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Transformada inversa de Laplace • Un método conveniente transformadas de laplace.

es

usar

la

tabla

de

• Si una transformada especifica F(s) no se encuentra, puede expandirse en fracciones parciales y escribirse en términos de funciones simples de s, para los cuales se conoce su transformada inversa.

Método de expansión en fracciones parciales • Para análisis de sistemas de control la transformada de laplace de f(t) ocurre con frecuencia en la forma:

• Si F(s) se separa en componentes:

F(s) = F1(s) + F2(s)+ ... +Fn(s)

Método de expansión en fracciones parciales

• Debe indicarse que para aplicar este método hay que encontrar con anticipación las raíces del polinomio del denominador (factorizar el denominador).

Método de expansión en fracciones parciales

• El valor de

se encuentra con la siguiente formula:

Método de expansión en fracciones parciales • Por tanto

• Debido a que: • f(t) se obtiene como:

ejemplos •

Encuentre la transformada inversa de Laplace de:

ejemplos •

Encuentre la transformada inversa de Laplace de:

Fracciones parciales con polos múltiples F ( s) 

b3 B( s ) b1 b2    A( s) ( s  1)1 ( s  1) 2 ( s  1)3

B( s) ( s  1) *  b1 ( s  1) 2  b2 ( s  1)  b3 A( s ) 3

Por tanto suponiendo que s= -1:

Fracciones parciales con polos múltiples Así mismo la diferenciación respecto a s produce:

de ambos miembros con

Fracciones parciales con polos múltiples

Fracciones parciales con MATLAB Sea la función de transferencia:

B(s) num b0 s n  b1s n1  ... bn   n A(s) den s  a1s n1  ... an Donde

ai

y

bi

pueden ser cero

•

num = [b0 b1 ... bn] den = [1 a1 ... an] El comando: [r,p,k] = residue(num,den) Encuentra los residuos (r), los polos (p) y los terminos directos (k), de un desarrollo en fracciones simples.

B( s ) r (1) r (2) r ( n)    ...   k ( s) A( s) s  p(1) s  p(2) s  p ( n)

Fracciones parciales con MATLAB EJEMPLO: Para esta función se tiene:

num=[2 5 3 6] den=[1 6 11 6] [r,p,k]=residue(num,den)

B ( s ) 2 s 3  5 s 2  3s  6  3 A( s ) s  6 s 2  11s  6 r= -6.0000 -4.0000 3.0000

Entonces:

B( s)  6 4 3    2 A( s ) s  3 s  2 s  1

p= -3.0000 -2.0000 -1.0000

k= 2

Fracciones parciales con MATLAB La función residue también se puede utilizar para obtener los polinomios (numerador y denominador), a partir de su desarrollo en fracciones simples. » >> [num, den]=residue(r,p,k); » >> printsys(num,den,'s') » » num/den = » » 2 s^3 + 5 s^2 + 3 s + 6 » ----------------------» s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6

• printsys(num,den,'s'): imprime los polinomios en

s

(num/den) en términos del cociente de