UNIDAD III TEORIA DE DECISIONES INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA INVESTIGACION DE OPERACIONES II UNIDAD III: TEAR
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INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLAHERMOSA INVESTIGACION DE OPERACIONES II UNIDAD III: TEARIA DE DECISION. 3.1 Caracteristicas generales de la teoría de decisiones. 3.2 Criterios de decisión Detreministicos Y Probabilísticos. 3.3 Valor de la información perfecta. 3.4 Arboles de decisión. 3.5 Teoría de utilidad. 3.6 Decisiones secuenciales. 3.7 Análisis de sensibilidad. 3.8 Uso de programas de computación. INTEGRANTES: Mirielle E.Aragon Lopez Efren Cordova Perez Ernesto De Dios Hernadez. Diana Gorrochetegui Barra. Maria Guadalupe Jauregui Santos Soledad Ocaña Vergara Edurado Lopez Garcia.
Profre: M.C.Zinath Javier Geronimo. VILLAHERMOSA,TAB. A 25 DE OCTUBRE 2010
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Introducción El estudio de análisis de decisiones se enfocara en la toma de decisiones frente a la incertidumbre en un contexto diferente. En lugar de tomar decisiones en periodo largo, la preocupación ahora se refiere a tomar quizá una sola decisión (o a lo mas una secuencia de unas cuantas decisiones) sobre que hacer en el futuro inmediato. No obstante, se tienen factores aleatorios fuera de nuestro control que crean cierta incertidumbre sobre el resultado de cada uno de los diferentes cursos de acción. El análisis de decisiones proporciona un marco conceptual y una metodología para la toma de decisiones racional en este contexto. Una pregunta que surge con frecuencia es si tomar la decisión necesaria en este momento o primero hacer algunas pruebas (con algún costo)para reducir el nivel de incertidumbre sobre el resultado de la decisión. Por ejemplo ,la prueba puede ser realizar una promoción de prueba de un nuevo producto propuesto para ver la reacción del consumidor antes de tomar la decisión de proceder o no con la producción y comercialización a gran escala del producto. Se hace referencia a estas pruebas como realizar experimentación .Entonces el análisis de decisiones divide la toma de decisiones en los casos sin experimentación y con experimentación.
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3.1 ANALISIS DE DECISIONES Generalidades Y Aspectos Fundamentales Antes de profundizar en el proceso y otros elementos de la toma de decisiones veamos algunos aspectos, que no sólo servirán de apoyo para continuar el estudio, sino que serán muy útiles para una comprensión profunda sobre el tema. En sentido general, una decisión es una elección ante determinadas alternativas, donde en muchos casos nos queda la duda, o sea, si tomamos o no la decisión más correcta. La definición sobre la toma de decisiones la plantearemos de la siguiente manera: “Es un proceso donde se identifican, se valoran y se seleccionan las mejores acciones, sobre las alternativas evaluadas, para solucionar los problemas o dificultadas presentadas o para el aprovechamiento de las oportunidades”. Como apreciamos en la definición no siempre nos enfrentamos ante la misma situación, en ocasiones debemos resolver problemas o dificultades presentadas en la actividad organizacional, lo cual requiere que restablezcamos la situación hacia su posición original o anterior, en otros casos la decisión debe darnos la posibilidad de permitirnos el aprovechamiento de oportunidades para sobre cumplir los objetivos programados. Estos aspectos, problemas o dificultades, y oportunidades, requieren de una identificación precisa ya que son, no sólo diferentes por definición (como vimos en el párrafo anterior), sino que brindan un alcance diferente también. En ocasiones es más fácil identificar un problema que una oportunidad, llegando al primero a través de criterios vertidos por terceras personas ya sean clientes o trabajadores de la organización, por incumplimiento en los planes de trabajo o con relación a períodos anteriores. Al respecto Pounds, W. (1969) citado en Stonner, J.F. (2004) expresa lo siguiente. “El proceso de identificación de problemas suele ser informal e intuitivo. Son cuatro las situaciones que generalmente le indican a los administradores la existencia de posibles problemas: cuando se produce un alejamiento de la experiencia pasada, cuando se produce una desviación del plan fijado, cuando otras personas presentan problemas al administrador y cuando los competidores actúan mejor que la organización del administrador en cuestión”. Si importante es la identificación de problemas, que en ocasiones no es una situación sencilla, lo es más el aprovechamiento de oportunidades, por el alcance de esta última.
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Según Peter Drucker (1993) en Managing for Results, existen en las organizaciones un grupo de realidades entre las que se destacan: “Los resultados provienen de explotar las oportunidades no de solucionar los problemas”. “Para obtener resultados, hay que adecuar los recursos a las oportunidades, no a los problemas”. “Concentre los recursos en las oportunidades decisivas” Características de la toma de decisiones No todos los problemas se presentan bajo situaciones similares por lo que en algunos casos las decisiones que se tomen deben ser estructuradas y en otros no estructuradas, veamos en qué consiste cada una y cómo enfocarlas. Sabemos que los problemas pueden ser simples o complejos, de mayor o menor importancia, repetitivos o aislados en su ocurrencia. Teniendo en cuenta lo anterior cuando lo problemas son recurrentes, ya sean simples o complejos, y estamos en condiciones de tener un dominio sobre su composición pudiendo proyectarnos con previsión y certeza, podemos elaborar procedimientos, políticas, reglas que permitan tomar decisiones rápidas y seguras, en este caso estamos ante una toma de decisión estructurada. Por el contrario el problema presentado no es recurrente o su complejidad, importancia o implicación es tal que no permita la utilización de medios elaborados previamente, por lo que se debe hacer un razonamiento específico para el mismo, estamos ante una toma de decisión no estructurada. Elementos a observar para una correcta toma de decisiones Con la toma de decisiones perseguimos un objetivo, luego no se trata de decidir “a toda costa y a todo costo”, como suele expresarse en ocasiones, sino que la decisión permita alcanzar un resultado esperado, y que sea racional y lógico de acuerdo a muestras necesidades. Para ello debemos observar determinados elementos que a continuación expondremos algunos de los más significativos: Todos los problemas o situaciones no son, ni tienen la misma magnitud, urgencia u otra característica, por lo que debemos priorizar la solución de aquellos que en un momento determinado sean adecuados para el momento en que estamos. No tratar de dar solución, por sí mismo, a todos los problemas, sino analizar y realizar una descentralización correcta hacia nuestros colaboradores, así como elevar a nuestros superiores lo que no esté a nuestro alcance resolver, o sea de la incumbencia de otras áreas, aunque ojo con esto
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último y elevar sólo lo estrictamente necesario, ya que de no cumplirse así nuestra imagen ante los superiores se vería afectada, pudiendo dar muestras de incompetencia o acomodamiento. Obtener la mayor cantidad posible de información sobre el problema o dificultad y sobre la oportunidad y el aprovechamiento al máximo de la misma. No autolimitarnos, informarnos por las distintas vías, lo más posible. Actuar sin precipitación, pero con la mayor prontitud posible ya que una pérdida de tiempo innecesaria podría constituir el no aprovechamiento de una oportunidad o la no solución de un problema o dificultad. Nuestro enfoque no debe ser solamente hacia la solución del problema o aprovechamiento de la oportunidad, sino tratar de analizar las consecuencias sobre las partes o el todo en cuestión. La seguridad en la decisión y en los resultados a obtener es fundamental por lo que debemos tener en cuenta los riesgos y el nivel de certeza, o no, que podamos alcanzar.
Proceso de toma de decisiones
El proceso de toma de decisiones consta de varios pasos o etapas que son: • Definición e identificación de los problemas a resolver u oportunidades a aprovechar. • Diagnóstico y análisis de las causas. • Determinación de las alternativas posibles. • Análisis y evaluación de las alternativas encontradas. • Selección de la mejor alternativa.
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• Implementación y ejecución de las acciones a tomar. • Seguimiento y control del proceso
3.2. Criterios de decisión Determinanticos y Probabilísticas. DECISIÓN.- La decisión es la utilización de un proceso “racional” para seleccionar entre varias alternativas la que mejor resultado cuantitativo genere. AMBIENTE DE DECISIÓN Es importante señalar que una buena alternativa dependerá de la calidad y cantidad de los datos utilizados, por ese hecho, un proceso de toma de decisiones se realiza en uno de los siguientes ambientes de decisión: a) Decisiones bajo Incertidumbre.- Esta situación se crea cuando los datos que se introduce a un sistema de decisión son ambiguos o no determinanticos (datos no conocidos), por lo cual no se conoce los resultados o efectos que éstos tendrán. b) Decisiones bajo Riesgo.- Es cuando los datos que se introducen al sistema de decisión se describen mediante distribuciones de probabilidad, por lo cual en general los resultados que éstos tendrán también son descritos en términos de probabilidad.
c) Decisiones bajo Certidumbre.- En este ambiente es característico que los datos que se introducen al sistema de decisión son determinanticos (datos bien conocidos) y existen, por lo que se conoce los resultados o efectos que éstos tendrán. PROCESO DE DECISION En general todo proceso de decisión en modelos matemáticos se caracteriza principalmente por comprender los siguientes pasos: � Definición del problema � Recopilación y consolidación de los datos � Aplicación de los datos en el modelo matemático � Optimización del resultado � Interpretación � Aplicación � Seguimiento y control
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MATRIZ DE RESULTADOS DE UN PROBLEMA DE DECISION Llamada también tabla de consecuencias de un problema de decisión con “m” alternativas de decisión y “n” factores externos denominados estados de naturaleza, está representado de la siguiente manera: ESTADOS DE NATURALEZA S1 S2 Alternativas D1 G11 de D2 G21 Decisión D3 G31 . . . . . . Dm Gm1 NOTACION
S3 G12 G22 G32 . . . Gm2
..... Sn G13 G23 G33 . . . Gm3
..... G1n ..... G2n ..... G3n . . . ..... Gmn
a) Alternativas de decisión Di: D1, D2, D3 ......... Dm b) Estados de Naturaleza Sj: S1, S2, S3 ....... Sn c) Ganancia ó Pérdida Gij: G11…..Gmn (Asociado a una Alternativa de decisión Di y un estado de naturaleza Sj) CRITERIOS DE DECISIÓN "INGENUOS - NAIVE" (Decisión bajo incertidumbre).Son criterios de valoración simples y presentan debilidades en su confiabilidad. a) Criterio Min-Max (Pesimista).- El criterio elige la alternativa de decisión que minimiza la pérdida máxima posible, es decir que asegura perder lo menos posible. b) Criterio Max-Max (Optimista).- Es aquel criterio que elige la alternativa de decisión que maximiza la ganancia máxima posible, es decir que asegura ganar lo más que se pueda. d) Criterio del Punto Medio.- El criterio elige la alternativa de decisión que logra promediar entre la máxima y mínima ganancia.
3.3 Valor de la información perfecta. El valor de la experimentación. Antes de realizar cualquier experimento ,debe determinarse su valor potencial .Se presenta aquí dos métodos complementarios para evaluar su valor potencial. El primer método supone ( de manera poco realista)que la experimentación eliminara toda la incertidumbre sobre la cual es el estado de la naturaleza
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verdadero y después hace un calculo rápido sobre cual seria la mejora en el pago esperado (ignorando el costo el costo de experimentación ).Esta cantidad llamada valor esperado de la información perfecta ,proporciona una cota superior para el valor potencial del experimento. Entonces si esta cota superior es menor que el costo del experimento, este definitivamente debe llevarse acabo. No obstante, si esta cota superior excede el costo de la experimentación, entonces debe usarse el segundo método (mas lento ).Este método calcula la mejora real del pago esperado (ignorando el costo de experimentación )que resultaría al realizar el experimento. La comparación de esta mejora con el costo indica si el experimento debe llevarse a cabo. Valor esperado de la información perfecta. . El valor de la información imperfecta (I)
La información adicional no siempre es perfecta, muchas veces los estudios que se encargan a consultoras especializadas presentan un margen de error. La información adicional obtenida de estos informes mejora la probabilidad obtenida de la ocurrencia de un determinado estado de la naturaleza y ayuda al tomador de decisiones a escoger la mejor opción. La estadística Bayesiana construye un modelo a partir de la información adicional obtenida a partir de diversas fuentes que nos permite calcular la Ganacia Esperada con la Información Adicional (GECIA) y la Ganancia Esperada de la Información adiciona (GEIA). Ejemplo. La Inversión de John Pérez. 1 John Pérez ha heredado $1000. 2 El ha decidido invertir su dinero por un año. 3 Un inversionista le ha sugerido 5 inversiones posibles: * Oro. * Bonos. * Negocio en Desarrollo. * Certificado de Depósito. * Acciones.
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John debe decidir cuanto invertir en cada opción.
Solución
Construir una matriz de ganancias Seleccionar un criterio de decisión Aplicar el criterio en la matriz de ganancia Identificar la decisión óptima Evaluar la solución Matriz de Ganancias
El conjunto de opciones es dominado por la segunda alternativa (desechamos inversión en acciones). Criterio Maximin -Este criterio se basa pensando en el peor de los casos * Una decisión pesimista se toma creyendo que el peor caso ocurrirá. * Una decisión bajo criterio conservador asegura una ganancia mínima posible. Para encontrar una decisión optima: Marcar la mínima ganancia a través de todos lo estados de la naturaleza posibles.
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The MaximinMaximin Criterion El Criterio
Decisiones Gran Alza Oro -100 Bonos 250 Negocio en D. 500 Cert. De Dep. 60
Peq. Alza
100 200 250 60
Minimos
Sin Cambios Peq. Baja
200 150 100 60
300 -100 -200 60
Gran Baja
0 -150 -600 60
Ganancias
-100 -150 -600 60
Criterio Minimax - Este criterio se ajusta a decisiones pesimistas y conservadoras. - La matriz de ganancia es basada en el coste de oportunidad - El tomador de decisiones evalúa en qué pérdidas incurre si no escoge la mejor decisión. Para encontrar la decisión óptima: Para cada estado de la naturaleza Determine la mejor ganancias de todas las decisiones Calcule el costo de oportunidad para cada alternativa de decisión como la diferencia entre su ganancia y la mejor ganancia calculada. El valor de la información perfecta (I) Principio de maximización de ganancias cuando se dispone de información perfecta, se conoce con certeza la ocurrencia de cierto estado de la naturaleza, Ej: Decisión óptima= Max {Xij }
El valor de la información perfecta Principio de máxima ganancias esperada cuando se dispone de información probabilística, en condiciones de riesgo.
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Decisión óptima= Máxima ganancia esperada= Max ( X ij Pj ) j 1
(0.2)(250) + (0.3)(200) + (0.3)(150) + (0.1)(-100) + (0.1)(-150) = 130 El valor esperado monetario en información perfecta (VEMIT) indica la ganancia esperada o valor esperado monetario de aquel individuo que pudiera adaptar su decisión al estado realizado después de ésta realización.
VEMIP
m
Max( X j 1
i
) P( E j )
El valor de la información perfecta VEMIP 500 * 0, 2 250 * 0, 3 200 * 0, 3 300 * 0,1 60 * 0,10 271
En condiciones de incertidumbre la decisión debe producirse antes de la realización del estado de la naturaleza, cuando todo aún es posible. La decisión tomada no puede revisarse y se mantendrá una vez ocurrido ese estado de la naturaleza, sea cual sea. Si el individuo que toma la decisión se rige según el criterio de ganancia esperada o valor esperado monetario, es fácil ver que: VEMIP ≥ Ganancia Esperada Poseer información perfecta aumenta la ganancia esperada en la cantidad [VEMIT-Ganancia Esperada]≥0.Por definición, esta diferencia es la Ganancia Esperada deLa Información Perfecta (GEIP). El valor de la información perfecta.
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La Ganancia Esperada de La Información Perfecta (GEIP), nos indica el máximo valor que el individuo está dispuesto a pagar para librarse de la incertidumbre, comprar información y tomar su decisión con información perfecta de lo que va a suceder. El GEIP = VEMIT-Ganancia Esperada: GEIP
m
Max ( X j 1
m
i
) P ( E j ) Max ( X ij Pj ) j 1
GEIP 271 130 141
En nuestro ejemplo: Si el coste (c) de adquisición de información es inferior al GEIP, el decisor prefiere comprar la decisión y eliminar la incertidumbre , en caso contrario prefiere no comprar y tomar su decisión en incertidumbre. GEIP
m
Max( X j 1
m
i
) P ( E j ) Max ( X ij Pj ) j 1
VEMIP 500 * 0, 2 250 * 0, 3 200 * 0, 3 300 * 0,1 60 * 0,10 271
Si el coste (c) de adquisición de información es inferior al GEIP, el decisor prefiere comprar la decisión y eliminar la incertidumbre , en caso contrario prefiere no comprar y tomar su decisión en incertidumbre. La información adicional no siempre es perfecta, muchas veces los estudios que se encargan a consultoras especializadas presentan un margen de error. La información adicional obtenida de estos informes mejora la probabilidad obtenida de la ocurrencia de un determinado estado de la naturaleza y ayuda al tomador de decisiones a escoger la mejor opción.
3.4 ÁRBOLES DE DECISIÓN CONCEPTO: Un árbol de decisión proporciona una forma para desplegar visualmente el problema y después organizar el trabajo de cálculos. Estos árboles de decisión son útiles cuando debe tomarse una serie de decisiones. El ejemplo prototipo incluye una serie de dos decisiones: 1) ¿Debe llevarse a cabo un sondeo sísmico antes de elegir una acción? 2) ¿Qué acción debe elegirse?
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Los nodos del árbol de decisión se conocen como nodos de decisión y los arcos se llaman ramas. Un nodo de decisión representado por un cuadrado, indica que una decisión necesita tomarse en ese punto del proceso. Un nodo de probabilidad, representado por un círculo, indica que ocurre un evento aleatorio en ese punto.
¿CÓMO DIBUJAR UN ÁRBOL DE DECISIONES? Para comenzar a dibujar un árbol de decisión debemos escribir cuál es la decisión que necesitamos tomar. Dibujaremos un recuadro para representar esto en la parte izquierda de una página grande de papel. Desde este recuadro se deben dibujar líneas hacia la derecha para cada posible solución, y escribir cuál es la solución sobre cada línea. Se debe mantener las líneas lo más apartadas posibles para poder expandir tanto como se pueda el esquema. Al final de cada línea se debe estimar cuál puede ser el resultado. Si este resultado es incierto, se puede dibujar un pequeño círculo. Si el resultado es otra decisión que necesita ser tomada, se debe dibujar otro recuadro. Los recuadros representan decisiones, y los círculos representan resultados inciertos. Se debe escribir la decisión o el causante arriba de los cuadros o círculos. Si se completa la solución al final de la línea, se puede dejar en blanco.
Comenzando por los recuadros de una nueva decisión en el diagrama, dibujar líneas que salgan representando las opciones que podemos seleccionar. Desde los círculos se deben dibujar líneas que representen las posibles consecuencias. Nuevamente se debe hacer una pequeña inscripción sobre las líneas que digan que significan. Seguir realizando esto hasta que tengamos dibujado tantas consecuencias y decisiones como sea posible ver asociadas a la decisión original.
Un ejemplo de árbol de decisión se puede ver en la siguiente figura:
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Una vez que tenemos hecho esto, revisamos el diagrama en árbol. Controlamos cada cuadro y círculo para ver si hay alguna solución o consecuencia que no hayamos considerado. Si hay alguna, la debemos agregar. En algunos casos será necesario dibujar nuevamente todo el árbol si partes de él se ven muy desarregladas o desorganizadas. Ahora ya tendremos un buen entendimiento de las posibles consecuencias de nuestras decisiones. EVALUAR LOS ÁRBOLES Ahora ya estamos en condición de evaluar un árbol de decisiones. Aquí es cuando podemos analizar cuál opción tiene el mayor valor para nosotros. Comencemos por asignar un costo o puntaje a cada posible resultado - cuánto creemos que podría ser el valor para nosotros si estos resultados ocurren. Luego, debemos ver cada uno de los círculos (que representan puntos de incertidumbre) y estimar la probabilidad de cada resultado. Si utilizamos porcentajes, el total debe sumar 100%. Si utilizamos fracciones, estas deberían sumar 1. Si tenemos
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algún tipo de información basada en eventos del pasado, quizás estemos en mejores condiciones de hacer estimaciones más rigurosas sobre las probabilidades. De otra forma, debemos realizar nuestra mejor suposición.
Esto dará un árbol parecido al de la siguiente figura:
CALCULAR LOS VALORES DE LOS ÁRBOLES Una vez que calculamos el valor de cada uno de los resultados, y hemos evaluado la probabilidad de que ocurran las consecuencias inciertas, ya es momento de calcular el valor que nos ayudará a tomar nuestras decisiones. Comenzamos por la derecha del árbol de decisión, y recorremos el mismo hacia la izquierda. Cuando completamos un conjunto de cálculos en un nodo (cuadro de decisión o círculo de incertidumbre), todo lo que necesitamos hacer es anotar el resultado. Podemos ignorar todos los cálculos que llevan a ese resultado.
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CALCULAR EL VALOR DE LOS NODOS DE INCERTIDUMBRE Cuando vayamos a calcular el valor para resultados inciertos (los círculos), debemos hacerlo multiplicando el costo de estos resultados por la probabilidad de que se produzcan. El total para esos nodos del árbol lo constituye la suma de todos estos valores. En este ejemplo, el valor para "Producto Nuevo, Desarrollo Meticuloso" es: 0,4 (probabilidad de un resultado bueno) x $500.000 (costo) $ 200.000 0,4 (probabilidad de un resultado moderado) x $25.000 (costo) $ 10.000 0,2 (probabilidad de un resultado pobre) x $1.000 (costo) $ 200 Total: $ 210.200 Colocamos el valor calculado para cada nodo en un recuadro.
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CALCULAR EL VALOR DE LOS NODOS DE DECISIÓN Cuando evaluamos los nodos de decisión, debemos escribir el costo de la opción sobre cada línea de decisión. Luego, debemos calcular el costo total basado en los valores de los resultados que ya hemos calculado. Esto nos dará un valor que representa el beneficio de tal decisión. Hay que tener en cuenta que la cantidad ya gastada no cuenta en este análisis - estos son costos ya perdidos y (a pesar de los argumentos que pueda tener un contador) no deberían ser imputados a las decisiones. Cuando ya hayamos calculado los beneficios de estas decisiones, deberemos elegir la opción que tiene el beneficio más importante, y tomar a este como la decisión tomada. Este es el valor de este nodo de decisión.
El árbol final con los resultados de los cálculos pueden verse en la siguiente figura:
En este ejemplo, el beneficio que hemos calculado previamente para "Nuevo Producto, Desarrollo Meticuloso" fue $210.000. Luego, estimamos el futuro costo aproximado de esta decisión como $75.000. Esto da un beneficio neto de $135.000.
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El beneficio neto de "Nuevo Producto, Desarrollo Rápido" es $15.700. En esta rama por consiguiente seleccionamos la opción de mayor valor, "Nuevo Producto, Desarrollo Meticuloso", y escribimos ese valor en el nodo de decisión. CUÁL ES EL RESULTADO Realizando este análisis podemos ver que la mejor opción es el desarrollo de un nuevo producto. Es mucho más valiosos para nosotros que tomemos suficiente tiempo para registrar el producto antes que apurarnos a sacarlo rápidamente al mercado. Es preferible el mejorar nuestros productos ya desarrollados que echar a perder un nuevo producto, incluso sabiendo que nos costará menos. Así como todos los métodos ya vistos para la toma de decisiones, y como ya escribimos en la edición pasada, aunque contemos con todas las herramientas que existen para realizar decisiones adecuadas, estas sólo servirán de ayuda a nuestra inteligencia y sentido común - ellos son nuestros mejores activos a la hora de realizar esta tarea.
3.5 TEORIA DE UTILIDAD Hasta ahora la regla de decisión de Baye, se ha supuesto que el pago esperado en términos monetarios es la medida adecuada de las consecuencias de tomar una acción. Sin embargo, en muchas situaciones esta suposición no es apropiada. Por ejemplo, supóngase que se ofrece a un individuo la oportunidad de 1) Aceptar un 50% de posibilidades de ganar $1000,000 o nada 2) 2) recibir $40,000 con seguridad. Muchas personas preferirían los $40,000 aun cuando el pago esperado con 50% de posibilidades de ganar $100,000 es $50,000. Una compañía no siempre estará dispuesta a invertir una gran suma de dinero en un nuevo producto, aunque la ganancia esperada sea sustanciosa, si existe un riesgo de perder la inversión y quedar en banca rota. Las personas compran seguros aunque sea mala inversión desde el punto de vista del pago esperado. Existe una manera de transformar los valores monetarios a una escala apropiada que reflejen las preferencias del tomador de decisiones. Esta escala se llama función de utilidad del dinero. La figura 20.3 muestra una función de utilidad típica u(M) para la cantidad de dinero M. La figura indica que un individuo que tiene esta función de utilidad valora la obtención de $10,000 y valoraría la obtención de $100,000 en el doble que $30,000. Esto refleja el hecho de que las necesidades de más alta prioridad de una persona quedarían satisfechas con los primeros $10,000. Este hecho de
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que la dependiente de la función disminuya con forme aumenta la cantidad de dinero se conoce como tener una utilidad marginal decreciente para el dinero. Sin embargo no todos los individuos tienen una utilidad marginal decreciente para el dinero. Algunas personas buscan el riesgo en lugar de sentir aversión al riesgo y van por la vida buscando el premio gordo. La pendiente de su función de utilidad aumenta con forme la cantidad de dinero crece, de manera que tiene una utilidad marginal creciente para el dinero. El hecho de que distintas personas tiene funciones de utilidad diferentes para el dinero tiene una aplicación importante para el tomador de decisiones cuando se enfrenta la incertidumbre. Cuando una función de utilidad para el dinero se incorpora en un enfoque de análisis de decisiones para un problema, esta función de utilidad debe construirse de manera que se ajuste a las preferencias y valores del tomador de decisiones. (El tomador de decisiones puede ser un solo individuo o bien un grupo de personas)
u(M)
4
3
2
1
0 $10,000
$30,000
$60,000
$100,000
M
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Figura 20.3 una función de utilidad para el dinero típica donde u(M) es la utilidad de obtener una cantidad de dinero M.
La clave para considerar que la función de utilidad para el dinero se ajusta al tomador de decisiones es la siguiente propiedad fundamental de la teoría de utilidad. Bajo las suposiciones de la teoría de utilidad, la función de utilidad para el dinero de un tomador de decisiones tiene la propiedad de que éste se muestra indiferente ante dos cursos de acción alternativos si los dos tienen la misma utilidad esperada. Con el fin de ilustrar, suponga que el tomador de decisiones tiene la función de utilidad mostrada en la figura 20.3. Suponga además que se ofrece a este tomador de decisiones una oportunidad de tener $100,000 (utilidad=4) con probabilidad p o nada (utilidad=0) con probabilidad 1-p así, E(utilidad)=4p
para esta oferta.
Por lo tanto el tomador de decisiones es indiferente en cada uno de los siguientes tres pares de alternativas: 1. La oferta con p=0.25[E(utilidad)=1] o definitivamente obtener $10,000 (utilidad=1) 2. La oferta con p=0.5 [E(utilidad)=2] o definitivamente obtener $30,000 (utilidad=2) 3. La oferta con p=0.75[E(utilidad)=3] o definitivamente obtener $60,000 (utilidad=3)
Este ejemplo ilustra también como se puede construir la función de utilidad parta el dinero del tomador de decisiones desde el principio. Se haría al tomador de decisiones la misma oferta hipotética de obtener una gran suma de dinero (por ejemplo,$100,000) con probabilidad p o nada. Después, para cada una de las pequeñas cantidades ($10,000, $30,000, $60,000), se pediría al tomador de decisiones que eligiera un valor de p que lo volviera indiferente ante la oferta y la obtención definitiva de esa cantidad de dinero. La escala de la función de utilidad (como utilidad=1 para $10,000) es irrelevante. Importa solo en cuanto a los valores relativos de las utilidades pertinentes. Todas
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las utilidades se pueden multiplicar por cualquier constante positiva sin afectar el curso alternativo de acción que tendrá la utilidad esperada más grande. Ahora se puede resumir el papel básico de las funciones de utilidad en un análisis de decisiones. Cuando se usa la función de utilidad para el dinero, del tomador de decisiones, para medir el valor relativo de los distintos resultados monetarios posibles, la regla de la decisión de Bayes sustituye los pagos monetarios por las utilidades correspondientes. Por lo tanto, la acción (o la serie de acciones) optima es la que maximiza la utilidad esperada. Solo se estudiaron aquí las funciones de utilidad para el dinero. No obstante debe mencionarse que en ocasiones pueden construirse funciones de utilidad cuando algunas o todas las consecuencias de los diferentes cursos de acción no son monetarios. Esto no necesariamente es sencillo, ya que puede ser necesario hacer juicios de valor sobre que tan deseable, relativamente, son algunas consecuencias más o menos intangibles. De cualquier manera, bajo esas circunstancias, es importante incorporar esos juicios de valor en el proceso de decisión.
APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE UTILIDAD AL EJEMPLO PROTOTIPO. La Goferbroke Co. estaba operando con poco capital, por lo que una pérdida de $100,000 sería bastante seria. El dueño (mayoritario) de la compañía adquirido una deuda grande para seguir operando. El peor escenario sería conseguir $300,000 para un sondeo sísmico y después todavía perder $100,000 en la perforación cuando no hay petróleo. Esta situación no llevara a la compañía a la bancarrota por ahora, pero la dejaría definitivamente en una posición financiera precaria. Por otro lado encontrar petróleo es una perspectiva interesante, ya que una ganancia de $700,000 daría, por fin, a la compañía una base financiera solida. Para aplicar la función de utilidad para el dinero del dueño (el tomador de decisiones) al problema descrito es necesario identificar las utilidades para todos los pagos posibles. En la tabla 20.8 se dan, en miles de dólares, estos pagos posibles y las utilidades correspondientes. Ahora se estudiara la manera en que se obtuvieron estas utilidades.
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El punto de inicio adecuado para construir la función de utilidad es considerar el peor y el mejor de los escenarios y después hacer la siguiente pregunta. Suponga que solo tiene las siguientes dos alternativas. La alternativa 1 es no hacer nada (con pago y utilidad=0) la alternativa 2 es tener una probabilidad p para un pago de 700 y una probabilidad 1-p para un pago de -130(pérdida de 130). ¿Qué valor de p haría que usted fuera indiferente entre estas dos alternativas? La elección del tomador de decisiones
p
1 . 5
Si se continua denotando por u(M) a la función de utilidad para un pago monetario de M, esa elección de p implica que 4 1 u (130) u (700) 0 5 5
(Utilidad de la alternativa 1)
Los valores de u(-130) y de u(700) pueden establecerse arbitrariamente (con la salvedad de que el primero sea negativo y el segundo positivo) para establecer la escala de la función de utilidad. Si se selecciona u(-130)= -150, esta ecuación lleva entonces a u(700)=600. Para identificar u(-100), se selecciona un valor de p que haga que el tomador de decisiones sea indiferente entre un pago de -135 con probabilidad Po definitivamente incurrir en un pago de -100. La elección es p=0.7, así u(100) pu(130) 0.7(150) 105
Para obtener u(90), se selecciona un valor de p que haga que el tomador de decisiones sea indiferente entre un pago de 700 con probabilidad p o la obtención definitiva de un pago de 90. El valor elegido de p =0.15, de manera que u(90) pu(700) 0.15(600) 90
En este punto se dibujo una curva suavizada por los puntos u(-130),u(-100),u(90) y u(700) para obtener la función de utilidad para el dinero del tomador de decisiones que se muestra en la figura 20.4. los valores en esta curva en M=60 y M=670 proporcionan las utilidades correspondientes u(60)=60 y u(70)=580, los que completan la lista de utilidades dadas en la última columna de la tabla 20.., Por otro lado la línea punteada dibuja a 45 o en la figura 20.4 muestra el valor monetario u(M) para la cantidad de dinero M. esta línea punteada proporciona los valores de los pagos usados exclusivamente en las secciones anteriores: obsérvese que u(M) es en esencia igual a M para valores más pequeños (positivos o negativos) de M, y después se separa gradualmente para los valores grandes de
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M. Esto es característico cuando un individuo tiene una versión moderada de riesgo. Por su naturaleza, el dueño de la Goferbroke Co. Se inclina a buscar el riesgo, pero la circunstancia financiera difícil de su compañía que está muy preocupado para tomar esta decisión. Dada la función de utilidad para el dinero del dueño, el proceso de toma de decisiones excepto que ahora se sustituyen las utilidades por los pagos monetarios. Así, el árbol de decisión final, mostrado en la figura 20.5.
Figura 20.4 la función de utilidad para el dinero del dueño de la Goferbroke Co.
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Tabla 20.8 utilidades para la Goferbroke co. Pago monetario Utilidad -130 -150 -100 -105 60 60 90 90 670 580 700 600
Pago
utilidad
670
580
-130
-150
60
60
670
580
-130
-150
60
60
700
600
-100
-105
90
90
Petróleo -45.7 Perforar (S=0) desfavorable
f Seco
60 c
Vender Petróleo
Realizar el sondeo sísmico 106.5
106.5 b
Perforar (0.30)
215
Favorable (s=1)
d
215 g Seco
Vender
a
Petróleo 71.25
(0.70)
No realizar el sondeo sísmico
Perfora 90 r e Vender
h Seco
Figura 20.5 el arvol de decisiones final para el problema de la Goferbroke Co usando la función de utilidad para el dinero del dueño con el fin de maximizar la utilidad esperada
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El dueño actual merece un reconocimiento por incorporar la teoría de la utilidad al enfoque de análisis de decisión de su problema. La teoría de utilidad ayuda a proporcionar un enfoque racional a la toma de decisiones frente a la incertidumbre. Sin embargo muchos tomadores de decisiones no se sienten suficientemente augusto con la noción algo abstracta de la utilidad o trabajando con probabilidades para construir la función de utilidad como para querer usar este enfoque. En consecuencia, la teoría de utilidad todavía no tiene una aplicación muy amplia en la práctica.
3.6 Decisiones secuenciales
Normalmente, cando se toma una decisión, está una vez tomada condicionara las decisiones a tomar posteriormente. De alguna manera se dice que tomar decisiones es relativamente sencillo; los problemas se presentan una vez tomadas, El decisor se encuentra a una secuencia de decisiones.
He aquí cómo se intentan evaluar las decisiones cuando se considera la influencia de las tomadas sobre las que sucesivamente se tomaran, este tipo de decisiones se resuelven a través de los arboles de decisión.
Ejemplo:
1. Supongamos que un capitán de barco tiene dos alternativas al comenzar la nueva temporada: conservar el barco viejo o venderlo para comprar uno nuevo. Que la temporada sea buena tiene una probabilidad del 0.7 o mala 0.3. el flujo del efectivo es señalado en el árbol.
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Acciones posibles
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Sucesos posibles
Resultados
Buena pesca (0.7)
90.000
Valor esperado
resultados
63.000 60.000
Barco nuevo
-10.000
-3.000
Mala pesca (0.3)
Buena pesca (0.7)
80.000
56.000 62.000*
Mismo barco Mala pesca (0.3)
20.000
6.000
El árbol recoge cada una de las alternativas que se le presentan al decisor representadas por líneas (ramas) y nudos de decisión y de azar o aleatorios. Los primeros se representan por cuadrados y los segundos por círculos.
En este caso la mejor opción sería quedarse con el mismo barco puesto que el valor operado es mayor.
Decisiones secuenciales y arboles de decisión. Problema de decisión en el que se consideran una secuencia de decisiones, es decir, decisiones posteriores dependientes de una decisión inicial. El análisis del problema de decisión bajo el enfoque secuencial suele ser preferible al enfoque estático, dado que es normal que una decisión tomada en el momento inicial condicione decisiones en los momentos posteriores de tiempo. En este caso, se sintetiza la representación del problema a través de un árbol de decisión dado que su representación en una matriz no es viable. Un árbol de decisión es un grafico o dibujo que explica las secuencias de las decisiones o alternativas a tomar y los diversos estados de la naturaleza que se pueden presentar o acontecimientos que puedan suceder.
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Es una forma de abordar el problema de decisión cuando hay que adoptar una secuencia de decisiones excluyentes. Los elementos fundamentales del problema de decisiones se representan en un árbol de decisión de la siguiente forma: □Puntos o nudos de decisión entre alternativas o estrategias ○Nudos aleatorios: ocurrencia de los posibles estados de la naturaleza ∆ Resultados esperados
El primer nudo: siempre es decisional: representa la decisión inicial que ha de tomar el decisor. Se supone que la elección de una alternativa supone el abandono del resto. El resultado de dicha decisión depende a su vez de un suceso incierto como es el estado de la naturaleza que se produzca. Una vez producido un posible estado de la naturaleza, es posible elegir de nuevo entre distintas alternativas, siendo sus resultados dependientes del estado de la naturaleza que se produzca. La solución de un problema de decisión secuencial, consiste en buscar la secuencia de decisiones óptimas a adoptar. Vamos a resolverlo en un contexto de riesgo. La técnica de resolución consiste en ir determinando los valores monetarios esperados en cada punto de decisión, haciéndolo de derecha a izquierda, empezando por los resultados finales. Distinguimos entre el valor de los nudos aleatorios (que son de los que parte los estados de la naturaleza) es la media ponderada de los resultados posibles. El valor de los nudos divisionales se obtiene tomando la esperanza matematic correspondiente a la mejor decisión posible.
3.7 ANALISIS DE SENSIBILIDAD
Es importante llevar a cabo un análisis de sensibilidad para investigar el efecto que tendría sobre la solución óptima proporcionada por el método simplex el hecho de que los parámetros tomaran otros valores posibles.
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Objetivos fundamentales: Identificar parámetros sensibles (parámetros cuyos valores no pueden cambiar sin que cambie la solución óptima) Intervalo permisible para permanecer óptimo. Para ciertos parámetros que no están clasificados como sensibles, puede resultar de gran utilidad determinar el intervalo de valores del parámetro para el que la solución óptima no cambia. La información de este tipo: Identifica los parámetros más importantes. Con esto se puede poner un cuidado especial al hacer sus estimaciones y al seleccionar una solución que tenga un buen desempeño para la mayoría de los valores sensibles. Identifica los parámetros que será necesario controlar de cerca cuando el estudio se lleve a la práctica. Si se descubre que el valor real de un parámetro se encuentra fuera de su intervalo de valores permisibles, ésta es una señal de que es necesario cambiar de solución. Procedimiento para el análisis de sensibilidad 1. Revisión del modelo: Se hacen los cambios deseados en el modelo que se va a investigar. 2. Revisión de la tabla simplex final: Se emplea la idea fundamental para determinar los cambios que resultan en la tabla simplex final. 3. Conversión a la forma apropiada: Se convierte esta tabla en la forma apropiada para identificar y evaluar la solución básica actual aplicando (según sea necesario) eliminación de Gauss. 4. Prueba de factibilidad: Se prueba la factibilidad de esta solución verificando que todas las variables básicas sigan teniendo valores no negativos en la columna del lado derecho. 5. Prueba de optimalidad: Se verifica si esta solución es óptima (si es factible), comprobando que todos los coeficientes de las variables no básicas en el renglón 0 sigan siendo no negativos. 6. Reoptimización: Si esta solución no pasa cualquiera de las pruebas, se puede obtener (si se desea) la nueva solución óptima partiendo de la tabla
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actual como tabla simplex inicial (haciendo las conversiones necesarias) para el método símplex o el símplex dual.
3.8 Uso de programas de computación. ANÁLISIS DE DECISIONES PROGRAMAS DE COMPUTACIÓN Adicional al programa SOLVER, incluido en EXCEL-2000 de Microsoft (cuya explicación didáctica del funcionamiento del programa Solver (445 kb), se incluye en este documento que puede ser bajado por Usted), se incorporan otros programas que operan bajo sistema WIndows 98/ME/2000/XP, debiendo disponer de una computadora actualizada con procesador Pentium II y superiores, memoria mínima de 256 kb y capacidad de disco de 50 MB y los cuales pueden ser bajados a continuación:. A.1) El programa WinQSB (3.9 Mb), cuya propiedad intelectual es del Dr. YihLong Chang y es aplicable a todos los problemas de Investigación de Operaciones. Para conocer sus usos y aplicaciones, se incorpora el MANUAL DE USO del WINQSB. A.2) El programa PrgLin, cuya propiedad es de la Universidad de Lisboa (Portugal), el cual se aplica para soluciones gráficas de problemas de dos dimensiones. A.3) El programa InvOp (361 kb), desarrollado por la Universidad del Cuyo en Argentina, se aplica para la solución de problemas relacionados con transporte y redes. A.3) El programa Lingo, propiedad de Lindo Systems Inc (USA), que dado su gran tamaño (18.9 Mb), se recomienda que Usted lo recupere directamente de la pagina Web del propietario de dicha tecnologia http:// www.lindo.com
La opción Nuevo Problema (New Problem) muestra una ventana con los siguientes campos: A continuación se describirán los diferentes tipos de problemas sobre análisis de decisiones disponibles en WINQSB a través de la ventana Especificaciones del problema (Problem Specification): * Análisis bayesiano (Bayesian Analysis) * Análisis de tablas de pago (Payoff Table Analysis)
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* Juegos de suma cero para dos jugadores (Two-Player, Zeros-Sum Game) * Análisis de árboles de decisión (Decision Tree Analysis) A continuación explicaremos con un ejemplo algunas de estas opciones: ANÁLISIS BAYESIANO Mediante un ejemplo demostraremos como se introducen los datos para la creación de una aplicación de análisis bayesiano. Ejemplo : Se tienen cinco urnas con 10 canicas cada una, de colores azul, negra y rojo, según se muestra en la tabla: Canicas Urna 1 Urna 2 Urna 3 Urna 4 Urna 5 Azul 1 6 8 1 0 Negra 6 2 1 2 6 Rojo 3 2 1 7 4Si se elige una urna en forma aleatoria y se extrae una canica y esta resulta ser roja, cuál es la probabilidad de que provenga de la urna 3. En la ventana Especificaciones del problema (Problem Specification) procedemos a ingresar los datos básicos para la solución del problema: En el apartado Número de estados naturales (Number of the States of Nature) colocaremos la cantidad de urnas existentes, mientras que en el campo Número de resultados (Number of Survey Outcomes) escribiremos los tipos de canicas (tres en total: azul, negra y roja). Al pulsar OK aparecerá una tabla en la cual podremos ingresar las probabilidades individuales, tanto para las urnas como las canicas que tienen dentro. Para mejorar el aspecto de la tabla y evitar posibles equivocaciones en la interpretación de los datos, cambiaremos los campos de la tabla por los trabajados en el ejercicio. Empezaremos modificando los States por los nombre de las urnas correspondientes, para lo cual, en el menú Editar (Edit) elegiremos la opción Nombres de los estados naturales (State of Nature Name). La ventana con los nombres modificados debe quedar así: Para cambiar los Indicators por los correspondientes colores de las canicas haremos el mismo procedimiento solo que esta vez, seleccionaremos la opción Nombre del indicador (Survey Outcomes/Indicator Name) Al pulsar OK regresaremos a la ventana inicial, la cual debería quedar como la siguiente: Para poder resolver el problema deberemos pasar primero los datos del ejercicio a las probabilidades:
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* De elegir una urna de forma aleatoria (probabilidad anterior) * De seleccionar una canica dentro de la urna La tabla resumen quedaría: Canicas Urna 1 Urna 2 Urna 3 Urna 4 Urna 5 Probabilidad Anterior 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 Azul 0,1 0,6 0,8 0,1 0,0 Negra 0,6 0,2 0,1 0,2 0,6 Roja 0,3 0,2 0,1 0,7 0,4 Total probabilidad canicas 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0Ingresemos ahora los datos a la tabla del WINQSB: Para resolver el problema simplemente pulsamos en Resolver el problema (Solve the Problem) en el menú Resolver y analizar (Solve and Analyze). La tabla generada muestra los resultados de las probabilidades condicionales. En este caso la probabilidad de que al haber seleccionado la urna 3 se saque una balota roja es de 5,88%. Para activar el modo gráfico pulsamos sobre Mostrar gráfico del árbol de decisión (Show Decision Tree Graph). Gráficamente tenemos: ÁRBOL DE DECISIÓN Con el siguiente ejemplo expondremos un caso para la construcción y análisis de árboles de decisiones. Ejemplo 8-2: Se lanzan tres monedas al tiempo. El jugador gana si las tres monedas caen cara, pierde en caso de que se de un suceso contrario. El jugador invierte por jugada $100 y si gana recibe $5.000. ¿Es conveniente participar en el juego? Para solucionar el problema debemos tener en cuenta un diagrama de árbol que represente los sucesos: Primera Moneda Segunda Moneda Tercera Moneda WINQSB maneja dos tipos de nodos: Nodos de decisión (decision node) y Nodos de oportunidad (chance node), Los segundos trabajan con condiciones de incertidumbre, mientras que los primeros son dispuestos por el usuario. En este caso, los eventos están dispuestos por nodos tipo oportunidad sujetos a una probabilidad del 0.50 de que ocurra cada uno de forma independiente (de que salga cara o sello).
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En la ventana Especificaciones del problema (Problem Specification) digitamos la cantidad de nodos que componen el árbol: Los datos introducidos en la plantilla deberán quedar como sigue: La primera columna indica el consecutivo de los eventos. La segunda columna corresponde al nombre del nodo (se indico con la secuencia de sucesos para facilitar su identificación, por ejemplo, el nodo CCC significa que los nodos anteriores equivalen a dos caras consecutivas). Para indicar el tipo de nodo solamente marcamos con la letra “C” para un nodo tipo oportunidad. Para mostrar la secuencia en la columna Nodo siguiente inmediato (Inmediate Following Node). Los nodos terminales se identifican claramente por no tener sucesores. Las ganancias y pérdidas ocurren con el resultado de la última moneda (nodos terminales). Para el nodo CCC (sucede cuando las tres caras caen) corresponde a un ingreso de $5.000 (el jugador gana). Los demás nodos terminales producen una perdida de $100. La probabilidad de cada evento es del 0.50, indicado en la última columna (excepto para el nodo inicio). Podremos ver un modelo gráfico del árbol pulsando sobre la opción Dibujar árbol de decisión (Draw Decision Tree) en el menú Resolver y analizar (Solve and Analyze). El árbol completo quedaría: Al pulsar sobre en Resolver el problema (Solve the Problem) tenemos un cuadro resumen con los resultados del análisis: El ingreso esperado (Value Expected) se muestra al final, equivalente a un valor de $537,50. El cálculo se realiza así: E(X) = $5.000 (0.125) - $100 (0.125) x 7 = 625,0 - 87,5 = 537,5 La respuesta al problema es que según la esperanza positiva, es conveniente participar en el juego ya que la ganancia esperada supera a la inversión en el tiempo. JUEGOS DE SUMA CERO La teoría de juegos se ocupa de las situaciones de competencia en las que los competidores deben adoptar decisiones contando con la disponibilidad de unas estrategias cada uno de ellos, las que por cierto son conocidas por ambos. Cuando en un juego las ganancias de un competidor son pérdidas para el otro, se dice que el juego es de suma cero, cual es el caso que nos ocupa.
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Si las estrategias son tales que los intereses de los dos competidores se centran en un mismo valor de la matriz de pagos, el juego tendrá un “punto de silla” o equilibrio y esa cantidad constituye el valor del juego. Se dice entonces que los competidores usan estrategias puras, lo que significa que cada competidor tendrá una estrategia que usará el 100% del tiempo. En cambio cuando no se da esta situación los competidores distribuyen su tiempo de juego entre varias estrategias; se habla así de estrategias mixtas. A continuación se plantean estos dos casos y la forma de introducir los datos en el WINQSB y hallar la solución. Supóngase dos competidores bajo la situación que se plantea en la matriz de pagos siguiente: El competidor ubicado a la izquierda de la matriz es el maximizante y el de la parte superior es el minimizante. Introduzcamos los datos en el WINQSB. La solución: De la tabla solución podemos observar que la estrategia 1-1 (estrategia 1 del competidor 1) es dominada por la estrategia 1-2 y la 2-1 es dominada por la 2-2, con lo que sólo queda un valor de la matriz (80). Así pues, se alcanza un punto de silla con lo que la estrategia pura para el jugador 1 es la 1-2 y para el competidor 2 es la 2-2. El valor del juego es 80, a favor del competidor 1.
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Conclusiones. El análisis de decisiones se ha convertido en una técnica importante para la toma de decisiones bajo incertidumbre: Se caracteriza por la enumeración de todos los recursos de acción disponibles, identificando los pagos para los resultados posibles y cuantificando sus probabilidades subjetivas para todos los eventos aleatorios posibles. Cuando se cuentan con estos datos, el análisis de decisión se convierte en una herramienta poderosa para determinar un curso de acción optimo. Una poción que se puede incorporar rápidamente al análisis es llevar a cabo una experimentación para obtener mejores estimaciones de las probabilidades de todos los estados posibles de la naturaleza.Los arboles de decisión son una herramienta visual útil para analizar esta opción o cualquier serie de decisiones. La teoría de utilidad proporciona una manera de incorporar al análisis la actitud del tomador de decisiones frente al riesgo.
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Bibliografía
Introducción a la investigación de operaciones Frederick S.Hillier,Lieberman McGraw-Hill. Sexta edition. Pag.864-883. Fundamentos de investigación de operaciones www.uhu.es/eyda.marin/apuntes/admon/tema6_III.ppt Teoría de decisiones. coachbolivia.com/doc_pdf/inv_operaciones/inv_op_tema2.
Cómo crear y hacer funcionar una empresa: Conceptos e instrumentos Página 107 María de los Ángeles Gil Estallo - 2007 - 671 páginas http://www.gestiopolis.com/administracion-estrategia/estrategia/toma-dedecisiones-tecnica-del-arbol.htm