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• Moises Almanzar

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Moisés Pereyra, Freddy Santana, Alberto Guzmán, Marcell Bello, Daniel Alcantara

La Transformada de Fourier 

Abstracto— Aquí se presenta el uso del operador matemático conocido como Transformada de Fourier, el cual nos permite analizar y diseñar diversos sistemas y/o problemas de ingeniería. Aquí utilizaremos esta transformada integral para modelar el comportamiento de algunos fenómenos físicos que influyen en la modulación y demodulación de señales utilizadas en circuitos. Todas las señales pueden analizarse matemáticamente con ecuaciones diferenciales, integrales e integro-diferenciales, pero hay que tener en cuenta que para cada caso se presentan ecuaciones con una variada dificultad y como las señales son un fenómeno físico un poco peculiar, debido a que no se puede analizar de forma tangible, sino, que se deben analizar las ondas y vibraciones que estas proporcionan. Estas ecuaciones suelen volverse muy complejas, por lo cual se suele utilizar la Transformada de Fourier para cambiar el dominio (Temporal o frecuencial) de la función. Una vez hecho esto se puede resolver la ecuación de la señal de una manera más sencilla y se le aplica la transformada inversa para obtener su resultado.

I. NOMENCLATURA Señal Analógica: indica una señal que se puede representar matemáticamente por un conjunto de valores continuos. Contrariamente a una "señal digital", que utiliza una serie de cantidades discretas para representar la señal. Frecuencia: Número de ondas, vibraciones o ciclos realizados en una unidad de tiempo determinado. Densidad espectral de energía: Es la que indica cómo se encuentra distribuida la energía a lo largo del eje frecuencial. Demodulación: es el acto de extracción de la señal portadora de información original a partir de una onda portadora modulada.

que trabajan con la frecuencia y radiofrecuencia de diversos sistemas y las distintas ecuaciones que modelan el comportamiento de distintas señales.

III. FILTRADO ANALÓGICO DE SEÑALES Hay muchas herramientas que permiten procesar señales analógicas Estos valores analógicos suelen representar un voltaje, una corriente eléctrica, o una carga eléctrica en torno a los componentes de los dispositivos electrónicos. Un error o ruido que afecte estas magnitudes físicas se traducirá en el error correspondiente en las señales representadas por dichas magnitudes físicas. La transformada de Fourier es una función que transforma una señal o sistema del dominio temporal al dominio frecuencial, pero solo funciona para ciertos casos. La restricción con la que los sistemas o las señales pueden ser transformados por la transformada de Fourier es que:

Esta es la integral de la transformada de Fourier:

La mayoría de las veces la transformada de Fourier no se calcula directamente por integración. Lo que se hace es utilizar una tabla de transformación de pares para encontrar la transformada de Fourier de una señal o sistema. La transformada inversa de Fourier se utiliza para pasar del dominio frecuencial al dominio temporal:

Cada señal o sistema que puede ser transformado tiene una única transformada de Fourier, solo hay una señal de tiempo y una señal de frecuencia que se correspondan vis a vis.

IV. TEOREMA DE PARSEVAL

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II. INTRODUCCIÓN

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ste informe es un trabajo dedicado a la aplicación de la Transformada de Fourier para modelar matemáticamente los algoritmos utilizados para trabajar con señales tanto en el dominio temporal, como en el dominio frecuencial. Contiene información sobre el proceso que se debe seguir para analizar los diversos tipos de filtros

En matemáticas, el Teorema de Parseval demuestra que la Transformada de Fourier es unitaria; es decir, que la suma (o la integral) del cuadrado de una función es igual a la suma (o a la integral) del cuadrado de su transformada. Esta relación procede de un teorema de 1799 sobre series, cuyo creador fue Marc Antoine Parseval. Esta relación se aplicó más tarde a las Series de Fourier. Aunque la Relación de Parseval se suele usar para indicar la unicidad de cualquier transformada de Fourier, sobre todo en física e ingeniería, la forma generalizada de este teorema es la Relación de Plancherel.

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La energía de una señal se define como:

Si X(t) ɛ L2 entonces tiene energía finita. Supongamos que X(Ω) ɛ L1, entonces utilizando la fórmula de la transformada inversa para X’(t) podemos escribir:

Si intercambiamos el orden de integración, se tiene:

Por tal motivo la energía de la señal puede ser encontrada utilizando su transformada de Fourier X(Ω), de acuerdo a:

puede ejecutar en línea debido a los fuertes requerimientos computacionales. Nuestras operaciones de filtrado se llevan a cabo en la reversión el dominio de la frecuencia de la señal, y esto se lleva a cabo usando el algoritmo de la transformada rápida de Fourier. A. Modulación y transmisión Supongamos que nuestra información esta entregada por muestras del sistema f ( t )=t e−t / 2 , tomados en intervalos T =0.001 s . Usaremos esta señal para modular la señal portadora cos ( 50∗2∗π∗t ) . Una segunda señal portadora está dada por cos ( 120∗2∗π∗t ) , y esta se puede pensar como la portadora de la señal f ( t )=1 . Combinamos estas dos señales y esto corresponde a la generación de la señal y la parte de transmisión de todo el proceso.

∞

1 E= ¿ X (Ω)∨¿2 d Ω ∫ 2 π −∞ ¿

La norma L2 de la señal X(t) es directamente proporcional a la norma L2 de su transformada X(Ω) y esta relacionadas por la ecuación:

¿ X ( Ω )∨¿2 1 ¿ X ( t ) ∨¿2= ¿ 2π ¿

Si una señal pertenece a L2 entonces su transformada de Fourier también pertenece a L2. Por tal motivo, la transformada de Fourier puede verse como una función de L 2 a L2. Por ejemplo, la transformada de un pulso es la función sinc, dado que el pulso pertenece a L 2 entonces el sinc también pertence a L2. La función |X(Ω)|2 se conoce como densidad espectral de energía y da información de cómo está repartida la energía de la señal en las diferentes frecuencias. El área de la densidad espectral de energía en un intervalo dado nos indica la cantidad de energía de la señal que se encuentra en ese rango de frecuencias. En general, este teorema dice que la energía total de la señal es igual a la energía total de su transformada de Fourier a lo largo de todas sus componentes frecuenciales. V. MODULACIÓN Y DEMODULACIÓN DE AMPLITUD. FILTRADO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA. Estos son los procesos por los cuales una señal portadora de información puede combinarse con otras señales para transmisión a lo largo de un canal, y luego recuperarla de tal manera que la información transmitida pueda extraerse. Cuando varias señales tienen que ser transmitidas al mismo tiempo, a lo largo de un solo canal, una solución es el uso del método de la modulación de amplitud. Suponemos que el canal es ruidoso, de manera que la señal recibida tiene ruido, asi que esta señal debe limpiarse y demodularse utilizando las técnicas de filtrado en el dominio de la frecuencia. Esta idea se describe y se implementa fácilmente pero usualmente no se

B. Estado de demodulación El propósito de esta operación es extraer la información de una onda portadora y se puede probar que la multiplicación de la señal en el tiempo por el cos ω c T , donde ω c , es la frecuencia de la onda portadora, tiene el efecto de correr el espectro de la señal modulada de manera que nuevamente este centrada en el origen. Para realizar la operación de multiplicación debemos regresar al dominio del tiempo y esto es posible utilizando el algoritmo de la Transformada Rápida de Fourier inversa. C. Recuperación de Señales finales La última operación que debemos realizar es volver al dominio del tiempo para examinar lo que hemos conseguido. Después de realizar la Transformada Rápida de Fourier inversa, la señal extraída se dibuja juta con la original para compararlas. Si el proceso se lleva a cabo en ausencia de ruido, se logra una excelente recuperación de la señal, excepto por los característicos “zumbidos” debidos a los picos de los filtros. VI. MUESTREO. Las señales discretas están relacionadas con una señal de tiempo continuo; en otras palabras, las sucesiones discretas serán consideradas como la representación de una señal continua. Es notable que, bajo ciertas restricciones, una señal continua en el tiempo pueda ser representada solamente por algunos de sus valores, correspondientes a determinados instantes (discretos) de tiempo, y también que pueda ser recuperada a partir de ellos. Esta propiedad sorprendente es consecuencia de un resultado básico que se conoce como teorema del muestreo. la manera habitual de obtener una representación discreta en el tiempo de una señal continua en tiempo es tomado muestras cada determinado período de tiempo T. En otras palabras, la señal discreta x[n] se obtiene al tomar muestras cada T segundos de una señal continua xc(t), de acuerdo a la siguiente relación.

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x [ n ]=x c ( t )

t=nT −∞