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• Israel Aguirre

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S.E.P.

S.E.S.T.N.M

TecNM

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TOLUCA

NOMBRE DE LA CARRERA: INGENIERÍA INDUSTRIAL

FISICA

TEMA:

UNIDAD 5 “CINEMÁTICA DEL PUNTO Y DEL CUERPO RÍGIDO”

PRESENTA: 

ISRAEL AGUIRRE REYES

PROFESORA: RAMIREZ GALICIA CITLALI EDITH

METEPEC, ESTADO DE MÉXICO, DICIEMBRE DE 2018

5.1. Movimiento rectilíneo: ecuaciones diferenciales del movimiento, movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y caída libre de cuerpos Movimiento rectilíneo uniforme: Un movimiento es rectilíneo cuando describe una trayectoria recta y uniforme cuando su velocidad es constante en el tiempo, es decir, su aceleración es nula. Esto implica que la velocidad media entre dos instantes cualesquiera siempre tendrá el mismo valor. Durante un movimiento rectilíneo uniforme también puede presentarse que la velocidad sea negativa. Por lo tanto el movimiento puede considerarse en dos sentidos, el positivo podría ser cuando se mueve hacia la derecha y el negativo cuando se mueve hacia la izquierda. El MRU se caracteriza por:   

Movimiento que se realiza en una sola dirección. Velocidad constante; implica magnitud y dirección inalterables. La magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez. Este movimiento no presenta aceleración (aceleración=0)

Sabemos que la velocidad 𝑣0 es constante, esto es, no existe aceleración. 𝑣 = 𝑣0 la posición x en el instante t viene dada por: 𝑥 = 𝑣0t + 𝑥0 Donde 𝑥0 es la posición inicial.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: El Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), es aquél en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleración constante. Esto implica que para cualquier instante de tiempo, la aceleración del móvil tiene el mismo valor. El movimiento uniformemente acelerado (MRUA) presenta tres características fundamentales: 1. La aceleración y la fuerza resultante sobre la partícula son constantes. 2. La velocidad varía linealmente respecto del tiempo. 3. La posición varía según una relación cuadrática respecto del tiempo.

El MRUA, como su propio nombre indica, tiene una aceleración constante, cuyas relaciones dinámicas y cinemática, respectivamente, son:

La velocidad v para un instante t dado es:

Siendo 𝑣0, la velocidad inicial. Finalmente, la posición x en función del tiempo se expresa por:

Donde x0, es la posición inicial. Además de las relaciones básicas anteriores, existe una ecuación que relaciona entre sí el desplazamiento y la rapidez lineal del móvil.

Para el cálculo de la velocidad en función del tiempo:

Integrando esta ecuación diferencial lineal de primer orden tenemos:

Integrando la ecuación:

Resolviendo la integral:

donde: 𝑣0, es la constante de integración, corresponde a la velocidad del móvil para t = 0. En el caso de que el móvil esté en reposo para t = 0, entonces 𝑣0 = 0. Para el cálculo del espacio en función del tiempo, se toma la ecuación de la velocidad en función del tiempo y la definición de velocidad:

Esto es:

Despejando términos:

Integrando la ecuación:

resolviendo la integral:

donde 𝑥0, es la constante de integración, que, teniendo en cuenta las condiciones iniciales, corresponde a la posición del móvil respecto del centro de coordenadas para t = 0 . En el caso de que el móvil esté en el centro de coordenadas para t = 0, es 𝑥0 = 0

Cuerpos en caída libre: En este movimiento se desprecia el rozamiento del cuerpo con el aire, es decir, se estudia en el vacío. El movimiento de la caída libre es un movimiento uniformemente acelerado. La aceleración instantánea debida sólo a la gravedad es independiente de la masa del cuerpo, es decir, si dejamos caer un coche y una pluma, ambos

cuerpos tendrán la misma aceleración, que coincide con la aceleración de la gravedad g. Cuando la caída libre tiene lugar en el seno de un fluido como el aire, hay que considerar las fuerzas viscosas que actúan sobre el cuerpo. Aunque técnicamente la caída ya no es libre El movimiento del cuerpo en caída libre es vertical con velocidad creciente La ecuación de movimiento se puede escribir en términos la altura y:

donde: 𝑎𝑦, 𝑣𝑦 son la aceleración y la velocidad verticales. 𝐹𝑟, es la fuerza de rozamiento fluidodinámica (que es creciente con la velocidad). Si se desprecia en una primera aproximación la fuerza de rozamiento, cosa que puede hacerse para caídas desde pequeñas alturas de cuerpos relativamente compactos, en las que se alcanzan pequeñas velocidades la solución de la ecuación diferencial para las velocidades y la altura vienen dada por:

donde 𝑣0 es la velocidad inicial, para una caída desde el reposo 𝑣0 = 0 y ℎ0 es la altura inicial de caída.

Problemas Un móvil tiene una velocidad inicial de 4 m/s al Sur y experimenta una aceración de 2 𝑚 𝑠2, el cual dura 12 segundos. Calcular: a) ¿Qué desplazamiento tiene a los 12 segundos? b) ¿Qué velocidad lleva a los 12 segundos?

Un motociclista lleva una velocidad inicial de 2 m/s al Sur, a los 3 segundos su velocidad es de 6 m/s. Calcular: a) Su aceleración media b) Su desplazamiento en ese tiempo.

5.2. Movimiento curvilíneo: movimiento parabólico y circular. Movimiento parabólico El tiro parabólico es un ejemplo de movimiento realizado por un cuerpo en dos dimensiones o sobre un plano. El tiro parabólico es la resultante de la suma vectorial de un movimiento horizontal uniforme y de un movimiento vertical rectilíneo uniformemente variado. El tiro parabólico es de dos clases: horizontal y oblicuo Tiro parabólico horizontal Se caracteriza por la trayectoria o camino curvo que sigue al ser lanzado horizontalmente al vacío, resultado de dos movimientos independientes; un movimiento horizontal con velocidad constante y otro vertical, el cual se inicia con una velocidad cero y va aumentando en la misma proporción de otro cuerpo que se dejara caer del mismo punto en el mismo instante.

La forma de la curva descrita es una parábola. Tiro parabólico oblicuo Se caracteriza por la trayectoria que sigue un cuerpo cuando es lanzado con una velocidad inicial que forma un ángulo con el eje horizontal.

Movimiento circular Un cuerpo describe un movimiento circular cuando gira alrededor de un punto fijo central llamado eje de rotación. El movimiento se efectúa en un mismo plano y es el movimiento más simple en dos dimensiones.

Ángulo. Es la abertura comprendida entre dos radios que limitan un arco de circunferencia. Radian. En el ángulo central al que corresponde un arco de longitud igual al radio. Periodo. Es el tiempo que tarda un cuerpo en dar una vuelta completa o en completar un ciclo. 𝑇 = 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜𝑠 / 1 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 Frecuencia. Es el número de vueltas o ciclos que efectúa un móvil en un segundo. 𝐹 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 / 1 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 Movimiento circular uniforme (M.C.U.) Este movimiento se produce cuando un cuerpo con velocidad angular constante describe ángulos iguales en tiempos iguales. En un movimiento circular uniforme el vector velocidad mantiene constante su magnitud, pero no su dirección, toda vez que ésta siempre se conserva tangente a la trayectoria del cuerpo. Cuando la velocidad angular de un cuerpo no es constante o uniforme, podemos determinar la velocidad angular media al conocer su velocidad angular inicial y su velocidad angular final:

Donde: 𝜔𝑚 = velocidad angular media en rad/s 𝜔𝑓 = velocidad angular final en rad/s 𝜔0 = velocidad angular inicial en rad/s La velocidad angular media representa el cociente entre el desplazamiento angular de un cuerpo y el tiempo que tarda en efectuarlo:

Donde: 𝜔 = velocidad angular en rad/s 𝜃 = desplazamiento angular en rad t = tiempo en que efectúa el desplazamiento en segundos (s) La velocidad angular también se puede determinar si sabemos el tiempo que tarda en dar una vuelta completa:

Movimiento circular uniformemente variado (M.C.U.V.)

Este movimiento se presenta cuando un móvil con trayectoria circular aumenta en cada unidad de tiempo su velocidad angular en forma constante, por lo que su aceleración angular permanece constante. Velocidad angular instantánea Representa el desplazamiento angular efectuado por un móvil en un tiempo muy pequeño que casi tiende a cero.

Aceleración angular media Cuando durante el movimiento circular de un móvil su velocidad angular no permanece constante, sino que varía, decimos que sufre una aceleración angular. Cuando la velocidad angular varía es conveniente determinar cuál es su aceleración angular media, misma que se expresa de la siguiente forma:

Donde: 𝛼𝑚 = aceleración media en 𝑟𝑎𝑑 𝑠2 𝜔𝑓 = velocidad angular final en rad/s 𝜔0 = velocidad angular inicial en rad/s ∆𝑡 = tiempo durante el cual varía la velocidad angular en segundos (s) Cuando en el móvil acelerado de un cuerpo que sigue una trayectoria circular, los intervalos de tiempo considerados son cada vez más pequeños (que tiende a cero), la aceleración angular media se aproxima a una aceleración angular instantánea.

Una rueda gira con una velocidad angular inicial de 18.8 rad/s experimentando una aceleración angular de 4 rad/𝑠2 que dura 7 segundos. Calcular: a) ¿Qué desplazamiento angular tiene a los 7 segundos? b) ¿Qué velocidad angular lleva a los 7 segundos?

Encontrar la velocidad angular de un disco de 45 rpm, así como su desplazamiento angular, si su movimiento duro 3 minutos

5.3. Movimiento de cuerpo rígido: traslación y rotación. El movimiento de traslación es el más sencillo que puede realizar el sólido rígido. Desde un punto de vista geométrico, lo podemos definir del modo siguiente: “Se dice que un sólido rígido se encuentra animado de un movimiento de traslación cuando todo segmento rectilíneo definido por dos puntos de aquél permanece paralelo a si mismo en el transcurso del movimiento”. En virtud de la condición geométrica de rigidez, el vector rij = ri – rj debe mantener constante su módulo en el transcurso de cualquier movimiento y, además, en virtud de la definición geométrica del movimiento de traslación, también ha de mantener constante su dirección; entonces, siendo c un vector constante, se puede escribir:

y derivando con respecto al tiempo (2)

constituyendo esta igualdad la condición cinemática del movimiento de traslación, esto es: Todos los puntos de un sólido rígido animado de un movimiento de traslación tienen, en cada instante, la misma velocidad. Esa velocidad, común a todos los puntos del sólido, recibe el nombre de velocidad de traslación del sólido y debe ser considerada como un vector libre. Las mismas consideraciones pueden aplicarse a la aceleración. Otra característica importante del movimiento de traslación del sólido rígido es que las trayectorias recorridas por sus diversos puntos son congruentes, es decir, una se puede obtener mediante una translación de la otra. En efecto, consideremos de nuevo dos puntos cualesquiera, Pi y Pj , pertenecientes al sólido, y sean ri y rj sus vectores de posición con respecto a un cierto origen arbitrario O. La condición geométrica de rigidez junto con la condición geométrica que define al movimiento de traslación se expresa en la forma

de modo que el desplazamiento experimentado por cada uno de los puntos del sólido durante un intervalo de tiempo Δt es único. De este resultado, junto con la noción de la línea curva como límite de una poligonal y de la continuidad del movimiento, se sigue la congruencia de las trayectorias recorridas por los distintos puntos del sólido rígido. Evidentemente, si la velocidad de traslación es constante (v=cte), cada uno de los puntos del sólido recorrerá una trayectoria rectilínea con celeridad constante y todas

esas trayectorias serán paralelas entre sí (movimiento de traslación uniforme). Pero, en general, la velocidad de traslación no tiene por que ser constante y la trayectoria puede ser curvilínea. Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de rotación alrededor de un eje fijo cuando todos sus puntos describen trayectorias circulares centradas sobre dicho eje y contenidas en planos normales a éste. El eje de rotación puede atravesar el cuerpo o ser exterior al mismo; en el primer caso, los puntos del sólido que están sobre el eje permanecen en reposo en tanto que los demás puntos describen circunferencias en torno al eje; en el segundo caso, todos los puntos del sólido están en movimiento circular alrededor del eje exterior al sólido. En cualquier caso, la velocidad v de un punto P del sólido será tangente a la circunferencia descrita y, en un instante dado, tendrá un módulo tanto mayor cuanto mayor sea la distancia del punto al eje de rotación. Dicha velocidad viene dada por

siendo un vector unitario (de módulo igual a la unidad) tangente a la trayectoria y v el módulo de la velocidad. Téngase en cuenta que necesariamente cambiará a lo largo del movimiento, ya que irá continuamente modificando su dirección hasta llegar de nuevo a la orientación original, tras completar un giro de radianes. El módulo de la velocidad, denominado celeridad, se corresponde con

considerando s la distancia que el sólido va recorriendo a lo largo de la circunferencia. Dada la definición matemática de ángulo , se verifica que ds = rdθ, para lo cual habrá que expresar el ángulo en radianes (rad). De aquí se deduce que

El cociente dθ/dt recibe el nombre de celeridad angular y se designa por ω:

y podemos expresar la celeridad v de cualquier punto del sólido como el producto de la celeridad angular por la distancia r del punto al eje de rotación

La celeridad angular se mide en radianes por segundo (rad/s).

Un aro circular tiene una masa de 3 kg. y un radio de 30 cm. ¿Cuál es su inercia rotacional?

Un disco tiene una masa de 5 kg. y un radio de 30 cm. ¿Cuál es su inercia rotacional?

Bibliografía Martinez Aguilar, J. (2018). jesusma490. Obtenido de https://jesusma490.es.tl/ Melendez Sedano, L. (14 de Mayo de 2015). Prezi. Obtenido de https://prezi.com Pacheco Salazar, O. (2018). itescam. Obtenido de https://www.itescam.edu.mx