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• Sting Martinez

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Resumen Para poder exponer estos conceptos sobre el análisis de Fourier se da inicio desde definiciones de series e integrales de Fourier. Parte de conceptos iniciales para poder definir las transformadas, esto es la serie compleja, esta se define a partir de la serie de la serie de Fourier para funciones reales la cual la definimos a partir de la formula de Euler la cual cambia de un intervalo finito a uno infinito y está acompañado de un coeficiente enésimo, el cual tiene una importancia bastante extensa en el análisis. También se recurre a las integrales complejas de Fourier dado que a partir de ellas se puede también deducir la transformada de Fourier, así como también se muestran las consecuencias de hacer tender a infinito el medio periodo de una función para poder escribir debidamente la transformada de Fourier. Dadas las condiciones infinitas se podía definir la transformada de Fourier de manera integral. Una transformada integral es una transformación que a partir de funciones dadas produce nuevas funciones que dependen de una variable diferente como es el caso de las transformadas de Fourier que a partir de una integral pasan de una función que depende del tiempo a una función que depende de la frecuencia de la misma, este tipo de transformadas son de gran utilidad para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, ecuaciones diferenciales parciales, ecuaciones integrales. A partir de la definición de transformada de Fourier general es posible ver que su aplicación está muy limitada, o mejor dicho nula, dado que este tipo de transformadas son de gran utilidad en aproximaciones, por lo que realizar una aproximación infinita se torna algo complicado, se definió la transformada de Fourier finita para funciones de un periodo conocido, los cuales si se pueden definir, de ahí la importancia de los coeficientes enésimos, puesto que estos definen la transformada de Fourier finita. Posteriormente se mostró la forma de representar de manera grafica una transformada, además del plano (x,y), esto es en el espectro de amplitud y frecuencias, tanto para funciones pares o impares, es decir, funciones cuyos coeficientes de la serie de Fourier de la forma compleja son reales o imaginarios, nótese que para el caso de los imaginarios se toma su magnitud. Para complementar de manera simple la forma de representar estas transformadas se muestra un ejemplo sencillo a manera de saber que es un espectro de frecuencias y amplitud. Por último encontramos la convolución, recordando que una convolución es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función. Definiendo convolución en términos de la frecuencia como del tiempo dado que tanto las transformadas como las transformadas inversas son de gran importancia en el análisis. 2

Introducción La siguiente investigación recopila información importante acerca de un aspecto de sumo interés como lo es la transformada de Fourier, así como las definiciones de espectro de amplitud y de frecuencia, además de teoremas de convolución con respecto a alguna variable. Se recopilaron definiciones de libros de Matemática Avanzada, así como de cálculo y de análisis de Fourier, los primeros para poder ampliar los conceptos expuestos en los enfocados al análisis directo; así como también se retomó información de internet a fin de complementar lo ya adquirido además de encontrar un campo de aplicación más actual hacia los temas que se exponen. Los temas se exponen de una manera teórica partiendo de conceptos necesarios para la comprensión del desarrollo de la transformada de Fourier, así como también entender la razón de porque se llega a una u otra conclusión, además de exponer algunas propiedades importantes de las transformadas, las cuales se omite su demostración puesto que esto puede hacer el análisis tedioso. Se agrega al final algunas transformadas útiles como lo son la del coseno y el seno que aunque no se mencionan son de gran importancia, brevemente se trató de exponer las conceptualizaciones de los temas, sin hacer tanto hincapié en las particularidades de la misma a fin de tener clara la idea de estos. Cabe mencionar que también el teorema de convolución se da de una manera directa puesto que se presupone un conocimiento anterior a la definición de esta, aunque se menciona una definición breve de lo que es una convolución recopilado de diversas fuentes a fin de tener un completo concepto de ella.

3

Objetivos



¿Cómo se define la transformada de Fourier?



¿De dónde surge la transformada de Fourier?



¿Qué es la transformada de Fourier finita?



¿Cómo represento la transformada gráficamente?



¿Qué es el espectro de frecuencias y amplitud?



¿Cuáles son los teoremas de convolución?

4

Índice

Transformada de Fourier …………………………………………………………. 6    

Serie compleja de Fourier……………………………………………….….6 Integrales de Fourier…………………………………………………………7 Transformada de Fourier……………………………………………………8 Transformada finita de Fourier……………………………………………. 9

Espectro de Amplitud…….………………………………………………………….13 Espectro de Frecuencia……………………………………………………………..13 Teorema de convolución……………………………………………………………15 Conclusiones………………………………………………………………………....16 Bibliografía……………………………………………………………………………17 Tabla de transformadas de Fourier

5

Transformada Fourier Antes de comenzar a definir la transformada de Fourier es indispensable recordar y revisar algunos conceptos importantes en el análisis de Fourier. 

Serie de Fourier compleja

En muchas aplicaciones de las series de Fourier, es conveniente expresar estas series en términos de los exponenciales complejos Donde Si se considera la serie de Fourier de una función periódica ( ) , como: ( )

)

∑(

Sabemos que

Sustituyendo en la serie de Fourier se tiene lo siguiente ( )

∑(

(

)

(

))

Reacomodando términos se tiene

( )

∑ ((

)

(

)

)

Si nombramos 6

.

/

.

/

Entonces podemos escribir la serie como ( )

∑(

∑(

)

)

Lo cual es igual a ( )

∑(

)

∑(

)

Esta última ecuación se denomina serie compleja de Fourier de ( ) Los coeficientes de la serie ya los conocemos pero se pueden reescribir como ( )

∫

(

)

(



∫

)

∫

( )

( )

Integrales de Fourier

Las integrales de Fourier son generalizaciones de las series de Fourier de la forma: ( )

∑.

/

Dichas seres son representativas de una función periódica en que se obtiene creando los coeficientes a partir de la definición de la función en el periodo mínimo * +. Si una función definida en el conjunto de todos los números reales no tiene periodo, entonces se puede pensar en una analogía con las integrales de 7

Fourier permitiendo que y sustituyendo el índice de valores enteros por una función de valores reales . Los coeficientes y adoptan pues la forma ( ) ( ). Este planteamiento nos lleva a lo siguiente.

Para una función ( ) el teorema de la integral de Fourier afirma que la integral de Fourier de una función es ( )

∫ * ( )

( )

+

Donde

( )

∫

( )

( )

∫

( )

( ) ( ) con son generalizaciones de los coeficientes de Fourier y . El teorema de la integral de Fourier también se puede escribir con las formas: ( )

∫ ( )



( )

∫ ∫ ∫

( )

( (

) )

Transformada de Fourier

Ahora que se han recordado y analizado algunos aspectos sobre el análisis de Fourier podemos para una función que depende del tiempo ( ) a partir de la forma compleja de las series de Fourier ( )

∑(

)

Donde ∫

( ) 8

Ahora si suponemos que de la última ecuación, comienza a ser más pequeña, lo cual lo podemos describir como un límite como . Por lo que debe tender al infinito q medida que tiende a cero por lo que podemos decir que su producto es finito. Si aplicamos las premisas anteriores al coeficiente se encontrara que este deber tender a cero, y si multiplicamos ambos lados de esa ecuación por y después llevamos a cabo el proceso de limite, se obtiene lo siguiente ( )

∫

Podemos observar que del lado derecho de la expresión encontramos una función de y no de , así que representamos como ( )

∫

( )

(1)

Luego si aplicamos el proceso de límite y a la sumatoria la multiplicamos y dividimos por para no alterar la igualdad, comenzamos por:

( )

∑(

)

Y sustituimos a por la nueva función ( ) y ahora aplicamos el limite, la sumatoria se vuelve una integral y tenemos que ( )

∫

( )

(2)

Las ecuaciones (1) y (2) se llaman de manera colectiva par de trasformadas de Fourier, donde ( ) es la transformada de Fourier de ( ) y ( ) es la transformada inversa de Fourier de ( ). Cabe menciona que algunos autores suelen poner el término

en la transformada o colocar

√

en ambas ecuaciones

para mantener la igualdad. Si ( ) es par y periódica con período coeficientes son reales. Si ( ) es impar y periódica con período coeficientes son imaginarios puros.



los los

Transformada finita de Fourier

9

Dadas las expresiones anteriores, en la vida real no podemos hace un análisis de tiempo infinito dado que para funciones físicamente reales ( ) solo disponemos de intervalos de tiempo finito dados como ,

-ó 0

1 por lo que definimos

como transformada finita de Fourier a aquella que solo tiene en cuenta estos intervalos. Por lo tanto la transformada finita de Fourier se define al igual que el coeficiente . ( )

∫

Propiedades de las Transformadas de Fourier 1. Linealidad Si

y

son dos constantes arbitrarias entonces *

( )

*

( )+

( )+

*

( )+

2. Simetría 3. * ( )+

(

)

* ( ))+

( )

4. Cambio de escala * ( )+

. /

| |

5. Transformada de la conjugada * ( )+

(

)

6. Traslación de tiempo * (

)+

( )

7. Traslación de frecuencia ( )}

{

(

)

8. Derivación en el tiempo {

( )

}

( )(

)

9. Derivación en la frecuencia

10

*(

)

( )

( )+

10. Transformada de la integral

( )

{∫

( )

}

( ) ( )

11. Transformada de la convolucón * ( )

( ) ( )

( )+

Transformada de algunas funciones trascendentes 

Transformada de una delta * ( )+ * (





Transformada de una constante

* +

()

+

( (

)

(

+

( (

)

(

Transformada del coseno *



)+

)

Transformada del seno

*

)

11

Ejemplos: 1. Calcular la transformada de Fourier de Atreves de los teoremas anteriores podríamos fácilmente calcular la transformada la cual sería: *

+=

( (

)

(

)

Lo que nos daría una grafica como la siguiente:

Ejemplo 2. Encuentre la Transformada de Fourier de ( )definida por: ( )

{

Donde Solución Sabemos que ( )

( )

∫

Por lo que se tiene que ( )

∫ ∫

(

(

(

)

)

2

)

(

)

12



Espectro de amplitud

La grafica de la magnitud de los coeficientes contra la frecuencia angular se denomina espectro de amplitud de la función periódica ( ), puesto que no es una curva continua, se le suele denominar espectro de línea. 

Espectro de frecuencia compleja

La grafica de la magnitud de los coeficientes complejos contra la frecuencia angular se denomina espectro de amplitud de la función periódica ( ). La grafica de de frente a se denomina espectro de fase de ( ), a este tipo de espectros se les denomina de frecuencia discreta o espectros de líneas. Ejemplo: Sea ( ) el tren de pulsos de ancho p y periodo grafica

dado por la siguiente

A manera de ejemplo suponemos que p=1 y que , procedemos a calcular unos coeficientes y el espectro de amplitud se vería de la siguiente manera

Por último si calculáramos la magnitud de la fase de esos coeficientes, obtendríamos los puntos para el espectro de frecuencia que se vería de la siguiente manera 13

Ejemplo Si ( )

podremos calcular su transformada ya que: *

+

( (

)

(

)

La cual sería: * +

( (

)

(

)

En el espectro se su grafica sería la siguiente:

14



Teorema de Convolución

El teorema de convolución establece que bajo determinadas circunstancias, la transformada de Fourier de una convolución es el producto punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio por ejemplo el dominio del tiempo es equivalente al producto punto en el otro dominio es decir dominio de frecuencias. Supongamos que y y ∫ | ( )| ∫ | ( )| ∫

son acotadas y continuas en la recta real tal que ambas convergen. Entonces, ( )

( )

∫

( )

∫

( )

Entonces la convolución en el tiempo está dada por *

+( )

( ) ( )

Y la convolución en la frecuencia está dada por * ( )

( )+ ( )

(

)( )

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Conclusiones La importancia de la transformada de Fourier no se limita a una sola rama de la ciencia pero sus aplicaciones diversas casi siempre tienen el mismo objetivo, a saber la representación de una función en términos de la frecuencia, esto con el fin de dar hincapié al análisis con respecto a la frecuencia. Esto parece obvio de la definición de transformada pero no en la aplicación de la misma, pensemos por ejemplo en sistema de comunicaciones inalámbrico, es decir comunicaciones por radiación, para poder radiar información se necesita una frecuencia que transmita dicha información, la forma de la onda también suele ser un factor importante, pero ya que este tipo de comunicaciones están expuestas al ruido, necesitamos hacer análisis sobre frecuencia para no interferir con alguna otra onda. Esto hace evidente incluso el análisis en el espectro de frecuencias, pues podemos medir la potencia de las ondas en base a estas ecuaciones. La utilidad torna en la facilidad, relativa para algunos, de manejar funciones en el dominio del tiempo, puesto que no siempre la problemática dependerá de ello. Conocer estos conceptos nos permiten conocer también que representación matemática se le damos a fenómenos físicos como los filtros moduladores, las representaciones graficas de las frecuencias, a saber un analizador de funciones, esto nos ayuda a su vez resolver problemas de una manera más analítica que matemática puesto que quizás el análisis teórico puede costar mucho tiempo la parte física, explicada anteriormente, da pauta a un mejor análisis en el campo de las comunicaciones, así como también en la aplicación teórica de sistemas lineales, como lo es el caso de la convolución. Finalmente se puede concluir que los conceptos aquí expuestos son la base de algunos sistemas de comunicaciones y análisis de señales eléctricas, simplifican un análisis riguroso y además proporcionan de manera grafica información sobre parámetros distintos.

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Bibliografía Kreyszig Erwin. (2001). Matemáticas avanzadas para ingeniería. (3a ed.). México: Limusa Wiley. O’Neil Peter V. (2004). Matemáticas avanzadas para ingeniería. (5a ed.). México: Thomson Hwei P. Hsu. (1973). Análisis de Fourier. México: Pertince Hall Hayt H. William y Kemmerly E. Jack. (2007). Análisis de circuitos en ingeniería. (7a ed.). México: McGraw Hill

Páginas de internet consultadas http://es.wikiversity.org/wiki/La_Transformada_de_Fourier http://www.lawebdefisica.com/apuntsmat/trans/ http://mna.wikidot.com/fourier#toc6 http://www.uhu.es/07021/ficheros/Temas/ampte8.pdf http://www.dm.uba.ar/materias/matematica_4/2007/1/tablafou.pdf

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