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• Jaime Radich Vasquez

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Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

Matrices y vectores Aprendizaje esperado Escribe un arreglo matricial como resultado de la aplicación de la operatoria y propiedades de matrices. Criterios de evaluación: Calcula operatoria con matrices utilizando definición y propiedades

Recuerda la fórmula: Sean las matrices con n filas y m columnas

 a11  a A   21    an1

a1m   b11 b12   b b a2 m  B   21 22     anm   bn1 bn 2

a12 a22 an 2

b1m   b2 m    bnm 

Suma de matrices

 a11  b11  a b A  B   21 21    an1  bn1

a12  b12 a22  b22 an 2  bn 2

Matriz traspuesta de A

 a11  a t A   12    a1m

a21 a22 a2 m

a1m  b1m   a2 m  b2 m    anm  bnm  Multiplicación escalar

 ka11  ka kA   21    kan1 k R

an1   an 2    anm 

ka12 ka22 kan 2

ka1m   ka2 m    kanm 

Multiplicación de matrices Para que esté definida la multiplicación de matrices, el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B.

a1m  b11 b12  a11 a12   a21 a22 a2 m  b21 b22  AB      anm  bn1 bn 2  an1 an 2 Donde c11  a11  b11  a12  b21   a1m  bn1

c12  a11  b12  a12  b22  cnm  an1  b1m  an 2  b2m 

b1m   c11 c12   b2 m   c21 c22      bnm   cn1 cn 2

c1m   c2 m    cnm 

 a1m  bn 2  anm  bnm 1

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas EJERCICIO RESUELTO

 3 1  1 2 3  2 3  2 3    Sean las matrices A    ; B   2 4; C   ; D     4 0 2   1 2  4 1   1 5    De ser posible, calcular: 2  AB  CD 

t

DESARROLLO Para resolver este ejercicio se trabaja por partes analizando si es posible realizar las operaciones que se piden. 1) AB Para que esté definida la multiplicación AB el número de columnas de A debe ser igual al número de filas de B.

 3 1  1 2 3    AB    2 4  4 0 2     1 5 

= Como la multiplicación AB está definida se realiza la operación. La dimensión de la matriz resultante es 2  2 .

 3 1  1 2 3     1 3  2  2   3 1 11  2  4   3  5  10 6  AB     2 4    4  3  0  2  2  1 4 1  0  4  2  5          14 6   4 0 2      1 5  2) CD Para que esté definida la multiplicación CD el número de columnas de C debe ser igual al número de filas de D.

 2 3  2 3  CD      1 2  4 1 

= Como la multiplicación CD está definida se realiza la operación. La dimensión de la matriz resultante es 2  2 .

2

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

 2 3  2 3   2  2  3  4 CD      1 2  4 1    1  2   2   4

2   3  3 1

  16 3    1 3   2  1  10 1 

3) AB  CD Ahora se realiza la suma de las matrices, para que esté definida esta debe realizarse en matrices de iguales dimensiones, en este caso las dos matrices son de 2  2 . La suma de matrices se realiza componente a componente y se obtiene una matriz de iguales dimensiones.

10 6   16 3  10  16 6  3   26 9  AB  CD       14 6   10 1  14  10 6  1   4 5  4)  AB  CD 

t

Ahora se realiza la matriz traspuesta de la suma de matrices, se intercambian filas por columnas y se obtiene una nueva matriz.

 AB  CD 

t

 26 4     9 5 

5) 2  AB  CD 

t

Ahora se realiza la multiplicación escalar El número 2 multiplica a cada componente de la matriz.

2  4   52 8   26 4   2  26 t 2  AB  CD   2     2  9 2  5        18 10   9 5   8   52   18 10 

Por lo tanto 2  AB  CD    t

3

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas EJERCICIOS PROPUESTOS

 3 1 3  1 0 1 2 3   3 2      1. Sean las matrices A   ; B   2 1 ;C   4 1 5; D     2 1 4 2 4  3 2  2 1 3     De ser posible, calcular:



a) 2 At



b) 3B t  2 A

t

c)



 A  B t

d) 3 At  5B t



t

 2 1 3  2 1   2 1 2   2 1     2. Sean las matrices A    ; B   3 4  ; C   1 2 4  ; D    3 2 5   3 2   1 2   3 1 0     De ser posible, calcular:





t a) B t  A C b) B C  A

3. Determinar el valor de r de modo que AB t  0 , donde: A   r 1 2  y B  1 3 1

1 2  2 1 y B  muestre que AB  BA 3 2  3 4 

4. Sean A   RESPUESTAS

2 4 1. a)  4 2    6 8

 1 4    b)  2 1   3 2   

 1 11 28 

2. a)    7 17 30  3. r  5

c) no es posible

d) no es posible

 6 10 16    9 7 18 

b) 

4

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Criterios de evaluación: Calcula determinante de una matriz mediante el método de los cofactores y reducción Gaussiana. Recuerda el método de los cofactores para calcular determinantes Dada una matriz A, se pueden extraer sus cofactores de la siguiente manera

El signo del cofactor tendrá signo positivo o negativo de acuerdo a su ubicación en la siguiente tabla

Recuerda las reglas de los determinantes por el método de reducción Gaussiana: 1. Si todos los elementos de una fila (o columna) son cero, el valor del determinante es cero. 2. Si dos filas (o columnas) de un determinante se intercambian, el valor del determinante cambia de signo pero conserva su valor absoluto. 3. Si los elementos de una fila (o columna) de un determinante se multiplican por un valor k, entonces el nuevo determinante tiene un valor igual a k veces el determinante original. 4. Si cada elemento de una fila (o columna) de un determinante se multiplica por el mismo número k y al resultado se le suma el mismo elemento correspondiente de otra fila, no hay cambio en el valor del determinante.

EJERCICIO RESUELTO

 0 1 3    Calcular el determinante de la matriz A  2 5 4 mediante el método de los cofactores y    3 2 2    reducción Gaussiana. DESARROLLO i) Método de los cofactores

1 3 5 4 2 4 2 5 5 4 0 1 3  0  1  2   2   4   3   3  2  2  5   3  2 2 3 2 3 2 3 2 2

0 det  A  2

5

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

 8  57  65 ii) Método de reducción Gaussiana. Utilizando el método de Gauss se debe obtener una matriz triangular superior o inferior a la matriz inicial obteniendo ceros arriba o debajo de la diagonal principal. Esto se logra al operar con las reglas de determinantes. El determinante de la matriz corresponde al producto de los elementos de la diagonal principal de la matriz triangular obtenida.

0 det  A  2

1 3 5 4



3 2 2

 F2  F1

1 2

0 5

1 1 3 3 5 4



1 3

0 2

3 4

1 3



0 2

0 13

C1  C2 5 2 2 C2  C1 5 3 2 C3  3  C1 5 3 13

0 0   1  5 13  65

TIPS:

5 3 13

Para indicar que operación que se está ejecutando se utiliza esta nomenclatura. En este caso quiere decir a los valores de la columna 2 le sumo los de la columna 1.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Encuentre el valor del determinante dado

3 4 a) 5 2

2 6 b) 4 2

2. Determinar el valor de

x 2a c) 2x a

1 d) 4

1 1 1 e) 1 1 2

2 3 6 7

1 2 4

2

0

3

x

3 2 0 x2 x RESULTADOS 1. a) -14 2. x  4

b) -28

c)-3ax

d)6

e)0

6

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Criterios de evaluación: Calcula la matriz inversa mediante el método del determinante o eliminación Gaussiana. Recuerda

 a11  Dada la matriz cuadrada A  a21  a  31

a12 a22 a32

a13   a23  , se tiene que: a33 

Teorema

A es inversible  det  A  0 Matriz de los cofactores

 A11  A*    A21  A  31

 A12 A22  A32

A13  A23 A33

Inversa de la matriz

    

A1 

t 1   A*  det( A)

EJERCICIOS RESUELTOS

 4 1 2    i) Calcular la matriz inversa de A  2 5 1   3 2 0   DESARROLLO Primero, se analiza si la matriz tiene inversa, para esto se verifica que det  A  0 (teorema) Calculamos el determinante de A

4 1 2 det  A   2 5 1  33 3

2

0

Como det  A  33  0 , entonces existe matriz la inversa de A. Para calcular la matriz inversa se utiliza la fórmula

A1 

t 1   A*  det( A)

La matriz de los cofactores es

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Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

 5 1   2 0  1 2 A*     2 0   1 2  5 1 



2 1 3 0

4 2 3 0 

4 2 2 1

2 5   3 2  4 1    3 2   4 1  2 5 

 2 3 11   A*   4 6 11  11 0 22   

Ahora se expresa esta matriz en su forma traspuesta

A 

* t

4 11  2    3 6 0   11 11 22   

Luego, se aplica la fórmula

4 11  2 1 1   * t A  A  3 6 0    det  A 33    11 11 22  1

Por lo tanto la matriz inversa es:

4 1  2 33 3   33 1 2 A   1 0  11  11   1 1 2  3 3  3 2 1  1 2

ii) Calcular la matriz inversa de A   DESARROLLO

Primero veamos si la matriz tiene inversa, analizando su determinante

2 1  4  1  3  0 , por lo tanto sí existe la matriz inversa de A 1 2 Como esta es una matriz de 2  2 vamos a calcular su inversa por medio de eliminación A

Gaussiana. Vamos a ampliar la matriz A uniéndola con la matriz identidad al costado derecho, la idea es “llevar” la matriz identidad al costado izquierdo por medio de las propiedades de eliminación Gaussiana.

 2 1 1 0   1 2 0 1

F1  F2

1 1 1 1   1 2 0 1 

F2  F1

 1 1 1 1    0 3 1 2  8

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

1  1 1  0 1  1 3 

1 F 3 2

1   2  3

F1  F2

1 0 2 1  3 3  0 1  1 2  3 3  

La matriz identidad queda finalmente al costado izquierdo de la matriz.

La Matriz inversa queda al costado derecho de la matriz.

 2 1  3 3  Por lo tanto A   1 2  3   3 1

EJERCICIOS PROPUESTOS Calcular la inversa, si es posible, de las siguientes matrices.

1 1 1   a) A  3 2 0   1 1 2  

 2 4 b) B    1 2  0 2   1 5 

3 4  5 7

f) F  

e) E  

2  c) C   1 1  3  g) G   4 0 

1 0  0 1 1 1  2 1  6 2 0 0 

 1 1 2    d) D   2 1 2  1 1 1  

RESPUESTAS

 4 1 2    1 a) A   6 1 3   1 0 1   

b) No tiene inversa

 1  1 d) D   4  3  1  3

 7 4  e) E     5 3 

0  1 2  3 0 1  3 1

1

 1  2 1 c) C   0   1  2

f) F

1

1

2 1 1 2

5 1 2     1 0  2 

1  2 1   1  2

g) No tiene inversa

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Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Aprendizaje esperado Resuelve problemas generales y orientados a la especialidad que involucren operaciones con matrices y solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante Gauss, analizando y comprobando la pertinencia de las situaciones.

Criterios de evaluación: Organiza matricialmente la respuesta a una situación problemática planteada. EJERCICIO RESUELTO Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta: A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas. B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas. C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas. En el pueblo en el que viven hay dos fruterías F1 y F2 En F1, las peras cuestan $500 el kilo, las manzanas $250 y las naranjas $300 En F2, las peras cuestan $600 el kilo, las manzanas $150 y las naranjas $450 i. ii. iii.

Expresa matricialmente la cantidad de fruta (peras, manzanas y naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C). Escribe una matriz con los precios de cada tipo de fruta en cada una de las dos fruterías. Obtén una matriz, a partir de las dos anteriores, en la que quede reflejado lo que gastaría cada persona haciendo su compra en cada una de las dos fruterías.

DESARROLLO i. Si llevamos a una tabla la cantidad de fruta que quiere comprar cada persona se obtiene lo siguiente. Persona A B C

Peras (kg) 2 2 1

Manzanas (kg) 1 2 2

Naranjas (kg) 6 4 3

Esta tabla la podemos ordenar en una matriz M, la cual indica la cantidad de frutas en kilogramos que quieren comprar las personas A, B y C.

2 1 6   M   2 2 4 1 2 3  

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Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas ii. Al igual que el punto anterior podemos realizar una tabla con los precios de cada fruta en las distintas fruterías. Frutas Peras Manzanas Naranjas

F1 $500 $250 $300

F2 $600 $150 $450

Al ordenar la tabla matricialmente se obtiene la matriz F

 500 600    F   250 150   300 450    iii. Lo que gastaría cada persona queda determinado por el producto de las matrices M y F.

 2 1 6  500 600   3.050 4.050       MF   2 2 4  250 150    2.700 3.300   1 2 3  300 450   1.900 2.250       Y esta matriz que resulta la podemos llevar a una tabla que indica cuánto gastaría cada persona. Persona A B C

Gasto en F1 $3.050 $2.700 $1.900

Gasto en F2 $4.050 $3.300 $2.250

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Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Se quiere comparar el costo total de una compra de comestibles en tres supermercados. Se desea comparar 5 kg de carne, 3 kg de pan, 10 kg de papas, 4 kg de manzanas y 2 kg de café. El precio por kilogramo de cada producto se detalla en la siguiente tabla.

Supermercado 1 Supermercado 2 Supermercado 3

Carne 7000 8500 7500

Pan 850 900 600

Papas 300 250 450

Manzanas 300 200 350

Café 7500 6800 8350

a) Representar matricialmente el precio por kilogramo de cada producto y las cantidades compradas en cada supermercado. b) Representar matricialmente el costo total de la compra en cada uno de los supermercados c) ¿Cuál es el supermercado más conveniente para hacer la compra? 2. Tres familias, A, B, y C, van a ir de vacaciones a una ciudad en la que hay tres hoteles, H1, H2 y H3. La familia A necesita 2 habitaciones dobles y 1 sencilla, la familia B necesita 3 habitaciones dobles y 1 sencilla, y la familia C necesita 1 habitación doble y 2 sencillas. En el hotel H1, el precio de la habitación doble es de $40.000 al día, y el de la habitación sencilla es de $15.000 al día. En H2, la habitación doble cuesta $42.000 al día, y la sencilla cuesta $12.000 al día. En H3, la doble cuesta $45.000 al día, y la habitación sencilla $16.000 al día. a) Escribe en forma de matriz el número de habitaciones (dobles y sencillas) que necesita cada una de las tres familias. b) Expresa matricialmente el precio de cada tipo de habitación en cada uno de los tres hoteles. c) Obtén, a partir de las dos matrices anteriores, una matriz en la que se refleje el gasto diario que tendría cada una de las tres familias en cada uno de los tres hoteles.

RESPUESTAS

5    7000 850 300 300 7500  3   1. a) Precio A   8500 900 250 200 6800  ; Cantidades B   10     7500 600 450 350 8350    4 2  

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Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

5    7000 850 300 300 7500   3    1. b) Costo AB  8500 900 250 200 6800 10     7500 600 450 350 8350   4     2   1. c) El supermercado 1 es el más conveniente siendo el costo de $56.750.

2 1   2. a) M  3 1   1 2    40.000 42.000 45.000  2. b) H     15.000 12.000 16.000 

 95.000 96.000 106.000    2. c) 135.000 138.000 151.000    70.000 66.000 77.000   

Criterios de evaluación: Resuelve un sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss. Recuerda Todo sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas puede reducirse a un sistema equivalente de la forma triangular o escalonada. EJERCICIO RESUELTO Resolver mediante el método de Gauss el sistema de ecuaciones lineales

2 x  4 y  8 z  8 5x  3 y  7 z  6 3x  2 y  3z  11 DESARROLLO El método de Gauss pretende resolver sistemas de ecuaciones mediante transformaciones del sistema principal a otros equivalentes, hasta llegar a un sistema de la forma triangular o escalonada.

13

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Dado el sistema de ecuaciones de tres ecuaciones y tres incógnitas

1. 2 x  4 y  8 z  8 2. 5 x  3 y  7 z  6 3. 3x  2 y  3z  11

En la forma de matriz ampliada

Multiplicando la primera ecuación por

x  2 y  4 z  4 5x  3 y  7 z  6 3x  2 y  3z  11

 2 4 8 8     5 3 7 6   3 2 3 11   

1 , se obtiene el sistema equivalente 2

En la forma de matriz ampliada

 1 2 4 4     5 3 7 6   3 2 3 11   

Al multiplicar la primera ecuación por -5 y se suma a la ecuación 2, se obtiene:

 5 x  10 y  20 z  20 + 5x  3 y  7 z  6  13 y  13z  26 Al dividir esta ecuación por 13, resulta la ecuación  y  z  2 Al multiplicar la primera ecuación por -3 y se suma a la ecuación 3, se obtiene:

 3x  6 y  12 z  12 + 3x  2 y  3z  11  8 y  15 z  23 Resulta la ecuación 8 y  15z  23 Luego, se obtiene el sistema equivalente al primer sistema

x  2 y  4 z  4  yz 2  8 y  15 z  23

En la forma de matriz ampliada

 1 2 4 4    2  0 1 1  0 8 15 23   

De este sistema equivalente se multiplica la segunda ecuación por -8 y se suma a la tercera ecuación.

14

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

8y  8 z  16 +

 8 y  15 z  23 7z  7

El sistema anterior se transforma en un nuevo sistema equivalente de la forma triangular o escalonada.

x  2 y  4 z  4  yz 2 7z  7

En la forma de matriz ampliada

 1 2 4 4    2  0 1 1 0 0 7 7   

De este sistema se desprende que z  1 Reemplazando z  1 en  y  z  2

 y 1  2  y  2 1 y 1 Se desprende que y  1 Reemplazando z  1 e y  1 en la primera ecuación se tiene que:

x  2   1  4 1  4 x  2  4  4 x2 Luego, la solución del sistema es x  2 ; y  1 ; z  1 Verificación Se realiza la verificación de cada una de las ecuaciones en el primer sistema

2  2  4   1  8 1  8 5  2  3  1  7 1  6 3  2  2  1  3 1  11 De este modo, es posible percibir que la solución satisface a las ecuaciones planteadas Por lo tanto, Los valores son solución al sistema de ecuaciones 15

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas EJERCICIOS PROPUESTOS Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de Gauss

a)

9 x  2 y  21

b)

7 x  5 y  23

3x  4 y  3 2 x  7 y  11

x yzw0 d)

2 x  3 y  z  4w  28 3x  4 y  2 z  w  12  x  4 y  5 z  3w  27

5 x  3 y  2 z  32 c) 2 x  y  5 z  5

x  2 y  3z  9

x  y  3z  0 e)

3x  2 y  5 z  7 w  32 x  2 y  z  3w  18 x  3 y  z  2w  26

a  b  c  d  e  10 2a  3b  3c  4d  e  1 f) 3a  4b  c  3d  5e  10 a  4b  5c  3d  4e  18 2a  4b  2c  d  e  0

RESPUESTAS b) x  5; y  3

a) x  1; y  6

c) x  4; y  2; z  3

d) x  2; y  3; z  1; w  4 e) x  1; y  10; z  3; w  0

f) a  1; b  2; c  3; d  4; e  0

Criterios de evaluación: Determina condiciones necesarias y suficientes para que un sistema tenga, única, infinitas o no tenga solución, explicando su razonamiento mediante el uso de un lenguaje pertinente. EJERCICIO RESUELTO

Determinar el valor de a para que el sistema tenga solución, i) única, ii) infinita o iii) no tenga.

x  3y  z  2 x  2 y  5z  4 2x  5 y  a2 z  a  4

Utilizando la matriz ampliada del sistema se tiene que:

1 3 1   1 2 5  2 5 a 2 

2   4  a  4 

1 1 3   0 1 6  2 5 a 2 

2   2  a  4 

16

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

1 1 3  6  0 1  0 0 4  a2 

1 2 1 3   6 2  0 1  0 1 a 2  2 a   

2   2  a  2 

Finalmente el sistema equivalente que se obtiene es:

x  3y  z  2  y  6z  2 (4  a 2 ) z  a  2 A partir de este sistema analizaremos cuáles son los valores de a para que el sistema tenga, única, infinitas o no tenga solución. 

En el sistema, si 4  a 2  0 , z 

a2 4  a2

Por lo tanto el sistema tiene solución única si a  2 y a  2

x  3y  z  2 

 y  6z  2

Si a  2 en el sistema

se obtiene:

(4  a 2 ) z  a  2 x  3y  z  2  y  6z  2

x  3y  z  2



 y  6z  2

0z  0

Que es un sistema que tiene infinitas soluciones

x  3y  z  2 

Si a  2 en el sistema

 y  6z  2

se obtiene:

(4  a ) z  a  2 2

x  3y  z  2  y  6z  2 0 z  4 En este caso tenemos que 0  4 lo que produce una contradicción Por lo tanto, este es un sistema que no tiene solución.

17

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas En conclusión i) Si a  2 y a  2 , el sistema tiene solución única ii) Si a  2 , el sistema tiene infinitas soluciones iii) Si a  2 , el sistema no tiene solución EJERCICIOS PROPUESTOS

En cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, obtener los valores de  para que el sistema tenga solución única, infinidad de soluciones, o no tenga solución. x yz  2 2x   y  1 x  2 y  3 x  3y  z  8 1. 2. 3. 5 x  y   x  2y 1 2x  3y   2  7 z    4



x  y  z 1 4.  x  2 y  2 z  10

4 x  y   z  14 2

x  y  z  2 5. 3x  4 y  2 z   2x  3y  z  1



x  2 y  3z  4 6.

3x  y  5 z  2 4 x  y     14  z    2

RESPUESTAS 1. Si   2 y   2 el sistema tiene solución única. Si   2 el sistema tiene infinitas soluciones. Si   2 el sistema no tiene solución. 2. Solución única si   

solución si   

1 . Para ningún valor de  tiene infinitas soluciones. No tiene 10

1 10

3. Solución única si   3 y   3 . Tiene infinitas soluciones sí   3 . No tiene solución si

  3 4. Solución única si   1 y   1 . Para ningún valor de  tiene infinitas soluciones. No tiene solución si   1 y   1 .

5. Solución única si   3 . Tiene infinitas soluciones sí   3 . Para ningún valor de  no tiene solución. 6. Solución única si   16 . Tiene infinitas soluciones sí   16 . Para ningún valor de  no tiene solución.

18

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Criterios de evaluación: Resuelve problemas aplicados a variadas disciplinas, mediante la solución de un sistema de ecuaciones por el método de Gauss a través de pivotes, analizando y comprobando la pertinencia de las soluciones. EJERCICIO RESUELTO En una fábrica de ropa se producen tres estilos de camisas que llamaremos 1, 2, 3. Cada prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Las camisas se elaboran por lote. Para producir un lote de camisas del tipo 1 se necesitan 30 min para cortarlas, 40 min para coserlas y 50 min para plancharlas y empaquetarlas. Para el tipo 2, 50 min para cortar, 50 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar. Para el tipo 3, 65 min para cortar, 40 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar. ¿Cuántos lotes de camisas se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar?

DESARROLLO Para resolver este problema primero se identifica qué es lo que se pide, en este caso se quiere conocer cuántos lotes de cada tipo de camisa se producen. Se identifican las variables

x : Cantidad de lotes de la camisa de tipo 1 y : Cantidad de lotes de la camisa de tipo 2 z : Cantidad de lotes de la camisa de tipo 3 Se plantean las ecuaciones

30 x  50 y  65z  480 1. Cortado: 40 x  50 y  40 z  480 2. Cosido: 3. Planchado y empaquetado: 50 x  50 y  50 z  480

Son 480 min porque son 8 horas en cada proceso.

Si el problema tiene solución debemos resolver el sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas

30 x  50 y  65 z  480 40 x  50 y  40 z  480 50 x  50 y  50 z  480 Lo resolveremos por el método de matrices Primero, organizamos el sistema de ecuaciones en una matriz Sea A la matriz asociada al sistema 19

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

 30 50 65    A   40 50 40   50 50 50    Calculando el determinante de la matriz 30 50 65 50 40 40 40 40 50 A  40 50 40  30  50  65  30  500   50  0   65  500   17.500 50 50 50 50 50 50 50 50 50

Como el determinante no es cero este sistema tiene una única solución. Utilizando la matriz ampliada del sistema y por medio del método de Gauss se obtendrá un sistema equivalente de la forma triangular.

 30 50 65 480     40 50 40 480   50 50 50 480   

;

;

 6 10 13 96     4 5 4 48   5 5 5 48   

 6 10 13 96     4 5 4 48  1 0 1 0   

 6 10 13 96     0 5 0 48  1 0 1 0   

 6 10 13 96     0 5 0 48   0 10 7 96   

 6 10 13 96     0 5 0 48  0 0 7 0   

Finalmente el sistema equivalente que se obtiene es:

6 x  10 y  13z  96 5 y  48 7z  0 De este sistema se desprende de manera inmediata que z  0 e y  9, 6 . Reemplazando en la primera ecuación, tenemos que:

6 x  10  9,6  13  0  96 6 x  96  96 x0

20

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Por lo tanto la solución del sistema es x  0 , y  9,6 , z  0 Entonces, la respuesta a la pregunta del problema ¿Cuántos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar? es:

Trabajando esta cantidad de horas, en cada proceso, se pueden producir aproximadamente 10 lotes de la camisa de tipo2 y ningún lote de la camisa de tipo 1 y 3. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad del fertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del compuesto B y 60 kg del compuesto C. Una unidad del tipo II requiere 20 kg del A, 30 kg del B, y 50 kg del C. Una unidad del tipo III requiere 50 kg del A y 50 kg del C. Si hay disponibles 1600 kg del A, 1200 kg del B y 3200 del C. ¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se usa todo el material químico disponible? 2. Un especulador adquiere 3 objetos de arte por un precio total de 2 millones de pesos. Vendiéndolos, espera obtener de ellos unas ganancias del 20%, del 50% y del 25%, respectivamente, con lo que su beneficio total sería de 600.000 pesos. Pero consigue más, pues con la venta obtiene ganancias del 80%, del 90% y del 85%, respectivamente, lo que le da un beneficio total de 1,7 millones de pesos. ¿Cuánto le costó cada objeto? 3. Un joyero tiene tres clases de monedas A, B y C. Las monedas de tipo A tienen 2 gramos de oro, 4 gramos de plata y 14 gramos de cobre; las de tipo B tienen 6 gramos de oro, 4 gramos de plata y 10 gramos de cobre, y las de tipo C tienen 8 gramos de oro, 6 gramos de plata y 6 gramos de cobre. ¿Cuántas monedas de cada tipo debe fundir para obtener 44 gramos de oro, 44 gramos de plata y 112 gramos de cobre? RESPUESTAS 1. El número de unidades de fertilizante del tipo I es 20, del tipo II es 20, del tipo III es 20. 2. El primer objeto le costó 0,5 millones de pesos ($500.000), el segundo le costó 0,5 millones de pesos ($500.000) y el tercero le costó 1 millón de pesos ($1.000.000). 3. Debe fundir 5 monedas de tipo A, 3 de tipo B y 2 de tipo C.

21

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Aprendizaje esperado Resuelve ejercicios y problemas que requieran el uso del concepto y propiedades de vectores, explicando estrategias de resolución y verificando la pertinencia de las soluciones.

Criterios de evaluación: Representa gráficamente vectores en el plano y en el espacio, con precisión.

Recuerda la fórmula: Para vectores en el plano (𝙍2)

1

Norma o magnitud de un vector Si

entonces su norma es

Dirección de un vector Si

, tenemos que

, por lo tanto,

es el ángulo que indica la

dirección del vector En la calculadora utilizamos la función

, si tenemos el vector

consideramos lo

siguiente: I.

Si x e y son positivos, entonces

II.

Si x es negativo e y positivo, entonces

III.

Si x e y son negativos, entonces

IV.

Si x es positivo e y negativo, entonces

22

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Recuerda la fórmula: Para vectores en el espacio (𝙍3)

2

Norma o magnitud de un vector Si

entonces su norma es

Cosenos directores Si , tenemos que ,

es la medida del ángulo que forma el eje x con el vector

,

es la medida del ángulo que forma el eje y con el vector

,

es la medida del ángulo que forma el eje z con el vector

EJERCICIO RESUELTO: Determine la magnitud y dirección de los siguientes vectores. Representelos graficamente. i) a  (5, 2)

ii) b  1,3,5 

DESARROLLO: i) a  (5, 2) Magnitud del vector Calculamos la magnitud o norma del vector a  (5, 2) , para ello utilizamos la fórmula del recuadro 1.

a   5, 2   52  22  25  4  29 Esto significa que la magnitud del vector a  (5, 2) cuyo origen está en el punto (0,0) es

29

Dirección del vector Utilizamos la fórmula del recuadro 1, donde se obtiene la medida del ángulo  que indica la dirección del vector.

tg 

y 2 2  , de esto se desprende que   arctg    21,801 x 5 5

TIPS: En la calculadora

La dirección del vector es 21,801°

23

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Representación gráfica Ahora realizamos su representación gráfica en el plano cartesiano

ii) b  1,3,5 Magnitud del vector Calculamos la magnitud o norma del vector b  1,3,5 , para ello utilizamos la fórmula del recuadro 2.

b  1,3,5  12  32  52  1  9  25  35 Esto significa que la magnitud del vector b  1,3,5 , cuyo origen está en el punto (0,0,0) es 35 Dirección del vector Como es un vector en el espacio tiene tres ángulos que determinan su dirección y lo calculamos con la formula de los cosenos (recuadro 2). Como b  1,3,5

 1  1  cos   , de esto se desprende que   arccos     80, 26 35 b  35 

TIPS:

x

En la calculadora

Por lo tanto el ángulo que forma el eje x con el vector b mide 80,26°  cos  

y



b

 3  3 , de esto se desprende que   arccos    59,52 35  35 

Por lo tanto el ángulo que forma el eje y con el vector b mide 59,52°  cos  

z b



 5  5 ,de esto se desprende que   arccos    32,31 35  35 

Por lo tanto el ángulo que forma el eje z con el vector b mide 32,31°

24

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

Representación gráfica Ahora realizamos su representación gráfica en el espacio.

EJERCICIOS PROPUESTOS: Determine la dirección y la norma de los siguientes vectores. Grafíquelos en el plano o en el espacio según corresponda.



1. v   2, 7 

2. u   5, 3

4. p  1,1,1

5. q   2,3, 0



3. w  3iˆ 

1ˆ j 2

6. r   4, 2,3

RESPUESTAS: 1. Dirección 285,9 , Norma

2.

53

Dirección 142, 2 , Norma 2 2

3. Dirección 170,5 , Norma 3,0414

25

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas 4. Dirección

  54,73,   54,73,   54,73

Norma

3

5. Dirección

6. Dirección

Norma

Norma

  56,30,   33,69,   90 13

  42,03,   68,19,   56,14 29

Criterios de evaluación: Reduce expresiones vectoriales aplicando la operatoria básica de vectores en el plano y en el espacio. Recuerda las fórmulas: Adición de vectores Producto de un vector por un número real Producto punto o escalar Producto cruz o vectorial

Ángulo entre vectores

26

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas EJERCICIO RESUELTO: Dados los vectores u   3,1,5 y v   4, 2, 3 Calcular: i) u  v ii) 4u  v iii) El ángulo  formado por ellos iv) u  v  sen v)

u v

DESARROLLO: i) Para sumar vectores se realiza componente a componente y se obtiene un nuevo vector

u  v   3,1,5   4, 2, 3  3  4,1  2,5  3   7,3, 2  ii) Primero, realizamos el producto del número -4 por el vector u

4u  4  3,1,5   4  3, 4 1, 4  5   12, 4, 20  Luego, realizamos el producto escalar entre los vectores 4u y v obteniendo un número real

 12, 4, 20  v   12, 4, 20   4, 2, 3  12  4   4  2  20   3  48  8  60  4 iii) Para obtener el ángulo reemplazamos los vectores en la formula cos  

u v u  v

Desarrollamos los productos escalares y las normas correspondientes

cos  

 3,1,5   4, 2, 3 32  12  52  42  22   3

Luego, se obtiene cos  

2



3  4  1 2  5   3 9  1  25  16  4  9



12  2  15 1  35  29 1015

1 para obtener la medida del ángulo utilizando la función arccos 1015

1    91, 79  1015 



  arccos 

TIPS: En la calculadora

Luego la medida del ángulo comprendido entre los vectores es 91,79°

27

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas iv) Para obtener este producto reemplazamos los vectores donde corresponda y el ángulo obtenido en el punto anterior que es el ángulo comprendido entre los dos vectores.

u  v  sen  32  12  52  42  22   3  sen  91,79   35  29  sen  91,79  2

35  29  sen  91,79   1015  sen  91,79  31,843

Desarrollamos y obtenemos

Nota: Este resultado es la magnitud del vector resultante al hacer el producto vectorial u  v v) Para realizar el producto cruz o vectorial utilizamos la formula de determinantes

iˆ ˆj kˆ 1 5 3 5 3 1 ˆ ˆj  u v  3 1 5  iˆ  k 2 3 4 3 4 2 4 2 3 Desarrollamos cada determinante y obtenemos el vector que resulta del producto cruz.

 1  3  5  2  iˆ   3   3  5  4  ˆj   3  2  1 4  kˆ  13iˆ  29 ˆj  2kˆ   13, 29, 2  u  v   13, 29, 2  EJERCICIOS PROPUESTOS:

1. Dado los vectores 𝑢 = (1, 2, −3) y v= (−2, 4, 1). Calcular u  v y u  v 2. u  1, 3, 2  v  1,1, 0  w   2, 2, 4    3   1 b) u  v

a) u  v

d)      w

c) 2u

e) 3   v 



3. Dados los vectores u (3 3,3) , v  (3,3 3 ) ángulo formado por los vectores





a) u y v





b) u y w



y



w  (3,3 3 ) . Determine el



c) v y w

28

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas RESPUESTAS 1. 3 y (14,5,8) 2. a )2 3

b) 14  2

c) 2 14

d ) (4, 4, 8)

e) (10,10,0)

3. a) 30° b) 90° c) 60° Criterios de evaluación: Soluciona problemas geométricos generales y contextualizados a la especialidad mediante la operatoria de vectores, explicando estrategias de resolución y verificando la pertinencia de las soluciones. Recuerda las fórmulas: Área del paralelogramo

Volumen del paralelepípedo

EJERCICIOS RESUELTOS: i) Encuentre el área del paralelogramo que tiene a p  3iˆ  ˆj  5kˆ y q  2 ˆj  3kˆ como lados adyacentes. ii) Determine el volumen del paralelepípedo cuyas aristas adyacentes son

 u  2 ˆj  kˆ

 v  3iˆ  ˆj

 w  iˆ  2 ˆj

DESARROLLO: i) Área del paralelogramo La forma estándar de los vectores son p   3,1, 5 y q   0, 2,3

iˆ ˆj kˆ 1 5 3 5 3 1 ˆ ˆj  p  q  3 1 5  iˆ  k  13iˆ  9 ˆj  6kˆ  13,9, 6  2 3 0 3 0 2 0 2 3 Luego Aparalelogramo  p  q  13,9, 6   132  92   6   286  16,91 2

29

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Por lo tanto, el área del paralelogramo es aproximadamente 16,91  unidades 

2

ii) Volumen del paralelepípedo Los vectores en su forma estándar son u   0, 2,1

v   3,1,0  w  1, 2,0 

Luego, calculamos el producto vectorial v  w

iˆ ˆj kˆ 1 0 3 0 3 1 ˆ ˆj  vw  3 1 0  iˆ  k  0iˆ  0 ˆj  5kˆ   0, 0,5  2 0 1 0 1 2 1 2 0 Ahora calculamos el volumen del paralelepípedo realizando el producto escalar

Vparalelepípedo  u   v  w   0, 2,1   0,0,5  5  5 Por lo tanto, el volumen del paralelepípedo es 5  unidades 

3

EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Calcula el área del paralelogramo que tiene por lados adyacentes los vectores a   3,1, 1

b   2,3, 4  2. Calcula el área del triangulo donde dos de sus lados son los vectores a  1, 2, 1

b   2, 1,0  3. Calcula el volumen del paralelepípedo que tiene como aristas adyacentes los vectores

a  1, 2,1 ; b   2, 0, 1 ; c  1, 2,3 . RESPUESTAS 1.

294u 2

2.

30 2 u 2

3 3. 20u

30

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Aprendizaje esperado Resuelve problemas contextualizados a la especialidad que requiere la aplicación de formas y propiedades de un número complejo, explicando estrategias de resolución y verificando la pertinencia de las soluciones.

Criterios de evaluación: Representa un número complejo en sus distintas formas, pudiendo transitar de un sistema a otro sin dificultad.

Recuerda las distintas formas de expresar un número complejo Sea un número complejo Forma binomial Forma polar con

y

Forma trigonométrica Forma de par ordenado Forma exponencial

EJERCICIO RESUELTO: Expresar el número complejo z  2  5 de la forma binomial, par ordenado, polar, exponencial y trigonométrica. DESARROLLO: Forma binomial z  a  bi

TIPS:

2  5  2  5  1 = 2  5  1 Representación gráfica

 2  5i Por lo tanto expresado en su forma binomial es z  2  5i . Forma de par ordenado z   a, b 



Como par ordenado el número complejo 2  5i es z  2, 5

 31

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Forma polar z   r , 

r  22 

 5

Como tg 

2

 45  9  3

 5 5 entonces   arctg   2   48,19 2  

Por lo tanto el número complejo en su forma polar es z   3 , 48,19  Forma exponencial z  rei Como r  3 y   48,19 Entonces el número complejo en su forma exponencial es z  3e48,19i Forma trigonométrica z  r  cos   isen  Como r  3 y   48,19 Entonces el número complejo en su forma trigonométrica es z  3  cos 48,19  isen48,19  EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Expresar en la forma a  bi los siguientes números complejos a)

4 

 

5  3  2 5



b) 5  cos 60  isen60  c)

2  cos90  isen90

d)

18 , 125

2. Expresar en la forma trigonométrica los siguientes números complejos a)

2  2i

b) 1  3i c) 3i d) 6

32

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Respuestas 1. a)

7  5i

5 5 3  i 2 2 c) 2i d) 10,32  14,74i b)

2. a)

2  cos 45  isen45

b) 2  cos 240  isen240 c)

3  cos 270  isen270

d) 6  cos180  isen180 

Criterios de evaluación: Realiza operaciones con números complejos en distintas representaciones. EJERCICIO RESUELTO: i) Si z1  2  cos80  isen80  y z2  10  cos130  isen130 , entonces z1  z2 en su forma binomial es: DESARROLLO Utilizando la forma exponencial de los números complejos tenemos que: z1  2e80i y z2  10e130i Luego, z1  z2  2e80i 10e130i  20e80i 130i  20e210i 210i Por lo tanto z1  z2  20e

En su forma trigonométrica z1  z2  20  cos 210  isen210  Desarrollando para encontrar su forma binomial, tenemos

33

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

20  cos 210  isen210   20 cos 210  20isen210 1  20   0,866   20  i 2  17,32  10i Luego, z1  z2 en su forma binomial es 17,32  10i EJERCICIOS PROPUESTOS: 1. Calcular (1  i)16  (1  i) y dejar expresado en la forma binomial 2. Sea z1  2  cos105  isen105  y z2 

Z 1  cos 55  isen55 entonces 1 Z2 2

RESPUESTAS 1. 257  i 2. 1, 29  1,53i

Criterios de evaluación: Resuelve problemas contextualizados a la especialidad, mediante el uso de la operatoria y las distintas formas en que los números complejos se pueden expresar. Recuerda las fórmulas Si entonces tenemos que: Módulo de un número complejo

Si y que: Igualdad de complejos

entonces tenemos

Adición de complejos Números complejos conjugados Multiplicación de complejos

EJERCICIOS RESUELTOS: i) Verificar si se cumple la siguiente igualdad

(2  i) 2 1 3  4i

ii) Calcular el conjugado z en la siguiente expresión de operatoria de números complejos

34

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

 2  3i  1  i  z 4

3

5i

DESARROLLO i) Verificamos si se cumple la igualdad tomando la expresión de la izquierda y efectuando las operaciones correspondientes

 2  i   4  4i  1  3  4i  1  12  1 (2  i)2  3  4i 3  4i 3  4i 3  4i 2

Como

(2  i) 2  1 , entonces si se cumple la igualdad. 3  4i

ii) Para realizar el ejercicio aplicamos las propiedades de operatoria en números complejos

 2  3i  1  i  4

z



5i

 2  3i  

2 2



 2  3i  1  i  4

3



1  i  1  i  2

52  12

 5  12i   2i 1  i  26

 119   120  2







2

TIPS:

5i



26

 4  12i  9  1  2i  11  i  2



2



3

26

25  120i  144 2i  2



26

 2    2  2

2





119  120i 2i  2 26

14161  14400  4  4 26

28561  8 169 8  26 26 169  2 2 169  2  2  13 13

 26 13

35

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas EJERCICIOS PROPUESTOS: 4

 1 3  1 3 1. Verificar si se cumple la siguiente igualdad    i   i  2  2  2 2  (3  5i)(2  i)3 2. Expresar en la forma binomial ( a  bi ) el siguiente complejo Z  (1  4i) 3

 1  7i    2  i    4  i 2  3. Calcular     5  8i  : 4i   3  i   4. Si z1  1  2i , z2  1  i , z3  2  3i y z4  4  2i , calcular:

 z1    z4  2

a)

2

z3  z2

 z1  z2  z3  z4  z2 

b) 

RESPUESTAS: 1. Al realizar la operatoria se verifica la igualdad. 2. 9  13i

 600 252  3.   i 17   17 3 7 25 26  i 4. a) b) 10 5 26 3

Criterios de evaluación: Explica las estrategias de resolución de problemas utilizadas. Recuerda las fórmulas Fórmula de De Moivre Radicación de complejos en forma polar

36

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas

EJERCICIOS RESUELTOS: i) ¿Cuál es el valor de

a

para que el cociente

3  2ai sea un valor real? Calcule el valor del 4  3i

cociente. ii) Dado el número complejo z  3  i obtenga z 4 y los radicales de

4

z

DESARROLLO i) Primero expresamos el cociente de estos números complejos en su forma binomial multiplicando numerador y denominador por el conjugado de 4  3i y luego desarrollamos de la siguiente manera:

3  2ai 3  2ai 4  3i 12  9i  8ai  6a 12  6a  (9  8a)i     4  3i 4  3i 4  3i 16  9 25 Luego, el cociente de la forma a  bi es

12  6a  9  8a   i 25 25 Como el cociente debe ser un valor real por igualdad de números complejos tenemos que:

 9  8a   0 , esto implica que 9  8a  0 , luego 8a  9 , por lo tanto a  9  9 8

25

El valor del cociente lo obtenemos reemplazando a 

8

12  6a 9 en la parte real , es decir 25 8

9 27 75 12  8 4  4  3 . Luego el valor del cociente es 3 4 25 25 25 4

12  6 

ii) Para calcular z 4 utilizamos la fórmula de De Moivre, para ello debemos identificar r y 

a  3 ; b  1

r  a 2  b2 

 3

2

 12  3  1  4  2 37

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas Ahora calculamos el ángulo 

1 , como a es positivo y b negativo, entonces con la calculadora obtenemos que: 3  1    tan 1    360  30  360  330  3 tg 

Al expresarlo en su forma polar resulta

z  2  cos  330  sen  330 

Aplicando la fórmula de De Moivre

z4

 24  cos  4  330  sen  4  330 

 24  cos 1320  sen 1320   1 3   16    i  2 2   =  8  8 3i

Para obtener los radicales de 4 z utilizamos la fórmula de radicación de complejos

    360 k     360 k   Wk  n z  n r  cos    isen   n n     

k  0,1, 2,..., n  1

Como r  2 y   330 tenemos que:

  330  360 k   330  360 k   Wk  4 2  cos    isen   4 4     

k  0,1, 2,3

El primer radical lo obtenemos con k  0

  330  360 0   330   330  360 0   4   330   W0  4 2  cos    isen    isen      2  cos  4 4   4     4      4 2  cos 82,5  isen 82,5   4 2  0,1305  4 2  0,9914i  0,1551  1,1789i W0  0,1551  1,1789i 38

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas El segundo radical lo obtenemos con k  1

  330  3601   330  3601   4   690   690   W1  4 2  cos    isen     2  cos    isen   4 4      4   4     4 2  cos 172,5  isen 172,5   4 2  0,9914  4 2  0,1305i  1.1789  0,1551i W1  1.1789  0,1551i El tercer radical lo obtenemos con k  2

  330  360 2   330  360 2   4   1050   1050   W2  4 2  cos    isen     2  cos    isen   4 4      4   4     4 2  cos  262,5  isen  262,5   4 2  0,1305  4 2  0,9914 i  0,1551  1,1789i

W2  0,1551  1,1789i El cuarto radical lo obtenemos con k  3

  330  360 3   1410   330  360 3   4   1410   W3  4 2  cos    isen    isen      2  cos  4 4   4     4    

 4 2  cos  352,5  isen  352,5   4 2  0,9914  4 2  0,1305 i  1,1789  0,1551i W3  1,1789  0,1551i Si graficamos los radicales obtenidos en el plano cartesiano se tiene lo siguiente:

39

Guía de ejercicios MATE22 Ingeniería Disciplinas Básicas: Matemáticas EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Determine los números reales x e y tal que 3  x  2   2iy  ix  5 y  17  6i 2. Si z1  1  i y z2  2  i entonces  z1    z2  es 4

1 i 4. Si z  119  120i calcular los radicales de 3. Calcular

5

3

4

z

RESPUESTAS 1. x   8 ; y  29 11 11 2. 3. 0, 29  1,06i ; 0,78  0,78i ; 1,06  0, 29i 4. W0  0,6997  3,537i ; W1  3,537  0, 6997i ; W2  0, 6997  3,537i

W3  3,537  0, 6997i ;

40