

3.

El cardinal de es igual al cardinal de multiplicado por el cardinal de . (

)

( )

( )

A

( ): número de elementos del conjunto .

Ejemplo 7 * Si Es decir;

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+y

*

+, entonces: ( ) ( ) ( ) tiene exactamente 12 elementos (12 pares ordenados).

13

Capítulo 3 Relaciones Las cosas del mundo real se encuentran, unas con otras en estrecha vinculación, en particular emparentadas por algún criterio de vinculación: “María es hija de Arturo”, “Vanessa estudia en la UCH”, “Nazca es una provincia de Ica”, “el ascensor tiene capacidad para 11 personas”, son ejemplos donde los objetos están vinculados, respectivamente, por los criterios: “…es hija de…”, “…estudia en la UCH…”, “…es una provincia de…”, “…tiene capacidad para…”. Este apareamiento de elementos de conjuntos de acuerdo a algún criterio es lo que se llama relación. El concepto de relación es sumamente poderoso, útil y sencillo, es por ello que el estudio de las relaciones matemáticas es básico y fundamental en la Matemática en general. Relación 3.1 Sean y dos conjuntos. Una relación de del producto cartesiano de y .

en

, es cualquier subconjunto

Simbólicamente, es una relación de Ejemplo 1 Dados los conjuntos

* *(

+y )(

Algunos subconjuntos de *( *( *(

)+ )( )(

Por definición,

)+ )( ,

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+; hallemos

)(

)(

)(

)(

: )+

son:

)+ y

son relaciones de

En total, podemos encontrar incluyendo al conjunto vacio. Notación Si es una relación de

*

en

(

en .

)

relaciones de

en

y , también se denota por

14

Ejemplo 2 Ejemplos de relaciones * +y * Dados los conjuntos El producto cartesiano de estos conjuntos es *( (

)( )(

)( )(

+.

)( )(

)( )(

)( )(

) )+

Establezcamos condiciones para relacionar pares de este conjunto. Se formaran subconjuntos con las características precisas siguientes: Caso 1: Que los primeros elementos sean iguales a los segundos: ( )( ) son los pares ordenados que cumplen la relación, y forman un subconjunto de . Luego, *( )( )+ es una relación de en . Caso 2: Que los primeros elementos sean mayores que los segundos: ( )( )( )( )( ) son los pares que cumplen la relación, y forman un subconjunto de . Luego, *( )( )( )( ) ( )+ es otra relación de en . Caso 3: Que los primeros elementos sean menores que los segundos: ( )( )( )( )( ) son los pares ordenados que cumplen la relación, y forman un subconjunto de . Luego, *( )( )( )( )( )+ es otra relación de en . Ejemplo 3 Ejemplo de relación Un estudiante de biología, a fin de investigar la RELACIÓN entre el aumento de peso y la edad de los pavos, pesa un pavo cada mes, desde el momento en que nace hasta que adquiere un máximo desarrollo. La tabla que sigue indica las edades, en meses, y los pesos aproximados correspondientes a esas edades, expresado en kilogramos. Edad en meses

Recién nacido

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Peso en kg.

0,1

0,6

2,1

4,0

6,2

8,4

10,6

12,7

14,6

14,8

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15

La tabla indica un conjunto de “parejas ordenadas” de números, el primero de los cuales es la edad y el segundo el peso; habiéndose formado una relación ordenada entre los dos números de cada pareja. Notación Dados dos conjuntos y , la relación de un elemento un elemento del conjunto , se denota así: ó ( ) Que se lee: “ esta relacionada con ” Ejemplo 4 Dados los conjuntos en como:

*

+y

*

del conjunto

con

+. Se define la relación

de

si y solo si Halle

por extensión.

Solución Primero hallemos el producto cartesiano de y . *(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)+

) que cumplan con la condición Escojamos los pares ordenados ( ( )( )( )( ) *( )( )( )( )+. Es decir; Ejemplo 5 Dados los conjuntos en como:

* *(

Halle

+y

*

:

+. Se define la relación

)

de

+

por extensión.

Solución Primero hallemos el producto cartesiano de y . *(

)(

)(

)(

)(

)(

)( (

)( )(

) )(

) que cumplan con la condición Escojamos los pares ordenados ( un número par: ( )( )( )( )( )( ) *( )( )( )( )( )( )+. Es decir; Prof.: Christiam Huertas

)(

)+ es

16

Ejemplo 6 * +y Dados los conjuntos en . Halle por extensión en cada caso: a) b) c) d) e) f)

( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) )

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si y solo si si y solo si si y solo si si y solo si si y solo si si y solo si

*

+; y la relación

de

. . . divide a . . es múltiplo de 3. Solución

17

Tipos de relación Hay cuatro tipos de relación entre los elementos de un mismo conjunto: Reflexiva, Simétrica, Transitiva y de Equivalencia (esta última engloba a las anteriores). Relación reflexiva es una relación reflexiva si todos los elementos del conjunto relacionados consigo mismo, a través de .

están

Simbólicamente, se denota así: (

es reflexiva

)

Ejemplo 7 Ejemplo de relación reflexiva * + y la relación Sea el conjunto *( )( )( ) es una relación reflexiva ya que (

de )(

dada por )+ .

Relación simétrica es una relación simétrica si siempre que un elemento del conjunto está relacionado con otro del mismo conjunto a través de , este último, a su vez, está relacionado con el primero a través de . Simbólicamente, se denota así: es simétrica

(

)

Ejemplo 8 Ejemplo de relación simétrica * + y la relación Sea el conjunto *( )( )( ) es una relación simétrica ya que (

(

de )(

)

dada por (

)+ )

.

Relación antisimétrica es una relación antimétrica si siempre que un elemento del conjunto está relacionado con otro del mismo conjunto a través de , este último, a su vez, no está relacionado con el primero a través de . Prof.: Christiam Huertas

18

Simbólicamente, se denota así: (

es antisimétrica

)

Ejemplo 9 Ejemplo de relación antisimétrica * + y la relación Sea el conjunto *( )( )( ) es una relación antisimétrica ya que (

(

de )(

)

dada por )+ (

)

.

Relación transitiva es una relación transitiva cuando siempre que un elemento del conjunto está a su vez relacionado con otro, y este está relacionado con un tercero, entonces el primero está relacionado con el tercero, a través de . Simbólicamente, se denota así: Si (

)

(

)

(

)

Ejemplo 10 Ejemplo de relación transitiva * + y una relación en definida como: “es mayor Sea el conjunto que”. Entonces *( )( )( )+ es una relación transitiva. Ejemplo 11 Ejemplo de relación transitiva * + y una relación transitiva en Sea el conjunto definida como: “juega por el mismo equipo que”. Entonces *( )( )( )+ es una relación transitiva.

Relación de equivalencia de en es una relación de equivalencia cuando es reflexiva, simétrica y transitiva simultáneamente.

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19

Ejemplo 11 Ejemplo de relación de equivalencia * +; pasajeros de un avión. Se cumple que Sea 1. 2. 3.

:

Es reflexiva porque cada uno paga su pasaje. Es simétrica porque Pedro viaja en el mismo avión que Juan y Juan viaja en el mismo avión que Pedro. Es transitiva, porque si Pedro viaja con Juan y Juan viaja con Andrés; entonces, Pedro viaja con Andrés.

Relación de orden de en es una relación de orden cuando es reflexiva, antisimétrica y transitiva simultáneamente.

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20

Capítulo 4 Funciones Las funciones son realmente fundamentales para las matemáticas. De manera usual decimos: “el funcionamiento del mercado de valores es una función de la confianza de los consumidores”, o bien “la presión sanguínea del paciente es una función de los medicamentos prescritos”. En cada caso, la palabra función expresa la idea de que el conocimiento de cierta información nos lleva al conocimiento de otra. En matemáticas, las funciones más importantes son aquellas en las que el conocimiento de un número nos indica otro número. Si conocemos la longitud del lado de un cuadrado, podemos determinar su área. Si conocemos la circunferencia de un círculo, podemos determinar su radio. Es la idea matemática más útil para modelar el mundo real. Funciones en nuestro entorno 4.1 En casi todo fenómeno físico se observa que una cantidad depende de otra. Por ejemplo, la estatura depende de la edad, la temperatura depende de la fecha, el costo de enviar una encomienda depende de su peso. Se usa el término función para describir esta dependencia de una cantidad sobre otra. Es decir, se expresa lo siguiente:   

La altura es una función de la edad. La temperatura es una función de la fecha. El costo de enviar encomienda es una función del peso.

Definición de función 4.2 Dados dos conjuntos no vacíos y y una relación , entonces se define: es una función de en si y solo si para cada elemento existe un solo elemento . 𝑓 𝐴 𝐵

∙𝑥

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∙𝑦

21

Notación Y, se lee: “ es una función de

→

o en ”.

Donde: es el conjunto de partida. es el conjunto de llegada. Ejemplo 1 *( )( )( )( )+ representa a una función, El conjunto porque a cada elemento de le corresponde un único elemento de . 𝑓 ∙

∙ ∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙

Ejemplo 2 *( )( )( )( )+ no representa a una función, El conjunto porque a un mismo elemento de , el , le corresponde dos elementos de , que son y , incumpliendo con la definición de función. 𝑔 ∙ ∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙

Condición de unicidad Sea una función. Si (

)

(

)

Es decir; no deben existir dos o más pares ordenados diferentes con el mismo primer elemento. Prof.: Christiam Huertas

22

Ejemplo 3 *( Si el conjunto función, halle el valor de

)( y .

)(

)(

)(

)+ representa una

)(

)+

Solución De la función *(

)(

)(

)(

notamos que: A le corresponde dos valores: y 6. A le corresponde dos valores: y . Como es una función, por la condición de unicidad se debe cumplir que: y y

4.3

Dominio y rango de una función

4.3.1 Dominio de una función Llamado también conjunto de preimágenes y está formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados pertenecientes a la función. Notación Sea

una función. ( )

*

(

)

+

4.4.1 Rango de una función Llamado también conjunto de imágenes y está dado por todas las segundas componentes de los pares ordenados pertenecientes a la función. Notación Sea

una función. ( )

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*

(

)

+

23

Ejemplo 4 Dominio y rango de una función *( )( )( )( Dada la función ( ) * ( ) *

)+, entonces

+ +

4.4.1 Regla de correspondencia Es la relación que existe entre los elementos del dominio y los del rango. Notación Sea

una función, entonces (

)

denota la dependencia entre

( )

e .

Además: es la variable independiente. es la variable dependiente Ejemplo 5 Dada la función

*(

)(

)(

( ( (

) ) ) )

( ( ( (

(

)

( )

( Es decir, si

)(

)+. Entonces, tenemos que

) ) ) )

Luego, la regla de correspondencia para la función 4.4 Sea si y

*

+

es:

o

( )

.

Función real de variable real una función. Diremos que es una función real en variable real, son subconjuntos de los reales; es decir, y .

Ejemplo 6 Función real de variable real , - tal que ( ) Dada la función ⟨ Vemos que ⟨ variable real. Prof.: Christiam Huertas

-

y ,

-

; es decir,

. es una función real de

24

Observación Si decidimos llamar a una función y es una de las entradas en el dominio de , entonces ( ) (que se lee “ de ”) representara el número de salida en el rango de que corresponde a la entrada . Así: Entrada Nombre de la función

( )

Salida

Evaluación de una función 4.5 En la definición de una función la variable independiente desempeña el papel de “marcador de posición”. Por ejemplo la función ( ) se puede considerar como ( ) Para evaluar posición.

en un número, se sustituye el número para el marcador de

Ejemplo 7 Evaluación de una función Dada la función ( ) . Evalúe la función en el valor indicado. a) (

)

b) ( )

c) ( )

d)

. /

Solución Evaluamos la función en cada caso: a)

(

)

b)

( )

( )

c)

( )

( )

d)

. /

(

)

(

)

. /

Ejemplo 8 Una función definida por partes Un teléfono celular cuesta S/. 39 al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y cada minuto adicional de uso cuesta S/. 0,2. El costo mensual es una función Prof.: Christiam Huertas

25

de la cantidad de minutos empleados, y se expresa como ( )

{

Determine el valor de (

( ), (

)

)y (

).

Solución Analicemos el valor de entrada : , entonces el valor de ( ) es 39. ( , entonces el valor de ( ) es

Si Si

, se tiene ( , se tiene ( , se tiene (

Puesto que Puesto que Puesto que

) ) )

).

(

)

Por lo tanto, el plan carga S/. 39 por 100 minutos, S/. 39 por 400 minutos y S/. 55 por 480 minutos. Ejemplo 9 Evaluar una función Dada la función ( ) )

( )

(

)

. Halle

)

(

)

)

)

(

)

( )

Solución Evaluamos la función en cada caso: )

( )

)

(

)

(

)

(

)

( )

)

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(

) ( ( ( )

)

) (

) ) (

)

26

4.6

Dominio y rango de una función (

( ))

4.6.1 Dominio de una función Recuerde que el dominio de una función es el conjunto de las entradas para la función. El dominio de una función se puede expresar de forma explícita. Ejemplo 10 Dominio explícito Si se escribe ( ) Entonces, el dominio es el conjunto de los números reales para los cuales . Si la función está dada por una expresión matemática y el dominio no se enuncia de manera explícita, entonces el dominio de la función es el conjunto de los números reales para los que la expresión se define como un número real.

Ejemplo 11 Determine el dominio de la función ( ) Solución Vemos que la función tiene sentido para todos los valores de dominio es todos los valores reales de con . ( ) * +. Por lo tanto,

excepto 3, el

Ejemplo 12 Halle el dominio de la función ( ) √ . Solución La función tiene sentido si es no negativo; es decir, ). igual a cero ( ( ) , ⟩ Por lo tanto, .

debe ser mayor o

Ejemplo 13 Determinación de dominios de funciones Halle el dominio de cada función. ) ( ) Prof.: Christiam Huertas

) ( )

√

) ( )

√

) ( )

√

27

Solución

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28

4.4.2 Rango de una función Recuerde que el rango de una función es el conjunto de las salidas para la función, y se calcula a partir del dominio. Ejemplo 14 Halle el rango de la función ( )

-.

⟨

si Solución

Se tiene la función ( ) ⟨ -; es decir Vemos que su dominio es ⟨ . Para hallar su rango, tenemos que hallar la variación de ( ). Como Multiplicamos por 2 Sumamos 5 Luego,

⟨

⏟ -. Por lo tanto,

( )

-.

⟨

Ejemplo 15 Halle el rango de la función ( ) Se tiene la función ( ) valor real de ; es decir,

. Solución , y notamos que esta definida para cualquier ( ) .

Como Sumamos 3 Luego,

⏟ ,

⟩. Por lo tanto,

Ejemplo 16 Halle el rango de la función ( )

( )

,

⟩.

.

Solución Se tiene la función ( ) , y notamos que esta definida para ( ) cualquier valor real de ; es decir, . Prof.: Christiam Huertas

29

La función lo podemos expresar como ( )

(

)

Como (

)

( Sumamos 1 Luego,

( ⏟ ,

) ) ( )

⟩. Por lo tanto,

,

⟩.

Ejemplo 17 Halle el rango de la función ( ) Se tiene la función ( )

√ Solución

√

.

Primero hallemos su dominio: La función esta bien definida si ( ) Hallemos su rango: ( ) , Como

.

, entonces , ⟩

. Es decir,

⟩, entonces

Resto 3 Tomo √ Resto 1 Luego,

√ ⏟ √ ,

⟩. Por lo tanto,

( )

,

⟩.

Ejemplo 18 Halle el rango de la siguiente función. ⟨ Solución -, y la función Vemos que el dominio es el intervalo ⟨ ( ) (

esta dada por: )

Como Resto 1 Prof.: Christiam Huertas

30

Al cuadrado Resto 2

( ( ⏟

) ) ⟨

-.

Ejemplo 19 Halle el rango de las siguientes funciones: ) ( ) )

( )

Luego,

)

⟨

( )

-. Por lo tanto,

( )

)

( )

,

⟩

Solución

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31

Formas para representar una función 3.2 Se puede describir una función específica en las cuatro formas siguientes: Verbal (mediante una descripción en palabras) Algebraica (mediante una fórmula explícita) Visual (por medio de una gráfica) Numérica (por medio de una tabla de valores)

Verbal Con palabras:

Cuatro formas de representar una función Algebraica Por medio de una fórmula:

( ) es la “población del mundo en el instante ”

( ) Área de un círculo.

Relación de la población y el tiempo . Visual Numérica Por medio de una gráfica: Por medio de una tabla de valores: (onzas)

Registro del terremoto de Japón (2011)

( ) (dólares)

Costo de enviar una carta por correo de primera clase.

Gráficas de funciones 3.3 La forma más importante de representar una función es por medio de su gráfica. 3.3.1 La gráfica de una función Si es una función con dominio , entonces la gráfica de pares ordenados ( )) {( } En otras palabras, la gráfica de ( ), es decir, la gráfica de Prof.: Christiam Huertas

es el conjunto de

es el conjunto de los puntos ( es la gráfica de la ecuación

) tales que ( ). 32

Ejemplo 13 Gráfica de una función *( )( )( )( Halle la gráfica de la función Solución Representamos cada par ordenado en el plano cartesiano:

Ejemplo 13 Graficación de funciones Trace las gráficas de las siguientes funciones. a) ( ) b) ( )

)(

c)

)+.

( )

√

Solución Primero se construye una tabla de valores. Luego se grafican los puntos expresados en la tabla y se unen mediante una curva lisa para obtener la gráfica.

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33

√

3.3.2 Obtención de información de la gráfica de una función Los valores de una función se representan por la altura de su gráfica arriba del eje . Asi, los valores de una función se pueden leer de su gráfica.

Ejemplo 13 Hallar valores de una función a partir de su gráfica La función mostrada en la figura da la temperatura entre el medio día y las 6 p.m. en cierta estación meteorológica. a) b)

Determine ( ), ( ) y ( ). ¿Qué es más grande, ( ) o ( )?

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34

𝑻( ⬚𝟎𝑭)

𝐇𝐨𝐫𝐚𝐬

a)

b)

Solución ( ) es la temperatura a la 1 p.m. Está representada por la altura de la gráfica sobre el eje . Por lo tanto, ( ) . De manera similar, ( ) y ( ) . Puesto que la gráfica es mayor en ( ) es más grande que ( ).

que en

, se deduce que

Rango

Observación La gráfica de una función ayuda a ilustrar el dominio y el rango de la función en el eje y el eje como se muestra en la figura: 𝑌

𝑦

𝑓(𝑥)

𝐃𝐨𝐦𝐢𝐧𝐢𝐨

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𝑋

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Ejemplo 13 Dominio y rango de una función a partir de su gráfica Halle el dominio y rango de la función muestra.

( )

√

cuya gráfica se

Solución

De la gráfica de la figura se ve que el dominio es ,

- y el rango es ,

-.

2.1.1 Prueba de la línea vertical La gráfica de una función es una curva en el plano . Pero surge la pregunta. ¿Qué curvas en el plano son gráficas de funciones? Esto se contesta mediante la prueba siguiente.

Prueba de la línea vertical Una curva en el plano coordenado es la gráfica de una función si y solo si ninguna línea vertical corta la curva más de una vez.

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Ejemplo 11 Prueba de la línea vertical Analicemos las siguientes gráficas.

Gráfica de una función

No es la gráfica de una función

Ejemplo 11 Uso de la prueba de la línea vertical Indique cuál de las siguientes gráficas representa a una función.

Solución a) b) c) d)

___ ___ ___ ___

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