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• Oriel Mojica

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Procesamiento Digital de Señales Tema 2. La transformada de Fourier en tiempo discreto. El teorema de muestreo.

Índice del tema 1. 2.

Introducción. Series de Fourier (señales periódicas). 1. 2.

3.

Transformada de Fourier (señales no periódicas). 1. 2. 3. 4. 5.

4.

6.

Energía. Densidad espectral de energía. Ejemplos. Propiedades de la DTFT.

El teorema del muestreo. La Transformada discreta de Fourier (DFT). 1. 2. 3.

7.

Transformada de Fourier. Energía. Densidad de energía espectral. Ejemplos. Propiedades

Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT). 1. 2. 3. 4.

5.

Potencia y densidad de potencia espectral. Ejemplos.

Ejemplos. Propiedades. Algoritmos rápidos de cálculo (FFT: Fast Fourier Transform).

Aplicaciones (estimación espectral).

Procesamiento Digital de Señales (PDS)

Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas

Introducción a la transformada de Fourier (1/2) „

Ejemplo: … Luz

blanca que pasa a través de un prisma.

Violeta Azul Verde Amarillo Naranja Rojo

Rayo de luz solar

Prisma de vidrio

Procesamiento Digital de Señales (PDS)

Pantalla

Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas

Introducción a la transformada de Fourier (2/2) „

Es una de las herramientas más útiles en procesado de señal.

„

Se basa en la descomposición de una señal en términos de un conjunto de funciones base (sinusoides de diferente frecuencia).

„

Señales continuas (analógicas): Periódicas: … No periódicas: …

„

Series de Fourier. Transformada de Fourier.

Señales discretas (digitales): Periódicas: … No periódicas: …

Series de Fourier en tiempo discreto (DTFS) Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)

Procesamiento Digital de Señales (PDS)

Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas

Series de Fourier (señales periódicas) „

Toda señal de periodo Tp=1/F0 se puede expresar por medio una serie de Fourier: T +∞

x (t ) =

∑

c k e j 2πkF0t

;

k = −∞

Equivalentemente:

∞

x (t ) = a0 +

∑ [a

k

1 ck = Tp

p

∫

x (t )e − j 2πkF0t dt

0

cos( 2πkF0 t ) − bk sin(2πkF0 t )]

k =1

a0 = c 0

„

Potencia (Tª Parseval): 1 Px = Tp

„

ak = 2 c k cos θ k

;

Tp

∫

2

x (t ) dt =

0

+∞

∑

ck

;

bk = 2 c k sinθ k

2

k = −∞

Densidad de potencia espectral: …

Potencia del armónico kF0 de la señal

Procesamiento Digital de Señales (PDS)

Pk= |ck|2

Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas

Ejemplo 1: Tren periódico de pulsos rectangulares 1 c0 = Tp ck = =

Procesamiento Digital de Señales (PDS)

1 Tp

1 x (t )dt = 2 Tp

Tp 2

∫

−Tp

τ 2

∫τ

∫τ

Ae − j 2πkF0t dt =

− 2

Aτ sin(πkF0τ ) Tp πkF0τ

τ 2

Adt =

− 2

Aτ Tp

− j 2πF0 kt

A e Tp − j 2πkF0

τ 2

−τ 2

k = ±1,±2,...

Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas

Ejemplo 1: (continuación) „

La señal se puede aproximar mejor con un número finito de armónicos. N

x(t ) ≅ a0 + ∑ [ak cos(2πkF0t ) − bk sin( 2πkF0t )] k =1

„

Ejemplo: tren de pulsos. Al ser los coeficientes ck reales, …

θk= 0

∀k

a0 = c 0

ck = A ;

τ sin(πk τ Tp ) Tp πk τ Tp

ak = 2 c k cos θ k N

∑c

x (t ) ≅ c 0 + 2

k

;

θk = 0 bk = 2 c k sinθ k = 0

cos( 2πk t Tp )

k =1

Ejemplo

Procesamiento Digital de Señales (PDS)

Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas

Transformada de Fourier (señales aperiódicas) „

Se define la transformada de Fourier de x(t) como:

∫ x (t ) = ∫

X (F ) =

+∞

−∞ +∞ −∞

„

X (F )e j 2πFt dF

Energía de una señal (Tª Parseval): Ex =

„

x (t )e − j 2πFt dt

+∞

∫−∞

2

x (t ) dt =

+∞

∫−∞

2

X (F ) dF

Densidad espectral de energía: S xx (F ) = X (F )

Procesamiento Digital de Señales (PDS)

2

Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas

Ejemplo 1: Pulso rectangular τ 2

X (F ) =

∫

Ae − j 2πFt dt

−τ 2

sin(πFτ ) = Aτ πFτ

2 2 ⎡ sin(πFτ ) ⎤

S xx (F ) = A τ ⎢ ⎣

Procesamiento Digital de Señales (PDS)

πFτ

⎥ ⎦

Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas

2

Propiedades de la transformada de Fourier „

Linealidad: …

„

Simetría: …

„

F{x(t)∗h(t)}= H(F)X(F)

Teorema de convolución en frecuencia: …

„

F{exp(j2πF0t)·x(t)}= X(F-F0)

Teorema de convolución: …

„

F{x(t-t0)}= exp(-j2πFt0)·X(F)

Traslación en frecuencia: …

„

F{x(kt)}= X(F/k)/k

Traslación en el tiempo: …

„

F{X(t)}= x(-F)

Escalado: …

„

F{a·x1(t)+b·x2(t)}=a·F{x1(t)}+b·F{x2(t)}

F{x(t)·h(t)}= H(F) ∗ X(F)

Teorema de Parseval:

∫

+∞

−∞

Procesamiento Digital de Señales (PDS)

x (t )dt = ∫ 2

+∞

−∞

2

X ( F ) dF

Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas

Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) „

Def.: La DTFT de una secuencia x(n) de energía finita se define como:

X (w ) =

+∞

∑

x (n )e

− jwn

;

n = −∞

1 x(n ) = 2π

π

∫−π

X (w )e jwn dw

w=2πf (con f=F/Fs) „

X(w) es periódica de periodo 2π:

„

Energía (relación de Parseval): +∞

X(w+2πk)= X(w).

1 Ex = x(n ) = 2π n = −∞

∑

„

Densidad espectral de energía:

Procesamiento Digital de Señales (PDS)

2

π

∫−π

2

X (w ) dw

S xx (w ) = X (w )

2

Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas

Resultados: „

Periodicidad: La DTFT es periódica de periodo 2π.

X (ω ) = X (ω + 2π ) …

„

Sólo se necesita uno de los intervalos [0, 2π] o [- π, π].

Simetrías para secuencias reales: Re[X (−ω )] = Re[X (ω )]

X (ω ) = X (−ω ) ∗

⇒

Im[ X (−ω )] = − Im[ X (ω )] X (−ω ) = X (ω ) arg[X (−ω )] = − arg[X (ω )]

…

Sólo se necesita el intervalo [0, π].

Procesamiento Digital de Señales (PDS)

Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas

Ejemplo: Fenomeno de Gibbs „

Filtro ideal paso baja. ⎧⎪1, w ≤ wc X (w ) = ⎨ ⎪⎩0, w c < w ≤ π wc ⎧ n=0 ⎪⎪ π ⇒ x (n ) = ⎨ w sin(w n ) c ⎪ c n≠0 ⎪⎩ π wcn

Procesamiento Digital de Señales (PDS)

„

Fenomeno de Gibbs. Se debe al truncamiento de x(n).

Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas

Transformadas útiles

Procesamiento Digital de Señales (PDS)

Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas

Ejemplos: DTFT de x(n)= 0.5n·u(n) Magnitud

2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5 0 0.5 1 Frecuencia normalizada (en unidades de pi)

0 0.5 1 Frecuencia normalizada (en unidades de pi) 0

Fase

0

-0.4

Parte imaginaria

-0.2 Imaginaria

-0.2 Radianes

Parte real

Real

Magnitud

2

-0.4

-0.6

-0.6

-0.8

-0.8 0 0.5 1 Frecuencia normalizada (en unidades de pi)

0 0.5 1 Frecuencia normalizada (en unidades de pi)

Procesamiento Digital de Señales (PDS)

Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas

Propiedades de la DTFT (1/3) „

Linealidad: … DTFT[a·x1(n)+b·x2(n)]=

„

Desplazamiento en el tiempo: … DTFT[x(n-k)]=

„

e-jwk·X(w)

Desplazamiento en frecuencia (modulación): … DTFT[x(n)ejwon]=

„

X(w-wo)

modulación

Conjugación: … DTFT[x∗(n)]=

„

a DTFT[x1(n)]+b DTFT[x2(n)]

X*(-w)

Reflexión temporal: … DTFT[x(-n)]=

X(-w)

Procesamiento Digital de Señales (PDS)

Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas

Propiedades de la DTFT (2/3) „

Simetría para secuencias reales: … Toda „

„ „

„

señal x(n) se puede escribir como:

x(n)= xe(n) + xo(n) xe(-n)= xe(n) xo(-n)= -xo(n) DTFT[xe(n)]= Re[X(w)] DTFT[xo(n)]= j Im[X(w)]

sim_real

Convolución: … DTFT[x1(n)

„

xe(n)= (x(n)+x(-n))/2 xo(n)= (x(n)-x(-n))/2

∗ x2(n)]=X1(w) · X2(w)

Multiplicación: … DTFT[x1(n)

· x2(n)]=

X1(w) ∗ X2(w) ≡ (2π)-1∫X1(θ)X2(w-θ)dθ

Procesamiento Digital de Señales (PDS)

Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas

Teorema de muestreo: „

„

Toda señal xa(t) limitada en banda a F0 Hz se puede reconstruir a partir de sus muestras x(n)= xa(nTs) siempre que la frecuencia de muestreo Fs= 1/Ts sea mayor que el doble del ancho de banda (Fs≥ 2F0). …

Si Fs< 2F0 se dice que existe “aliasing”.

…

Frecuencia de Nyquist:

FN= 2F0

Demostración:

X ( f ) = X ( F / Fs ) = Fs Procesamiento Digital de Señales (PDS)

+∞

∑ X [(F − kF )]

k = −∞

a

s

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Ilustración xa(t)

Xa(w) A

t

-2πF0

xs(t)

2πF0

w

Xs(w) A/Ts …

…

t -2πFs -2πF0 „ „

Aliasing: Solapamiento de los espectros. Teorema Nyquist: …

„

No solapamiento de los espectros.

2πFs-2πF0≥ 2πF0

2πF0

2πFs

w

⇒ Fs≥ 2F0

Puesto que en muchos casos las señales no están limitadas en banda, resulta necesario filtrarlas antes de muestrearlas (filtro “antialiasing”).

Procesamiento Digital de Señales (PDS)

Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas

Recuperación de la señal „

Eliminación de los espectros imagen con un filtro ideal: ⎧⎪Ts w ≤ 2πF0 H (w ) = ⎨ ⎪⎩ 0 w > 2πF0 Xˆ (w ) = H (w ) X (w ) a

„

Xs(w) A/Ts …

… -2πFs -2πF0

s

2πF0 2πFs H(w)

w

2πF0

w

En el dominio del tiempo: xˆ a (t ) =

+∞

∑

-2πF0

x (nTs )sinc(2F0t − n )

A

Xˆ a (w )

n = −∞

sinc( x ) =

sin(πx ) πx

Procesamiento Digital de Señales (PDS)

-2πFs -2πF0

2πF0

2πFs

w

Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas

Ejemplos: aliasing „ „

Error irrecuperable debido al no cumplimiento del teorema de muestreo. Ejemplos: Espectro de una señal determinista. … Tono puro. …

Tono de 3 kHz muestreado a 10 kHz

aliasing

tono

Tono de 3 kHz muestreado a 5 kHz

Procesamiento Digital de Señales (PDS)

Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas

Transformada discreta de Fourier (DFT) „

La transformada de Fourier: … Sólo

se encuentra definida para secuencias de longitud infinita. … Es una función de variable continua. „

La DFT … Es

una transformada calculable numéricamente. … Se obtiene muestreando en el dominio de la frecuencia la transformada de Fourier en tiempo discreto. … Se calcula sobre un conjunto finito de datos. … Las anteriores aproximaciones conducen a una aproximación del espectro de la señal. … Ventaja adicional: existencia de algoritmos rápidos. Procesamiento Digital de Señales (PDS)

Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas

Def.: La DFT y su inversa „

Transformada discreta de Fourier (e inversa): N −1

X (k ) = ∑ x(n)e − j 2πkn N

k = 0,1,..., N − 1

n =0

1 x ( n) = N

„

N −1

j 2πkn N X ( k ) e ∑

n = 0,1,..., N − 1

k =0

Se puede calcular la DFT de N puntos de una señal x(n) con L puntos: L>N: se recorta x(n) (n=0,…,N-1