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• Julio Gaona Sanchez

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Anualidades y amortizaciones

109

III

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

OBJETIVO

El estudiante: • Tomará decisiones sobre el valor del dinero a través del tiempo en la vida cotidiana, en función a la resolución de problemas financieros comunes donde intervengan las anualidades ordinarias, diferidas y en las amortizaciones, haciendo uso de los modelos matemáticos correspondientes y del software de aplicación, mostrando actitud de compromiso y responsabilidad.

INTRODUCCIÓN Las matemáticas financieras están en nuestra vida diaria cada vez que hacemos una compra a crédito, se realiza un ahorro o se paga una deuda; nos encontramos que entidades privadas del sector comercial, bancario o de servicio, realizan promociones que invitan al cliente a participar en sus operaciones financieras tal es el caso de “Compra hoy y paga hasta marzo del próximo año”, otorgando meses de gracia para efectuar el primer pago mientras los subsiguientes establecidos por un periodo de tiempo y rentas iguales, los cuales se amortizan a través del tiempo. Para facilitar la comprensión de este conocimiento y, sobre todo, su relación con el “mundo real”, de cada uno de los temas se desarrollan ejemplos, actividades y se proponen ejercicios contextualizados que permiten, mediante la aplicación de los modelos matemáticos, desarrollar habilidades para la toma de decisiones. De igual forma, al final de la unidad se presenta a grandes rasgos el uso de la hoja electrónica denominada Excel, que actualmente es demandada para estos efectos en entidades comerciales y financieras.

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

111

Muy probablemente en el ámbito en donde te encuentras se escucha que alguna persona ha adquirido en una tienda departamental una computadora a crédito por la cual tendrá que realizar pagos mensuales y, de acuerdo con los planes de pago otorgados por la tienda, conoce la fecha en que realizará el primer pago y la fecha en que concluirá el adeudo; también habrás escuchado que a algún familiar le pagan o cobra de forma quincenal o semanal, que un vecino paga la renta de su vivienda de manera mensual, que cada mes se pagan las cuentas contraídas a crédito con alguna institución financiera, que a fin de año se pagará la anualidad de las primas de pólizas de seguro de vida, que una persona que hipotecó su casa deberá pagar mensualmente su adeudo, o que alguien obtendrá semestralmente los dividendos por acciones, entre otros ejemplo. En los casos descritos, se considera que se efectuarán una serie de pagos, cobros, retiros o depósitos por lo regular iguales, en fechas determinadas o periódicas.

Anualidad. Conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales.

Realiza lo que se te indica. 1. Observa el siguiente gráfico:

Figura 3.1 Anuncio promocional.

2. Con base en un razonamiento escribe tus ideas. ¿Qué veo?

¿Qué no veo?

¿Qué infiero?

112

UNIDAD III

3. De acuerdo con el gráfico, responde las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es la anualidad? b. ¿Cuál es el periodo de pago? c. ¿Cuál es el plazo de la anualidad? 4. Presenta los resultados a la clase.

Aunque se denominan anualidades, no necesariamente las operaciones financieras se realizan anualmente, es decir, cada año; también se efectúan diaria, semanal, quincenal, mensual, bimestral, trimestral o cuatrimestralmente. Otras connotaciones de anualidades son: pago, abono, renta y pago periódicos. Antes de abordar el concepto de anualidad, se deben considerar las siguientes definiciones, ya que en lo sucesivo se utilizarán de manera recurrente.

Plazo de la anualidad. Es el intervalo de tiempo que transcurre desde la fecha de inicio del primer periodo de pago y la fecha del último pago. Periodo de pago. Es el intervalo de tiempo que transcurre entre dos pagos sucesivos.

Para comprender la clasificación de las anualidades se presenta el siguiente diagrama radical, el cual plasma en un segundo nivel los criterios y el tipo de anualidad, ya que como involucran una variedad de elementos existe una amplia gama de ellas por las combinaciones que se pueden realizar. Anualidad contingente

Anualidad cierta

Tipos

Tiempo Anualidad inmediata

Anualidad vencida Iniciación

Anualidades Criterios

Anualidad diferida

Figura 3.2 Clasificación de anualidades.

Intereses

Anualidad simple

Anualidad general

Pagos o abonos Anualidad anticipada

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

113

En la tabla 3.1 se desglosan las anualidades, sus características y un ejemplo: Anualidad

Característica

Ejemplo

Cierta

Los pagos inicial y final tienen fechas bien definidas.

Las tiendas departamentales recurren a este tipo de anualidad, ya que ofrecen al cliente la adquisición de un mueble, equipo o aparato en plazo y establecen el inicio y la terminación del crédito, tal como se mostró en la primera actividad de la unidad.

Contingente

Es cuando la fecha inicial de pago, la fecha final de pago o ambas se encuentran sujetas a un evento que ocurrirá pero no se sabe en qué momento.

Cuando las personas contratan un seguro de gastos médicos o de vida la aseguradora contratada deberá realizar los pagos al enfermarse o fallecer el asegurado; se sabe que dicho evento ocurrirá pero no cuándo.

Vencida

Los pagos se realizan al final de cada periodo.

El pago de una mensualidad en una tienda departamental.

Anticipada

Los pagos se realizan al inicio de cada periodo.

La renta de una casa o departamento.

Simple

El periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses.

Si se deposita en una cuenta de ahorro de una entidad en donde se capitalicen los intereses y coincidan en el momento del depósito.

General

El periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización de los intereses.

El depósito quincenal en un fondo de ahorro para el retiro en donde los intereses se capitalizan de forma mensual.

Inmediata

Los pagos se realizan desde el primer periodo establecido.

Al adquirir un electrodoméstico a crédito en una tienda departamental y se carga a la cuenta corriente, de donde se inicia el pago en el mes inmediato.

Diferida

Por un cierto número de periodos los pagos se aplazan.

Cuando existen promociones donde informan al cliente que puede comprar hoy e iniciar a pagar tres meses después.

En las siguientes páginas, serán sujeto de estudio las anualidades vencidas u ordinarias y las ciertas o diferidas, ya que son las más requeridas en el mundo financiero con sus respectivas combinaciones.

Tabla 3.1 Anualidades.

114

UNIDAD III

Escribe un ejemplo de las anualidades que se solicitan, en el espacio que corresponda. Anualidad Vencida

3.1

Anualidad Vencida Diferida

Anualidad Anticipada

Anualidad Anticipada Diferida

Anualidades ordinarias

Las anualidades ordinarias, también conocidas como vencidas, tienen la característica de ser ciertas, simples, vencidas e inmediatas y actualmente son demandadas por diversas instituciones financieras y comerciales.

3.1.1 Cálculo del monto y valor presente Con la finalidad de comprender mejor la fórmula que se aplicará para determinar las anualidades ordinarias y de dónde se deduce, veremos el siguiente ejemplo:

Durante un semestre, la Sra. Ernestina decide depositar al final de cada mes la cantidad de

$3,000.00 en una cuenta de inversión que otorga 2% mensual capitalizable cada mes. Al final

del semestre, ¿cuánto será el monto?

Como observamos, los depósitos se realizarán al final de cada mes, en consecuencia serán un total de 6 depósitos (un semestre), y cada mes se capitalizará 2%; sin embargo, cada mes el cálculo de los intereses se realizará sobre el monto a interés compuesto diferente, esto es:

Figura 3.3 Diagrama de tiempo.

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

Al final del periodo, se debe considerar que:

Final del mes

Depósitos C

1 2 3 4 5 6

$ 3,000.00 $ 3,000.00 $ 3,000.00 $ 3,000.00 $ 3,000.00 $ 3,000.00

Periodos de capitalización n 5 4 3 2 1 0

Aplicando la fórmula de monto a interés compuesto: M = C (1 + i )

n

Y sustituyendo los valores del último depósito al primero, tenemos:

2 3 4 5 M = 3000 + 3000 (1 + 0.02 )  + 3000 (1 + 0.02 )  + 3000 (1 + 0.02 )  + 3000 (1 + 0.02 )  + 3000 (1 + 0.02 ) 

M = 3, 000 + 3, 060 + 3, 121.2 + 3, 183.62 + 3, 247.30 + 3, 312.24 M = $18, 924.36

Si se resta el total de los depósitos al monto alcanzado, se obtiene el interés compuesto ganado:

MI = 18, 924.36 − 18, 000.00 = 924.36 Verifiquemos: Final del mes

Depósitos C

1 2 3 4 5 6

$ 3,000.00 $ 3,000.00 $ 3,000.00 $ 3,000.00 $ 3,000.00 $ 3,000.00

Periodos de capitalización n 5 4 3 2 1 0

Monto a Interés Compuesto $ 3,312.24 $ 3,247.30 $ 3,183.62 $ 3,121.20 $ 3,060.00 $ 3,000.00

Interés $ 312.24 $ 247.30 $ 183.62 $ 121.20 $ 60.00 $ 0.00

115

116

UNIDAD III

Como se observa, se establece una progresión geométrica en el monto. Teniendo en cuenta la fórmula de suma de progresiones geométricas que se abordó en la unidad I:

Sn =

a1 (1 − r n ) 1− r

Donde se puede considerar: a1 = t 1 = 3, 000.00

Que al sustituir en la fórmula de progresiones geométricas se obtiene:

Sn =

t 1 (1 − r n ) 1− r

=

t 1 − t 1r n 1− r

Considerando que en las anualidades, la razón (r) está dada por (1+ i ) , la anualidad como depósito o pago al final de un periodo, identificada por la letra (A), el número de periodos con la letra (n) y el monto por (M), al sustituir por los términos utilizados, deducimos: n

n n 1 − (1 + i )n  A 1 − (1 + i )  A − A (1 + i )  =A M= = 1 − (1 + i ) 1−1− i −i

Para convertir a positivo, se multiplica la fracción por –1, con lo cual se obtiene la fórmula para calcular las anualidades ordinarias o vencidas.  ( 1 + i )n − 1  M = A  i  

Si retomamos el ejemplo de la Sra. Ernestina que deposita en una cuenta de inversión y aplicamos la fórmula de anualidades ordinarias tenemos: Datos

A = 3,000.00 i = 2% mensual n = 6 periodos M=?

Fórmula

 (1+ i )n −1   M = A i  

Sustitución

 (1 + 0.02 )6 − 1  M = 3, 000.00   0.02    0.12616  = 3, 000   0.02  = 3, 000.00 ( 6.30812 )

Respuesta

M = 18, 924.36

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

Tanto en el cálculo con la fórmula de monto a interés compuesto como al aplicar la fórmula de anualidades vencidas u ordinarias, se obtiene el mismo resultado: $18,924.36. Para efectos de ejemplo y de manera comparativa se optó por desarrollar la situación en un semestre con el fin de lograr una comprensión mayor y poder demostrar que se llega al mismo resultado de las dos maneras. Sin embargo, en el caso de periodos mayores se dificultaría realizar la operación con la suma del cálculo de los montos a interés compuesto, por lo que a partir de este momento se aplicará la fórmula para obtener las anualidades ordinarias.

Resolvamos el siguiente ejemplo aplicando la fórmula de anualidad. El Sr. Andrés, al ver las calificaciones de su hijo al término de la secundaria, se da cuenta de que obtuvo 9 de promedio general, por lo que le prometió un viaje al concluir sus estudios universitarios con el fin de motivarlo a que continuara estudiando y acordaron que sería a Francia por un año. El Sr. Andrés asiste a la institución financiera donde tiene su cuenta de nómina a solicitar asesoría para realizar un ahorro o inversión que le beneficie. El banco le ofrece que al depositar mensualmente la cantidad de $5,800.00 en una inversión progresiva, le otorga un interés de 6.7% anual capitalizable mensualmente. Si el joven cuenta con 14 años de edad y considera que concluirá sus estudios universitarios al cumplir 24 años, ¿cuánto reunirá el Sr. Andrés?

Datos

A = 5,800.00 i = 6.7% anual = 0.55833% mensual n = 10 años por 12 meses = 120 meses M=?

Fórmula

 (1+ i )n −1   M = A i  

Sustitución

Respuesta

 (1 + 0.005583 )120 − 1  M = 5, 800.00   0.005583    1.950521 − 1  = 5, 800.00   0.005583   0.950521  = 5, 800   0.005583  = 5, 800.00 (170.2528 )

M = 987, 466.29

Si el Sr. Andrés invierte de manera progresiva, al final de 10 años tendrá un monto de $987,466.29 Se ha calculado el valor futuro de una anualidad ordinaria, a continuación se abordará cómo se calcula el valor al inicio del plazo, denominada valor actual o valor presente de una anualidad ordinaria o vencida.

Valor presente. Suma de los valores actuales de los depósitos o pagos.

117

118

UNIDAD III

Analicemos el siguiente ejemplo que nos ayudará a deducir la fórmula para obtener el valor presente de anualidades ordinarias.

Fabiola desea depositar durante un semestre en una cuenta de ahorro en la cual le ofrecen una tasa de interés de 7% anual la cantidad de $1,000.00. ¿Cuál es el valor presente? Representemos los datos en un diagrama de tiempo:

Figura 3.4 Diagrama de anualidades ordinarias.

Identificación de datos: C=? A = 1,000 i = 7% anual = 0.583% C=



M

(1 + i )

n

Al sustituir los valores en la fórmula de valor presente de monto compuesto: C=

1, 000

(1 + 0.00583)

+

1, 000

(1 + 0.00583)

2

+

1, 000

(1 + 0.00583)

3

+

1, 000

(1 + 0.00583)

4

+

1, 000

(1 + 0.00583)

5

+

1, 000

(1 + 0.00583)

6

C = 1, 000 (1 + 0.00583 ) + 1, 000 (1 + 0.00583 ) + 1, 000 (1 + 0.00583 ) + 1, 000 (1 + 0.00583 ) + 1, 000 (1 + 0.00583 ) + 1, 000 (1 + 0.00583 ) −1

−2

−3

−4

C = 994.20 + 988.44 + 982.71 + 977.02 + 971.35 + 965.72 C = $$5, 879.44

Como podemos observar, es una progresión geométrica donde: Sn =

a1 (1 − r n ) 1− r

−5

−6

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

a1 = A(1 + i )−1 r = (1 + i )

−1

Al sustituir los valores en la fórmula de valor presente:

C=

A (1 + i )

−1

(1 − r ) n

1− r

−1 −1 −1 A (1 + i ) − A (1 + i ) (1 + i )  C= −1 1 − (1 + i )

A (1 + i ) − A (1 + i )

−1

(1 + i )

−n

A (1 + i ) − A (1 + i ) C= 1 1− (1 + i )

−1

(1 + i )

−n

A (1 + i ) − A (1 + i ) 1 1− (1 + i )

−1

(1 + i )

−n

−1

C=

1 − (1 + i )

−1

−1

−1

C=

n

Deduciendo la siguiente fórmula para el cálculo del valor actual o presente de anualidades ordinarias:  1 − (1 + i )− n  C = A  i  

Aplicamos esta fórmula al ejemplo resuelto con la fórmula de monto compuesto, considerando que Fabiola desea depositar la cantidad de $1,000.00 en una cuenta de ahorro en la cual le ofrecen una tasa de interés de 7% anual durante un semestre. ¿Cuál es el valor presente?  1 − (1 + 0.00583 )−6  C = 1, 000   0.00583  

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UNIDAD III

 1 − ( 0.96572281)  C = 1, 000   0.00583   C = 1, 000 ( 5.8794494 ) C = 5, 879.44

En ambos casos da el mismo resultado de $5,879.44. Es necesario resaltar que el cálculo con la fórmula de valor actual de monto compuesto se utilizó para efectos de ejemplos con periodos cortos; sin embargo, calcular uno mayor sería muy complicado y sujeto a errores, por lo que se recomienda emplear la fórmula de valor actual de anualidades ordinarias. Para reafirmar el uso de la fórmula de valor presente, desarrollemos el siguiente ejemplo: Determina el valor presente de una anualidad de $8,000.00 depositados en una cuenta de inversión al final de cada trimestre durante 3 años, donde la institución bancaria otorga 12% anual capitalizable trimestralmente.

Datos

Fórmula

A = 8,000.00 n = 3 años = (3)(4) = 12 trimestres i = 12% anual = 3% trimestral

 1−(1+ i )−n   C = A i  

Sustitución

Respuesta

 1 − (1 + 0.03 )−12  C = 8, 000   0.03  

C = 79, 632.03

C = 8, 000 ( 9.954004 )

Se considera que al depositar la cantidad de $79,632.03, tendría un monto igual que depositar $8,000.00 durante tres años cada trimestre, a 12% anual capitalizables trimestralmente. En muchas ocasiones se adquieren deudas guiadas por las “atractivas” promociones que publican las tiendas departamentales para sus clientes, como son los pagos fijos. Veamos el siguiente ejemplo, supongamos que el día de hoy Federico adquiere un set de aparatos para ejercicios, el vendedor le informa que podrá liquidar su adeudo realizando 18 pagos fijos de $1,585.00 mensuales que incluyen intereses del 3.5% mensual capitalizables cada mes. ¿Cuál es el valor presente de la anualidad? Datos A = 1,585.00 n = 18 meses i = 3.5% mensual

Fórmula

Sustitución

−18    C = 1, 585.00 (13.189682 )

Respuesta



 1−(1+ i )−n  C = 1, 585.00  1−(1+ 0.035 )  C = A 0.035  i  

C = 20, 905.65

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

121

Por lo tanto, si realiza 18 pagos de $1,585.00, pagará $28,530.00 cuyo valor actual es de $20,905.65 Desglosemos en la siguiente tabla el adeudo para verificar si efectivamente Federico liquidará la deuda contraída:

Pagos Mensuales

Interés 3.5 % I = Cit

Adeudo

Monto M=C+I  

Pagos fijos

Capital $20,905.65

 

1

$731.70

$21,637.35

$1,585.00

$20,052.35

2

$701.83

$20,754.18

$1,585.00

$19,169.18

3

$670.92

$19,840.10

$1,585.00

$18,255.10

4

$638.93

$18,894.03

$1,585.00

$17,309.03

5

$605.82

$17,914.85

$1,585.00

$16,329.85

6

$571.54

$16,901.39

$1,585.00

$15,316.39

7

$536.07

$15,852.46

$1,585.00

$14,267.46

8

$499.36

$14,766.83

$1,585.00

$13,181.83

9

$461.36

$13,643.19

$1,585.00

$12,058.19

10

$422.04

$12,480.23

$1,585.00

$10,895.23

11

$381.33

$11,276.56

$1,585.00

$9,691.56

12

$339.20

$10,030.76

$1,585.00

$8,445.76

13

$295.60

$8,741.36

$1,585.00

$7,156.36

14

$250.47

$7,406.84

$1,585.00

$5,821.84

15

$203.76

$6,025.60

$1,585.00

$4,440.60

16

$155.42

$4,596.02

$1,585.00

$3,011.02

17

$105.39

$3,116.41

$1,585.00

$1,531.41

18

$53.60

$1,585.01

$1,585.00

$0.01

Efectivamente, la deuda se liquida en 18 pagos fijos de $1,585.00 que incluyen el 3.5% de interés mensual. El conocimiento de anualidades, vencidas u ordinarias, es útil para decidir en diferentes situaciones de la vida real que atañen no sólo a la economía de una entidad, sino a personas físicas ya que las grandes promociones llevan al cliente a deslumbrarse y luego a recapacitar si le convino o no la compra. Este tipo de planteamientos ayudarán a calificar y comparar propuestas en el momento, por ejemplo al adquirir un vehículo en distintas agencias o la compra-venta de una casa.

Tabla 3.2 Liquidación de deuda.

122

UNIDAD III

Realiza la siguiente investigación. 1. En un motor de búsqueda (google) encuentra las definiciones de características principales.

afore, sar

y

siefore;

anota sus

2. A través de internet identifica qué instituciones bancarias cuentan con afores y siefores; describe sus características y beneficios principales; recuerda anotar la página donde obtuviste la información y la fecha de consulta. 3. Encuentra en internet la página de la consar, escribe su nombre completo, su objetivo y la finalidad de su creación. 4. En la página de la consar localiza los links que se detallan a continuación y elabora una síntesis de la información obtenida. • Información para trabajadores. • Información para afores. • Rendimientos netos que proporcionan las instituciones bancarias y con la información presentada determina cuál es la mejor opción. • Precios de las siefores básicas. 5. Una vez que has comprendido el tema, elabora una historieta en la que concentres los temas aprendidos. 6. Para concluir, realiza una reflexión de los temas abordados y plasma en el siguiente esquema tus ideas generadas así como dudas, preguntas o aspectos curiosos que hayas encontrado. (Si se requiere elabóralo en tu cuaderno)

Positivo

Negativo

Interesante

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

Otra aplicación de las anualidades en la actualidad es la afore, creada para realizar un fondo de ahorro de los trabajadores durante su vida laboral, para que cuando se jubilen perciban una cantidad fija a intervalos regulares, generalmente cada mes, la cual dependerá del monto obtenido y después de cierto periodo se agota. Supongamos la siguiente situación: Don Mario desea jubilarse el próximo año y haciendo un cálculo de sus necesidades principales, requiere recibir por lo menos mensualmente $6,200.00, si estima que lo requiere durante 15 años y sabe que le otorgan 9.88% anual capitalizable mensualmente, ¿cuánto debe tener don Mario en su fondo para el retiro?

Datos A = 6,200.00 n = 15 años = (20)(12) = 240 meses i = 9.88% anual = 0.8233% mensual

Fórmula

 1−(1+ i )−n   C = A i  

Sustitución

 1 − (1 + 0.00823333 )−240  C = 6, 200.00   0.00823333  

Respuesta

C = 647, 800.79

C = 6, 200.00 (104.4839998 )

Don Mario requiere tener en el fondo de ahorro $647,800.79 para recibir cada mes la cantidad de $6,200.00 a una tasa de 9.88% capitalizable mensualmente.

Para desarrollar tus habilidades, analiza las situaciones que se te presentan y resuelve según corresponda en cada caso. 1. Luis es un estudiante universitario que empieza a trabajar y se ha puesto como meta que al concluir sus estudios, en tres años, se comprará un carro, por lo que decide ahorrar 30% de su sueldo mensual que asciende a $5,000.00, y depositarlo en una cuenta bancaria que le ofrece 4.7% anual capitalizable mensualmente. Calcula el monto. 2. La familia Martínez pretende realizar un viaje a Disney en Estados Unidos, como son cuatro miembros en total, deciden iniciar un ahorro por la cantidad de $2,000.00 cada fin de bimestre en una cuenta donde les ofrecen 1.7% de interés bimestral capitalizable en el mismo tiempo. Pretenden realizar el viaje dentro de tres años. Determina el monto y el interés ganado. 3. La abuelita de Joselyn, quien tiene 5 años, desea dejarle un ahorro para invertirlo en sus estudios, por lo que al final de cada mes depositará en una cuenta de ahorro $1,000.00 a una tasa de interés de 11% capitalizable mensualmente durante un periodo de 7 años ya que pretende entregárselos cuando ingrese a la secundaria. Calcula el monto e interés.

123

124

UNIDAD III

4. Para iniciar una cultura de ahorro, te invitan a que deposites de forma mensual la cantidad de $500.00 durante 5 años en una cuenta bancaria que te da 7% anual capitalizable cada mes. ¿Cuál será el monto y qué interés ganarás? 5. El Sr. Justo es beneficiario de un seguro de vida, por el cual la aseguradora le entregará la cantidad de $4,200.00 mensuales durante los próximos 15 años; sin embargo, para poder invertirlos, solicita a la aseguradora le entreguen el capital equivalente en este momento. Si con la aseguradora le otorgaban una tasa de interés de 12% anual capitalizable mensualmente, ¿cuánto le entregarán? 6. Se desea conocer cuál es el valor actual de un terreno por el que se recibirá un enganche de $70,000.00 y durante 3 años un pago mensual de $3,200.00 con un interés de 13% capitalizable mensualmente. 7. Rosalía acordó realizar 15 pagos mensuales de $2,000.00 cada uno para saldar un préstamo con el sindicato; si la tasa de interés que le cobran es de 20% capitalizable cada mes, calcula el valor presente. 8. El Sr. González desea recibir, a través de su fondo de ahorro para el retiro, una mensualidad de $9,000.00 durante los próximos 20 años, que es su promedio de vida estimable. Si le otorgan el 9% capitalizable mensualmente, ¿cuánto dinero debe tener ahorrado el Sr. para que obtenga la mensualidad deseada? 9. Benjamín desea retirar durante cuatro años la cantidad de $5,000.00 cada bimestre, ¿cuánto deberá depositar en la cuenta de inversión si la tasa de interés es del 11% capitalizable bimestralmente. 10. Una agencia de automóviles ofrece al Mtro. Cuéllar un coche del año haciéndole la siguiente propuesta: un pago inicial de $35,000.00 y 36 mensualidades de $3,800.00. Si le cobran una tasa de interés del 1.2% capitalizable mensualmente, el maestro desea saber cuál es el valor de contado del automóvil. 11. Alberto deposita $500.00 al final del mes en que nació su hijo, el ahorro pretende entregárselo a la mayoría de edad, si lo deposita en una institución bancaria en donde le otorgan por los primeros 10 años una tasa de interés del 8% capitalizable mensualmente y por el resto una tasa del 9.5% capitalizable mensualmente, ¿cuál es el monto que recibe el hijo de Alberto? 12. La Sra. Fernández desea vender su casa y recibe las siguientes propuestas considerando una tasa de interés de 1% mensual: 1ª) Un pago único por $450,000.00; 2ª) Un enganche de $200,000 y 30 pagos mensuales de $9,200.00; 3ª) 36 pagos de $13,500.00 mensuales. ¿Cuál es la propuesta que más le conviene a la Sra. Fernández? 13. Una tienda departamental vende refrigeradores, sin enganche y 30 pagos mensuales de $330.00, si cargan una tasa de interés del 38% anual capitalizable mensualmente, ¿cuál es el precio de contado? 14. Una persona contrata un seguro contra accidentes de su vehículo, por la cantidad de $850.00 al final de cada bimestre, si le aplican una tasa de interés del 15.5% anual capitalizable bimestralmente, ¿cuánto debe pagar si desea realizar un solo pago por adelantado la prima de un año?

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

15. Si Rosa desea jubilarse y recibir mensualmente $6,000.00 durante los próximos 20 años, ¿cuánto tiene que haber en el fondo de ahorro en el momento de su jubilación si se encuentra a una tasa del 11% anual capitalizable mensualmente?

3.1.2 Cálculo de la renta y periodos de amortización A continuación se realizarán los cálculos para determinar la renta.

Renta. Es el pago periódico que se realiza a intervalos iguales.

Para ejemplificar desarrollemos la siguiente situación. Jaime asiste a una empresa de equipos para adquirir una computadora que cubra sus necesidades de trabajo, elige una laptop que tiene un costo de $20,499.00 y acuerda realizar nueve pagos mensuales a una tasa de interés de 41.90% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuánto deberá pagar Jaime cada mes?

Datos A=? C = 20,499 n = 9 meses i = 41.90% anual = 3.49% mensual

Fórmula

C=A

Sustitución

1 − (1 + i ) i

−n

A=

( 20, 499 )( 0.0349 ) −9 1 − (1 + 0.0349 )

DESPEJE

A=

A = 2, 693.27

Ci

1 − (1 + i )

Respuesta

−n

A=

El pago que deberá realizar Jaime cada mes de $2,693.27.

715.4151 0.2656307

125

126

UNIDAD III

En la siguiente tabla se mostrará si con el pago de $2,693.27 que realice Jaime durante 9 meses, cancelará su obligación e intereses dentro del plazo convenido previamente. Aplicando los cálculos de interés simple se tiene:

Interés 3.49 % I = Cit

Pagos Mensuales Adeudo

Tabla 3.3 Cancelación de deudas.

 

Monto M=C+I  

Pagos Fijos

Capital $20,499.00

 

1

$715.42

$21,214.42

$2,693.27

$18,521.15

2

$646.39

$19,167.53

$2,693.27

$16,474.26

3

$574.95

$17,049.21

$2,693.27

$14,355.94

4

$501.02

$14,856.97

$2,693.27

$12,163.70

5

$424.51

$12,588.21

$2,693.27

$9,894.94

6

$345.33

$10,240.27

$2,693.27

$7,547.00

7

$263.39

$7,810.39

$2,693.27

$5,117.12

8

$178.59

$5,295.71

$2,693.27

$2,602.44

9

$90.83

$2,693.27

$2,693.27

$0.00

A continuación se presenta una tabla de amortización, como introducción al tema final de la presente unidad, para que vayas familiarizándote con el término de amortización que se abordará más adelante, y que, como podrás observar, da el mismo resultado que la tabla anterior y Jaime concluye su adeudo al noveno mes, como había pactado.

Núm. Pagos 0

Tabla 3.4 Amortización.

Pago  

Amortización o Pago Capital

Interés (I)  

Saldo $20,499.00

 

1

$2,693.27

$715.42

$1,977.85

$18,521.15

2

$2,693.27

$646.39

$2,046.88

$16,474.26

3

$2,693.27

$574.95

$2,118.32

$14,355.94

4

$2,693.27

$501.02

$2,192.25

$12,163.70

5

$2,693.27

$424.51

$2,268.76

$9,894.94

6

$2,693.27

$345.33

$2,347.94

$7,547.00

7

$2,693.27

$263.39

$2,429.88

$5,117.12

8

$2,693.27

$178.59

$2,514.68

$2,602.44

9

$2,693.27

$90.83

$2,602.44

$0.00

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

La deuda y sus intereses se pagan mediante 9 pagos parciales o abonos, en este periodo Jaime amortiza la deuda.

La Sra. Flor desea acumular un total de $250,000.00 para invertirlos en su fondo de ahorro para el retiro y poder sumarlo a lo que tenga dentro de 10 años en la cuenta que administre su fondo de retiro para recibir mensualidades que le permitan vivir decorosamente. Decide invertirlo en un banco que le ofrece 6.5% de rendimiento anual. ¿Cuánto deberá invertir la Sra. Flor al final de cada mes durante el tiempo señalado?

Datos M = 250,000 n = 10 años = (10)(12) = 120 meses i = 6.5% anual = 0.54% mensual A=?

fórmula

 ( 1 + i )n − 1  M = A  i  

Sustitución

A=

( 250, 000 )( 0.0054 ) 120 (1 + 0.0054 ) − 1 A = 1, 486.16

DESPEJE

A=

Mi

(1 + i ) − 1 n

Respuesta

A=

1, 350 0.90838373

La Sra. Flor deberá depositar mensualmente en la cuenta de ahorro la cantidad de $1,486.16 para poder tener en 10 años $250,000.00 a un interés de 0.54% mensual. La determinación de los plazos de pagos de anualidades vencidas se explicará mediante el desarrollo del siguiente ejemplo: Rodrigo desea ahorrar la cantidad de $3,000.00 bimestralmente a una tasa de interés de 24% anual capitalizable en el mismo periodo de la anualidad. Requiere reunir la cantidad de $60,000.00 para dar el anticipo de un vehículo y el resto pagarlo en mensualidades cómodas. Se pregunta cuánto tiempo tardará en reunir la cantidad.

127

128

UNIDAD III

Solución: datos

M = 60,000 i = 24% anual = 4% bimestral A = 3,000 n=?

Fórmula

 ( 1 + i )n − 1  M =A R  i  

Sustitución

Respuesta

 (1 + 0.04 )n − 1  60, 000 = 3, 000   0.04  

n = 14.99 ≈ 15

 ( 60, 000 )( 0.04 )  n + 1 = (1.04 )   3, 000   1.8 = (1.04 )

bimestral 14.99 * 2 = 29.98 ≈ 30

n

meses

n log 1.04 = log 1.8 n=

log 1.8 log 1.04

1. El Sr. Benjamín desea incrementar su fondo de ahorro para el retiro, por lo que se establece como meta reunir en 10 años la cantidad de $300,000.00 que de acuerdo con sus cálculos sumada al fondo oficial, le permitirá vivir con holgura. Si decide ahorrarlo en una institución bancaria que otorga 9% anual capitalizable mensualmente, ¿cuánto deberá invertir cada mes para lograr su meta? 2. La empresa Cosméticos de México, S. A. contrae una deuda con un banco por la cantidad de $200,000.00 para incrementar su negocio; la institución carga un interés de 27% anual capitalizable mensualmente. La empresa pretende saldar su cuenta en 24 meses. ¿Cuánto tendrá que pagar mensualmente para liquidar su deuda? 3. La Sra. Carmen decide vender una de sus casas en la cantidad de $850,000.00, por lo cual acuerda que le sea liquidada con un enganche de 10% y por el resto 48 pagos mensuales con una tasa de interés de 2.2% mensual capitalizable en el mismo periodo. ¿Cuánto recibirá la Sra. Carmen en cada pago? 4. Nicolás compra un equipo modular con un valor de $7,830.00. Si pacta con la tienda realizar pagos de $900.00 con un interés de 24% anual capitalizable mensualmente, determina los pagos que debe realizar para liquidar su deuda. 5. Al hacer efectivo un seguro el Sr. Octavio, quien es el beneficiario por la cantidad de $500,000.00, acuerda con la aseguradora recibir una cantidad mensual por los próximos 10 años en lugar de que se lo entreguen en una sola exhibición. Si la aseguradora le ofrece una tasa de interés del 13% capitalizable mensualmente, ¿qué cantidad recibirá mensualmente que agote el valor presente durante 10 años ?

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

6. Jaime quiere ahorrar para un equipo modular que tiene un valor en el mercado de $15,600.00; si sólo puede reunir mensualmente la cantidad de $340.00 y los invierte en una cuenta que gana una tasa del 1.6 % mensual capitalizable cada mes, ¿cuántos depósitos mensuales deberá realizar para reunir la cantidad? 7. Julio desea obtener un monto por $40,000.00 mediante depósitos vencidos cada dos meses por la cantidad de $750.00, si le ofrecen una tasa de interés del 12% capitalizable bimestralmente, ¿cuántos depósitos debe realizar? 8. El Sr. Palacios desea amortizar una deuda que asciende a $12,500.00, con pagos mensuales de $965.00, si le aplican una tasa del 31% anual capitalizable cada mes, ¿cuántos pagos mensuales deberá realizar? 9. La familia Betancurt compra una casa por la cantidad de $750,000.00, por la cual da un enganche de $150,000.00 y por el resto conviene pagar $10,500.00 mensuales a una tasa del 1.2% mensual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos deberá realizar para cubrir el adeudo? 10. La Sra. Hortencia desea jubilarse por ello le informan que en su fondo de ahorro para el retiro, cuenta con una cantidad de $425,000.00 y desea retirar $4,500.00 mensualmente; si el dinero se encuentra invertido a una tasa del 14% anual capitalizable mensualmente, ¿cuántos pagos de $4,500.00 recibirá la Sra. Hortencia? 11. Leticia se inscribió a una escuela culinaria, la cual le cobra una mensualidad de $650.00. Si acuerda con su padre que de manera alternada se paguen las mensualidades, una él y otra ella, ya que cuenta con un ahorro en el banco de $32,000.00 al 2.1% bimestral capitalizable bimestralmente, ¿cuántos retiros bimestrales de $650.00 puede realizar? 12. Un grupo planea realizar un viaje de fin de año, por lo cual deberán contratar un autobús cuyo costo consideran será aproximadamente de $23,000.00, para lo cual se organizan y deciden empezar a ahorrar la cantidad de $850.00, si les ofrecen una tasa de interés del 6.5% anual capitalizable mensualmente, ¿cuántos depósitos requieren para reunir la cantidad del viaje?

3.1.3 Determinación de las tasas de interés nominal El Sr. Calixto tiene dos hijos, uno en secundaria y otro en preparatoria, ambos se graduarán de la escuela el próximo año, por lo que requiere dinero para sufragar los gastos de los dos eventos; haciendo un cálculo aproximado necesitará $25,000.00. Si de acuerdo con su sueldo puede ahorrar $1,500.00 mensuales, se pregunta: ¿a qué tasa debe invertirlos para que al final de 12 meses obtenga la cantidad que necesita?

129

130

UNIDAD III

Solución: Primero se identifican los datos: M = 25,000 A = 1,500 n = 12 meses i=? Se aplica la fórmula:  ( 1 + i )n − 1  M = A  i  

1) Se sustituyen en la fórmula los valores conocidos:  ( 1 + i )n − 1  25, 000 = 1, 500   i   n (1 + i ) − 1 25, 000

=

i

n (1 + i ) − 1

i

1, 500

= 16.66

2) No se puede despejar la incógnita del interés por lo que se procede a dar un valor aproximado, cuya finalidad es encontrar un dato mayor y otro menor al de referencia, que es de 16.66. Se inicia asignando un valor x aproximado al interés, valor a i = 2%, sería: 12 (1 + 0.02 ) − 1

0.02

= 13.412

El resultado de 13.412 es mucho menor que el de referencia. Se incrementa el valor asignado al interés de 5.5%: 12 (1 + 0.055 ) − 1

0.055

= 16.3855 Obtenemos un dato más cercano y menor.

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

131

Ahora se asigna el valor de 6% al interés por cálculo: 12 (1 + 0.06 ) − 1

0.06

= 16.8699 Obteniendo un valor cercano y mayor al de referencia.

3) Al encontrarse dos valores, uno mayor a 16.67, que es 16.8699 a una tasa de 6% y un dato menor de 16.3855 a una tasa de 5.5%, se deduce que la tasa de interés se encuentra entre estos dos valores; por consiguiente, realizaremos el cálculo por interpolación. Grafiquemos los valores para comprender mejor:

Figura 3.5 Gráfica de interpolación

16.6666 − 16.3855 i − 5.5 = 16.8699 − 16.3855 6.0 − 5.5 0.2811 i − 5.5 = 0.4844 0.5  0.2811  0.5  = i − 5.5  0.4844  i = ( 0.290152 ) + 5.5 i = 5.79

El interés al que debe invertir sus ahorros es de 5.79% mensual para que logre reunir en 12 meses $25,000.00 Para verificar el cálculo de la tasa de interés, se aplicará en:  (1 + 0.0579 )12 − 1  M = 1, 500   0.0579   M = 24 , 996.82

132

UNIDAD III

Por aproximación obtendrá el monto requerido de $25,000.00 a la tasa de interés 69.48% anual capitalizable mensualmente a 5.79%

1. Ximena desea reunir $32,000.00 en 2 años depositando en una cuenta de inversiones $1,200.00 mensuales, ¿a qué tasa debe invertir? 2. El Sr. Ernesto requiere dinero para pagar una deuda por la cantidad de $55,000.00; si de acuerdo con su sueldo puede ahorrar $2,500.00 mensuales, se pregunta: ¿a qué tasa debe invertirlos para que al final de 18 meses obtenga la cantidad que necesita? 3. Para reunir la cantidad de $45,000.00 que requiere Emilio para poder pagar el enganche de un vehículo, durante un año deberá ahorrar mensualmente la cantidad de $2,800.00. ¿A qué tasa de interés deberá invertirlos para que al término del año cuente con la cantidad requerida? 4. Durante 10 meses se depositaron $15,000.00 con los que se acumularon $180,000.00. ¿A qué tasa se efectuó la operación? 5. Si se quiere reunir la cantidad de $80,000.00 en tres años realizando un depósito de $ 2,300.00 mensualmente, ¿a qué tasa de interés deben realizarse los depósitos?

3.2

Anualidades ciertas diferidas

Como se ha mencionado, a la serie de pagos iguales a los mismos intervalos de tiempo se les denomina anualidad, pero existen anualidades con características especiales. Recordemos que en las anualidades ciertas se identifican perfectamente los pagos, ya que comienzan y terminan en fechas definidas.

I. Por acercarse las fechas decembrinas, una tienda departamental, a través de su página web, publica promociones como las de abajo. Realiza una descripción de cada uno de los anuncios promocionales.

Figura 3.6 Anuncios promocionales.

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

II. Responde las siguientes preguntas: 1. ¿Se identifica qué anualidad ha de pagarse? 2. ¿Por cuántos periodos se realizará el pago? 3. ¿Especifican la tasa de interés que tiene el crédito? 4. ¿Hay pagos fijos para liquidar la deuda? 5.¿Cuándo inician las anualidades? 6. ¿Se identifica un periodo en el que se puede formalizar la operación y con ello iniciar el convenio? 7. ¿Especifica el precio del artículo? 8. De acuerdo con las características, ¿qué tipos de anualidades identificas? III. Busca en algún medio de comunicación, periódicos, revistas, carteles o página web, por lo menos 5 ejemplos e identifica la anualidad, periodo o plazo de inicio del convenio, tasa de interés y precio. Presenta tus hallazgos a la clase en coordinación con el facilitador.

Como se observó, en la actividad realizada en el apartado anterior se identificaron las anualidades ciertas, ya que describen el número total de pagos que el cliente puede solicitar y con ello determinar la fecha de inicio de los mismos y la fecha del pago final con el que cubrirá la deuda e intereses. A las anualidades ciertas le sumaremos una característica de las anualidades diferidas, en las cuales los pagos se aplazan por un cierto número de periodos. Para obtenerlas se emplearán las mismas fórmulas que en las anualidades ordinarias.

3.2.1 Cálculo del monto y valor presente Remitiéndonos al televisor que aparece en el anuncio, suponiendo que nos ubicamos en el mes de noviembre y convenimos la compra a 6 meses con pagos de $1,850.00 iniciando a pagar hasta marzo del año entrante a una tasa de 36% capitalizable mensualmente. Calcula el precio de contado a la fecha actual y el total de intereses.

133

134

UNIDAD III

Figura 3.7 Diagrama (periodo de diferimiento).

Datos

Fórmula

Sustitución Por los 6 meses de pago

 1 − (1 + i ) C = A i 

−n

  

A = 1,850 n=6 i = 36% anual = 3% mensual C=?

Respuesta

 1 − (1 + 0.03 )−6  C = 1, 850   0.03   C = 1, 850 ( 5.41719 ) C = 10, 021.80

C=

Cálculo a valor presente, se trae tres meses en donde se hace el convenio.

M (1 + i )n

C=

10, 021.80 (1 + 0.03 )3

C = (10, 021.80 )(1.03 )

−3

C = 9, 171.37

Que se puede calcular también como:

[

C = 1, 850

1 − (1 + 0.03 ) 0.03

−6

]

−3 (1 + .03 ) = 1850 ( 5.417191)( 0.915141) = 9, 171.37

Dando el mismo resultado, el televisor a la fecha actual del convenio tiene un costo de $9,171.37 Los intereses que se pagarán serán: Los 6 pagos de $1,850.00 amortizarán la deuda y si la televisión tiene un valor actual de $9,171.37 se toma de base el valor de $10,021.80 para el cálculo del interés.

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

Con el ejemplo anterior se puede calcular el monto de la anualidad, mediante dos planteamientos diferentes: a) Utilizando la fórmula de monto de una anualidad: n

M =A R

(1 + i ) − 1n i

Sustituyendo los valores:  (1 + 0.03 )6 − 1  M = 1, 850   0.03   M = 1, 850 ( 6.468409 ) M = 11, 966.56

El monto de la anualidad en agosto del año próximo es de $11,966.56 b) Ahora calcularemos el monto de la anualidad con el valor presente calculado inicialmente, utilizando la fórmula de monto compuesto: M = C (1 + i )

n

Sustituyendo los valores conocidos: M = 9, 171.37 (1 + 0.03 )

9

M = 9, 171.37 (1.304773 ) M = 11, 966.56

Se observa que lo que cambia es el periodo, en este caso se considera desde la fecha que se hace el convenio, hasta que se realiza el último pago, que en total son 9 meses.

1. Alejandro compra un set de entretenimiento mediante 12 pagos mensuales de $1,550.00 cada uno; paga la primera mensualidad después de 3 meses de la compra, ¿cuál es el precio de contado del set de entretenimiento, si le cobran una tasa de interés del 39% anual capitalizable cada mes? 2. Pamela paga de renta trimestralmente $15,000.00 durante 5 años, si el primer pago trimestral lo hizo después del primer trimestre y la tasa es del 13 % anual capitalizable cada trimestre, determina el valor presente.

135

136

UNIDAD III

3. Calcula el valor presente de 20 pagos mensuales de $3,000.00, el primero realizado dos meses después de convenida la operación a una tasa de 27% capitalizable mensualmente. 4. Tomás desea realizar un viaje, por lo que aprovecha una promoción de una agencia que le ofrece viajar en este momento y pagar posteriormente; el costo del viaje deberá liquidarlo en 12 mensualidades empezando a pagar 3 meses después de contratar el paquete. ¿Cuánto deberá pagar Tomás si el viaje tiene un costo de $ 16,700.00 y le cargan un interés de 2% mensual? 5. Al inicio de año la Sra. Mónica acuerda realizar el pago de su deuda de $49,000.00 mediante 18 pagos mensuales de $3,300.00, haciendo el primer pago 3 meses después de convenida la operación. Calcula el valor presente y monto de la operación si le cobran una tasa de 3% mensual.

3.2.2 Cálculo de la renta y periodos de amortización La Sra. Nancy adquiere una lavadora en la tienda departamental Liverty convencida de aprovechar la promoción de realizar el primer pago dentro de 3 meses y por las características del aparato, el cual presenta un precio de $8,280.00; efectúa la adquisición acordando liquidarla en 9 pagos mensuales con una tasa de 47.80% anual capitalizable mensualmente. Con la finalidad de liquidar el adeudo, la Sra. Nancy solicita al encargado del almacén le determine el pago fijo que deberá realizar mensualmente. Solución: En esta ocasión realizaremos una ecuación de valor para que se considere otra forma de resolver este tipo de anualidades; veamos el siguiente diagrama:

Figura 3.8 Diagrama de anualidades.

Los datos con los que contamos son: Precio = C = 8,280 Interés = 47.80% anual = 3.98% mensual Periodo = 9 meses Renta = Anualidad =?

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

Resolveremos la situación aplicando dos fórmulas: M = C (1 + i )

[

1 − (1 + i ) C=A i

y

n

−n

]

Por el periodo de diferimiento aplicaremos el cálculo del monto a dos meses, es decir, a la fecha focal, la cual igualaremos al cálculo del valor presente de la anualidad vencida a la fecha focal, con ello estableceremos una ecuación de valor de la siguiente manera: 8, 280 (1 + 0.0398 )

 1 − (1 + 0.0398 )−9  = A  0.0398  

2

8, 952.20 = A ( 7.442112 ) A=

8, 952.20 ( 7.442112 )

A = 1, 202.91

La Sra. Nancy deberá realizar 9 pagos de $1,202.91 para liquidar su deuda. Para verificar el cálculo de la anualidad, se procede a sustituir en la fórmula de valor presente:

[ [

C=A

1 − (1 + i ) i

C = 1, 202.91

−n

]

1 − (1 + 0.0398 ) 0.0398

−9

]

C = 1, 202.91 ( 7.442112 ) C = 8, 952.19

Los $8,952.19 se calculan a valor presente en el momento de la adquisición, que son dos meses antes, quedando: C = ( 8, 952.19 )(1.0398 ) C = 8, 279.99

−2

137

138

UNIDAD III

Comprobando así que el cálculo de la anualidad que deberá pagar la Sra. Nancy es correcta, ya que es el precio en el que adquirió la lavadora. Para determinar las anualidades diferidas que se deben realizar para liquidar una deuda, se presenta el siguiente ejemplo: Manuel decide invertir su aguinaldo en la adquisición de un terreno, le ofrecen uno cerca de la ciudad en $190,000.00. Acuerda darle al vendedor 15% de anticipo y por el resto consigue un tiempo de gracia de 4 meses y pagos mensuales de $4,500.00 vencidos con una tasa de interés de 1.95% mensual. ¿Cuántos pagos deberá realizar Manuel para liquidar el adeudo? Solución: Primero se calcula el saldo a financiar, el cual se obtiene al descontar al costo del terreno el enganche de 15%. 190,000 - 28,500 = 161,500 El saldo a financiar es de $161,500.00, por lo que: Los datos conocidos son: C = 161,500 i = 1.95% mensual A = 4,500 n=? Gráficamente:

Figura 3.9 Diagrama cálculo de periodos.

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

Se establece la ecuación equivalente con el fin de determinar el número de pagos necesarios para liquidar el adeudo del terreno:  1 − (1 + 0.0195 )−n  3 161, 500 (1 + 0.0195 ) = 4 , 500   0.0195    1 − (1 + 0.0195 )−n  171, 133.18 = 4 , 500   0.0195  

(171, 133.18 )( 0.0195 ) 4 , 500

= 1 − (1.0195 )

−n

−n (1.0195 ) = 1 − 0.74157711 −n (1.0195 ) = 0.258422887

−n log 1.0195 = log 0.258422887 −n =

log 0.258422887 log 1.0195 −n = −70.07

Multiplicando ambos términos por –1:

n = 70.07 Al no dar como resultado un número entero, se ajusta la mensualidad de la siguiente manera:  1 − (1 + 0.0195 )−70  3 161, 500 (1 + 0.0195 ) = A   0.0195    1 − (1 + 0.0195 )−70  171, 133.18 = A   0.0195  

(171, 133.18 )( 0.0195 ) =A −70 1 − (1 + 0.0195 ) A=

3, 337.097 0.741241937

A = 4 , 502.03

139

140

UNIDAD III

Se observa que la diferencia es mínima, de $2.03, en cada anualidad, considerando que en periodos también es menor. Ejemplo: Con los datos obtenidos en el ejemplo anterior, llega al valor presente de $161,500.00 y el monto de la anualidad al concluir el pago 70, aplicando las fórmulas que correspondan.

[

1 − (1 + 0.0195 ) C = 4 , 502.30 0.0195

−70

]

C = 4 , 502.30 ( 38.012497 ) C = 171, 143.26 C = 171, 143.26 (1.0195 )

−3

C = 161, 509.51

Para calcular el monto de la anualidad:

[ [

M = 4 , 502.30

M = 4 , 502.30

70 (1 + 0.0195 ) − 1

0.0195 70 (1 + 0.0195 ) − 1

0.0195

] ]

M = 661, 402.61 M = 161, 509.51 (1 + 0.0195 )

73

M = 661, 363.65

1. La tienda departamental Liverser ofrece la promoción “Compre hoy y pague dentro de 4 meses”, liquidando en 18 mensualidades. ¿Cuál es la mensualidad que debe pagar la Sra. María si compra una lavadora en $9,470.00 y le cargan un interés del 3.5% mensual capitalizable mensualmente? 2. Se desea comprar una casa cuyo valor es de $370,000.00, otorgando un enganche de 10 % y el resto mediante pagos mensuales vencidos de $3,600.00. Si otorgan un periodo de gracia de tres meses después del enganche y la tasa de interés es del 2.5% mensual capitalizable mensualmente, ¿cuántos pagos mensuales deben realizarse para liquidar la casa? 3. Una empresa adquiere un moderno sistema de comunicaciones por lo cual le otorgan un crédito bancario de $85,000.00, con un periodo de gracia de 6 meses para que instale el equipo. La amortización del préstamo se va a realizar en 18 pagos mensuales vencidos con una tasa de interés del 1.5% mensual, determina el valor del pago mensual.

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

141

4. Una empresa constructora decide solicitar un préstamo para financiar sus proyectos, obteniendo la cantidad de $200,000.00, que se liquidará mediante 48 pagos mensuales vencidos, por los cuales le otorgan un periodo de gracia de 4 meses, los intereses son capitalizables mensualmente a una tasa de 18% anual. ¿Cuál será el pago mensual? 5. Sra. Consuelo adquiere una estufa en una tienda departamental convencida de aprovechar la promoción de realizar el primer pago dentro de 3 meses y por las características del aparato el cual presenta un precio de $6,790.00, efectúa la adquisición acordando liquidarla en 12 pagos mensuales con una tasa de 36% anual capitalizable mensualmente. Calcula la cantidad a pagar mensual. 6. Si se depositan el día de hoy $6,000.00 en una cuenta de inversiones que paga el 18% capitalizable mensualmente, ¿cuántos retiros de $300.00 podrán realizarse, si el primero se hace dentro de 3 meses?

3.2.3 Determinación de la tasa nominal A continuación, a través de un ejemplo se determinará la tasa de interés de anualidades diferidas. El Sr. Medrano desea liquidar una deuda contraída que asciende a $36,000.00 y acuerda realizar 8 pagos mensuales de $5,700.00, iniciando 4 meses después de establecer el convenio. ¿Qué tasa de interés le cobraron?

Figura 3.10 Diagrama tasa de interés.

Se establecerá la siguiente ecuación equivalente: 36, 000 (1 + i ) = 5, 700 4

1 − (1 + i ) i

−8

142

UNIDAD III

1 − (1 + i ) i (1 + i )

1 − (1 + i ) i (1 + i )

−8

4

=

36, 000 5, 700

−8

4

= 6.315789

Al no poder despejar la incógnita i, se ocupa el procedimiento de prueba y error, y posteriormente por medio de una interpolación lineal se aproxima el valor de i: Se asigna un valor aproximado a la incógnita de interés del 3%, el cual se sustituye en 1 − (1 + 0.03 ) 4 ( 0.03) (1 + 0.03 ) −8

obteniendo 6.236905, dando menor el resultado.

Se asigna otro valor aproximado a la incógnita de interés del 2.5 %, 1 − (1 + 0.025 )

−8

( 0.025 ) (1 + 0.025 )

4

= 6.4957 , dando como resulado un dato mayor, se observa que entre estos

dos valores se encuentra el resultado de la igualdad de 6.315789, por consiguiente la tasa de interés se encuentra entre el 2.5% y 3%, gráficamente:

Figura 3.11 Esquema de interpolación.

i − 2.5 6.315789 − 6.495790 = 3 − 2.5 6.236905 − 6.495790 i − 2.5 −0.180001 = 0.5 −0.258885 i − 2.5 = ( 0.695293 )( 0.5 ) i = 0.34764663 + 2.5 i = 2.847646

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

Se tomará el 2.85% de interés, para comprobar:

1 − (1 + 0.0285 )

−8

( 0.0285 ) (1 + 0.0285 )

4

=

36, 000 5, 700

Siendo valores aproximados: 6.313255 ≈ 6.315789 En donde el Sr. Medrano pagará un interés del 2.85% mensual aproximadamente, es decir, una tasa de interés anual del 34.12%.

1. Para saldar una deuda que tiene de $7,000.00 realiza 9 pagos mensuales de $920.00; si comenzó al tercer mes de convenida la operación, ¿cuál fue el interés que se cobró? 2. La empresa constructora Siglo xxi, para saldar su deuda de $120,000.00, realiza 18 pagos mensuales por la cantidad de $8,700.00 comenzando a pagar al tercer mes, ¿cuál fue el interés que se cobró? 3. La Sra. Carlota desea liquidar su deuda de $85,300.00, realizando 12 pagos mensuales por la cantidad de $9,000.00 comenzando a pagar al cuarto mes, ¿cuál fue el interés que se cobró? 4. La Sra. Carlota desea liquidar su deuda de $85,300.00, realizando 12 pagos mensuales por la cantidad de $9,000.00 comenzando a pagar al cuarto mes, ¿cuál fue el interés que se cobró?

3.3

AMORTIZACIÓN

Se debe recordar que la palabra amortización proviene del latín y que literalmente significa “dar muerte”. En términos económicos tiene diferentes acepciones como: • Reembolsar gradualmente el capital de una deuda. • Liquidar una deuda y sus intereses mediante pagos parciales o abonos. • El proceso mediante el cual un deudor se compromete a reintegrar periódicamente el capital.

143

144

UNIDAD III

Podemos mencionar muchas más, sin embargo, con base en lo anterior se construyó la siguiente definición:

Amortización de una deuda. Es liquidar una deuda y sus intereses mediante pagos parciales o abonos, que pueden ser iguales o variables, efectuados en un tiempo determinado.

El método de amortización se emplea para liquidar una deuda y es muy utilizado hoy en día en las compras a crédito de objetos tales como automóviles, casas, computadoras, televisores, entre otros. Todos los sistemas de amortización tienen sus antecedentes en el Tratado de la regalía de Amortización de España, Pedro Rodríguez Campomanes (1745). Este documento muestra los argumentos legales civiles que tuvo que emplear el gobierno español para impedir las ilimitadas enajenaciones de bienes raíces que tenía la Iglesia católica en todos los países católicos.

Existen muchos sistemas de amortización de deudas, pero los más conocidos son: • Sistema francés o de amortización progresiva. • Sistema alemán o amortización constante. • Sistema americano o fondo de amortización. Todos los sistemas de amortización culminan en la elaboración de una tabla de amortización del crédito, donde se muestra que a través de ciertos pagos, a una tasa de interés y en un tiempo determinado, se llega a la liquidación total de la deuda. La tabla de amortización contiene las siguientes columnas: Columna

Tabla 3.5 Amortización de crédito.



1

1

Nombre Periodo (n)

Significado Muestra el número de periodos a transcurrir para liquidar la deuda.

2

Renta o pago (R)

3

Interés (I)

4

Amortización (A)

Es la parte del pago que va destinada a liquidar parte del capital, es decir, de la deuda contraída.

5

Saldo insoluto1 (SI)

Muestra la deuda pendiente a liquidar después de haber realizado cierto pago.

Es el importe o cantidad total a pagar en los periodos. Indica los intereses que se pagarán en los periodos.

En inglés unpaid balance. La parte de una deuda que no ha sido cubierta. El saldo insoluto contiene el saldo vencido; sin embargo, saldo insoluto no implica vencimiento, sino solamente un saldo que permanece deudor.

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

La tabla de amortización quedaría así: Periodo (n) o Número de pago

Renta (R) o pago

Interés (I)

Amortización (A) o Pago a capital

Saldo insoluto (SI)

1 2 3 … N

Dependiendo del sistema de amortización que se utilice será la forma en que se deba llenar la tabla de amortización anterior. A continuación se revisará cada uno de los sistemas de amortización.

3.3.1 Sistema francés o de amortización progresiva En este sistema, el deudor se compromete a pagar una cantidad constante (anualidad o pago) al finalizar o comenzar cada periodo de tiempo convenido, misma que se desglosará en dos partes: la primera para pagar los intereses y la segunda para amortizar una parte del capital tomado en préstamo. En consecuencia, al ser constantes las anualidades e iniciar la amortización del capital se comenzará a disminuir la parte destinada al pago de intereses y aumenta la aplicada a la amortización del capital en cada periodo. Por lo anterior, a este método también se le conoce con el nombre de sistema de amortización progresiva. Con este tipo de amortización se demuestra que: • El capital va disminuyendo conforme avanzan los pagos hasta que la deuda queda totalmente liquidada. • Como el capital va disminuyendo, los intereses también van disminuyendo. Para obtener la tabla de amortización de la deuda se utiliza la fórmula de anualidades que se revisó en páginas anteriores y que recordaremos a continuación, cuyas variables significan:

145

146

UNIDAD III

A = Anualidad C = Capital (valor presente) i = Tasa de interés n = Periodo de tiempo en que se deberán hacer los pagos A=

Ci

1 − (1 + i )

−n

En la gráfica se observa cómo se comporta el sistema de pagos francés, donde una parte proporcional del pago está destinada a cubrir los intereses generados por el capital no pagado y la otra es para cubrir el capital origen de la deuda. La principal característica de este sistema es que los pagos son fijos durante todo el tiempo que se pactó en el contrato y por ningún motivo deberá cambiar, a menos que el contrato estipule lo contrario.

Gráfica 3.1 Pagos sistema francés.

El señor José Pacheco obtiene un crédito para comprar una motocicleta necesaria para su negocio, la cual, será empleada en el servicio de entrega a domicilio. El costo de la motocicleta es de $56,000.00, la agencia cobra un interés anual de 10%, los pagos que tendrá que hacer el señor Pacheco son al final de cada mes y por un plazo de 6 meses. Se te pide que determines de cuánto serán los pagos mensuales y elabores la tabla de amortización correspondiente. Utiliza el sistema francés de amortización.

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

147

Solución: En primera instancia se determinarán algunos datos: Preguntas

Datos

¿Qué tipo de anualidad se debe utilizar?

Anualidad vencida

¿Por cuántos periodos se tendrá que hacer el pago?

Por 6 periodos mensuales

¿Cuánto es el capital que se tiene que pagar?

$56,000.00

¿Cuánto es la tasa de interés que tiene el crédito?

10% anual

Con las respuestas anteriores se procede a dar respuesta al ejercicio: Datos

Fórmula

Sustitución A =

R= A = ? C= 56,000.00

A=

Ci

1 − (1 + i )

i= 10% anual

A = −n

 0.10  56 , 000 *    12  −6   0.10   1− 1+     12   56 , 000 * 0.008333 −6

1− 1+ ( 0.008333 ) 

A = 9,607.73

466.666666 = 1−[1.008333]−6 =

n= 6 meses.

Respuesta

466.666666 0.048572

Nota: Recuerda que si la anualidad es mensual, la tasa (que en este caso fue dada de forma anual) se tiene que convertir a mensual.

Cantidad que se tendrá que pagar mensual durante los próximos 6 meses.

La tabla de amortización quedaría de la siguiente forma:

Periodo 0 1 2 3 4 5 6

Tabla de amortización Sistema Francés Renta (Anualidad) Interés Amortización       $9,607.73 $466.65 $9,141.08 $9,607.73 $390.48 $9,217.25 $9,607.73 $313.67 $9,294.06 $9,607.73 $236.22 $9,371.51 $9,607.73 $158.13 $9,449.60 $9,607.73 $79.38 $9,528.35 Total

$1,644.52

$56,001.86

Saldo Insoluto $56,000.00 $46,858.92 $37,641.66 $28,347.60 $18,976.09 $9,526.49 -$1.86

Tabla 3.6 Sistema francés.

148

UNIDAD III

La tabla de amortización se llenó de acuerdo al sistema Francés, en el cual la columna de Periodo se colocan los periodos que durará el crédito, iniciando siempre desde el periodo cero hasta el periodo que estipule el contrato; en la columna de Renta se colocará la anualidad fija que se debe de pagar durante los 6 periodos que marca el ejemplo, en este caso la anualidad – que también puede ser llamada mensualidad- es de $9,607.73; el Interés de la columna se determina de multiplicar el Saldo Insoluto anterior por la tasa de interés mensual ($56,000 *0.008333= $466.65; $46,858.92*0.008333= $390.48; y así sucesivamente para los 6 periodos). La Amortización se obtuvo de restar a la renta el interés correspondiente a ese periodo ($9,607.73- $466.65 = $9,141.08; $9,607.73 - $390.48= $9,217.25; así progresivamente). Y por último el Saldo Insoluto se obtiene de restar al Saldo Insoluto del periodo anterior la amortización del periodo actual ($56,000.00 - $9,141.08= $46,848.92). La diferencia mínima que se obtiene al final del periodo 6 se debe principalmente al redondeo de cifras decimales que utilizamos. En la tabla anterior también se observar que conforme se hacen los pagos, los intereses a pagar disminuyen y aumenta el pago a capital. Como ya se mencionó, el sistema francés o de amortización progresiva es ampliamente aplicado en los créditos a mediano y largo plazos porque los pagos son fijos, es decir, no variarán a lo largo del crédito, lo que permite mayor comodidad a los clientes. En México éste es el sistema más utilizado.

¿Es cierto que le venden sin intereses? Por Alberto Calva-Mercado Director General de Acus Consultores, S. C.

Hace unos días apareció en un periódico local el siguiente anuncio de una tienda departamental: “Toda la tienda con 15% de descuento en pago de contado o 6 mensualidades iguales sin intereses al pagar con la tarjeta de crédito de la tienda”. Este tipo de promociones se da constantemente en muchos comercios, sin embargo, la pregunta es: ¿es cierta esta promoción?, ¿cuánto cuesta realmente? El esquema general que analizaremos en este caso, aunque puede variar en casos específicos, es el que se presenta en la tabla siguiente. Como se puede ver existen dos alternativas: pagar de contado con un 15% de descuento o bien, pagar en 6 mensualidades “sin” intereses.

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

Pago de contado HOY Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4 Mes 5 Mes 6 TOTAL

Pago a crédito

$102 $20 $20 $20 $20 $20 $20 $102

$120

Supongamos que compra algo que vale $120. Si se pagara de contado habría que pagar $102, que son los $120 menos el 15%. Esto tendría que pagarse hoy mismo, ya que se trata de un pago de contado. Por otro lado, si se decide pagar a crédito habría que pagar $20 al final de cada mes, durante seis meses. Esta operación tiene un costo ya que al pagar a crédito, si bien no se tiene un interés sobre el precio del artículo, sí se estaría dejando de recibir el beneficio de un descuento. En otras palabras, el diferir un pago de $102 implicaría tener que pagar $120 en seis pagos. Esto implica un costo. Por lo tanto, siempre se tienen que evaluar las opciones de compra que te ofrecen y no todas las promociones lo son.

• De acuerdo con lo revisado acerca del sistema francés de amortización, elabora un esquema que muestre cómo debe ser llenada la tabla de amortización de un crédito que utilice este sistema. • Visita la página de internet de algún banco y solicita en línea la tabla de amortización de un crédito hipotecario, identifica los conceptos que aparecen allí y compáralos con el utilizado bajo el sistema francés, explica sus similitudes y diferencias.

A continuación se te presenta una serie de ejercicios para que desarrolles tus habilidades y apliques tus conocimientos adquiridos del sistema de amortización francés. 1. Una familia quiere comprar una casa y piensa solicitar un crédito hipotecario bancario. La casa cuesta $600,000.00, las condiciones del crédito son pagos mensuales, el plazo es de 2 años y la tasa anual es de 13%. Determina la cantidad mensual a pagar durante los 2 años para liquidar el crédito. Elabora la tabla de amortización correspondiente.

149

150

UNIDAD III

2. Una deuda de $25,000.00 se debe liquidar en 5 pagos bimestrales vencidos. La tasa de interés es de 32% capitalizable cada bimestre. Elabora la tabla de amortización.

3. Un joven ejecutivo quiere comprar una camioneta que cuesta $186,000.00. La agencia le ofrece un crédito a una tasa de 9% anual, con pagos trimestrales durante un año. Se te pide que elabores la tabla de amortización para el cliente. 4. Juanito quiere comprar un televisor y una tienda le ofrece dos opciones: 1) comprarla de contado y hacerle 15% de descuento, o 2) comprarlo a 7 meses sin intereses. Elabora un cuadro comparativo que muestre cada una de las opciones y sugiérele a Juanito cuál sería la mejor opción (El televisor cuesta $24,000.00). 5. ¿Cuántos pagos mensuales de $10,000.00 son necesarios para saldar una deuda de $60,000.00 si la tasa de interés es de 23% capitalizable cada mes? Elabora la tabla de amortización. 6. ¿Cuántos pagos trimestrales vencidos de $11,000.00 cada uno, son necesarios para amortizar una deuda de $50,000.00 si hay que pagar intereses de 9.22% capitalizables trimestralmente? Elabora la tabla de amortización. 7. Dolly solicita un crédito de liquidez en dos instituciones bancarias; $45,000 en ambas empresas. En el banco 1, la tasa de interés es de 15% anual capitalizable trimestralmente; en el banco 2, la tasa es de 11.5% anual capitalizable de manera mensual. En ambos casos el plazo es de un año y medio y los pagos son mensuales. Elabora la tabla de amortización del crédito para cada uno de los casos anteriores y explícale a Dolly con cuál institución sería conveniente tomar el crédito.

3.3.2 Sistema alemán o amortización constante En el sistema de amortización alemán, a diferencia del francés, los pagos son distintos cada periodo, la amortización a capital permanece constante en el tiempo y los intereses van disminuyendo conforme pasan los periodos. Con este tipo de amortización se demuestra que: • El capital disminuye de una forma constante a través del tiempo. • Los intereses irán disminuyendo proporcionalmente conforme la deuda se vaya amortizando. • La renta o el pago que se tiene que realizar cada periodo es distinto al periodo anterior, pero tendrá una tendencia a disminuir.

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

151

Para elaborar la tabla de amortización de la deuda, el procedimiento a seguir es distinto al anterior, a continuación se te presentan las fórmulas a utilizar para obtener la tabla de amortización: Fórmulas A=P+I

P=

C n

I=C*i

Conceptos Renta = Amortización de capital + Interés Amortización = Capital /Periodos. Interés = Capital * tasa de interés.

Gráfica 3.2 Pago sistema alemán

En esta gráfica observamos que los pagos a efectuar son distintos conforme avanzan los periodos; la cantidad para amortizar el capital permanece constante en el tiempo; sin embargo, los intereses cambian con una tendencia a disminuir. Este sistema no es muy utilizado por la inconveniencia de tener que hacer pagos por distintas cantidades en los diferentes periodos de pagos. Para ejemplificar este sistema, resolveremos el ejemplo anterior utilizando los mismos datos: la deuda es de $56,000.00, la tasa de interés anual es de 10% y se tiene que liquidar en 6 pagos mensuales.

152

UNIDAD III

Solución: Para este tipo de sistema la tabla de amortización es la misma, pero el cálculo de la renta no lo es, por lo tanto, quedaría de la siguiente forma: Lo primero que tenemos que obtener es la cantidad a amortizar mensualmente:

P=

C n

P=

$56, 000.00 6

P = $9, 333.33

De ahí se procede a elaborar la tabla de amortización:

Tabla 3.7 Amortización sistema alemán.

Periodo 0 1 2 3 4 5 6

Tabla de amortización Sistema Alemán Renta (Anualidad) Interés Amortización       $9,799.98 $466.65 $9,333.33 $9,722.20 $388.87 $9,333.33 $9,644.43 $311.10 $9,333.33 $9,566.65 $233.32 $9,333.33 $9,488.88 $155.55 $9,333.33 $9,411.10 $77.77 $9,333.33 Total

$1,633.27

Saldo Insoluto $56,000.00 $46,666.67 $37,333.34 $28,000.01 $18,666.68 $9,333.35 $0.02

$55,999.98

La columna de Interés se obtiene de igual forma que el sistema anterior, se multiplica el Saldo Insoluto Anterior por la tasa de interés mensual ($56,000 *0.008333= $466.65; $46,666.667 *0.008333= $388.87; así sucesivamente). La Renta se obtiene de sumar la amortización y el interés correspondiente al periodo a cubrir ($9,333.33 + 466.65= $9,799.98; $9,333.333+ $388.87= $9,722.20, etc.). El saldo insoluto se obtiene igual que el procedimiento anterior. Comparando los dos sistemas se concluye que el francés tiene más ventajas sobre el alemán, en cuanto a practicidad de elaboración y programación de presupuestos, aunque a largo plazo el cliente termine pagando más intereses sobre el crédito solicitado; en el alemán, los intereses que cobrará el contrato son menores, sin embargo, la renta a pagar es variable, por lo que resulta impráctico para la elaboración de presupuestos futuros.

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

Cuadro comparativo de sistemas de amortización Sistema

Renta

Total de intereses

Francés

$ 9,607.73

$1,644.52

Alemán

Varía de acuerdo con el periodo

$1,633.27

• Elabora un esquema que muestre, paso a paso, cómo se debe construir la tabla de amortización de un crédito por el sistema de amortización alemán.

A continuación se te presenta una serie de ejercicios para que desarrolles tus habilidades y apliques tus conocimientos adquiridos del sistema de amortización alemán. 1. Una pareja de recién casados quiere comprar un terreno y piensa solicitar un crédito hipotecario bancario. El cual tiene un valor de $800,000.00, y las condiciones del crédito son pagos mensuales, el plazo es de 5 años y la tasa anual es de 13%. Determina la cantidad mensual que se debe pagar durante los 5 años para liquidar el crédito. Elabora la tabla de amortización correspondiente. 2. Mónica contra una deuda de $250,000.00 la cual desea liquidar en 5 pagos bimestrales. La tasa de interés es de 23% capitalizable cada bimestre. Elabora la tabla de amortización. 3. Alejandro quiere comprar una camioneta que cuesta $117,800.00. La agencia le ofrece un crédito a una tasa de 12.6% anual, con pagos trimestrales durante un año. Se te pide que elabores la tabla de amortización para el cliente. 4. Carlos quiere comprar un teatro en casa y una tienda le ofrece dos opciones: 1) comprarlo de contado y hacerle 15% de descuento; 2) comprarlo a 7 meses sin intereses. Elabora un cuadro comparativo que muestre cada una de las opciones y sugiérele a Carlos cuál sería la mejor opción. (El teatro en casa cuesta $12,000.00). 5. Claudia solicita un crédito de liquidez en dos instituciones bancarias, $50,000 en ambas empresas. En el banco 1, la tasa de interés es de 10% anual capitalizable trimestralmente; en el banco 2, la tasa es de 8.5% anual capitalizable de manera mensual. En ambos casos el plazo es de un dos años y medio y los pagos son mensuales. Elabora la tabla de amortización del crédito para cada uno de los casos anteriores y explícale a Claudia con cuál institución sería conveniente tomar el crédito.

153

154

UNIDAD III

3.3.3 Sistema de amortización americano o fondos de amortización En este sistema de amortización el deudor, abonará al acreedor durante el plazo del préstamo, el interés simple sobre el total del capital tomado en préstamo en los periodos de tiempo convenidos y, al mismo tiempo, deberá depositar en un fondo cantidades periódicas, las cuales, junto con sus intereses, formarán el monto que reembolsará, al vencimiento, la totalidad del capital tomado en préstamo; a esto se le llama fondo de amortización. Las cantidades que el deudor cancelará al acreedor durante el plazo del préstamo, cubrirán únicamente los intereses del préstamo, el cual será reembolsado, a su vencimiento, con el monto formado por las cantidades ingresadas al fondo de amortización. Los fondos de amortización se establecen con el fin de pagar una deuda que vence en una fecha futura, como la compra de equipo nuevo que sustituya al equipo obsoleto, para los fondos de jubilación, etc. Este sistema tiene poca aplicación práctica, pues el deudor rara vez cumple con el compromiso de depositar en el fondo de amortización las cantidades periódicas que formarán el monto para reembolsar el préstamo.

La vida útil de unas computadoras industriales que adquirió una compañía siderúrgica es de 5 años. Con el fin de reemplazarlas al final de este tiempo, la compañía establece un fondo de amortización efectuando depósitos anuales vencidos en una cuenta bancaria que paga 9.6% anual. Si se estima que el equipo nuevo costará $1,442,740.00, determina el valor del depósito. Solución: Primero se calcula el pago periódico de una anualidad vencida cuyo monto ya se conoce:

$1,442,740.00 al final de 5 años y con una tasa de interés de 9.6% anual; por lo tanto, sustitu-

yendo en las fórmulas quedaría: Fórmula

R=

M *i (1 + i )n − 1

R=

Sustitución

Resultado

1, 442, 740 * 0.096 (1 + 0.096 )5 − 1

R = 238,206.8579

El fondo de amortización se formará invirtiendo $238,206.8579 al final de cada año, durante los próximos 5 años.

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

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La tabla de fondo de amortización, también llamada tabla de capitalización, muestra cómo se acumula el dinero, periodo tras periodo, en el fondo de amortización, quedando de la siguiente manera:

Año 1

Cantidad en el fondo al inicio del año

Fondo de amortización Interés ganado en Depósito hecho el año al final del año

$ - $ -

Monto al final del año

$238,206.8679

$238,206.8579

2

$238,206.8579

$22,867.8584

$238,206.8679

$499,281.5742

3

$499,281.5742

$47,931.0311

$238,206.8679

$785,419.4632

4 5

$785,419.4632 $1,099,026.5895

$75,400.2685 $105,506.5526

$238,206.8679 $238,206.8679

$1,099,026.5895 $1,442,740.0000

La tabla de capitalización se construye de la siguiente forma: • El interés ganado al final de un año (columna 3) se obtiene utilizando la fórmula de interés simple, tomando como capital la cantidad de inicio del año de la columna 2 ($238,206.8579 * 0.096= $22,867.8584 para el año 1). • El monto al final de un año (columna 5) es igual a la suma de las columnas 2, 3 y 4. ($238,206.8579 + $22,867.8584 + $238,206.8579 = $499,281.5742). • Se debe recordar que los depósitos hechos al final de un año no ganan intereses. Bajo este mismo esquema puede plantearse otra situación como la necesidad de conocer el tiempo que se debe hacer cierto depósito para alcanzar una cantidad determinada. A continuación estudiaremos este caso. Maribel desea comprar una calculadora financiera especializada que cuesta $3,000.00. Ella sabe que la mejor forma de comprarla es de contado, por lo cual decide crear un fondo de ahorros quincenales anticipados de $492.76. Si la tasa de interés que gana el fondo es de 10% capitalizable cada quincena, ¿cuántos depósitos deberá hacer? Elabora la tabla de capitalización.

Tabla 3.8 Fondo de amoritzación

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UNIDAD III

Solución Para dar solución al problema anterior, debemos diferenciar que es una anualidad anticipada y aplicar esta fórmula para determinar el periodo de pago. Fórmula

Sustitución

 M *i  log  + 1  R (1 + i )  n= log(1 + i )

   0.10   $3000 *     24  + 1 log    0.10      $492.76 1 +  24         n=   0.1   log 1 +     24  

Año 1

Tabla 3.9 Fondo de capitalización.

Resultado n=6 Maribel tiene que hacer 6 depósitos quincenales.

Fondo de capitalización Sistema Alemán Depósito al inicio de Dinero al inciio de Interés ganado Monto al final de la la quincena la quincena en la quincena quincena $492.76 $492.76 $2.05 $494.81

2 3 4 5

$492.76 $492.76 $492.76 $492.76

$987.57 $1,484.45 $1,983.39 $2,484.42

$4.11 $6.19 $8.26 $10.35

$991.69 $1,490.63 $1,991.66 $2,494.77

6

$492.76

$2,987.53

$12.45

$2,999.98

El fondo de capitalización se construyó de la siguiente forma: • El interés ganado en cada quincena (columna 4) se obtiene usando la fórmula de interés simple, donde el capital es la cantidad que se tiene en el fondo al inicio de la quincena (columna 3). • El monto final de la quincena (columna 5) se obtiene al sumar las columnas 3 y 4. • La cantidad que se tiene en el fondo al inicio de una quincena (columna 3) es igual a la del final de la quincena anterior, más el depósito hecho al inicio de la quincena.

• Elabora un ensayo, de una página, donde expliques la importancia y la utilidad de conocer los sistemas de amortización revisados en esta unidad; también deberás resaltar la utilidad de sistema de fondos de amortización.

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

Resuelve los ejercicios siguientes utilizando las herramientas del fondo de amortización. 1. Si se depositan $1,500.00 cada fin de mes en un fondo de amortización que gana 1.5% mensual capitalizable cada mes, ¿cuál será el monto del fondo al cabo de 8 meses? Elabora la tabla de capitalizaciones. 2. Cierto fondo de amortización debe acumular dentro de 3 años un monto de $600,000.00. Obtén la cantidad mensual a depositar si se sabe que la tasa es de 15% anual capitalizable mensualmente. 3. Samuel necesita $8,400.00 para comprar una nueva cámara fotográfica dentro de 3 meses. ¿Cuánto deberá depositar en su cuenta bancaria que le paga 9.5% anual capitalizable quincenalmente? (Los depósitos serían de forma quincenal). 4. Un fabricante de artículos de aluminio pretende comprar dentro de 14 meses una máquina que ahora cuesta $178,000.00. Con este objetivo en mente, crea un fondo con depósitos bimestrales anticipados que gana una tasa de interés 10.8% anual capitalizable bimestralmente. ¿De cuánto debe ser cada uno de los depósitos? 5. Lolita desea tomar unas vacaciones dentro de un año. Por tal motivo, crea un fondo vacacional mediante depósitos trimestrales vencidos de $3,800.00. Con la elaboración de la tabla de capitalización, di cuál será el monto del fondo al cabo de un año si la tasa es de 11% capitalizable bimestralmente.

3.4

Aplicación en hoja de cálculo

Como se explicó en la unidad anterior, los cálculos financieros se pueden realizar a través de una hoja electrónica denominada Excel. A continuación se abordarán algunos ejemplos de cálculos de anualidades con este software de aplicación.

Cálculo del valor presente de una anualidad ordinaria Fabiola desea depositar durante un semestre la cantidad de $1,000.00 en una cuenta de ahorro en la cual le ofrecen una tasa de 7% anual. Desea conocer cuál es el valor presente. 1. Para el cálculo se utiliza la fórmula de var que se encuentra en la cinta de opciones de fórmulas financieras. 2. Se introducen los datos en el cuadro de diálogo que se activa al seleccionar la función va, aclarando que la anualidad se escribe de forma negativa ya que es una salida de dinero o egreso de Fabiola.

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UNIDAD III

Figura 3.12 Cuadro de argumento de la fórmula va.

3. El valor presente de la anualidad es de $5,879.38.

Figura 3.13 Valor presente de anualidad.

Cálculo del monto de una anualidad ordinaria Supongamos la siguiente situación: Durante un semestre, la Sra. Ernestina decide depositar, al final de cada mes, la cantidad de $3,000.00 en una cuenta de inversión que otorga 1.2% mensual capitalizable cada mes. Al término del semestre, ¿cuánto será el monto?

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

1. Para el cálculo se utiliza la fórmula de fórmula.

vf

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que se encuentra en la cinta de opciones de

2. Se introducen los datos en el cuadro de diálogo que se activa al seleccionar la función vf, aclarando que la anualidad se escribe de forma negativa ya que es una salida de dinero o depósito.

Figura 3.14 Cuadro de fórmula vf

3. El monto de la anualidad es $18,924.36

Figura 3.15 Monto de anualidad.

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UNIDAD III

Cálculo de la renta de una anualidad ordinaria Jaime asiste a una empresa de equipos a adquirir una computadora que cubra sus necesidades de trabajo, elige una laptop que tiene un costo de $20,499.00 y acuerda realizar nueve pagos mensuales por ella a una tasa de interés de 41.90% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuánto deberá pagar Jaime cada mes? 1. Para el cálculo se utiliza la fórmula de fórmula.

pago

que se encuentra en la cinta de opciones de

2. Se introducen los datos en el cuadro de diálogo que se activa al seleccionar la función pago, aclarando que la anualidad se escribe de forma negativa ya que es una salida de dinero o depósito.

Figura 3.16 Cuadro de la función de pago.

3. El pago o renta de la anualidad es de $2,693.48

Figura 3.17 Renta de anualidad.

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

En un libro de Excel o archivo denominado Anualidades.xlsx; comprueba la resolución de los ejercicios que realizaste en la presente unidad, renombrando cada hoja de acuerdo al subtema, dale formato a los cálculos, a través de una tabla, presenta los resultados a tu facilitador.

Formulario Anualidades ordinarias o vencidas: M =R

(1 + i ) − 1n i

Valor presente de anualidades ordinarias 1 − (1 + i ) C=A i

−n

Sistema alemán o amortización constante. A = P + I Renta = Amortización + Interés P = Amortización= Capital / Periodo I = C * i Interés = Capital * tasa de interés

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UNIDAD III

ANUALIDADES Y AMORTIZACIONES

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