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Universidad de San Carlos de Guatemala, Facultad de Ingeniería

MANEJO DE INVENTARIOS edición 2013

Fernando Alvarez

Msc. Ing: Fernando Álvarez ___________________________________ Investigación de Operaciones 2

CONTENIDO 1

Introducción ......................................................................................................................................3

2

Sistemas de inventario demanda determinística ................................................................8 2.1

Modelo de producción con faltantes permitidos .........................................................8

2.2

Modelo de producción y demanda simultánea sin faltantes permitidos .........13

2.3

Modelo de reabastecimiento inmediato con faltantes permitidos (con déficit) 16

3

2.4

Modelo de reabastecimiento inmediato sin faltantes permitidos (déficit) .....21

2.5

Modelo inventario con descuento en las unidades ...............................................26

Sistemas de inventarios con demanda probabilística......................................................35 3.1

Modelo 1: Demanda aleatoria con pérdida sobre los excedentes y costo

suplementario de ruptura. Costo de almacenamiento despreciable...............................35 3.2

Modelo 2: Se mantienen las premisas del Modelo 1 excepto que en este

modelo se asume que el nivel de existencias cambia de manera continua y no discreta. .................................................................................................................................................37

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1 Introducción En la acepción más amplia de la palabra, los inventarios son recursos utilizables que se encuentran almacenados para su uso posterior en un momento determinado. Algunos autores los definen simplemente como bienes ociosos almacenados en espera de ser utilizados, mientras que otros autores los definen como un activo corriente de vital importancia para el funcionamiento de la empresa. En resumen, un inventario es una provisión de materiales que tiene por objeto facilitar la producción o satisfacer la demanda de los clientes; los inventarios incluyen materia prima, producto en proceso o artículos determinados como máquinas, dinero, etc. Las empresas mantienen inventarios de materias primas y de productos terminados. Los inventarios de materias primas sirven como entradas al proceso de producción y los inventarios de productos terminados sirven para satisfacer la demanda de los clientes. Puesto que estos inventarios representan frecuentemente una considerable inversión, las decisiones con respecto a las cantidades de inventarios son importantes. Los modelos de inventario y la descripción matemática de los sistemas de inventario constituyen una base para estas decisiones. El problema básico del manejo de inventarios consiste en encontrar un balance entre mantenerlos o no, ya que en la actualidad no es extraño encontrar personas que afirman que “se deben mantener grandes cantidades de inventarios pues esto representa riqueza y es preferible guardar en insumos o productos el dinero, ya que con las alzas ocasionadas por la inflación y/o la devaluación, se consigue una mayor rentabilidad que en otras opciones” y encontrar otras personas en el otro extremo que afirman que “los inventarios se deben reducir a cero y manejar una política de justo a tiempo, donde los inventarios son un problema que se genera por ineficiencia gerencial”. Debe tomarse en consideración que cualquiera de los dos extremos es malo, puesto que alguien puede tener inventarios en exceso y no tener cómo pagar la planilla, mientras que en el otro extremo se encuentra quien ha tenido que retrasar su proceso de producción por no contar en forma oportuna con los elementos requeridos. Al tomar una decisión con respecto a los inventarios, es conveniente considerar el proceso general para la toma de decisiones (aplicable a cualquier situación empresarial) y tomar en cuenta que no debe verse como un conjunto rígido de procedimientos, sino como un proceso flexible que debe acomodare a cualquier situación. Los pasos de dicho proceso son los siguientes: 1. Aceptar o reconocer la existencia de una (o más) situación (es) susceptible (s) a mejorar (lo que es diferente a un problema manifiesto) y que al actuar diferente, se podrían obtener mejores resultados. Este paso Escuela Mecánica Industrial ______________________________________________Página 3 de 43

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debe ser muy cuidadoso, ya que las personas (o departamentos) pueden tener diferentes puntos de vista y deben llevarlos a un objetivo común. 2. Formular el problema, plantear la situación ya definida (jerarquizarlas en caso de ser varias) y teniendo mucha delicadeza, puesto que un alto porcentaje de la solución está dado por un buen planteamiento. 3. Construir el modelo, representando de alguna manera el problema (generalmente, en forma matemática) y siendo conscientes que el mejor modelo no es necesariamente el más novedoso o el más complicado. 4. Recolectar los datos. Esta es una de las operaciones más costosas y en dónde es necesaria la colaboración de todas las áreas de la organización. En el caso específico de los inventarios, deben conocerse los costos de mantenimiento y de pedido, la demanda, el tiempo de entrega de los proveedores, etc. 5. Resolver el modelo. Esta parte es la más sencilla si los pasos anteriores se realizan en forma adecuada y consiste en operar con los datos recolectados en el modelo previamente construido. En ocasiones se recomienda manejar escenarios, es decir, hacer fluctuar los datos recopilados para analizar las posibles influencias de estos cambios y estar pendientes en caso se presenten; también se recomienda ver cómo se comporta el modelo en situaciones que ya sucedieron, con el objeto de verificar hasta qué punto puede ayudar a tomar la mejor decisión de acuerdo a las circunstancias. 6. Interpretación de los resultados. En esta parte el criterio gerencial es fundamental, ya que nada puede reemplazar totalmente el juicio de quien toma la decisión. La idea del modelo es ayudar, no reemplazar al tomador de decisiones. 7. Implementar el modelo. Si todo el proceso se ha realizado correctamente hasta este punto, éste debería ser el más sencillo. Sin embargo, ocasionalmente presenta problemas en la práctica por el rechazo de algunas partes de la organización a los cambios. 8. Retroalimentar y recrear el modelo; teniendo en cuenta que las circunstancias del entorno o de la empresa pueden cambiar. En los negocios, el tener una buena política de compras permitirá un manejo fluido de la empresa y la disminución de sus costos; lo que obviamente mejorará su rentabilidad. Debido a esto, es necesario estudiar los inventarios desde el momento en que se proyecta la compra, e involucrarlos en los procesos de planeación de la compañía y en el control de los mismos.

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Existen múltiples argumentos para justificar la tenencia o no de los inventarios (problema básico en el manejo) a continuación se presentan los más utilizados: A favor:    

Prevén escasez. Es preferible ahorrar productos que dinero. Permiten obtener ganancias cuando hay alzas. Facilitan separar los diferentes procesos de la empresa.

En contra:    

Inmovilizan recursos que podrían utilizarse mejor. Esconden los problemas de la empresa. Disimulan la ineptitud de la persona que toma las decisiones. Facilitan esconder los problemas de calidad.

Antes de definir los sistemas de inventarios se presentan primero las características básicas de un sistema de inventarios: Parámetros económicos Costo fijo. Implica el costo fijo asociado a la colocación de un pedido o con la preparación inicial de una instalación de producción. El costo fijo usualmente se supone independiente de la cantidad ordenada o producida. Precios de compra o costo de producción. Este parámetro es de especial interés cuando pueden obtenerse descuentos por mayoreo o rebajas en precio o cuando grandes corridas de producción pueden dar como resultado una disminución en el costo de la misma. En estas condiciones la cantidad ordenada debe ajustarse para aprovechar estos cambios en el precio. Precio de venta. En algunas situaciones de inventario la demanda puede ser afectada por la cantidad almacenada. En tales casos el modelo de decisión está basado en un criterio de maximización de beneficios, el cual comprende el ingreso de venta de la mercancía. El precio de venta unitario puede ser constante o variable dependiendo, por ejemplo, de si se permite un descuento o no en la cantidad. Costo de mantenimiento del inventario. Esto representa el costo de tener el inventario en el almacén. Incluye el interés sobre capital invertido, costos de almacenamiento, costos de manejo, costos de depreciación, etc. Los costos de llevar el inventario usualmente se supone que varían directamente con el nivel de inventario, así como con el tiempo que el articulo se tiene en almacén. Escuela Mecánica Industrial ______________________________________________Página 5 de 43

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Demanda. El modelo de demanda de una mercancía puede ser determinista o probabilista. En el caso del determinista se supone que se conocen con certeza las cantidades necesarias sobre períodos subsecuentes. Esto puede expresarse según períodos iguales en términos de demandas constantes conocidas, o en función de demandas variables conocidas. Los dos casos se denominan demandas estática y dinámica, respectivamente: La demanda probabilísticas ocurre cuando los requisitos durante un cierto período no se conocen con certeza, sino que su modelo puede describirse por una distribución conocida de probabilidad. En este caso, se dice que la distribución de probabilidad es estacionaria o no estacionaria en el tiempo. (Estos términos son equivalentes a demandas estática y dinámica en el caso determinista). Es decir, el modelo determinista supone que la demanda, razón última de la aparición de los inventarios, es conocida en términos de certeza. Sin embargo, lo más corriente es que la demanda no esté determinada. En el mejor de los casos conocemos los distintos valores que puede adoptar y la probabilidad de ocurrencia de cada uno de ellos, esto es, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria demanda. El modelo estadístico persigue determinar, conociendo la distribución de probabilidad de la demanda, el tamaño óptimo de pedido para cumplir con ciertas condiciones, establecidas en términos estadísticos (por ejemplo, que la probabilidad de una ruptura de stocks superior a 100 unidades sea inferior al 10%). Este modelo puede aplicarse válidamente en los sistemas de inventario periódico. La demanda para un período dado puede satisfacerse instantáneamente al inicio del período o uniformemente durante dicho lapso. El efecto de demandas instantáneas y uniformes deberá reflejarse directamente en el costo total de llevar el inventario. Ciclo para ordenar. Consiste en la medida de tiempo de la situación de inventario. Un ciclo de órdenes o pedidos puede identificarse por el período entre dos órdenes sucesivas. Lo último puede iniciarse en una de dos formas: Revisión continua, donde un registro del nivel de inventario se actualiza continuamente hasta que se alcanza un cierto límite inferior, en cuyo punto se coloca un nuevo pedido. Esto se conoce algunas veces como el sistema de "dos depósitos". Revisión periódica donde los pedidos se hacen usualmente a intervalos igualmente espaciados. Demoras en la entrega: Cuando se coloca un pedido, puede entregarse inmediatamente o puede requerir algún tiempo antes de que la entrega se efectúe. El tiempo entre la colocación de un pedido y su surtido se conoce como demora en la entrega. En general, las holguras de entrega pueden ser deterministas o probabilistas. Escuela Mecánica Industrial ______________________________________________Página 6 de 43

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Reabasto del almacén: aunque un sistema de inventario puede operar con demora en las entregas, el abastecimiento real del almacén puede ser instantáneo o uniforme. El instantáneo ocurre cuando el almacén compra de fuentes externas. El uniforme puede ocurrir cuando el producto se fabrica localmente dentro de la organización. En general, un sistema puede operar con demora positiva en la entrega y también con reaprovisionamiento de almacén.. Abastecimiento múltiple: Un sistema de inventario puede tener puede tener varios puntos de almacenamiento (en lugar de uno). En algunos casos estos puntos de almacenamiento están organizados de tal manera que un punto actúa como una fuente de abastecimiento para algunos otros puntos. Este tipo de operación puede repetirse a diferentes niveles de tal manera que un punto de demanda pueda llegar a ser un nuevo punto de abastecimiento. La situación usualmente se denomina sistema de abastecimiento múltiple. Número de artículos: Un sistema de inventarios puede comprender más de un articulo (mercancías). Este caso es de interés, principalmente si existe una clase de interacción entre los diferentes artículos. Por ejemplo, estos pueden competir en espacio o capital total limitados.

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2 Sistemas de inventario demanda

determinística

2.1 Modelo de producción y demanda simultáneas con faltantes permitidos FUNDAMENTOS Las suposiciones para este modelo son las siguientes: - La demanda se efectúa a tasa constante - El reemplazo es una tasa constante - Todos los coeficientes de costos son constantes - La tasa de manufacturación es mayor que la tasa de demanda. - Se permite diferir la demanda En la siguiente figura se ilustra esquemáticamente este modelo.

Pendiente k-r Pendiente r q

S

D

q = Cantidad optima a pedir k = Tasa de producción r = Tasa de demanda D = Cantidad de unidades agotadas S = Inventario Máximo t = Periodo entre tandas de producción T = Periodo de Planeación

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t1 t4= Tiempo de manufacturación y demanda simultanea t2 t3= Tiempo de consumo de las unidades producidas.

C1 = Costo unitario de mantenimiento por unidad de tiempo C2 = Costo unitario penal por unidad de tiempo C3 = Costo fijo por cada proceso de producción

El costo de un periodo de producción estará determinado por la siguiente ecuación: Costo por período = [Costo de ordenar un pedido] + [Costo de mantener el inventario en un período] + [costo de déficit por período] El costo de mantenimiento es igual a C1 veces el inventario retenido. Este último es igual al área del triangulo cuya base es t1 + t2 y cuya altura es S, por lo que el costo de mantenimiento es igual a

c1 ( t 1  t 2 ) S 2

(1)

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El costo penal será igual a C2 veces la demanda diferida. Este último es igual al área del triangulo cuya base es t3 + t4 y cuya altura es D, por lo que el costo penal es igual a

c 2 (t 3  t 4 ) S 2

(2)

De las expresiones anteriores y agregando el costo fijo de producción, se tiene un costo total dado por la siguiente expresión

c1 (t1  t 2 ) S c 2 (t 3  t 4 ) S + c3  2 2

(3)

El costo promedio por unidad de tiempo se obtiene con la siguiente expresión

1 ¨c (t  t ) S  c (t  t ) D   c 1 1 2 2 3 4 3 C 2 t1  t 2  t 3  t 4

(4)

La función C depende de 6 variables, t1, t2, t3, t4, S y D. Por lo que se requiere reducir el número de las mismas, para lo cuál se hará uso de las relaciones entre las mismas: Para el período 1 (5)

S  kt 1  rt 1  t1 ( k  r ) Para el período 2

S  rt 2 De las expresiones anteriores

t1 

(6)

t r S  2 kr kr

(7)

En el período t3

D  rt3 En el período t4

(8)

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(9)

D  kt 4  rt 4  t 4 ( k  r ) De las expresiones anteriores

t4 

t r D  3 k r k r

(10)

Sustituyendo y simplificando en (4) se tiene:

=

(

)

(

)

(11)

El mínimo de las variables se obtiene:

El resultado es

2

y

=0

∗

=

(

∗

=

(

(

(

3

)

)

(12)

=0

)

(12)

)

(13)

El tamaño de la producción (q) es igual a la demanda durante el período y se expresa de la siguiente manera: = (

+

+

+

)

Utilizando (7) y (10) y simplificando se obtiene: =

(

(

)

)

(14)

(15)

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EJEMPLO La demanda de un artículo de una determinada compañía es de 18, 000 unidades por año y la compañía puede producir ese artículo a una tasa de 3 000 unidades por mes, El costo de organizar una tanda de producción es $ 500.00 y el costo de almacenamiento de una unidad es de $ 0.15 por mes. Determinar la cantidad óptima que debe de manufacturarse y el costo total por año suponiendo que el costo de una unidad es de $ 2.00. El costo por unidad agotada es de $ 20.00 por año. Datos r= 18, 000 Unidades por año k = 3,000 por mes P1 = $ 2.00 C3 = $ 500.00 C1 = $ 0.15 /unidad mes C2 = $ 20.00 /unidad año La cantidad óptima estará definida por: ∗

=

2

1 (1 −

)

(

+

)

q*= 4699.04 Unidades El costo total quedara definido por

∗

=

2

(1 −

+

)

Costo Total = $ 39,855 por periodo de planeación. Escuela Mecánica Industrial ______________________________________________Página 12 de 43

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2.2 Modelo de producción y demanda simultánea sin faltantes permitidos FUNDAMENTOS Las suposiciones de este modelo son las siguientes: -

La demanda se efectúa a tasa constante El reemplazo es una tasa constante Todos los coeficientes de costos son constantes La tasa de manufacturación es mayor que la tasa de demanda.

Para determinar la cantidad optima a pedir, se sigue el procedimiento del modelo de producción y demanda simultánea con faltantes permitidos.

En el siguiente esquema se representa este modelo.

q = Cantidad optima a producir k = Tasa de producción r = Tasa de demanda S = Inventario Máximo t = Periodo entre tandas de producción T = Periodo de Planeación Escuela Mecánica Industrial ______________________________________________Página 13 de 43

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t1 = Tiempo de producción y demanda simultáneamente t2 = Tiempo en donde ocurre únicamente demanda

Para determinar el costo total se procederá similarmente al modelo anterior. =

+

1

2 (

+

)

Considerando las relaciones presentados en el modelo anterior y expresando el Ct por unidad de tiempo

=

( − )

+1 2

Analizando las curvas de costos el Ct es mínimo cuando se igualan los costos C3 y C1 gráficamente se indica lo siguiente:

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El valor óptimo de t2 es el siguiente:

r  2C 3 1    k t2  rC1 Y el valor óptimo de t1es el siguiente:

=

( − )

O bien:

∗

=

2 ( − )

El tiempo entre tandas de producción estará definido por

t1  t 2 

q r

Puesto que las unidades se utilizan de acuerdo a su definición el inventario máximo por periodo es el tiempo de manufacturación t1 multiplicado por la tasa de acumulación, en donde la tasa de acumulación es la tasa manufacturación k menos la tasa de demanda r, obteniendo como resultado: S= t1(k - r) El tiempo de manufacturación es el tiempo requerido para fabricar q unidades: Escuela Mecánica Industrial ______________________________________________Página 15 de 43

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t1 

q k

Por consiguiente el inventario máximo estará definido por:

q  r S  (k  r )  q1   k  k

EJEMPLO La demanda de un artículo de una determinada compañía es de 18, 000 unidades por año y la compañía puede producir ese artículo a una tasa de 3 000 unidades por mes, El costo de organizar una tanda de producción es $ 500.00 y el costo de almacenamiento de una unidad es de $ 0.15 por mes. Determinar la cantidad óptima de debe de manufacturarse y el costo total por año suponiendo que el costo de una unidad es de $ 2.00,

q* 

2(18000)(500)  4472unidades  18000   (0.15)(12)1   3000(12) 

El costo total anual es

CT 

500 (18000 ) ( 0 .15 )(12 )( 4472 )(( 3000 )(12 )  18000 )   2 (18000 )  $ 40026 4472 2 (3000 )(12 )

El inventario máximo estaría determinado por:

 r S  q1   = 2 235 Unidades.  k

2.3

Modelo de reabastecimiento inmediato con faltantes permitidos (con déficit)

FUNDAMENTOS

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El modelo de compra que permite déficit tiene como base las siguientes suposiciones: -

La demanda se efectúa a tasa constante. El reemplazo es instantáneo (la tasa de reemplazo es infinita). Todos los coeficientes de costos son constantes.

Este modelo tiene costos normales (costo unitario del producto, costo de ordenar una compra, costo de mantener en inventario) pero además tiene un costo adicional, el costo por unidad de faltante. En este modelo es posible diferir un pedido, de manera que una vez recibida la cantidad pedida desaparece el déficit, esto se representa claramente en el siguiente esquema.

S

D t2

t3

Q = Cantidad optima a pedir D = Cantidad de unidades agotadas S = Inventario Máximo t = Periodo entre pedidos T = Periodo de Planeación t2 = Tiempo en donde se cuenta con inventario t3 = Tiempo en donde se cuentan con unidades agotadas. Por consiguiente, en este modelo, los costos de déficit son ocasionados por agotamiento de existencias durante el periodo de tiempo y no por la perdida de ventas. Escuela Mecánica Industrial ______________________________________________Página 17 de 43

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En este modelo se incluyen los costos de déficit para determinar el costo para un periodo. Costo por periodo = [Costo unitario por periodo] + [Costo de ordenar un pedido] + [Costo de mantener el inventario en un periodo] + [costo de déficit por periodo]

ANÁLISIS DE ECUACIONES El costo unitario y el costo de ordenar un pedido se determinan de una manera semejante a como se determinan en el modelo de compra sin faltante. Para determinar el tiempo t1, el inventario máximo y el tiempo t2 en función de la cantidad optima a pedir (Q) y la cantidad de existencias agotadas (S) se realiza el siguiente proceso. El inventario máximo estará definido por: S=Q–D Las siguientes ecuaciones se obtienen a partir de la semejanza de triángulos:

t2 

tS t (Q  D )  Q Q t3 

tD Q

Debido a que el tiempo de un periodo t es Q / r. Las ecuaciones anteriores pueden representarse de la siguiente forma.

t2 

QDQ Q r

t3 

DQ Q r

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Sustituyendo las ecuaciones 1,2 y 5 en la ecuación del costo por periodo tenemos

Costo (Q *)  C 3  C 2

QDQQD DQ D  C1  pr Q r 2 Q r 2

Multiplicando el costo de un periodo por el numero total de interperíodos que tiene el periodo de planeación obtenemos el costo total.

CostoTotal 

C3 r C 2 D 2 C1 S 2   Q 2Q 2Q

Para determinar la cantidad optima a pedir y la cantidad de existencias agotadas se realiza una operación de derivación parcial con respecto a cada una de estas variables.

C C3r C2 D 2 C1 S 2     pr Q Q 2Q 2Q C C3 r C1 S 2 C2 D 2     pr D Q 2Q 2Q El resultado de estas operaciones nos da como resultado.

Q

2 rC 3 C1

(C 1  C 2 ) C2

D

2 rC 3 C2

C1 (C 1  C 2 )

Para entender este modelo se resolverá un ejercicio en donde se aplican todos los aspectos mas importantes de este modelo de compra

EJEMPLO Una empresa vende un articulo que tiene una demanda de 18, 000 unidades por año, su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por año y el costo de ordenar una compra es de $ 400.00. El costo unitario del articulo es $ 1.00. El costo por unidad de faltante es de $ 5.00 por año. Determinar: -

La cantidad óptima pedida El costo total por año El número de pedidos por año

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-

El tiempo entre pedidos

Datos p= $ 1.00 / unidad C3 = $ 400.00 / orden C1 = $ 1.20 unidad / año C2 = $ 5.00 unidad / año r = 18,000 unidades / año La cantidad óptima a pedir se calcula de la siguiente forma.

Q* 

2 rC 3 (C1  C 2 )  C1C 2

2 (18000 )( 400 )(1 .2  5)  3858 unidades (1 .2 )( 5)

El costo total estará determinado por:

S* 

D

2 rC 2 C 3  (C 1  C 2 )C 1

2rC1C3  (C1  C 2 )C 2

2(18000 )(5)( 400 )  3111unidades (1.2  5)1.2

2(18000)(1.2)(400)  747unidades (1.2  5)5

D  Q *  S *  3858  3111  747unidades

S 2 C1 D 2 C 2 C3 r (3111) 2 (1.2) (747) 2 (5) (400)(18000) CT     pr     (1)(18000)  21733.02 2Q * 2Q * Q * 2(3858) 2(3858) 3858 El número de pedidos por año es

N

18000  4.66 3858

El tiempo entre pedidos es

t

3858  0.214años 18000

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2.4 Modelo de reabastecimiento inmediato sin faltantes permitidos (déficit) FUNDAMENTOS Este modelo tiene como bases el mantener un inventario sin falta de productos para desarrollar las actividades de cualquier empresa. Es un modelo de inventarios que se encuentra basado en las siguientes suposiciones: -

La demanda se efectúa a tasa constante. El reemplazo es instantáneo. Todos los coeficientes de costos son constantes.

En este modelo no se permite la falta de productos para la venta, es decir, una empresa que maneje este modelo de inventario no se puede quedar sin mercancías para la venta. En la siguiente figura se ilustra esquemáticamente este modelo.

t

Símbolos Escuela Mecánica Industrial ______________________________________________Página 21 de 43

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Q = Cantidad optima a pedir Im = Inventario Máximo t = Periodo entre pedidos T = Periodo de Planeación En este modelo se representan iguales el inventario máximo y la cantidad económica pedida. Cabe mencionar que esto no siempre es verdadero. El costo total para un periodo en este modelo esta conformado por tres componentes de costo: -

Costo unitario de almacenamiento del producto por unidad de tiempo (C 1) Costo fijo por cada orden de compra o de producción(C 3) Tasa de demanda, demanda por unidad de tiempo(r)

El costo para un periodo estará conformado de la siguiente manera: Costo por periodo = [Costo unitario por periodo] + [Costo de ordenar un pedido] + [Costo de mantener el inventario en un periodo] El costo total para el periodo de planeación estará conformado de la manera siguiente: Costo total = Costo por periodo x Numero de pedidos a realizar.

ANÁLISIS DE ECUACIONES. Costo unitario por periodo. El costo unitario por periodo simplemente es el costo de la cantidad óptima a pedir. pr Costo de ordenar una compra. Puesto que solo se realiza una compra en un periodo el costo de ordenar una compra esta definido por: C3

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Costo de mantener el inventario por periodo. El inventario promedio por periodo es [Q / 2]. Por consiguiente el costo de mantenimiento del inventario por periodo es:

Q C1 t 2 Para determinar el costo en un periodo se cuenta con la siguiente ecuación:

Costo (Q * )  C1t

Q  C 3  pr 2

El tiempo de un periodo se expresa de la siguiente manera:

t

Q r

El número de periodos se expresa de la manera siguiente:

N 

r Q

Si se desea determinar el costo total en el periodo de planeación (T) se multiplica el costo de un periodo por el número de ínter períodos (t) que contenga el periodo de planeación. Para determinar este costo se aplica la siguiente ecuación: Costo Total = Costo (Q*)t Otra manera de representar el costo total para el periodo de planeación es por medio de la siguiente ecuación:

CostoTotal 

C3 r C1Q   pr Q 2

Cuando los componentes del costo total se representan gráficamente se obtiene un punto óptimo (de costo mínimo).

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Una forma de determinar la cantidad óptima a pedir es suponer diversos valores de Q y sustituir en la ecuación anterior hasta encontrar el punto de costo mínimo. Un procedimiento mas sencillo consiste en derivar la ecuación del costo total con respecto a Q e igualar la derivada a cero.

dC C3 r C1Q    pr dQ Q 2 Al resolver esta derivada tenemos la ecuación para determinar la cantidad óptima a pedir. Q=

2 rC 3 C1

Esta ecuación ocasiona un costo mínimo y tiene como base un balance entre los dos costos variables (costo de almacenamiento y costo de compra) incluidos en el modelo. Cualquier otra cantidad pedida ocasiona un costo mayor.

EJEMPLO Una empresa vende un articulo que tiene una demanda de 18, 000 unidades por año, su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por año y el costo de ordenar una compra es de $ 400.00. El costo unitario del artículo es $ 1.00. No se permite faltante de unidades y su tasa de reemplazo es instantánea. Determinar: -

La cantidad óptima de pedido El costo total por año El número de pedidos por año

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-

El tiempo entre pedidos

Datos r = 18,000 unidades / año p = $ 1.00 / unidad C3 = $ 400.00 / orden C1 = $ 1.20 unidad / año La cantidad óptima a pedir se calcula de la siguiente forma.

= 3 465 Unidades El costo total estará determinado por:

Costo 

400(18,000) 1.2(3465)   1(18000) =$ 22, 156 por año 3465 2

El número de pedidos por año es N = r / Q = 18,000 / 3,465 = 5.2 Pedidos por año El tiempo entre pedidos es t = Q / r = 3465 / 18000 = 0.1925años

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2.5 Modelo inventario con descuento en las unidades

FUNDAMENTOS Este modelo se basa manejar diferentes costos según las unidades pedidas, es decir, la cantidad de productos a comprar definirá el precio de los mismos. Algunas empresas manejan este modelo de inventario debido a que sus costos le permiten realizar este tipo de compras. Este modelo les proporciona sus costos totales mas bajos según sus necesidades y los recursos con los que cuenten. En la siguiente gráfica se representa este modelo.

Ni = Cantidades a pedir Costoi = Costos de adquirir la cantidad Ni En este modelo se realizan descuentos según la cantidad a comprar, por ejemplo, una empresa que distribuye artículos maneja los siguientes precios: De 0 10, 001 20, 001 30, 001

A 10, 000 20,000 30, 000 En adelante

Costo Unitario $ 5.00 $4.50 $3.00 $2.00

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Según estos costos si nosotros deseamos comprar entre 0 y 10, 000 unidades estas tendrán un costo de $5.00; entre 10, 0001 y 20, 000 un costo de $4.50; entre 20, 001 y 30, 000 un costo de $3.00 y arriba de 30, 001 un costo de $2.00. En la siguiente gráfica se presentan los datos antes descritos.

Esto resulta bueno para algunas empresas que cuenten con costos de mantener inventarios muy bajos, ya que pueden realizar compras en gran escala a precios bajos. Con este tipo de modelo los costos unitarios de los productos se ven mermados pero los costos de mantener un almacén se pueden ver incrementados sustancialmente. Para realizar el desarrollo de este modelo estructuraremos un algoritmo que consta de cuatro pasos, en los cuales se tomarán aspectos importantes de este modelo. Pasos para la aplicación de este modelo. Para realizar el desarrollo de este algoritmo nos apoyaremos en la siguiente gráfica en donde se representa este modelo.

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PASO 1 El primer paso es determinar la cantidad optima a pedir según los costos (Costo de pedir, Costo de mantener) que maneje la empresa, para cada uno de los descuentos con que se cuentan. Determinaremos la cantidad optima a pedir para cada uno de los costos (C1, C2, C3, C4) de los descuentos.

Qj 

2rC3 ip j

Q = Cantidad Optima r = Demanda del artículo. C1 = Costo de mantener el inventario C3 = Costo de ordenar un pedido. i = Porcentaje sobre el precio del artículo por mantenimiento en inventario. Existen ocasiones en que la empresa maneja un costo de almacén adicional, entonces la ecuación que definida de la siguiente forma:

Qj 

2rC3 ip j  C1

En donde C1 + ipj será el costo total de mantener en almacén. PASO 2 El segundo paso es realizar una comparación de los valores de Q j con sus respectivos niveles de precio (Ci), por ejemplo, se compara el valor obtenido de Q1 con respecto al intervalo que corresponde el valor del costo de C 1, si este se encuentra entre el valor de 0 y el valor de N1 entonces este valor de Q se tomará como un valor óptimo. De igual manera se realizará un a comparación entre Q2 y el intervalo de N1 y N2. Esto operación se realiza con todos los valores de Q obtenidos. En caso de que el valor obtenido no se encontrara dentro de este intervalo, la cantidad óptima estará definida por el límite inferior del intervalo Escuela Mecánica Industrial ______________________________________________Página 28 de 43

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En la gráfica el valor de Q1 no se encuentra dentro de su intervalo, por consiguiente el valor de Q2 será su limite inferior, o sea, Q2 = N1. PASO 3 El tercer paso es determinar los costos totales para cada uno de los valores óptimos obtenidos anteriormente. El costo total lo determinaremos con la siguiente ecuación.

CT 

C3 r C1q *   pr q* 2

PASO 4 El cuarto paso es determinar el menor costo total obtenido en el paso anterior. El valor de Q utilizado para determinar este costo será la cantidad óptima a pedir según los costos estimados en el planteamiento del problema.

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EJEMPLO Determine la cantidad óptima a ordenar para una parte comprada que tiene las siguientes características: -

Uso estimado anual a tasa constante 10,000 unidades

-

Costo de procesar la orden $32.00

-

El costo de mantener una unidad en almacén esta definido por los intereses anuales, impuestos y seguros como una fracción del valor de la inversión sobre el inventario promedio 20%

El esquema de precios es el siguiente: Cantidad 0 < Q < 1, 000 1, 000 < Q < 2, 000 2, 000 < Q

Precio $ 3.50 $ 2.95 $ 2.00

No se permiten faltantes, el lote se entrega en un embarque. Datos r = 10, 000 Unidades / año C3 = $ 32.00 P11 = $ 3.50 Escuela Mecánica Industrial ______________________________________________Página 30 de 43

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P12 = $ 2.95 P13 = $ 2.00 i = 20 % Nota: Cabe hacer mención que el costo de mantener una unidad en almacén esta definido por C1 = iP1j. Representando los costos unitarios proporcionados tenemos la siguiente gráfica.

Para iniciar con el desarrollo del problema seguiremos el algoritmo antes descrito. PASO 1 Determinaremos la cantidad óptima a pedir para cada uno de los costos proporcionados.

Qj 

2rC3 ip j

Para C11 = $ 3.50 tenemos:

Qj 

2(10000 )(32)  956.18 (0.2)(3.5)

Para C12 = $ 2.95 tenemos:

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Qj 

2(10000 )(32)  1041 .51 (0.2)( 2.95)

Para C13 = $ 2.00 tenemos:

Qj 

2(10000 )(32)  1264 .91 (0.2)( 2)

Con los datos obtenidos anteriormente determinaremos que cantidades óptimas se encuentran dentro del intervalo correcto. Cantidad 0 < Q1 = 956.18 < 1, 000 1, 000 < Q2 = 1041.51 < 2, 000 2, 000< Q3 = 1264.91

Consideración

✓ ✓ X

Debido a que Q3 no se encuentra dentro de su intervalo su valor quedará definido por su intervalo inferior, o sea, Q3 = 2, 000. PASO 2 Los datos obtenidos anteriormente pueden quedar representados en la siguiente gráfica.

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PASO 3 Ahora procederemos a determinar el costo total de los valores óptimos obtenidos anteriormente.

CT 

C3 r C1q *   pr q* 2

El costo total para el primer valor optimo obtenido Q1 = 956.18 es:

CT 

32(10000) (0.2)(3.5)(956.18)   3.5(10000)  35669.33 956.18 2

El costo total para el segundo valor optimo obtenido Q2 = 1041.51 es:

CT 

32(10000) (0.2)(2.95)(1041.51)   2.95(10000)  30114.48 1041.51 2

El costo total para el segundo valor optimo obtenido Q3 = 2000 es:

CT 

32(10000) (0.2)(2)(2000)   3.5(10000)  20560.00 2000 2

PASO 4 Ahora solo falta determinar el mínimo valor del costo total calculado anteriormente. Vemos que el valor mínimo es el del Costo Total3 por consiguiente la cantidad óptima a ordenar es de 2,000 unidades. En la siguiente gráfica se presentan los resultados obtenidos al calcular cada uno de los costos totales y la determinación del menor costo.

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Como se puede ver en la gráfica el menor costo se produce al pedir 2, 000 unidades. Podemos concluir que la cantidad optima a pedir para este problema es de 2, 000 unidades y esto ocasiona tener un costo total de $ 20, 560.00.

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3 Sistemas de inventarios con demanda probabilística En los modelos de inventarios determinísticos que hemos revisado durante el curso de Investigación de Operaciones II, la política óptima se determina sobre la base de una demanda conocida. En algunas aplicaciones, ésta puede ser una suposición válida, pero en muchas situaciones, la demanda sólo se conoce con una gran cantidad de incertidumbre. Las técnicas probabilísticas se requieren para analizar y determinar la política de inventarios óptima para tales problemas

3.1 Modelo 1: Demanda aleatoria con pérdida sobre los excedentes y costo suplementario de ruptura. Costo de almacenamiento despreciable. En este caso suponemos que la demanda r para un intervalo de tiempo t es aleatoria y conocemos la distribución de probabilidad P(r) de que la demanda sea igual a r. Si el inventario S es mayor que la demanda r, la diferencia se vende con una pérdida unitaria C1, si por el contrario S es inferior a r existe un aprovisionamiento especial o compra urgente de las piezas que faltan y su costo suplementario implica una pérdida unitaria C2 . Podemos decir que la administración es independiente del tiempo o sea que ya no interviene la duración T (tiempo de política total) si sucede que el costo de almacenamiento sea despreciable en comparación de C 1 o C2. Ejemplo de este caso se presenta cuando se requieren fabricar al mismo tiempo repuesto o conjunto compuesto por varias piezas. Si se produce demasiados repuestos, habrá que saldar el excedente con fuertes pérdidas; si por el contrario se producen menos de lo necesario habrá que fabricar las piezas faltantes a un costo más elevado. Ecuación del costo: S

C(S )  C1  (S  r ) P(r )  C2 0



(r  S )P(r)

r  S 1

Ejemplo: Una compañía eléctrica desea ordenar un nuevo generador para su planta. Una de las piezas del generador es muy complicada y costosa y resulta antieconómica ordenarla excepto cuando es junto con el generador. Cada una de las piezas es construida individualmente y no puede ser usada nada más que por un generador. La compañía desea averiguar cual es el número de piezas que deben ser incorporadas a cada orden de generador y su costo asociado; si se cuenta con los siguientes datos. El costo de la pieza cuando es ordenada junto al generador es de $ 3,000.00. Si se necesita una pieza y no esta disponible (existe ruptura), el generador completo deja Escuela Mecánica Industrial ______________________________________________Página 35 de 43

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de funcionar. El costo por dejar de funcionar el generador y el de la pieza es $ 17,000.00. Un estudio anterior del comportamiento de piezas similares en generadores también similares nos da la siguiente información (tabla basada en 200 generadores): Número de generador 0 1 2 3 4

piezas

por

Número de generadores que necesitan las piezas 80 60 40 20 0

Probabilidad requisitos 0.40 0.30 0.20 0.1 0

de

los

Solución: Datos

C1 = $ 3,000.00 C2 = $17,000.00

R 0 1

P (r) 0.40 0.30

P (r ≤ S) 0.40 0.70

2 3 4

0.20 0.10 0.00

0.90 1.00 1.00

Calculo del valor óptimo de inventario So a) Calcular el valor de F(S)

F (S ) 

C2 17,000  C1  C 2 3,000  17,000

F(S) = 0.85 b) Se localiza el valor de F(S) en la columna P (r ≤ S) (probabilidad acumulada) 0.70 < 0.85 < 0.90 entonces P (r ≤ 1) < 0.85 < r ≤ 2) De donde el óptimo es So = 2 Calculo del costo asociado

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Msc. Ing: Fernando Álvarez ___________________________________ Investigación de Operaciones 2 2

4

0

3

C(2)  3,000 (2  r ) P(r )  17,000 (r  2) P(r ) C (2) = 3,000[2*0.40+1*0.30] + 17,000[1*10] C (2) = 5,000

3.2 Modelo 2: Se mantienen las premisas del Modelo 1 excepto que en este modelo se asume que el nivel de existencias cambia de manera continua y no discreta. En este modelo se expresa la probabilidad de trasladarse del nivel r1 al r2 de la manera siguiente: r2

 f (r )dr r1

Ecuación del costo y solución optima La ecuación del costo para este tipo de problema es similar a la del modelo No. 1 excepto en el hecho en que P(r) se reemplaza por f(r) dr y la integral toma el lugar de la sumatoria, de acuerdo a lo siguiente: S



0

S

C ( S )  C1  ( S  r ) f ( r ) dr  C 2  ( r  s ) f ( r ) dr Para encontrar el mínimo del costo es necesario calcular su derivada, su expresión final se presenta a continuación S

 f ( r ) dr  F ( S ) 0

Ejemplo: En una pastelería se venden cierta clase de pasteles por peso. Si en la hechura de un pastel acontece que la amasada se hace un día antes que la horneada, existe una pérdida de 0.25 centavos la libra, pero además existe un mercado ilimitado para pasteles de un día atrás, por lo tanto el costo de mantener una libra en almacenamiento es de 0.25 centavos, por otro lado cada vez que el mismo día se amasa y hornea un pastel, se sufre una pérdida de 1.25 la libra, o lo que es lo mismo, que existe un costo por ruptura de 1.25 por libra. Los datos de anteriores órdenes nos dan una distribución triangular como se observa en la figura siguiente:

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f (r) 0.03

60

Solución:

r

Datos C1= 0.25 C2= 1.25

f (r )  0.03  Solución:

0.03 r  0.03  0.0005r 60

a) calculo de la tasa de ruptura F (So) = C2/(C1 + C2) =0.833 b) calculo de la cantidad óptima

S

 0

S

f ( r ) dr   (0.03  0.0005 r ) dr  0.03 S  0

0.0005 2 S 2

0.00025 S2 – 0.03 S + 0.833 = 0 Y resolviendo S = 60 ± 16.35 De lo anterior la cantidad óptima So = 43.65

El costo asociado S



0

S

C ( S )  C1  ( S  r ) f ( r ) dr  C 2  ( r  s ) f ( r ) dr

43 .65

C ( S )  0.25



60

( 43 .65  r )( 0.03  0.0005 r ) dr  1.25

0

 ( r  43 .65)(0.03  0.0005 r ) dr

43 .65

C(S)= 16.6031708 Escuela Mecánica Industrial ______________________________________________Página 38 de 43

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Modelos estáticos El modelo estático estocástico, o modelo de un solo periodo, se utiliza cuando se va a producir un articulo una sola vez. Ejemplos de esto son la industria de las modas, un tipo de avión comercial o militar, un modelo determinado de automóvil, o también artículos perecederos que tienen una vida corta (vegetales, leche, carne) o artículos que se obsoletizan rápidamente, como las computadoras y calculadoras electrónicas. Se denotará por Ø (ξ) la distribución de probabilida d conocida de la demanda: Ø (ξ) = p {demanda = ξ ). Se denotará respectivamente por h (Z) y p (Z), a la función de costo de mantenimiento y costo penal, cuando el inventario disponible es Z (— ∞ < Z < ∞). Estas funciones no son necesariamente lineales y se analizarán varios casos. Por c (Y) se denotará la función de costo de reorden o producción, cuando la cantidad ordenada o producida es Y. Esta función no es necesariamente lineal. Consumo instantáneo, sin costo fijo, entrega inmediata En este modelo se supone que la demanda se satisface al principio de un periodo y su consumo es instantáneo. Por lo tanto, dependiendo en el valor que tome la demanda aleatoria, ξ, y de la posición X del inventario antes de satisfacer la demanda (antes de tomar una decisión), se podrá saber si el inventario remanente es positivo (figura a) ) o negativo (figura b) ). Si ξ X. el inventario final será negativo.

X

ξ X–ξ

Figura a) cuando ξ < X

X

X ξ–X

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Figura b) cuando ξ > X Si Y es el inventario existente antes de satisfacer la demanda aleatoria ξ, el costo de mantenimiento será

h(Y   ), siY   0, siY  donde h (•) es una función dada de su argumento, mientras que el costo penal será

p(  Y ), siY  0, siY   donde p (•) es una función dada de su argumento. Si Y es la variable de decisión que denota la cantidad que se tiene después de ordenar o producir, dado que la demanda es ξ con una distribución de probabilidad conocida Ø (ξ) y el inventario que se tiene antes de tomar una decisi ón es de X unidades, entonces el costo total esperado para ese periodo, denotado por E {C (Y)} es E {C (Y)} = costo de orden o producción + valor esperado del costo de mantenimiento + valor esperado del costo penal es decir

E C (Y )  c (Y  X ) 





Y

Y

p   Y  ( ) d    hY    ( ) d  0

Si la distribución de la demanda, Ø (ξ), es continua, y y

EC(Y )  c(Y  X )   hY    ( )   0



 p  Y  ( )

 Y 1

Si la distribución de la demanda, Ø (ξ), es discreta1. Por simplicidad de análisis, se toma primero el caso continuo. Sea L (Y) el valor esperado del costo de mantenimiento y penal, es decir, L (Y) = ∫∞y p [ξ-Y] Ø (ξ) dξ + ∫y0 h [Y-ξ] Ø (ξ) d ξ (2.48) Entonces E {C (Y) }= c(Y-X) + L(Y). 1

en las expresiones anteriores c(Y-X) es una función lineal, es decir, c (Y-X)= c Y- cX

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Para obtener la política óptima, se resuelve el siguiente problema de optimización Mín E { C(Y) }= c (Y-X) + L (Y) Sujeto a Y≥X. Un resultado conocido, es que si L (Y), es estrictamente convexo 2, la política óptima consiste en ordenar o producir Y* — X unidades, si X < Y*, y no producir u ordenar nada si X ≥ Y*, donde el valor Y* satisface (o se calcula de) d L (Y) + c = 0. dY Para el caso continuo, el valor de Y* se encuentra explícitamente resolviendo Y*

p c

( )d  p  h 0

Y para el caso discreto, resolviendo





P   Y * 1 

pc  P  Y* ph





Ejemplo 1 Considere un artículo que se producirá una sola vez, con una demanda continua de consumo instantáneo, distribuida uniformemente y dada por

 1  , si 0    1,000    ( )  1,000  0 , si   1,000 y   0  Supóngase que el costo unitario de producción es de $ 0.50, el costo unitario de mantenimiento es de $ 0.50 y el costo unitario penal es de $ 4.50. ¿Cual es la política óptima de producción? Solución: Si los costos de mantenimiento y penal son lineales y Ø (ξ) > 0, entonces L (y) es estrictamente convexo. 2

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Msc. Ing: Fernando Álvarez ___________________________________ Investigación de Operaciones 2 Y*

( )d  0

Y*

1

p c ph 4.50  0.50

 1000 d  4.50  0.50 0

Y*  0 .8 1000 Y*= 800 La política óptima indicaría que si el inventario que se tiene a la mano, X, es menor a 800 unidades, se producen 800 — X unidades, y si X mayor a 800 unidades no se produce nada. Ejemplo 2 Considere un tipo e avioneta que tiene demanda discreta de consumo instantáneo como la que se describe a continuación y para la que el costo unitario de producción es de $2,000,000 el costo unitario de mantenimiento es de $1,000,000 y el costo unitario penal igual a $4,000,000. Si la demanda se distribuye de acuerdo a la siguiente tabla ξ 0 1 2 3 4 5 6 o más

Ø(ξ)=P 0.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.10 0

¿Qué política óptima de producción se debe seguir? Solución: Se construye la distribución acumulada de la demanda, P {ξ≤Y} Ξ 0 1 2 3 4 5 6 o más

Ø(ξ)=P 0.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.10 0

P{ ξ≤Y } 0.10 0.30 0.55 0.75 0.90 1.00 1.00

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p  c 4,000 ,000  2,000 ,000   0 .4 p  h 4 .000 ,000  1,000 ,000 El cociente 0.4 se encuentra entre los valores 0.30 y 0.55 por lo que Y* = 2. Esto indica que si el número de avionetas en inventario es mayor de 2, no se produce nada y si es menor a 2, digamos X, s producen 2-X avionetas.

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