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ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO DEBER DE MATEMÁTICA SUPERIOR Nombre: Germán Moncayo Galárraga

Carrera: Ing. Mecánica

1. TRANSFORMADA DE FOURIER 1.1. Introducción.La transformada de Fourier tiene una multitud de aplicaciones en muchas áreas de la ciencia e ingeniería como por ejemplo: la física, la teoría de los números, la combinatoria, el procesamiento de señales (rama de la electrónica), la teoría de la probabilidad, la óptica, la estadística, propagación de ondas y otras áreas. En procesamiento de señales la transformada de Fourier suele considerarse como la descomposición de una señal en componentes de frecuencias diferentes, es decir, g corresponde al espectro de frecuencias de la señal f. La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico. 1.2. Definición.La función F (w) se conoce como la transformada de Fourier y se define como: ( ) Análogamente [ está dado

]

[ ( )]

∫

( )

es el símbolo que se utiliza para la inversa es decir obtener f(t) cuando f(w)

[ ( )]

( )

∫

( )

La condición para que la transformada de Fourier F (w) exista está dada por: ∫ ⌈ ( )⌉ En otras palabras la integral de valor absoluto de f (t) debe ser finita. 2. TEOREMAS IMPORTANTES  Linealidad: [ 

( )

]( )

Corrimiento respecto a la variable x:

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[ ]( ) Si

[ ]( )

es un número real fijo

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[ ( 

)]( )

Corrimiento respecto a la variable w: Si

)]( )

)

[ ]( )

| |

Si [ ( )]( )

| |

Simetría [ [ ]]( )





)

Si

Cambio de escala respecto a la variable w: [ ](



[ ](

Cambio de escala respecto a la variable x: [ (



es un número real fijo

( )]

[ 

[ ]( )

Modulación:

Si

(

)

es un número real

[ ( )

(

)]( )

( [ ](

)

[ ](

))

[ ( )

(

)]( )

( [ ](

)

[ ](

))

Diferenciación respecto a la variable x:

Si f es diferenciable en

( )

y

[ ]( ) Si f es n – veces derivable en

[ ]( )

( )

y [

( )

]( )

(

)

[ ]( )

Si ( ), f es continua salvo en finitos puntos {x1,…, xm} que son discontinuidades de salto, f’ es continua a trozos [ ]( )

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[ ]( )

∑[ (

)

(

)]

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Diferenciación respecto a la variable w:

Con f continua a trozos y

( ) [



̂( )( )

( )]( )

Transformada de una integral:

Con g continua a trozos,

( ) y superior que ̂( ) [∫

( )

]( )

̂( )

3. TEOREMA DE CONVOLUCIÓN 3.1. Definición.La Transformada de Fourier de una convolución es el producto punto a punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es decir dominio espectral). Sean f y g dos funciones cuya convolución se expresa con f * g. Sea el operador de la transformada de Fourier, con lo que [ ] y [ ] son las transformadas de Fourier de f y g, respectivamente. 

Convolución con la variable x: [



]( )

[ ]( ) [ ]( )

Convolución con la variable w: [ ]( )

( [ ] [ ])( )

4. RELACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER CON OTRAS TRANSFORMADAS Una de las transformadas con que se relaciona es, la Transformada de Laplace. La relación es que Laplace trabaja en todo el plano complejo mientras que Fourier recorre el eje imaginario. Es decir que la transformada de Fourier se obtiene reemplazando s = iw en la transformada de Laplace, donde “s” es la variable de Laplace, “w” es la frecuencia angular e “i” al cuadrado es -1. La transformada de Fourier, se utiliza para ver el espectro de señales y la transformada de Laplace se utiliza para analizar la estabilidad de sistemas.

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Ilustración 1

5. APLICACIONES AL ANÁLISIS DE SEÑALES La teoría de señales es la rama de la matemática que estudia las señales y los sistemas que los transmiten e involucra herramientas de análisis armónico (generalización del análisis de Fourier), de los espacios vectoriales, entre otras. Se define como señal a la variación en el tiempo o el espacio de una magnitud física o de otra naturaleza. Por ejemplo:     

La intensidad de la corriente eléctrica. El nivel gris de los puntos de una imagen. Un electrocardiograma. Un sonido. La evolución del índice de la bolsa de valores.

Tipos de señales: Según la presencia de elementos probabilísticos:  

Estocástica. Determinística.

Según la variable independiente:  

Continua. Discreta.

Según la periodicidad:

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Periódica. No periódica.

Algunas de las señales elementales, se pueden presentar mediante funciones conocidas, entre ellas tenemos: a) Función Heaviside Esta señal se denota por u (t) y se define por ( )

( )*

Ilustración 2

b) Señal rectangular

Ilustración 3

c) Señal sinusoidal

Ilustración 4

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ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO REFERENCIAS: http://www.slideshare.net/docdigitus/analisis-de-fourier-para-seales http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier http://www.monografias.com/trabajos32/fourier-y-laplace/fourier-y-laplace.shtml http://euler.us.es/~renato/clases/mm2/prob-ser-fou5.pdf

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