• Author / Uploaded
• Hazel Palacios

Citation preview

Unidad II: Marco matemático. Ecuaciones diferenciales y de diferencias Docente: Juan Francisco Castillo León

Introducción ¿Qué es una ecuación diferencial? Toda ecuación que establece la dependencia de una variable respecto a otra u otras mediante derivadas es una ecuación diferencial

Ejemplos de Ecuaciones Diferenciales 2) La rapidez con que un cuerpo se calienta es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo T(t) y la temperatura del ambiente Ta dT  K (Ta  T ) dt

Donde K es el coeficiente de transmisión de calor que depende del material

Clasificación General Ecuación diferencial ordinaria (EDO) de primer orden. La forma general es F(x,y,y’)=0 A la forma y’=f(x,y) Se le denomina resuelta respecto a la derivada. También aparecen en la forma: dy  fx, y dx

Solución de una ED La Solución General, también llamada integral general de la ED de la forma F(x,y,y’,y’’,...,y(n))=0, es la función y=f(x,c) que satisface dicha ecuación. Ejemplo.- Es fácil ver que las funciones y   2cx  c 2 son soluciones de la ecuación del ejemplo (4). La solución general es en realidad una familia de funciones parametrizadas por la constante desconocida c. Para cada valor particular de la constante c se obtiene una Solución Particular de la ED

Solución de una ED

 Ejercicio: a) Para el ejemplo (2). Verificar que la solución general de la ED es:  Kt dT T ( t )  T  ( T  T ) e  K (Ta  T ) a 0 a dt b) Si K=0.1°C/seg. ¿Cuánto tiempo tardará en enfriarse una taza de café hirviendo si la temperatura ambiente es de Ta=20°C ?

Métodos de Solución Analítica  NO existe un método general para resolver ED’s, es decir, dada una ecuación diferencial no tenemos un procedimiento para hallar su solución analítica.

 Sin embargo, en algunos casos particulares bien identificados sí se tienen procedimientos para calcular dicha solución.

Métodos de Solución Analítica  El único método entonces consiste en saber Identificar el tipo de ED que se quiere resolver.  Si es un caso conocido. procedimiento correspondiente

Aplicar

el

 Si no es un caso conocido, intentar algún cambio de variable que la transforme en un caso conocido

Separación de variables La idea más simple de los procedimientos de solución es reescribir la ecuación como una ecuación de variables separadas:

f ( y)dy  g ( x)dx

Donde f(y) es una función exclusivamente de y y g(x) es una función exclusivamente de x. Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados:



y

y0

x

f ( y)dy   g ( x)dx x0

Separación de variables La ED de la forma

f1 ( y) g1 ( x)dx  f 2 ( y) g 2 ( x)dy Se denomina ED de variables separables, ya que es inmediata su reescritura como una ED con variables separadas:

f 2 ( y) g1 ( x) dy  dx f1 ( y ) g 2 ( x)

Separación de variables Ejemplo: Resolver la ecuación

dy dx



x y.

Separación de variables Ejemplo: Resolver la ecuación

dy dx



x y.

Solución: Separando variables ydy = -xdx integrando

Reescribiendo

y2 x2    c1 2 2

x2+y2 = c2

ED Lineales de 1er orden Las ED de la forma

dy  p( x ) y  qx  dx

Se denominan ED Lineales.

Se resuelven usando variación de la constante c de la solución para el caso Homogéneo (q(x)=0), es decir, donde

y( x )  c( x )e c( x )   q( x )e







p( x )dx

p( x )dx

dx  c1

ED Lineales de 1er orden Ejercicio: Obtenga el modelo para el siguiente circuito y encuentre el valor de el voltaje del capacitor Vc(t).

ED Lineales de 1er orden Ejemplo: La ecuación del circuito RC serie (Modelo) dv(t ) 1 1  v(t )  Vs (t ) dt RC RC

Es una ED lineal de primer orden, por lo tanto, su solución es t 1 dt   RC  v( t )  c( t )e  c( t )e RC Donde t RC

1 c( t )   RC Vs ( t )e dt  c1 t Si Vs(t)=1, se obtiene: RC c ( t )  e  c1 Por lo tanto

v( t )  1  c1e Voltaje del capacitor.



t RC

ED exactas La ecuación de la forma M ( x , y )dx  N( x , y )dy  0 tiene de la forma de una diferencial exacta du(x,y) = 0 y por consiguiente la solución: u(x,y) = c M ( x , y ) N ( x , y ) si cumple la condición de Euler:  y x En tal caso M ( x , y )  u( x , y ) , N ( x , y )  u( x , y ) x

y

y la función u(x,y) se puede obtener integrando M respecto a x: u( x , y )  M ( x , y )dx  c( y )  y se puede determinar c(y) derivando

ED exactas Ejemplo: La siguiente ED

( x  y  1 )dx  ( x  y 2  3 )dy  0

ED exactas Ejemplo: La siguiente ED

( x  y  1 )dx  ( x  y 2  3 )dy  0

Es exacta puesto que

( x  y  1) ( x  y 2  3)  y x

Integrando respecto a x u ( x, y )   ( x  y  1)dx  c( y ) 2 x Es decir, u( x, y)  2  xy  x  c( y) Derivando respecto a y u  x  c' ( y)  x  y 2  3 y

De donde c( y )   ( y 2  3)dy  c1 Finalmente la solución general es

u ( x, y) 

x2 2

 xy  x 

y3 3

 3 y  c2

Teorema de existencia y unicidad Ejercicio: ¿Son ED exactas? y'2 y  x  2 x 2

f1 ( x) g1 ( y)dx  f 2 ( x) g 2 ( y)dy  0

( x3  xy )dx  ( x 2 y  y 3 )dy  0

Ecuaciones en diferencias Docente: Juan Francisco Castillo León

Ecuaciones en diferencias • Las ecuaciones en diferencias no son tan conocidas como las ecuaciones diferenciales. • Las ecuaciones en diferencias evolucionan en un número finito de pasos finitos, mientras que una ecuación diferencial da un número infinito de pasos infinitesimales. • Las teorías son bastante paralelas, es la analogía entre lo discreto y lo continuo que aparece una y otra vez en matemáticas.

Ecuaciones en diferencias • En la actualidad muchas aplicaciones de la electrónica involucran el análisis digital de datos. • Los reproductores de video y sonido utilizan desde hace varias décadas tecnologías digitales de almacenamiento y reproducción, como por ejemplo en discos compactos y discos versátiles digitales (CD y DVD). • La de televisión (HDTV) codifica las señales de audio y video por métodos digitales. • La telefonía celular es posible gracias a los complejos algoritmos de compresión implementados también con técnicas de procesamiento digital.

Conversión analógica digital 1.

Muestreo es la conversión de una señal de variable continua a otra de variable discreta que es el resultado de tomar “muestras” de la señal de variable continua en ciertos instantes. Si xa(t) es la entrada al bloque de muestreo, entonces la salida puede ser tomada en instantes equidistantes xa(nT), donde a T se le denomina el intervalo de muestreo.

2.

Cuantificación es la conversión de la señal de variable discreta y valores continuos a otra señal de variable discreta pero con valores discretos. El valor de cada muestra es aproximado entonces con un valor de un conjunto finito de posibles valores. A la diferencia entre el valor continuo y su aproximación se le denomina error de cuantificación.

3.

Codificación consiste en la asignación de una representación usualmente binaria para los valores cuantificados.

Conversión analógica digital

Muestreo periódico o uniforme

Ecuaciones en diferencias finitas Estas ecuaciones aparecen en ingeniería al modelizar sistemas electrónicos (u otros) cuyas entradas y salidas son una sucesión de datos discretos. Para fijar ideas, consideremos el siguiente ejemplo.

Ecuaciones en diferencias finitas El dispositivo está formado por dos elementos. El primero de ellos, marcado con una S, es un elemento que suma o resta datos, que a su vez vendrán modulados por números reales. El denotado por una D es un aparato que produce un retardo de una unidad temporal en la sucesión. La figura representa el tipo más sencillo de retroalimentación de una señal. Los datos de entrada vienen dados por la sucesión xk y los de salida por yk+1

Ejemplo: Colonia de bacterias • Se tiene una colonia de bacterias en la que cada bacteria se reproduce asexualmente, dividiéndose en dos bacterias tras la duplicación de su material genético. Esta división se produce cada hora. • Si la población inicial es de 100 bacterias, – ¿cuál será el número de bacterias que tendrá la colonia cuando hayan pasado 3h.? – ¿Y cuando hayan pasado n?

Ejemplo: Colonia de bacterias La expresión general de la relación de recurrencia que describe el modelo de crecimiento exponencial es: donde P0 es la población inicial y K una constante positiva denominada constante de crecimiento.

Contador (Secuencia)

Transformada Z Docente: Juan Francisco Castillo León

Transformada Z Para una sucesión x(n) definimos la transformada Z unilateral como la serie:

Simplificando:

Aplicaciones reales de la transformada de Laplace

Control de Procesos • ¿Qué es un sistema de control ? – En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos que necesitan cumplirse.

• En el ámbito doméstico – Controlar la temperatura y humedad de casas y edificios

• En transportación – Controlar que un auto o avión se muevan de un lugar a otro en forma segura y exacta

• En la industria – Controlar un sinnúmero de variables en los procesos de manufactura

Control de Procesos • En años recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez más importante en el desarrollo y avance de la civilización moderna y la tecnología. • Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores de la industria: – tales como control de calidad de los productos manufacturados, líneas de ensa,ble automático, control de máquinas-herramienta, tecnología espacial y sistemas de armas, control por computadora, sistemas de transporte, sistemas de potencia, robótica y muchos otros

Ejemplos de procesos automatizados • Un moderno avión comercial

Ejemplos de procesos automatizados • Satélites

Ejemplos de procesos automatizados • Control de la concentración de un producto en un reactor químico

Ejemplos de procesos automatizados • Control en automóvil

¿ Por que es necesario controlar un proceso ? • • • • • • • • •

Incremento de la productividad Alto costo de mano de obra Seguridad Alto costo de materiales Mejorar la calidad Reducción de tiempo de manufactura Reducción de inventario en proceso Certificación (mercados internacionales) Protección del medio ambiente (desarrollo sustentable)

Control de Procesos • El campo de aplicación de los sistemas de control es muy amplia. • Y una herramienta que se utiliza en el diseño de control clásico es precisamente:

La transformada de Laplace

¿Por qué Transformada de Laplace? • En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo. • Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso.

¿Por qué Transformada de Laplace? • El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal:

• La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales.

¿Por qué Transformada de Laplace? • De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio. • Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.

El proceso de diseño del sistema de control • Para poder diseñar un sistema de control automático, se requiere – Conocer el proceso que se desea controlar, es decir, conocer la ecuación diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes físicas, químicas y/o eléctricas. – A esta ecuación diferencial se le llama modelo del proceso. – Una vez que se tiene el modelo, se puede diseñar el controlador.

Conociendo el proceso… • MODELACIÓN MATEMÁTICA Circuito eléctrico



di (t ) 1 ei (t )  L  Ri (t )  i (t )dt dt C 1 i (t )dt  eo (t ) C



El rol de la transformada de Laplace Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas

Circuito eléctrico





di(t ) 1 1 ei (t )  L  Ri(t )  i (t )dt i (t )dt  eo (t ) dt C C Aplicando la transformada de Laplace 1 1 E i ( s )  LsI ( s )  RI ( s )  I (s) I ( s )  Eo ( s ) Cs Cs Combinando las ecuaciones (despejando para I(s)) 1 CsE o ( s) E i ( s )  LsCsE o ( s )  RCsE o ( s )  Cs





E i ( s )  Eo ( s ) LCs 2  RCs  1 Eo ( s ) 1  Ei ( s ) LCs 2  RCs  1

Función de transferencia

Conociendo el proceso … • MODELACIÓN MATEMÁTICA Suspensión de un automóvil f(t)

Fuerza de entrada

z(t) m Desplazamiento, salida del sistema

k

b

 F  ma dz (t ) d 2 z (t ) f (t )  kz (t )  b m dt dt 2

El rol de la transformada de Laplace Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas

Suspensión de un automóvil dz (t ) d 2 z (t ) f (t )  kz (t )  b m dt dt 2 Aplicando la transform ada de Laplace a cada término (considera ndo condiciones iniciales igual a cero) F ( s)  kZ ( s )  bsZ ( s )  ms 2 Z ( s )



F ( s)  Z ( s ) ms 2  bs  k Z ( s) 1  F ( s ) ms 2  bs  k



Función de transferencia

Conociendo el proceso… • MODELACIÓN MATEMÁTICA Nivel en un tanque

Flujo que entra – Flujo que sale = Acumulamiento

qi(t) Flujo de entrada h(t) A (área del tanque)

qo(t) R (resistencia de la válvula)

Flujo de salida

dh(t ) qi (t )  qo (t )  A dt h(t ) R qo (t ) 1 dh(t ) qi (t )  h(t )  A R dt

El rol de la transformada de Laplace Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas

Nivel en un tanque 1 dh(t ) qi (t )  h(t )  A R dt Aplicando la transform ada de Laplace 1 Qi ( s )  H ( s )  AsH ( s ) R 1 Qi ( s )  H ( s )( As  ) R H ( s) 1 R   Qi ( s ) As  1 ARs  1 R

Función de transferencia

Tarea 1: Modelos y TF Laplace. • Encuentre el modelo de dos sistemas y exprese su función de transferencia mediante la transformada de Laplace. Nota: De las siguientes tres opciones, las dos que usted considere pertinentes. Mencione el por que en su reporte, e incluya tres puntos (facilidad, mayor conocimiento del tema, eso se encontró.) – Sistema Mecánico – Sistema Eléctrico – Sistema Hidraulico – Sistema hibrido Recuerde, incluya diagramas y una breve explicación del funcionamiento del sistema, considerando una aplicación practica en ambos casos.

Tarea 2: Aplicaciones de la transformada Z Calcule las siguientes transformada Z • Problema 1:

• Problema 2:

Tarea 2: Aplicaciones de la transformada Z Calcule las siguientes transformada Z • Problema 3:

• Problema 4:

Tarea 2: Aplicaciones de la transformada Z Calcule las siguientes transformada Z • Problema 5:

• Problema 6:

Tarea 2: Aplicaciones de la transformada Z Solucione el siguiente problema: • Supongamos que una población de animales hembras está dividida en dos clases de edad. En cada periodo el 8 % de la primera pasa a la segunda. El número medio de crías hembras de las hembras de la primera clase es de 1,5 y el de la segunda es de 2. • Si inicialmente hay 100 hembras de cada clase de edad: – Determínese la distribución de hembras en el instante 3. – Demuestre matemáticamente su resultado.

Tarea 3:Transformadas de Laplace • Encuentre las funciones de transferencia (Laplace) de los siguientes sistemas y posteriormente encuentre la transformada inversa para conocer la respuesta a del sistema respecto a una entrada ei(t). I. Modelo eléctrico: I. II.

FT = eo(t) / e(t) Salida eo(t)

Tarea 3:Transformadas de Laplace

f(t)

Fuerza de entrada

z(t) m Desplazamiento, salida del sistema

k

b

Encuentre las funciones de transferencia (Laplace) de los siguientes sistemas y posteriormente encuentre la transformada inversa para conocer la respuesta a del sistema respecto a una entrada ei(t). I.

Modelo mecánico I. II.

FT = z(t) / f(t) Salida z(t)

Tarea 3:Transformadas de Laplace Encuentre las funciones de transferencia (Laplace) de los siguientes sistemas y posteriormente encuentre la transformada inversa para conocer la respuesta a del sistema respecto a una entrada ei(t). I.

Modelo Hidráulico I. II.

FT = h(t) / qi(t) Salida h(t)

qi(t) Flujo de entrada

h(t) A (área del tanque)

qo(t) R (resistencia de la válvula)

Flujo de salida

Practica 1 • Titulo: – Sistema de control de posición lineal

• Objetivo: – Comprender la diferencia entre un sistema en lazo abierto y uno en lazo cerrado. • Adicionalmente: – Aplicar los conceptos aprendidos en las materias cursadas anteriormente en mi carrera. – Conocer el alcance de los conocimientos obtenidos en la materia de dinámica de sistemas.

• Introducción: – Escriba sobre: • Sistema de lazo abierto • Sistema de lazo cerrado • Agregue información sobre los dispositivos que uso para realizar el prototipo: – – – –

Microcontrolador 555 Amplificador operacional Etc.

Practica 2: Equivalencia entre sistemas Objetivo: Identificar la equivalencia entre dos sistemas de diferente tipo de acuerdo a su función de transferencia. 1. Instrucciones: identifique la respuesta de un sistema térmico y mediante una investigación (experimental o del estado del arte) encuentre tanto su respuesta al impulso como su función de transferencia. 2. Posteriormente diseñe un circuito RC con la misma respuesta y compruebe sus resultados experimentalmente (Laboratorio, simulación) 3. Anote sus observaciones, registre graficas y resultados obtenidos. 4. Finalmente agregue comentarios y conclusiones.

• Formato para tareas (una portada para todas las tareas) – – – – –

Portada Índice (Listado breve de tareas) Contenido Comentarios del alumno Fuentes consultadas

• Formato para practicas (Cada practica con su portada) – – – – – – – –

Portada Índice Objetivo Material utilizado Introducción Desarrollo Conclusiones (Por alumno) Fuentes consultadas

Fechas importantes • Examen y fecha de entrega de tareas – 03 de abril