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TRíANGULO

 En todo triángulo se cumple que a mayor lado se le opone mayor ángulo y viceversa

Dados tres puntos no coloniales A, B y C se llama triángulo a la reunión de los segmentos AB, BC y CA . Notación: DABC := AB �BC �CA







Región interior

I

b-c < a < b+c

a y



c

x

E

F

b

A

 TEOREMA DE EXISTENCIA: En todo triángulo la longitud de uno de sus lados está comprendida entre la diferencia y la suma de las longitudes de los otros dos lados.

C

z

CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS B

1. SEGÚN LA MEDIDA DE SUS LADOS:  TRIÁNGULO EQUILÁTERO: Sus tres lados son de igual longitud.

Elementos:  Vértices: A, B, C  Lados: AB, BC, CA Sus medidas son: AB=c, BC=a, AC=b  Ángulos interiores: ABC, BCA, CAB Sus medidas respectivas son: , ,   Ángulos exteriores: Sus medidas son: x, y, z  



a>c�a>q

Región exterior

Región exterior Relativa a

a

c

B 

A

a

a





C

a

En un triángulo equilátero: a = 60º  TRIÁNGULO ISÓSCELES: Dos de sus lados tienen igual longitud.

Perímetro: P= a + b + c a+b+c Semiperímetro: p = 2

B

 Puntos: interior(I), exterior(E), aferente(F) PROPIEDADES FUNDAMENTALES A

 En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores, es 180º:

a

a





C

Donde: AB y BC : lados laterales AC : base a < 90º

+ +  = 180º  En todo triángulo, la suma de las medidas de tres ángulos exteriores, es 360º

TRIÁNGULO ESCALENO: No tiene lados de igual longitud



x + y + z = 360º

B

 En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a dicho ángulo.



c

a

 A

x = +

 b

C

Sus ángulos interiores tienen diferente medida

3

2. SEGÚN LA MEDIDA DE SUS ÁNGULOS INTERIORES: 

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS CUYOS ÁNGULOS INTERIORES MIDEN: 45º, 30º, 60º, 37º y 53º

TRIÁNGULO RECTÁNGULO: Uno de sus ángulos interiores es recto. C 

45º

a

b

K 

A

30º K

K

Dónde: AB y AC : catetos BC : Hipotenusa

53º

5K

3K

Propiedad: a + b = 90º

37º

a 2 = b2 + c 2 

4K

PROPIEDADES

TRIÁNGULO ACUTÁNGULO: Sus ángulos interiores son agudos.

c





a

b

x = ++

C

b< 90º ,

q< 90º

m

n

B

a

c

x

 A

a > 90º ,

 +  = x + 180º

 b

b< 90º ,

C



B m

OBSERVACION: Sea el triángulo ABC tal que: BC = a, AB = c y AC = b

 

B

x n

x=

 

m+ n 2

C

A

a

c  A

b



C

Si a > b, a > c, y:

II) a < b + c

2

 

m

2 DABC es I) a 2 > b 2 + c 2



q< 90º

Propiedad: a2 > b2 + c 2

2

m+n = a+b

b

a

TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO: Uno de sus ángulos interiores es obtuso. 

Obtusángulo

n x

 DABC es Acutángulo

III) a2 = b 2 + c 2

n

m+n = a+b

Propiedad: a2 < b2 + c 2 

m C



A

a

b



x

A



a < 90º ,

2.

B

B 

2K

K 45º

B

c

60º

K

DABC es Rectángulo

3

x=

m+ n 2

C

m a + b = m+ n

b

a

Altura relativa al lado AB

Altura relativa al lado BC

G

n H Prolongación de AB

B

= 

BISECTRIZ: Es la bisectriz de cada ángulo del triángulo.

C

B



x

 



A

A



Bisectriz exterior

  

B

Un triángulo tiene tres alturas correspondientes a cada lado.



A

A

Bisectriz interior

  

C

� A x = 90º 4

E

B

D

C

AE : Bisectriz exterior del triángulo ABC relativa al lado AC , siendo AC>AB.

x

MEDIATRIZ: Es la mediatriz de cada lado 

2

A

Mediatriz relativa al lado BC

x = 120º -  x



2

x = 120º -2

MEDIANA: Es el segmento de recta que tiene por extremos un vértice y el punto medio del lado opuesto.

B

C

CEVIANA: Es aquel segmento de recta que tiene por extremos un vértice y un punto cualquiera del lado opuesto o de su prolongación.

LÍNEAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

A

M

B

A

Ceviana exterior

Ceviana interior

Mediana relativa al lado BC

M

C E

Un triángulo tiene tres medianas correspondientes a cada lado. ALTURA: Es el segmento trazado desde un vértice, perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

3

B

D

C

El incentro (I) equidista de los lados del triángulo PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO BARICENTRO: La intersección de las tres medianas es un punto interior al triangulo llamado baricentro.

El incentro (I) es un punto interior al triángulo.



A

Baricentro

I

2a c

2b

B

G

b

a

r



M



EXCENTRO:   Dos bisectrices exteriores y una bisectriz interior se intersecan en un punto llamado Excentro.

2c

C

También se le conoce como centroide, centro de gravedad o gravicentro. El baricentro G, determina en la mediana, dos segmentos cuyas medidas están en la relación de dos a uno. El baricentro G, es un punto interior del triángulo. Todo triángulo tiene un solo baricentro.

B

E1 r1

A

ORTOCENTRO: La intersección de las alturas o de sus prolongaciones es un punto llamado Ortocentro.  El ortocentro “O” en un triángulo acutángulo se encuentra en el interior del triangulo  El ortocentro “O” en un triángulo obtusángulo se encuentra en el exterior del triángulo  El ortocentro “O” en un triángulo rectángulo es el vértice del ángulo recto.

C

E1 es el excentro del triángulo relativo al lado BC . E1 es el centro de la circunferencia exinscrita del

triángulo relativa al lado BC . En todo triángulo se pueden encontrar tres circunferencias ex-inscritas.

r2

B

Ortocentro

gE 2

B

r1 E1g

A

C

A

B

C

r3 A

gE 3

C

NOTA:  Un vértice, el incentro(I) y el excentro(E) están contenidos en una línea recta  El triángulo E1E 2E 3 es conocido como triángulo exincentral . CIRCUNCENTRO: Las tres mediatrices de un triángulo se interceptan en un punto llamado circuncentro que es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.  El circuncentro “L” en un triángulo acutángulo se encuentra en el interior del triángulo  El circuncentro “L” en un triángulo obtusángulo se encuentra en el exterior del triangulo

Ortocentro

A

Ortocentro B

INCENTRO: El punto de intersección de las bisectrices interiores se llama incentro (I) que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. INRADIO (r): Radio de la circunferencia inscrita

3

El circuncentro “L” en un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa R: circunradio



PROPIEDADES: En todo triángulo la distancia del ortocentro al baricentro es dos veces la distancia del baricentro al circuncentro:

B R

g

L

OG = 2(GL) O

k L

G

2k

C

A

La distancia del ortocentro a un vértice es el doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto del vértice mencionado.

B

A

OB = 2(LM)

g

R

L

También se cumple:

C

BH = 3(GN)

En un triángulo rectángulo el ortocentro, baricentro y el circuncetro se encuentran contenidas en la mediana relativa a la hipotenusa, que esta a la vez contenida en la recta de Euler

B

A

g L

R

Ortocentro

C

R

B 2x

Baricentro Circuncentro El circuncentro equidista de los vértices del triángulo PROPIEDAD: En la figura si L es circuncentro , se cumple:

A

C

PROPIEDADES:  La medida del ángulo mayor formado por dos bisectrices interiores es igual a 90º más la mitad de la medida del tercer ángulo interior.

B

B Recta de Euler

  

x = 90 º +

C

 La medida del ángulo formado por dos bisectrices exteriores es igual a 90º menos la mitad de la medida del tercer ángulo interior.

G L

B

 

N

 2

 

x

A

O

H

C

ÁNGULOS FORMADOS POR LAS LINEAS NOTABLES

RECTA DE EULER Es la recta que contiene a los Puntos: ortocentro, baricentro y circuncentro

A

3x

M

NOTA:  El baricentro (G) se encuentra entre el ortocentro (O) y el circuncentro (L).  Todo triángulo, excepto el triángulo equilatero, tienen una unica recta de Euler.  El triangulo equilatero tiene infinitas rectas de euler.

L 

x

3x

A

B

2

g

M

x

C

 3

A

 C



x = 90 º -



2  La media del ángulo formado por una bisectriz interior y una exterior es igual a la mitad de la medida del tercer ángulo interior.

 La longitud de la mediana respecto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa. B

B

BM =



x

 



A

x=



 2

A

 La altura respecto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo determina tres triángulos rectángulos.

 La medida del Ángulo formado por una bisectriz interior y la altura trazadas desde un mismo vértice es igual a la semi diferencia de la medida de los otros dos ángulos interiores BI : Bisectriz BH : Altura

B

 

B

A



x=



A

I

H

- 2

 H

C

x = -



 H

C

M

A

H

C

En el triángulo isósceles de la figura se cumple:

ii) BM : Mediana BI : Bisectriz B

x = a+b

x=

x A



 I M

x a

- 2

C

PROPIEDADES EN EL TRIANGULO EQUILÁTERO. En un triángulo equilátero los puntos notables coinciden en un único punto y las líneas notables son coincidentes.

B

 ortocentro  incentro  baricentro  circuncentro 

x=y x y 

 H

I

M

b P

iii) BM : Mediana BI : Bisectriz BH : Altura

A

C

�Bisectriz � �Altura �Mediana �Mediatriz � �Ceviana

B

A



PROPIEDADES EN EL TRIANGULO ISÓSCELES En un triángulo isósceles al trazar la altura relativa a la base, se tiene que la bisectriz mediana y bisectriz son coincidentes. B

 La medida del ángulo formado por las líneas notables en un triangulo rectángulo es: i) BM : Mediana BH : Altura

x

C

M

C

x

AC 2

C

3

La suma de las distancias de un punto interior a un triángulo equilátero hacia sus lados es igual a cualquiera de las alturas.

c

h

2. LAL (Lado–Ángulo–Lado) Dos triángulos son congruentes, si tienen dos pares de lados correspondientes congruentes y el par de ángulos comprendidos entre ellos congruentes.

Q

B

h = a+b +c

b a

@ 

iii) Sea Q un punto exterior a un triángulo equilátero, entonces se cumple:

R

P

C

A

3. LLL (Lado–Lado–Lado) Dos triángulos son congruentes, si poseen sus tres pares de lados correspondientes respectivamente congruentes.

a c h



b

h = a +b-c

Q

B

@ CONGRUENCIA DE TRIANGULOS Dos triángulos son congruentes si y sólo si los tres pares de ángulos correspondientes son congruentes y sus tres pares de lados correspondientes son congruentes.

B

B’

C

A

TEOREMA DE LA BISECTRIZ Todo punto de la bisectriz de un ángulo equidista de sus lados R

C’

P

@

A

O

C

DABC @ DA 'B'C'A’

L P

A

A

C

P

B

TEOREMA DE LA BASE MEDIA En todo triángulo el segmento que tiene por extremos los puntos medios de dos lados, es

@ 

M

Los triángulos APM y BPM son congruentes.

Q



Q

TEOREMA DE LA MEDIATRIZ Todo punto sobre la recta mediatriz de un segmento equidista de sus extremos

CASOS DE CONGRUENCIA: 1. ALA (Ángulo–Lado–Ángulo) Dos triángulos son congruentes, si tienen dos pares de ángulos correspondientes congruentes y el par de lados comprendidos entre ellos congruentes.

B

 

Los triángulos OPR y OPQ son congruentes.

CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS: Para demostrar que dos triángulos son congruentes es suficiente que posean al menos tres elementos respectivos congruentes, de los cuales por lo menos uno de ellos debe ser un lado.



R

P



R 3

paralelo al tercer lado y su longitud igual a la mitad de la longitud de este.

TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR En todo triángulo los lados adyacentes a la bisectriz exterior son proporcionales a los segmentos que determina dicha bisectriz sobre la prolongación del lado opuesto

B M 

N

 A

c a = m n

C c

TEOREMA DE THALES: Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos o más rectas secantes, los segmentos determinados sobre las secantes son respectivamente proporcionales

M

B

TEOREMA DEL INCENTRO x a+c = y b

C

x

c

y b

L2 P

a I

L1

N

TEOREMA DEL EXCENTRO L3 x a+c = y b

b

=

x b

B

suu r Si: L // AC a

a

c

Una recta paralela a un lado de un triángulo que interseca a los otros dos determina sobre ellos segmentos proporcionales.

�

x 2 = m.n - a.c

n

m

suuu r suuur suuur AB MN AB BC = = Si L1 // L 2 // L 3  ó BC NP MN NP S1 S2 A

x

a

PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

a

c

E

d b

y

c

L

D

E

TEOREMA DE MENELAO

d m

A

C

b

a.b.c = m.n.p

a n

TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR En todo triángulo los lados adyacentes a la bisectriz interior son proporcionales a los segmentos que determina dicha bisectriz sobre el lado opuesto

c p

TEOREMA DE CEVA

c a = m n a

c

x m

m

Cevacentro

b

a.b.c = m.n.p

x 2 = a.c - m.n

a

n

n p

3

c

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes y las longitudes de sus lados homólogos correspondientes proporcionales. B

OBSERVACION: Una recta paralela a un lado y secante a los otros dos lados de un triángulo, determina dos triángulos semejantes. B

B'





:





DABCDEBD



A

C



C'

A'

C

A

La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo, determina tres triángulos semejantes.

Si dos triángulos son semejantes, todos sus elementos homólogos son proporcionales (lados, alturas, medianas, bisectrices, inradios, exradios, etc.)

B  

B N

c

a

H

p

b

Si: DABC  DMNP �

a m

=

b n

C M

=

c

p

=

H h

r

=

r

C

B

n

R

 H

Los triángulos ABC y EBD son semejantes

m

h

DABCDAHBDBHC



A



R

A

L

D

E



P



D 

= ... = k

E



CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos pares de ángulos respectivamente congruentes.

B

:







c

Dos triángulos son semejantes, cuando tienen un par de ángulos respectivamente congruentes y las longitudes de los lados que forman a dichos ángulos respectivamente proporcionales. B



A

a



bk

P

Pr oy

b

AB = AH , AH = m

CA

CB = CH , CH = n

2. TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO.

a.k

h

3 A

AC

B

c.k C M

C

b

Proyección ortogonal del lado CB sobre el lado CA .

N

c

n H

Pr oy

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. B

h

AB = c BC = a AC = b AH = m HC = n

Proyección ortogonal del lado AB sobre el lado AC .

c.k C M

b

a

m

A

N

c

C

PROYECCIONES ORTOGONALES EN TRIÁNGULOS 1. TRIÁNGULO ACUTÁNGULO.







A

b.k

P

c 

m H

AB = c BC = a AC = b HA = m

a

A

b

C

 El producto de las longitudes de los catetos es igual al producto de la longitud de la hipotenusa por la longitud de la altura relativa a la hipotenusa. ab = ch

Proyección ortogonal del lado AB sobre el lado CA . Proy

CA

AH = m

AB = AH ,

 También se cumple: 1

Proyección ortogonal del lado CB sobre el lado

a

CA . Proy

CA

CB = CH ,

CH = b + m

A

2

=

1 h

2

2

2

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO OBLICUÁNGULO



B

a



 H

2

1. TEOREMA DE EUCLIDES:  Para un triangulo acutángulo

h m

1 b

a +b = c

C 

+

(Teorema de Pitágoras): Si un triángulo es un triángulo rectángulo entonces la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Consideremos el triángulo rectángulo ACB, el ángulo recto en C, la altura CH , H AB , donde AC=b, CB=a, AB=c, CH=h, AH=m y HB=n.

b

2

c

n

B

c

En todo triángulo rectángulo, la altura respecto a la hipotenusa, determina dos triángulos rectángulos parciales semejantes entre sí y semejantes al triángulo rectángulo total.

m b 2 = � b = c.m � b c



n a 2 = � a = c.n a c

2

2

2

2

2

B

h

m.n

b=

H

a=

a

c 

m

C

b

A

2

2

2

a = b + c + 2b.m

2. TEOREMA DE HERÓN: B

c.m c

�

b

Para un triángulo obtusángulo



 La longitud de cada cateto es la media geométrica de la longitud de la hipotenusa y la longitud de la proyección ortogonal de este cateto sobre la hipotenusa. 

2

C

n

H

c = b + a - 2b.n

EN TODO TRIÁNGULO RECTÁNGULO SE VERIFICA  La longitud de la altura relativa a la hipotenusa es la media geométrica de las longitudes de los segmentos de la hipotenusa determinados por dicha altura. h=

m

a = b + c - 2b.m

DR AHC  DR CHB  DR ACB

�





A

m h 2 = � h = m.n h n

a

h

c.n A

3

hb H

a

C b

En un triángulo ABC, AB=6,2 y BC=7,6. Hallar la suma del máximo y mínimo valor entero que puede tomar AC. A) 15 B) 16 C) 17 D) 14 E) 13

Sobre el triángulo ABC, donde AB=c, BC=a, AC=b y hb es la longitud de la altura relativa al lado AC , entonces: hb =

Donde: p =

2 b

� p( p - a) ( p - b) ( p - c ) � � �

Problema 37 En la figura AB = BC = CD = BD . Hallar el valor de B C . A)45º B)40º C)37º D)30º E)35º 

a+b+c 2

3. TEOREMA DE LA MEDIANA: Sea el triángulo ABC, donde AB=c, BC=a, AC=b y m b es la longitud de la mediana respecto al lado AC , entonces: B

A

Problema 38 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se traza la altura BH . La bisectriz del ángulo HBC interseca

a

c h

mb

H

A

M

en P a AC . Si AB=7. Calcular el máximo valor entero de BP. A)13 B)6 C)9 D)8 E)12

C b/2

b/2 b

2

2

2

2

c + a = 2m b +

D

b 2

Problema 39 En la figura, AB=CD. Hallar el valor de . C

4. TEOREMA DE LA PROYECCIÓN DE LA MEDIANA

A) 18º B) 15º C) 30º D) 20º E) 10º

B

a

c

A

H

CA

BM = HM , entonces 2

HM =

a -c 2b

2



5

A

A)70º B)45º C)90º D)22,5º E)67,5º

AM = MC Proy

D 7 B

Problema 40 En la figura, el valor de , es:

C

M b



; con a > c

 4x

6x

5x

3x

2x

Problema 41 En un triángulo ABC. Si AB = 2 y AC = 10 . Hallar el valor de BC si se sabe que es entero, además el ángulo en B es obtuso. A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 5

Triángulos Problema 35 Los lados de un triángulo miden (x+2), (x+3) y 7. Calcular el menor valor entero que puede tomar “x” para que el triángulo exista. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Problema 42 En la figura, AB = BC = AD , el valor de , es: B

Problema 36

A) 75º  3

60º A

D

C A

B) 60º C) 30º D) 45º E) 50º

B β β β

Problema 43 En la figura: AB = BP = PQ = QR = RC . La medida del ángulo ABP, es:

α

x α

A

A) 300º D) 460º

A P

A) 18º

Q

C

B) 20º C) 30º

D) 36º

y

α

θ

B) 350º E) 465º

θ θ

C

C) 355º

Problema 49 En un triángulo ABC. Si m(�BAC) + m(�ABC) m(�APC) = , siendo “P” un 2 punto de BC tal que BP = 2 y BC = 10. Hallar AC. A) 2 B) 10 C) 6 D) 8 E) 12

R B

z

E) 37º

Problema 44 Se tiene un triángulo ABC y D es un punto del lado AC , tal que AB = BD, BC = AC y el ángulo DBC mide 30°. La medida del ángulo ACB, es: A) 40° B) 30° C) 50° D) 45° E) 42°

Problema 50 Dos lados de un triángulo miden respectivamente, y el tercero mide el de los lados conocidos. Calcular el dicho triángulo. A) 20 B) 24 C) 21 D)16

Problema 45 En un triángulo ABC, en la prolongación de AC se ubica un punto P, a partir del cual, se traza una secante, que interseca a los lados BC y AB en E y D respectivamente, de modo que AP = AB = PD y el ángulo BCP mide 134°. Hallar la medida del ángulo ABC siendo un valor entero. A) 45° B) 37° C) 52° D) 32° E) 60°

Problema 51 En un triángulo ABC se traza la ceviana interior BD , de tal manera que AB + BC = 35 y AC = 25 . Hallar el mínimo valor entero de BD. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

E)17

Problema 52 En un triángulo ABC calcula la medida del ángulo AIB, si I es el incentro y la suma de los ángulos exteriores de A y B es 290°. A) 145° B) 135° C) 205° D) 95° E) 115°

Problema 46 En un triángulo ABC, en el lado AC se ubican los puntos E y F, de modo que AB = BF, m( �ABE) + m( �FBC) = 40° y el ángulo EBC es recto. El ángulo ACB mide: A) 25° B) 50° C) 30° D) 20° E) 35°

Problema 53 La suma de las distancias del baricentro de un triángulo, a sus vértices es 24. Calcular la suma de las longitudes de las medianas del triángulo dado. A) 48 B) 36 C) 30 D) 32 E) 42

Problema 47 Del gráfico, hallar a+b+c

a

5m y 6 m. doble de uno perímetro de

Problema 54 En un triángulo equilátero, la distancia del punto incentro a un vértice mide “x”. Calcular la distancia del incentro a uno de los puntos excentro de dicho triángulo. A) 3x B) x/2 C) x D) x/3 E) 2x

b c

A) 170º D) 220º

B) 180º E) 270º

Problema 55 La altura BQ de un triángulo acutángulo ABC mide 9cm. Hallar la distancia del circuncentro del triángulo a AC , si la recta de Euler es paralela a este lado.

C) 195º

Problema 48 En la figura. Calcular x + y + z.

3

A)3cm D)2cm

B)5cm E)6cm

C)4cm

Problema 62 En la figura mostrada AB @ BC y el triángulo QSC es equilátero. Luego: B

Problema 56 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, la bisectriz interior del ángulo BAC interseca al lado BC en D, en el triángulo ADC se traza la ceviana interior DE tal que AB // DE , si la medida del ángulo ADE es 28º, entonces la medida del ángulo ACB, es: A) 14º B) 24º C) 60º D) 22º E) 34º Problema 57 Los lados de un triángulo ABC miden AB=6, BC=8 y AC=10. Se traza la altura BH y la bisectriz AD (D en BC ), las cuales se intersecan en E. Calcular BE. A) 3/2 B) 2 C) 1 D) 2/3 E) 3

A) B) C) D) E)



B

2

D

P

Q

D

A

C

B

C

 

D 

x



C

68º

b

L

B 13x D 3x 2x C

Problema 67 En un triángulo, se sabe que la distancia del baricentro al circuncentro es 4cm, entonces la distancia del ortocentro al circuncentro, es: A)4cm B)6cm C)16cm

F

a

C

P

Problema 66 En todo triángulo rectángulo, los puntos notables que pertenecen a dicho triángulo, son: A) Ortocentro - Incentro B) Baricentro - Circuncentro C) Ortocentro - Circuncentro D) Incentro - Baricentro E) Ortocentro – Baricentro

x A

3x + 40º

2x

PUNTOS NOTABLES Y Líneas notables

B

E

Q

A

E Problema 61 En el triángulo isósceles ABC donde se cumple: AB = BC, se inscribe un triángulo equilátero según se muestra en la figura. Hallar “x”.

a+b 2 a-b 2 ab 2 a+b a-b

x

A) 5º B) 6º C) 7º D) 12º E) 4º

18º

D) E)

120º

Problema 65 En la figura: AB = AD = DC . Calcular “x”.



A

C)

F N

A

3

Problema 60 En la figura. Hallar “x” A) 12º B) 14º C) 16º D) 18º E) 20º 3x

B)

x

M

A) 9º B) 11º C) 12º D) 13º E) 14º

Problema 59 En la figura, AB = 16 y BD = 13. Calcular DC

A)

C

B

2

A

b A

Problema 64 El DABC es isósceles, AB = AC. Hallar x.

x

3

A) 24 B) 27 C) 29 D) 25 E) 14,5

Q

E

A) 20º B) 30º C) 35º D) 40º E) 45º

  4

S a

Problema 63 En la figura, ME=MP; FN=NQ; AE=ED y FD=FC. Calcule x: B

Problema 58 En la figura. Calcular “x”: A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15

a=b 2a = b 2a = 3b a = 2b a = b + 60º

C

3

D)12cm

Problema 73 En un triángulo acutángulo ABC, el ángulo ABC mide 60° y la distancia del circuncentro a un vértice es 6 cm. La distancia del ortocentro al vértice B, es: A) 6 cm B) 3 cm C) 4 cm D) 5 cm E) 8 cm

E)8cm

Problema 68 En un triángulo obtusángulo, son puntos notables exteriores: A) Incentro y circuncentro B) Incentro y baricentro C) Ortocentro y baricentro D) Ortocentro y circuncentro E) Incentro y ortocentro

Problema 74 En un triángulo acutángulo ABC, el ángulo ABC mide 45° y AC = 8 cm ; la distancia del ortocentro al vértice B, es: A) 8 cm B) 6 cm C) 4 cm D) 10 cm E) 5 cm Problema 75 Se tiene un triángulo isósceles ABC, AB = BC, donde I es su incentro y E es su excentro respecto al lado BC , tal que IB = 8 cm y la distancia de E al lado AB es 10 cm. La distancia del incentro al lado AC , es: A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm D) 1 cm E) 5 cm

Problema 69 Indicar el valor de verdad o falsedad de las siguientes proposiciones: I) En todo triángulo no equilátero, el ortocentro, baricentro y circuncentro son colineales II) La propiedad fundamental del baricentro es la de determinar en la mediana dos segmentos cuyas medidas están en la relación de dos a uno. III) En el triángulo obtusángulo el ortocentro y el circuncentro son puntos exteriores. A)VVV B)VVF C)VFV D)VFF E)FVV

Problema 76 En un triángulo ABC, se traza la bisectriz exterior en A y la bisectriz exterior en C que forman un ángulo agudo que mide 45°. SI AB = 12 y BC = 16, entonces la distancia del ortocentro al circuncentro del triángulo ABC, es: A)9 B) 10 C) 12 D)8 E) 15

Problema 70 Señalar el valor de verdad V o falsedad F de las siguientes proposiciones: I) Un triángulo equilátero tiene infinitas rectas de Euler II) En un triángulo rectángulo, la mediana relativa a la hipotenusa está contenida en la recta de Euler. III) Los puntos notables en la recta de Euler, se encuentran en el siguiente orden: ortocentro, baricentro y circuncentro IV) Los puntos notables en la recta de Euler, se encuentran en el siguiente orden: baricentro, ortocentro y circuncentro A)VVFV B)VVFF C)VFFV D)VVVF E)VFFF

Problema 77 Sea un triangulo rectángulo ABC, relativo a la hipotenusa AC se traza la altura BH y la bisectriz uuur BD del ángulo HBC, tal que CD=2. Si la longitud de la hipotenusa es 12, la longitud del cateto AB , es: A) 10m B) 15m C) 18m D) 16m E) 9m Problema 78 En un triangulo rectángulo, uno de los ángulos agudos mide 75º, la medida del ángulo formado por la altura y la mediana trazadas del vértice del ángulo recto, es: A) 30º B) 45º C) 60º D) 56º E) 64º

Problema 71 En un triángulo acutángulo ABC, se ubican los puntos “O” ortocentro y “M” circuncentro, tales que m( �AOB) = m(�AMB) , si la altura AH (H �BC) mide 3 3 , el valor de AC, es: A)4 B)6 C)5 D)9 E)8

Problema 79 En un triángulo ABC, los ángulos interiore en A y B miden 65° y 70° respectivamente; O y Q son el ortocentro y circuncentro respectivamente. Determinar la medida del ángulo OBQ. A) 20° B) 30° C) 10° D) 15° E) 37°

Problema 72 En la figura, mBAO=a+12° y la mOBC= mOAC= 60°-a , el valor de x, es: B

A) 52º B) 12º C) 18º D) 72º E) 78º

Problema 80 En un triángulo ABC, E es el excentro respecto al lado BC , de modo que AE interseca a BC en F, m( �AEC) = m( �BAC) , m( �AFB) = 3 m( �EAC). La medida del ángulo ACB, es: A) 45° B) 53° C) 30°

18º

O A

x

C

3

D) 45°

En el triángulo ABC se cumple que m( �ABC) > 90º ; AB=3 y BC=10. Encontrar la diferencia entre el máximo y el mínimo valor entero que puede tomar la longitud del lado AC . A)2 B)3 C)5 D)4 E)1

E) 37°

Problema 81 En un triángulo isósceles ABC, AB = BC, P es un punto interior de dicho triángulo, tal que m( �ACP) = m( �PBC) = 30° y m( �PCB) = 40°. Hallar la medida del ángulo APB. A) 120° B) 100° C) 80° D) 150° E) 60°

Problema 88 En un triángulo ABC, el ángulo formado por la bisectriz interior del Aˆ y la bisectriz exterior del ángulo C mide 40º. Si m Aˆ - m Cˆ = 30º , hallar la medida del ángulo C. A)60º B)65º C)35º D)45º E)30º

Problema 82 En un triángulo ABC, se sabe que: m( �EIC) - m( �IEC) = 36º . Si I es el incentro del triángulo ABC y E es el excentro del triángulo ABC relativo al lado BC . Determinar m( �ABC) . A) 50º B) 60º C) 48º D) 54º E) 53º

CONGRUENCIA de Triángulos

Problema 89 Em La figura, si AE=CD, m(  AEB)=m(  EDC)=2  , m(  A)=m(  ECD)=  , CE=8, El valor de AC, es: C B

Problema 83 En un triángulo ABC, el punto “O” es su ortocentro y “L” es su circuncentro. El ángulo BAC mide 60º y el ángulo ACB mide 53º. La medida del ángulo OBL, es: A)37º B)15º C) 7º D)16º E)14º

A A) 8 D) 24

D

A

C

45º

A

P

D

Problema 92 En el interior de un triángulo ABC se ubica un punto D, tal que AD = BC, BD = 9 cm, m( �BAD) = m( � DBC) =  , m( �DCB) = 2  y m( �ADB) = 5  . Hallar AB. A) 18 cm B) 12 cm C) 14 cm D) 20 cm D) 15 cm

C

Problema 86 Si la distancia del incentro de un triángulo rectángulo ABC (recto en B) a los vértices de los ángulos agudos miden

C

B

A) 10 B) 7,5 C) 5 D) 8 E) 5 2

S

M

R

O A)1/2 B)2 S N C)1 D)3/2 A B E)3 M Problema 91 En la figura: AB=BC, AD=10. Calcular BP

Problema 85 En el triángulo ACB de la figura, se cumple: m(�SNB) = m( �SNM) SB=2n; y CS = n 3 , m(�SMN) = m( �SMC) . CalcularB la medida del ángulo MSN. N

C) D 16

Problema 90 En la figura AB = BC = CD = DA , si SO = 2 , NO = 3 , MO = 4 , al calcular la medida de RO , se obtiene:

Problema 84 En el triángulo ABC, recto en B, AB=5; BC=12; se traza la altura BH y luego se trazan las bisectrices de los ángulos ABH y HBC que intersecan al lado AC en los puntos F y E respectivamente. Hallar el valor de FE. A)6 B)7 C)8 D)5 E)4

A) 55º B) 30º C) 75º D) 60º E) 45º

E B) 12 E) 36

Problema 93 En un triángulo ABC, M es punto medio de AC y N es punto medio de BM , tal que AN es perpendicular a BM , BC = 10 y AN = 8. Hallar el valor de AB.

; entonces la

hipotenusa del triángulo ABC en metros, mide: A)13 B)10 C)12 D)15 E)17 Problema 87

3

A) 2 17 B) 3 17 C) 17 D) 4 E) 6 Problema 94 En la figura BC=AC=AD. Calcular x.

distancia del punto medio N de AC a la mediana es 5cm. A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 10

B

30º

A)60º B)50º C)45º D)55º E)75º

Problema 100 En la figura,

x C

m( R CAE) = m(R ACE) ,

A

ángulo BPE, es:

Problema 95 De la figura AC=BP, m(BAP)=m(PAC). Calcular α B 4α 3α

P A

11α C

Problema 102 En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BP . Si AB=5, BC=7 y AC=6, el valor de AP, es: A)1/4 B)5/2 C)2/3 D)3/2 E)5/7

A α

Problema 103 En la figura BF = 1, y FC = 8. Hallar AB. A) 3 B B) 4 F C) 4,5 D) 3,5  E) 5 

E α B

B

Semejanza de triángulos

Problema 96 En la figura: AB ^ BC , AB = BC, AE ^ EB y m(EAB)=m(ECA), si BE = 3, el valor de EC, es: A)2 B)3 2 C)4 2 D)2 2 E)3

BE=EP, y medida del

30º 20º C A) 45º A B) 50º P C) 55º D) 60º E) 65º E Problema 101 Se tiene un triángulo isósceles ABC donde AB = BC . En el exterior y relativo el lado BC se considera el punto E, de modo que la m(�BAE) = m(�BCE) =  , AE interseca a BC en el punto M. Hallar el valor de “  ” si: AM=CE y la m(�EAC) = 20º . A) 60º B) 45º C) 70º D) 55º E) 68º

15º

D

A)4.6º B)5º C)4º D)5.6º E)4.5º

si AB=CP, entonces la

C

Problema 97 En un triángulo rectángulo isósceles recto en B, por el vértice B se traza una ceviana interior que interseca al lado AC en H. Desde los vértices A y C se trazan perpendiculares CP y AQ a la recta que contiene a B y H, si AQ=7cm y CP=15cm, entonces el valor de PQ, es: A) 4cm B) 11cm C) 8cm D) 6cm E) 9cm

A

C

Problema 104 En un triangulo ABC , I es el incentro y G el baricentro de dicho triangulo si AC // IG AB=6 y BC=12 calcular AC A) 8 B) 9 C) 12 D) 7 E) 5 Problema 105 En un triángulo isósceles ABC , (AB = BC) ; la mediatriz de BC interseca a AC en F. Por F se traza FH// BC , H �AB , tal que FH=1 y FC= 6 . Calcular AB A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 4

Problema 98 En un triángulo ABC, m �B = 80º , en AC se ubica el punto “E” tal que AB=EC; las mediatrices de AE y BC se intersecan en “F”. Calcular la mS ACF , sabiendo que la mS C = 30º A) 20º B) 15º C) 18º D) 35 E) 25º

Problema 106 En un triángulo ABC, se trazan las alturas AE Y CF, determinar AC en metros, sabiendo que BC x EC = 16m2, AB x AF =4m2.

Problema 99 En un triángulo ABC, se traza la mediana AM , hallar la distancia del vértice B a la mediana, si la

A)

3

B)

C)

D)

Problema 113 En un triángulo ABC, se traza la base media relativa al lado AC y la distancia del baricentro a la base media es k. Hallar la altura del triángulo ABC relativa al lado AC A)4k B)6k C)5k D)3k E)7k Problema 114 En un triángulo ABC, se traza la paralela MN al lado AC . Si M y N son puntos medios de los lados AB y BC respectivamente y la altura relativa al lado AC mide 10, entonces la distancia del vértice B a MN , es: A)4 B)5 C)6 D)8 E)3 Problema 115 Dos edificios de 120m y 180m de altura están ubicados a cierta distancia uno del otro. La altura del punto de intersección de las rectas que unen la parte más alta de cada edificio con la base del edificio opuesto, es:

E)

Problema 107 Las longitudes de los lados de un triángulo son números enteros positivos consecutivos. Calcular su perímetro, sabiendo que la medida del mayor ángulo interior es el doble de la medida del menor ángulo interior. A) 21 B) 13 C) 18 D) 12 E) 15

Problema 108 En un triángulo ABC se tiene que AB=5, BC=7 y AC=9. Se trazan las bisectrices interiores AP y BQ , luego por P una recta paralela a la bisectriz BQ , la cual intercepta al QC en el punto R. Calcular QR A) 17/8 B) 18/4 C) 15/8 D) 17/5 E) 17/7

A) 60m D) 72m

Problema 117 En la figura AD = DC, BC=2AB, BE=8 y EF=3. Calcular FD. B

Problema 110 Se tiene un triángulo acutángulo ABC, donde el ángulo ABC mide 53o y la distancia del circuncentro a un vértice es 10. Calcular la longitud del segmento determinado por los pies de las alturas trazadas desde C y A. 48 5

B)

48

C)

7

46

D)

5

44 5

E)

A) 5 B) 6 C) 6,6 D) 7,2 E) 5,4

47 7

Problema 111 Calcular la longitud del lado del cuadrado PQRS; si AS = 4 y RC = 9. A) 3 B) 2 C) 4 D) 5 E)6

E F

 

A





Problema 118 En la figura mostrada, si CD = 4, el valor de BC,es: A) 4 C B

Q

31º 46º

B) 2 6 A

S

R

C

D

B P

C) 70m

Problema 116 Sea un DABC cuyo lado BC mide 6m y la altura AH mide 4m. Hallar la longitud del lado del cuadrado inscrito que tiene uno de sus lados en el lado BC del triángulo. A) 2 B) 2,1 C) 2,4 D) 2,5 E) 3

Problema 109 En un triángulo CBA se traza la bisectriz exterior BP siendo P en la prolongación de CA. En el triángulo PBA se traza la bisectriz interior PL, luego se prolonga CL hasta un punto E (E en BP), Si BC=7, BL=3 y CP=8.Calcular PE. A)1 B)5 C)6 D) 7 E)4

A)

B) 74m E) 62m

C) 5 2

C

Problema 112 En un triángulo ABC, D es un punto de AC , por D se trazan DE // BC y DF // AB , ( E �AB , F �BC ) . La prolongación de EF interseca a la prolongación de AC en P, tal que AD = 3 y CP = 4. Calcular DC. A) 1 B) 1/2 C) 3 D) 2 E) 5/2

D)

14º 14º

6

E) 4 2

A

D

Problema 119 En la figura: Si ABC es un triángulo equilátero, entonces el valor de x es: A) 9 B)10 C) 8 D)11 E)12

3

En un triangulo ABC los lados AB y BC miden 7 y 9. respectivamente, hallar AC si el segmento que une el baricentro con el incentro es paralelo a dicho lado. A) 1 B) 5 C) 8 D) 6 E) 9 Problema 126 En un triángulo ABC, por un punto D de AB de traza una paralela a BC , la cual interseca en E a AC . Si BC = 24, DE = 9 y AB = 16, la distancia de A a D, es : A) 6 B) 8 C) 7 D) 9 E) 5

Problema 120 En un triángulo ABC, D es un punto de AC , por D se trazan DE // BC y DF // AB , ( E �AB , F �BC ) La prolongación de EF interseca a la prolongación de AC en P, tal que AD = 3 y CP = 4. Calcular DC. A) 1 B) 1/2 C) 3 D) 2 E) 5/2 Problema 121 En la figura MN // BC , AN = NQ, AM=28, MB = 15 y MP=18. Calcular PQ.

Problema 127 En el triángulo

de la figura BC = BN = 3k , y AC = 2k , AN = k , k  R + , Calcular la medida de CN 3k 4k 5k 2k A) B) C) D) E)2k 2 3 2 3 C

B

A) 9,6 B) 12,8 C) 7,2 D) 6,4 E) 15,6

ABC

m ( �BCN) = m ( �BAC ) + m ( �ABC )

M P

A

N

C

Q

Problema 122 En la figura, AP y PB son proporcionales a 5 y 2 respectivamente A

Si AC = 6 y BQ = QC, entonces la longitud de es: A) 3 B)1 C)4 D)2 E)5 Problema 123 En un triángulo ABC se trazan las cevianas y

B

N

Problema 128 En un triángulo ABC, AB = 12 y BC = 8. Hallar AC, si el segmento de extremos el incentro y el baricentro es paralelo al lado AC . A) 10 B) 11 C) 9 D) 7 E) 8

,

Problema 129 En el grafico, DE = 1 y EH = 3 , determinar el valor de la medida del segmento HC

,

que concurren en un punto interior del B

triángulo ABC. Las prolongaciones de y se intersecan enT. Si AQ = 6 y QC = 2, entonces el valor de CT es: A)3 B)4 C)7 D)9 E)8

F A

Problema 124 Se da un triángulo ABC cuyos lados BC y AC miden 10 y 8 respectivamente. Por un punto D de AB se traza DE paralelo a AC , de modo que DE=EC-BE, (E en BC ). Hallar EC. A) 6 B) 7 C) 6,4 D) 3,2 E) 6,5

D

A) 10 D) 12

H

E

B) 11 E) 13

C

C) 14

Problema 130 En un triángulo ABC, M es punto medio de AC . Se

Problema 125

3

traza DE paralela a AC , D �AB , E �BC , de modo que, DE interseca a BM en el punto P , m( �BAC) = m( �BME). Hallar DE, si BP = 9 y PM = 4 . A) 12 B) 8 C) 10 D) 6 E) 15

Problema 137 Los lados de un triángulo ABC miden AB = 8, BC =10 y AC = 12. Hallar la longitud de la paralela a AC trazada por el incentro del triángulo ABC. A) 9,2 B) 7,2 C) 4,2 D) 6,2 E) 8,2

Problema 131 En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BD y en BC se ubica el punto E tal que DE / / AB . Determinar la medida de BC , si DE = 3 y BC = 3(AB) . A) 14 B) 10 C) 9 D) 12 E) 11

Problema 138 En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la ceviana interior AF y la altura BH . Calcular BC, si: AF = FC = HC = 1 . A) 2 B) 3 2 C) 2 3 D) 2 - 1 E) 2 - 1

RELACIONES MÉTRICAS En TRíangulos

Problema 132 En un triangulo acutángulo ABC, BC=15. Se trazan las alturas AF y BF . Si BF=6 y PC=10, determinar AP. A) 3.5 B) 4 C) 4.5 D) 5 E) 5.5

Problema 139 En un triángulo acutángulo ABC, la altura BH contiene al punto medio F de la mediana AM , en HC se considera el punto E de modo que mAFE=90°, AH.HE=36. Calcular BF. A) 36 B) 20 C) 12 D) 6 E) 18

Problema 133 En el triángulo ABC, se trazan AD , D �BC , luego se traza DE // AC , E �AB y EF // AD , F �BC , tal que BF = 5 y FD = 3. Calcular DC A) 4 B) 5 C) 12/5 D) 24/5 E) 9/2

Problema 140 En un triángulo rectángulo los cuadrados de las longitudes de sus catetos son proporcionales a los números 9 y 16, respectivamente. Si la altura relativa a la hipotenusa mide 4,8 cm, entonces la suma de las medidas de sus catetos, es: A)7cm B)10cm C)14cm D)16cm E)12cm

Problema 134 En un trapezoide ABCD, las bisectrices de los ángulos B y D, se intersecan en un punto de la diagonal AC . Si AB = 6, BC = 8 y CD = 12. Calcular AD. A) 9 B) 10 C) 15 D) 7 E) 11

Problema 141 En un triángulo ABC, hallar la medida del ángulo A, sabiendo que entre las longitudes de sus lados correspondientes se cumple a 2 = b 2 + c 2 - bc

Problema 135 En un triángulo ABC, se traza las alturas AM y CN . Calcular BM, si AB = 5, NB = 3, BC = 6. A) 2,5 D) 3,5

B) 3 E) 4

A)45º D)30º

D)3

D

10

E)5

10

Problema 143 En un triángulo ABC, la altura BH mide 6 y la medida del ángulo ABC es 45º. La recta de Euler es paralela al lado AC . Hallar la distancia del circuncentro al vértice A. A)4 3 B) 2 C) 2 3 D) 2 2 E)2

 C

C)75º

Problema 142 En un triángulo ABC recto en B, AB=12m y BC=9m. calcule la longitud de la bisectriz trazada desde A. A) 10 B)4 10 C)2 10

C) 2,3

Problema 136 En la figura se sabe que: 3AB = 2BE , BC = BD y DE = 9. Calcular AC. A) 4,5 B B) 3 C) 4 D) 6  E) 8

A

B)60º E)55º

E

3

Los lados de un triángulo miden 13 cm, 15 cm y 14 cm. Calcular la longitud de la altura relativa al lado que mide 14 cm. A) 12 cm B) 10 cm C) 8 cm D) 6 cm E) 5 cm

Problema 144 Los lados de un triángulo miden 7, 8 y 9. Encontrar la medida de la mediana relativa al lado que mide 8. A) 8 B) 6 C) 5 D) 4 E) 7

Problema 151 En un triangulo rectángulo ABC recto en B se traza uuur la bisectriz interior BD y la mediana BM . si BD=DM y AB.BC=16, el valor de AC, es: A) 8 B) 2 C) 6 D) 4 E) 3

Problema 145 Se tiene un triángulo rectángulo PQR, con ángulo recto en Q; A y D son puntos del lado PR , B y C PQ y QR son puntos de los lados respectivamente, tal que ABCD es un cuadrado. Las distancias de A a PQ , de D a QR y de Q a BC , son respectivamente x , y , z, de modo que se 1 1 1 2 + 2 + 2 = , cumplen las relaciones: 2 9 x y z

Problema 152 Las bases de un trapecio miden 4 y 10 sus diagonales miden 13 y 15. Encontrar la longitud de su altura. A) 7 B) 12 C) 8 D) 10 E) 9

x y z = 72. Hallar el perímetro del cuadrado ABCD. A) 32 B) 40 C) 20 D) 36 E) 48

Problema 153 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se prolonga la bisectriz interior del ángulo A hasta el punto E, de modo que mAEC=90°. En el triángulo AEC se traza la altura EH . Determinar la medida del segmento EC , si: HC = 1 y AB = 7 . A) 5 B) 1 C) 4 D) 2 E) 3

Problema 146 En un triángulo rectángulo ABC, con ángulo recto en B, se traza la bisectriz interior BD , D �AC , donde AD = 2 y DC = 3. Hallar la longitud de la proyección ortogonal de la mediana BM sobre AC , M �AC . 25 25 15 A) B) C) 26 13 13 15 12 D) E) 26 13

Problema 154 Los lados de un triángulo miden 9, 7 y 6. Encontrar la longitud de la mayor mediana. A) 7 B) 2 14 C) 6 D) 5 E) 2 7

Problema 147 La suma de las longitudes de los catetos de un triangulo rectángulo es 17, el producto de la longitud de la hipotenusa por la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es 60. Calcular la longitud de la hipotenusa. A) 13 B) 12 C) 16 D) 14 E) 16

Problema 155 Dado un triángulo ABC, se cumple a 2=b2+c2+1,6bc. Calcular la medida del mayor ángulo interior del triángulo. A) 140º B) 148º C) 143º D) 162º E) 134º Problema 156 En un triángulo ABC, se traza la mediana AM que mide 5. Calcular la distancia del punto M al lado AB , si AB=8 y AC=6. 2 3 2 3 A) B) C) 6 3 2 D) 5 E) 2 5

Problema 148 Se tiene un triángulo ABC, donde AB = 9, BC = 7 y AC = 4. Hallar la longitud de la proyección ortogonal del lado BC sobre AC . A) 2 B) 3 C) 1 D) 4 E) 5 Problema 149 Se tiene un triángulo ABC, donde AB = c y BC = a y AC = b, tal que se cumple: 5a2 + 8 b c = 5(b2 + c 2). Hallar la medida del ángulo BAC. A) 37° B) 45° C) 53° D) 60° E) 40°

Problema 157 En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se trazan las medianas perpendiculares AM y BN las cuales se intersecan en G, tal que GM=3, calcule AC. A) 9 2 B) 6 3 C) 6 2 D) 5 E) 2 5

Problema 150

3

Problema 158 La base de un triángulo mide 20, la altura trazada a esta base divide en dos segmentos cuyas medidas se diferencian en 8. Si la diferencia de las medidas de los otros dos lados es 4. Calcular la longitud de mayor lado del triángulo. A)26 B)18 C)22 D)16 E)20 Problema 159 Los catetos de un triángulo rectángulo miden 15 y 20. Calcular la longitud de la altura relativa a la hipotenusa. A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 9

Problema 160 Las longitudes de los lados de un triángulo son: AB = 40/3 AC = 14/3 y BC = 10. Determinar la longitud de la altura relativa al lado AC . A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Problema 161 En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza su altura BH , luego se trazan HE y HF perpendiculares a los lados AB y BC . Calcular BE, si AE = 1 y FC = 8 . A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6 Problema 162 Los lados de un triángulo miden 7; 9; 10. Hallar la longitud de la proyección del lado que mide 7 sobre el lado que mide 10. A) 2,4 B) 3,4 C) 4,2 D) 2,6 E) 3,2 Problema 163 En la figura BM y CN son medianas, BP es altura. Calcular el perímetro del DMNP. Si AB=6, BC=7 y AC=5. B

A) 6,6 B) 5,8 C) 6 D) 4,5 E) 7,8

N A

P

M

C

3