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• Hector Triana

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Transformada Inversa de Laplace:

Manejo de Expresiones Racionales, directivas básicas La clave está en el denominador. Lo que debe de hacerse depende centralmente de él. Primeramente se factoriza y dependiendo del resultado se procede. Estos son algunos de los casos importantes. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Otros casos: Solo queda fracciones parciales. Ejercicios? Ir sin regreso

Un resultado básico sobre la transformada indica que El límite de una expresión en s, que es la transformada de Laplace de una función, cuando s tiende a infinito debe ser cero. Para que en una expresión racional esto pase el exponente del denominador debe ser mayor que el exponente del denominador. Por eso en todos los ejemplos que se dan a continuación esto se cumple. EJEMPLOS Caso: Denominador potencia de s Ejemplo Determine:

Solución Distribuimos primeramente el denominador:

Usando la propiedad de linealidad tenemos:

Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos:

Por tanto:

índice

Caso: Denominador potencia de (s-a) Ejemplo Determine:

Solución El denominador domina el proceso; para aplicar el primer teorema de traslació debemos hacer que la expresión sea una en s+4. Para ello todas las s en el numerador las cambiaremos por s+4-4:

O:

El termino s+4 es s-a, es decir a=-4 y al aplicar el primer teorema de traslación tenemos:

Y siguiendo la propiedad de linealidad:

Haciendo uso de la tabla de transformadas:

Por tanto

índice

Caso: Denominador producto de factores lineales diferentes. Ejemplo Determine:

Solución Aquí las raíces del denominador: son: r1= -3 y r2 = 2, utilizando fracciones parciales queda:

Existe una técnica rápida para fracciones parciales que sólo es aplicable para determinar el coeficiente de una fracción de un factor lineal no repetido, a saber:

con:

Es decir: El coeficiente numérico para un factor lineal es simplemente la evaluación de la fracción original en el valor de la variable donde se hace cero, excluyendo el factor de la fracción parcial Es decir podemos imaginarnos el coeficiente A asociado al factor (s-a) como:

Aplicando esto, tenemos que A es el coeficiente asociado al factor (s+3) que se hace cero en s=-3, asi:

mientras que

Por tanto:

índice

Caso: Ejemplo Determine:

Solución Distribuyendo el denominador:

Usando la propiedad de linealidad tenemos:

Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos:

Por tanto:

índice

Caso: En este caso: Y se procede como en el caso 3 índice

Caso: El denominador es una expresión cuadrática cuyas raíces son iguales. En este caso: Y la expresión se escribe:

Y se procede como en el caso 2 índice

Caso: El denominador es una expresión cuadrática cuyas raíces son iguales. En este caso: Y la expresión se escribe:

Y se procede como en el caso 3 índice

Caso: El denominador es una expresión cuadrática cuyas raíces son complejas. Idea: En este caso las raíces r1 y r2 de esa ecuación cuadrática son complejas(imaginarias) y conjugadas (que sean iguales salvo que difieren en el signo de la parte compleja). En este caso se procede a formar un trinomio cuadrado perfecto en el denominador y posteriormente se aplica el primer teorema de traslación. Ejemplo Determinemos

Solució Aquí las raíces del denominador: obtenidas mediante la aplicación de la fórmula general para la ecuación de segundo grado son: El denominador se trabaja de la siguiente forma:

1. los dos primeros términos del denominador se imaginan como formando parte de un trinomio cuadrado perfecto. El término faltante es el número 4.

2. se factoriza el trinomio cuadrado perfecto.

El denominador es usado ahora como base para presentar la expresión completa debe presentarse como una expresión en s-2:

Ahora aplicamos el primer teorema de traslación; todas las apariciones de s-2 con cambiadas por s y esto involucra la aparición del factor :

Ahora separamos las fracciones:

Por linealidad

Aplicando las fórmulas de la transformada:

Por tanto:

índice

Caso: El denominador queda factorizado con muchos términos En este caso lo mas recomendable es utilizar fracciones parciales. Si esto le resulta cansado utilice el comando de maple: > convert( Expresion , parfrac , variable );