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• miguel morales

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TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

En matemática, la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es la función f(t) que cumple con la propiedad

donde

es la transformada de Laplace.

La transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace tienen un número de propiedades que las hacen útiles para el análisis de sistemas dinámicos lineales.

Forma integral Una fórmula integral para la transformada inversa de Laplace, llamada integral de Bromwich, integral de Fourier-Mellin o fórmula inversa de Mellin, es dada por la integral lineal:

donde la integración se realiza a lo largo de la línea vertical Re(s) = γ en el plano complejo tal que γ es mayor que la parte real de todas las singularidades de F(s).

Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para Ahora, como

, es decir,

.

si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución

que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa para hallar la función

Entonces definamos la transformada inversa.

,

Definición [Transformada inversa de Laplace] Si

es la transformada de Laplace de una función continua

decir,

, es

, entonces la transformada inversa de Laplace de , escrita

es

, es decir,

Ejemplo Calcule

Solución Puesto que

tenemos que

Observación existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede no ser única. En efecto, es posible que

, siendo

. Para nuestro propósito esto no es tan malo como parece, pues, si continuas y de orden exponencial en ; pero, si

y

y

y

son

, entonces

son continuas y de orden exponencial en

y

, entonces se puede demostrar que las funciones y son casi iguales; esto quiere decir, que pueden diferir sólo en puntos de discontinuidad.

Ejemplo Calcule

, donde

esta dada por

¿Qué se puede concluir ? Solución Usando la definición de transformada

Pero, anteriormente hemos comprobado que

con lo cual las funciones transformada inversa de

no es única.

y

tienen la misma transformada, de este modo, la

El siguiente resultado establece el comportamiento de

Teorema [Comportamiento de

en infinito.

en infinito]

Sea

una función continua a trozos y de orden

exponencial en

, entonces

Demostración Puesto que

es continua a trozos en

intervalo; o sea,

y así

necesariamente es acotada en este

para todo

cuando

. De donde

, de modo que

cuando

Observación: el resultado anterior es válido independientemente de que continua a trozos o de orden exponencial, basta con que

existe.

Ejemplo ¿ Porqué no existe una función

tal que

Solución Suponga que existe, entonces por el teorema anterior

lo cual es falso; por lo tanto no existe tal función.

?

.

sea

Observación: con un argumento similar podemos concluir que no existen una función tal que , , , , es decir, estas funciones no tienen transformada inversa. Por otro lado, una función racional es la transformada de alguna función es menor que la del denominador

si el grado del numerador

.

Los siguientes resultados son útiles en análisis de sistemas de control automático, especialmente cuando se trazan gráficas.

Teorema [Del valor inicial] Si

y

existe y es igual a

,

entonces

Demostración: Como

y

siempre y cuando

siempre y cuando

sea continua a trozos y de orden exponencial. Tenemos que

sea continua por la derecha en

.

Ejemplo Si

, calcule

.

Solución Usando el teorema del valor inicial

Note que no fue necesario calcular

.

Teorema [Del valor final] Si

y el límite

existe, entonces

Demostración: Análoga a la anterior. El siguiente teorema establece la linealidad de la transformada inversa.

Teorema [Linealidad de la transformada inversa] Sean

y

intervalo

funciones continuas a trozos y de orden exponencial en el tales que

y

, entonces

Ejemplo Calcule

Solución Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primero debemos expandir

en fraciones parciales

ahora sí

El siguiente ejemplo ilustra el proceso que vamos a usar en la solución de ecuaciones diferenciales mediante Laplace. Es un ejemplo que puede ser resuelto de manera más eficiente con las técnicas ya estudiadas, pero el objetivo es aplicar algunas de las propiedades enunciadas hasta ahora e introducir la técnica de solución de ecuaciones diferenciales. Ejemplo Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial

Solución

Aplicando transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial

Ahora debemos de aplicar transformada inversa para hallar

Observación: está ecuación diferencial puede resolverse como una ecuación lineal con factor integrante

.