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• Rigo Vaie Perez

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UNIDAD 2 DINAMICA DE UNA PARTICULA DINAMICA DE UNA PARTICULA. Esta comprensión es importante no solamente desde el punto de vista del conocimiento básico de la naturaleza, sino también desde el punto de vista de la ingeniería y las aplicaciones prácticas. La comprensión de cómo (¿por qué?) se producen los movimientos nos capacita para diseñar máquinas y otros instrumentos prácticos que se mueven en la forma que nosotros deseamos. El estudio de la relación entre el movimiento de un cuerpo y las causas de este movimiento se denomina dinámica. 2.1 cinematica

Cinemática.- La Cinemática estudia en forma abstracta el movimiento, sin preocuparse de las causas del mismo. Los orígenes de la Cinemática hay que buscarlos en el estudio de la cicloide realizado por TORRICELLI (1608-47), continuando con el enunciado de la ley fundamental del centro instantáneo de rotación en el movimiento plano de BERNOULLI (1700-1782). D’ALEMBERT, EULER, KANT y CARNOT, entre otros, estudiaron el movimiento prescindiendo de sus causas y fundaron la Geometría del Movimiento. El vocablo Cinemática fue creado por AMPÈRE (17751836), quién delimitó el contenido de la Cinemática y aclaró su posición dentro del campo de la Mecánica. Desde entonces y hasta nuestros días la Cinemática ha continuado su desarrollo hasta adquirir una estructura propia. Los elementos básicos de la Cinemática son: espacio, tiempo y móvil. En la Mecánica Clásica1 se admite la existencia de un espacio absoluto; es decir, un espacio anterior a todos los objetos materiales e independiente de la existencia de estos. Este espacio es el escenario donde ocurren todos los fenómenos físicos, y se supone que todas las leyes de la física se cumplen rigurosamente en todas las regiones de ese espacio. El espacio físico se representa en la Mecánica Clásica mediante un espacio puntual euclídeo. Análogamente, la Mecánica Clásica admite la existencia de un tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todas las regiones del Universo y que es independiente de la existencia de los objetos materiales y de la ocurrencia de los fenómenos físicos. El móvil más simple que podemos considerar es el punto material o partícula. La partícula es una idealización de los cuerpos que existen en la Naturaleza, en el mismo sentido en que lo es el concepto de punto geométrico. Entendemos por punto material o partícula un cuerpo de dimensiones tan pequeñas que pueda considerarse como puntiforme; de ese modo su posición en el espacio quedará determinada al fijar las coordenadas de un punto geométrico. Naturalmente la posibilidad de despreciar las dimensiones de un cuerpo estará en relación con las condiciones específicas del problema considerado. Así, por ejemplo, podemos considerar la Tierra

como un punto material si sólo estamos interesados en su movimiento alrededor del Sol, pero no cuando estemos interesados en el movimiento de la Tierra en torno a su propio eje. Es importante que no confundamos el concepto de punto material con el de punto geométrico, pues aquél posee un tributo que éste no tiene; la masa inercial, que está íntimamente ligada al movimiento de los cuerpos, como veremos al estudiar la Dinámica. Dado un punto material, con una cierta masa inercial, se precisará un cierto esfuerzo para modificar su estado de movimiento; llamaremos fuerza a cualquier agente capaz de modificar el estado de movimiento de los cuerpos. 2.1.1

2.1.2

2.3- MRU Movimiento Rectilíneo Uniforme. El movimiento más sencillo que puede estudiarse, es el de un punto que se mueve en una trayectoria rectilínea. Movimiento Unidimensional, con sus dos grados de libertad, uno relacionado con la posición y el otro con la velocidad. Las posiciones y los desplazamientos se dan siempre en la misma recta de acción, siendo el aspecto más resaltante el que su velocidad es constante, uniforme. El objeto con éste movimiento recorrerá espacios iguales en tiempos iguales. Por ejemplo; una persona caminando puede recorrer cinco kilómetros en una hora, si mantiene su velocidad, entonces recorrerá en dos horas diez kilómetros, en tres quince, etc. Este movimiento es claramente una idealización, ya que es improbable que un cuerpo no modifique su velocidad. Solo saliendo de la trayectoria recta se está violando la definición de MRU, más allá de que de cualquier forma se mantenga la relación de desplazamiento - tiempo. Para estudiar un objeto con MRU, elegimos el sistema de coordenadas Cartesianas con el sentido del eje x según la trayectoria del objeto. El símbolo que identifica al desplazamiento en este eje es “Δx” delta x, o variación de x. Desplazamiento = Vector Posición Final, menos, Vector Posición Inicial.

Anteriormente habíamos llamado al desplazamiento Δr, el cambio en la notación es debido al énfasis en que el movimiento está restringido al eje x. El cociente entre el desplazamiento y el tiempo empleado será v.

Aquí la velocidad es constante hablar de velocidad media no es pertinente, y por ello no será necesario hacer aclaraciones. Como sabemos, tanto las posiciones como Δx y v son magnitudes vectoriales, es decir deben contener información no solo de cantidad, sino también dirección y sentido. En particular éste último quedará determinado si respetamos la siguiente regla; se tomarán como positivas todas las cantidades vectoriales (desplazamientos, velocidades, etc.) con sentido igual al del eje, en caso contrario serán negativos. La representación del vector desplazamiento será como hasta ahora, por medio de una flecha que empieza enxi y termina en xf. Por su parte el vector velocidad es una flecha que se apoya sobre el cuerpo. Estos tienen igual dirección y sentido, por ello poseen los signos iguales. Ejemplo: Un corredor se encuentra inicialmente en la posición “i” a 50(m) a la izquierda de “O” (centro de coordenadas), 10 (s) más tarde llega hasta “f” a 30 (m) a la derecha de “O”. Representamos esquemáticamente y calculamos el desplazamiento y la velocidad.

Para calcular el desplazamiento debemos identificar primero quienes son xi y xf. Sabemos que inicialmente el objeto se encuentra a 50(m) a la izquierda de “o”, esta es una posición negativa. Luego llegará hasta “f” que está a 30(m) a la derecha, posición positiva. Este desplazamiento será expresado analíticamente de esta forma:

Ver vectores En el presente caso los versores j y k podemos omitirlos.

El signo positivo significa que el vector será hacia la derecha, según lo previsto. A continuación hallamos la velocidad, planteamos:

Como era de esperarse la velocidad es positiva, apuntará hacia la derecha. Las unidades de velocidad son las derivadas de aquellas utilizadas para medir las distancias y los tiempos, en este caso metros y segundos.

2.1.3

Velocidad Si un objeto se desplaza en un tiempo Δt el tramo Δr, se llamará al cociente Δr / Δt su velocidad media vm en el intervalo de tiempo Δt .

Definición de velocidad media. Si el intervalo de tiempo Δt es pequeño acercándose a cero, trayecto Δr decrecerá llevando al cociente Δr / Δt al límite. Dándonos como resultado la velocidad instantánea en un punto de la trayectoria.

Definición de velocidad instantánea. Y si durante esa trayectoria la velocidad cambia, se define la aceleración media como el cociente entre

Δv y Δt.

Cuando Δt→0, el punto Q→P, como lo indican los puntos Q′, Q″, ... en la Figura 4.6. Durante el proceso de paso al límite el vector PQ=Δr cambia continuamente en magnitud y en dirección, y de igual modo lo hace la velocidad media . En el límite, cuando el punto Q se confunde con el punto P, el vector Δr es tangente a la trayectoria y, por consiguiente, la velocidad instantánea será un vector tangente a la trayectoria. Multiplicando y dividiendo la expresión [4.5] por Δs=arc PQ, obtenemos:

2.1.4 ACELERACION Definición de aceleración media. Del mismo modo que se procedió con la velocidad media, la aceleración instantánea se hallará:

Definición de aceleración instantánea. Hasta aquí los conceptos vistos son absolutamente generales, abstracciones matemáticas que deben ser interpretadas. Esto se hará en movimientos básicos como lo son el rectilíneo el parabólico y el circular.

Aceleración.- En cada instante, o sea en cada punto de la trayectoria, Figura 4.7 queda definido un vector velocidad que, en general, cambia tanto en módulo como en dirección al pasar de un punto

a otro de la trayectoria. La dirección de la velocidad cambiará debido a que la velocidad es tangente a la trayectoria y ésta, por lo general, no es rectilínea. La dirección de la velocidad sólo permanece constante, y coincide con la trayectoria, en el movimiento rectilíneo; entonces, para especificarla, será suficiente dar su valor numérico (la celeridad) con el signo adecuado al sentido del movimiento. En la Figura 4.7 se representan los vectores velocidad correspondientes a los instantest y t+Δt, cuando la partícula pasa por los puntos P y Q, respectivamente. El cambio vectorial en la velocidad de la partícula durante ese intervalo de tiempo está

2.2 CINETICA 2.2.1 SEGUNDA LEY DE NEWTON. Cuando la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo no es cero, el cuerpo se mueve con una aceleración en la dirección de la fuerza. Experimentalmente se demuestra que para una masa fija, si aumenta el valor de la fuerza, su aceleración aumenta proporcionalmente; por ejemplo si F

aumenta a 2F la aceleración a aumenta a 2a. Por otra parte, si se aplica una fuerza fija, pero se aumenta el valor de la masa, la aceleración del cuerpo disminuye proporcionalmente al aumento de masa, por ejemplo si m aumenta a 2m la aceleración a disminuye a (½)a. Lo opuesto se observa si en lugar de considerar aumento de fuerza o de masa, se consideran disminuciones. La Segunda Ley de Newton se enuncia basándose en estos resultados experimentales, resumiendo esas observaciones en el siguiente enunciado: “La aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo e inversamente proporcional a su masa.” Escrita en términos matemáticos, si ∑F(línea arriba dla f) es la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo de masa m, la Segunda Ley de Newton se expresa como:

Esta ecuación fundamental muy sencilla y completa, encierra razonamientos físicos muy profundos, producto de la experiencia, se conoce como la ecuación fundamental de movimiento. Permite describir el movimiento y la mayor parte de los fenómenos de la Mecánica Clásica, (excepto los cambios de opinión de una mujer que se rigen por una fuerza de voluntad o se producen por motivos de fuerza mayor, son aleatorios, caóticos e impredecibles). Como la Mecánica Clásica es válida para cuerpos ‘grandes’ que se mueven con v