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• Carlos Daniel

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MATEMÁTICA SUPERIOR INGENIERIA EN SISTEMAS Series de Fourier El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Areas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al uso de un analizador de espectros.

Representación mediante una serie de Fourier Si una función f , de la variable independiente t, con periodo 2π es seccionalmente continua en el intervalo − π ≤ t ≤ π y tiene derivada por izquierda y por derecha en cada punto de ese intervalo, entonces la serie de Fourier correspondiente es convergente. Si la serie de Fourier es correspondiente a una función f converge con la suma de f(t) se dirá que se trata de una seria de la s0erie de Fourier de f y se escribe: f(t) =

a0 + a1 cos t + b1 sent + K + a n cos(nt ) + bn sen(nt ) + K (1) 2

Pero esta serie (1) se puede expresar de una forma más breve: f(t ) =

a0 ∞ + ∑ (a n cos nt + bn sennt ) 2 n=1

Los coeficientes (a 0 a n bn ) para funciones con este periodo se obtienen a partir de:

a0 =

1

π

π

∫π

f (t )dt a n =

−

π

1

π

∫π

f (t ) cos ntdt bn = 1 π

−

π

∫π f (t ) sin ntdt

−

f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)

2

1

f(t ) 0

-1

-2

0

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Prof. Marina Bloeck Lic. Nori Cheein de Auat Alumno: Nuñez, Juan Francisco Martin

10

15

t

20

25

30

1

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Funciones que tienen periodo arbitrario Si la función no tiene periodo 2π necesitamos hacer una transición de este periodo a las que tienen cualquier periodo T. Supongamos que f(t) (t variable independiente) tenga un periodo T; entonces puede introducirse una nueva variable x tal que f, como función de x tenga periodo 2π . t=

T 2π x⇒x= t 2π T

Esto significa que f como función de x tiene periodo 2π . Ahora expresamos la serie de la siguiente forma:

 T  a0 ∞ f(t ) = f  x  = + ∑(an cosnt + bn sennt)  2π  2 n=1 Con coeficientes (a 0 a n bn ) obtenidos a partir de las formulas de Euler:

a0 =

π

 T f ∫ π −π  2π 1

1  x dx − a n = π 

π

T ∫−π f  2π

π

1  T  x  cos nxdx − bn = ∫ f  π −π  2π 

 x  sennxdx 

T 2π 2π x⇒x= t , se tiene que dx = dt y el intervalo de 2π T T integración sobre el eje x corresponde al intervalo:

Pero dado que t =

−T T ≤ t ≤ (2) 2 2

A continuación mostraremos por que los extremos de integración toman esos valores (2) T x = + π , entonces x: − 2π

Valor asumido: x = −π T T −T x= −π = 2π 2π 2

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MATEMÁTICA SUPERIOR INGENIERIA EN SISTEMAS Valor asumido: x = π

T T T x= π= 2π 2π 2

En consecuencia:

a0 =

an =

bn =

2 T 2 T

2 T

T 2

∫ f(t )dt

−T 2

T 2

∫ f(t ) cos

−T 2 T 2

∫

−T 2

f(t ) sin

2 nπ tdt T 2nπ tdt T

A partir de estos resultados expresamos la serie de Fourier de la siguiente manera: ∞ a0 ∞ 2nπ 2nπ f(t ) = + ∑ a n cos t + ∑ bn sin t 2 n =1 T T n =1

EL INTERVALO DE INTEGRACION PUEDE REEMPLAZARSE POR CUALQUIER INTERVALO DE LONGITUD T

Funciones pares e impares: Ciertas propiedades de las funciones se reflejan en sus series de Fourier Función par: Sea f(x) una función de valor real de una variable real. Entonces f es par si se satisface la siguiente ecuación para todo x en el dominio de f: Prof. Marina Bloeck Lic. Nori Cheein de Auat Alumno: Nuñez, Juan Francisco Martin

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f( − x ) = f( x ) Algunos ejemplos de funciones pares son:

x 4 , x 2 , cos( x), x

Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con respecto al eje y, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una reflexión sobre el eje y.

Si f es par entonce el integrando

bn =

2 T

T 2

∫

−T 2

f(t ) sin

2nπ tdt T

es impar y

bn = 0

Función impar: Nuevamente, sea f(x) una función valor real de una variable real. Entonces f es impar si se satisface la siguiente ecuación para todo x en el dominio de f:

f( − x ) = − f( x ) Algunos ejemplos de funciones impares: Prof. Marina Bloeck Lic. Nori Cheein de Auat Alumno: Nuñez, Juan Francisco Martin

x 3 , x, sin( x) 4

MATEMÁTICA SUPERIOR INGENIERIA EN SISTEMAS Desde un punto de vista geométrico, una función impar posee una simetría rotacional con respecto al origen de coordenadas, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una rotación de 180 grados alrededor del origen.

IMPORTANTE: En las series de Fourier las funciones impares aparecen solo los términos de la función seno. En las series de Fourier correspondientes a funciones pares aparecen solo los términos del coseno.

Si f es impar el integrando

an =

2 T

T 2

∫ f(t ) cos

−T 2

2nπ tdt es par y an = 0 T

Series de Fourier de funciones pares e impares La serie de Fourier de una función par f(t) de periodo T es una serie cosenoidal de Fourier

a0 ∞ 2nπ f(t ) = + ∑ an cos t 2 n =1 T Con coeficientes: T 2

a0 =

T 2

4 f(t )dt an = 4 ∫ f(t ) cos 2nπ tdt ∫ T 0 T 0 T

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La serie de Fourier de una función impar f(t) de periodo T es una serie senoidal de Fourier ∞

f(t ) = ∑ bn sin n =1

2nπ t T

T 2

bn =

4 2nπ f(t ) sin tdt ∫ T 0 T

Desarrollos de medio rango En problemas de la física e ingeniería es necesario aplicar las series de Fourier a funciones escalares que solo están definidas sobre algún intervalo finito.

f1 (t) = f(t) con f1 (t) par y un intervalo 0 ≤ t ≤ L , f1 recibe el nombre de extensión periódica PAR T Ahora este es nuestro intervalo finito: 0 ≤ t ≤ L si hacemos L = por lo tanto 2 T 0 ≤ t ≤ L se corresponde con el intervalo de integración 0 ≤ t ≤ 2 Empleando nuestro intervalo de medio rango y periodo T = 2 L a una serie cosenoidal se obtiene:

a0 ∞ nπ f(t ) = + ∑ an cos t 2 n =1 L Con coeficientes: L

2 a0 = ∫ f(t )dt L0 L

2 nπ an = ∫ f(t ) cos tdt L0 L De manera analoga se obtiene una serie senosoidal de Fourier, la cual representa una función impar. f 2 (t) = f(t) con 0 ≤ t ≤ L , f 2 recibe el nombre de extensión periódica IMPAR. Se deduce que: ∞

nπ f(t ) = ∑ bn sin t L n =1 Prof. Marina Bloeck Lic. Nori Cheein de Auat Alumno: Nuñez, Juan Francisco Martin

L

y con coeficientes

2 nπ bn = ∫ f(t ) sin tdt L0 L 6

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Forma compleja de una serie de Fourier Consideremos una serie de Fourier para una función periódica f(t) con periodo T =

2π

ϖ0

.

A partir de este periodo rescribimos la serie de Fourier: ∞ a0 ∞ 2nπ 2nπ f(t ) = + ∑ a n cos t + ∑ bn sin t (1) 2 n =1 T T n =1

Quedando de la siguiente manera: ∞ ∞ 1 f(t ) = a0 + ∑ an cos nω0t + ∑ bn sin nω0t (2) 2 n =1 n =1

Para facilitar los cálculos obtenemos una formula alternativa utilizando las formulas de Euler

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1 jtnϖ 0 cos nω0t = e + e − jtnϖ 0 (3) 2 1 jtnϖ 0 sin nω0t = e − e − jtnϖ 0 (4) 2j

(

)

(

)

j = −1 Sustituyendo (3) y (4) en (2). ∞   1 jtnϖ 0 1 1  − e − jtnϖ 0 f(t ) = a0 + ∑  an  e jtnϖ 0 + e − jtnϖ 0  + bn  e 2 2  n =1  2 j

(

Por propiedad matemática

)

(

)  

1 =−j j

∞ 1 1 1  f(t ) = a0 + ∑  e jtnϖ 0 (an − bn j ) + e − jtnϖ 0 (an + bn j )  2 2  n =1  2

Definiendo:

c0 =

1 1 1 a 0 ; c n = (a n − bn j ); c − n = (a n + bn j ) 2 2 2

Obteniendo así resultados congruentes con la formula para bn ya que bn corresponde a la función seno y es impar b −n = b n ∧ f(− t) = − f(t) . La serie puede escribirse como:

∞

f(t) = ∑ cn

jntω0

−∞ A la expresión obtenida se le llama forma compleja de la serie de Fourier

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Teorema de PARSEVAL

El promedio o valor medio de una señal cualquiera f(t) en un periodo T se puede calcular como la altura de un rectángulo que tenga la misma área que el área bajo la curva de f(t) T

f(t)

Area= ∫ f (t)dt 0

h=Altura Area=Th

promedio

T De acuerdo a lo anterior, si una función periódica f(t) representa una señal de voltaje o corriente, la potencia promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm en un periodo está dada por T 2 2 1 T −T 2

∫ [ f (t )] dt

2 Si f(t) es periódica, también lo será y el promedio en un periodo será el promedio en cualquier otro periodo. 2 El teorema de PARSEVAL nos permite calcular la integral de

[ f (t )]

[ f (t )]

T 2

1 T

2

∞ a0 2 2 a n + bn ∫−T [ f (t )] dt = 2 + ∑ n =1 2

(

)

Una consecuencia importante es: 2

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MATEMÁTICA SUPERIOR INGENIERIA EN SISTEMAS T 2

lim n →∞

∫ f (t ) sin

−T 2 T 2

lim n →∞

∫ f (t ) cos

−T 2

nπt dt = 0 T nπt dt = 0 T

Que se conoce como el teorema de Riemann.

Diferenciación termino a término Vamos a considerar a las series de Fourier como posibles soluciones de ecuaciones diferenciales. Supongamos una función f continua para toda t, periodica y con periodo 2L, y que su derivada f ' es suave por partes para toda t. Entonces la serie de Fourier de f ' es la serie: nπt nπ nπ   nπ f ′(t ) = ∑  − a n sin + bn cos  esta serie se obtuvo diferenciando termino L L L   L ∞ a a termino f(t ) = 0 + ∑ (a n cos nt + bn sennt ) 2 n=1

Transformadas finitas de Fourier La transformada finita de seno de Fourier f (t ),0 ≤ t ≤ L se define como: L

nπt dt L 0 Donde n es un entero. La función f(t) se llama inversa de la transformada finita del seno de Fourier de f s (n) y esta definida por: f s (n) = ∫ f (t ) sin

f (t ) =

2 ∞ nπt f s (n) sin ∑ L n =1 L

La transformada finita de coseno de Fourier f (t ),0 ≤ t ≤ L se define como: L

f c (n) = ∫ f (t ) cos 0

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nπt dt L

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MATEMÁTICA SUPERIOR INGENIERIA EN SISTEMAS Donde n es un entero. La función f(t) se llama inversa de la transformada finita del coseno de Fourier de f c (n) y esta dada por: f (t ) =

1 2 ∞ nπt f c (0) + ∑ f c (n) cos L L n =1 L

La FFT (TRANSFORMADAS FINITAS DE FOURIER) ha hecho posible el desarrollo de equipo electrónico digital con la capacidad de cálculo de espectros de frecuencia para señales del mundo real, por ejemplo: • • •

Osciloscopio digital Fuke 123 Osc. Digital Tektronix THS720P Power Platform PP-4300

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MATEMÁTICA SUPERIOR INGENIERIA EN SISTEMAS Integral de Fourier f(x) satisface las siguientes condiciones: 1) f (x) satisface las condiciones de Drichlet en cada intervalo finito − π ≤ t ≤ π ∞

2)

∫

f (t ) dt es convergente, es decir es absolutamente integrable en − ∞ ≤ t ≤ ∞

−∞

Entonces el teorema de la integral de Fourier establece que: ∞

f (t ) = ∫ {A(λ ) cos(λt ) + B(λ ) sin(λt )}dλ 0

De donde A(λ ) = B (λ ) =

1

π

1

π

∞

∫ f (t ) cos(λt )dt −∞

∞

∫ f (t ) sin(λt )dt −∞

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