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Transformaciones de Funciones complejas. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Mediante las funciones de Euler y siendo θ real entonces: e iθ =cosθ+isenθ

e−iθ =cosθ−isenθ

Se tiene entonces: 1 cos θ= ( e iθ +e−iθ ) 2

sen θ=

1 iθ −iθ ( e +e ) 2i

Definición: para todo numero complejo perteneciente al cuerpo complejo. Para todo

z∈C

se define:

1 cos z= ( e iz +e−iz ) 2 Si z es real cos z

sin z=

1 iz −iz ( e −e ) 2i

y sin z se reduce a las correspondientes funciones reales.

Propiedades: Para todo

z,w∈C

se tiene:

1.

cos (−z )=cos ( z )

2.

cos ( z +w )=cos z cos w−sin z sin w

sin (−z )=−sin ( z )

sin ( z+ w )=sin z cos w+cos z sin w

( π2 −z )=sin ( π2 + z)

3.

cos z=sin

4.

cos 2 z+ sin 2 z =1

5.

cos ´ z=cos ´z

6.

sin z=0 ⇔ z=kπ ( k ∈ Z )

sin´ z=sin ´z

El resto de las funciones trigonométricas se define a través de relaciones entre estas dos funciones: tan z=

sin z cos z

Ejemplo: Transformar la siguiente expresión a la forma

x+ yi

cos ( 4+3 i ) Para resolver el ejercicio debemos aplicar la propiedad. cos ( z +w )=cos z cos w−sin z sin w Quedando de la siguiente manera: cos ( 4+3 i )=cos 4 cos 3 i−sin 4 sin 3 i Ahora tenemos que aplicar nuevamente las transformadas para el coseno y seno del número imaginario. 1 cos z= ( e iz +e−iz ) 2

sen θ=

1 iθ −iθ ( e +e ) 2i

Reemplazando 1 cos 3 i= ( e (3 i )i +e−i (3 i) ) 2

sen 3 i=

1 i( 3 i) −i ( 3i ) ( e +e ) 2i

1 1 cos ( 4+3 i )=cos 4 ∙ ( e( 3 i) i+ e−i (3 i ) )−sin 4 ∙ ( ei ( 3i )+ e−i (3 i ) ) 2 2i 1 1 cos ( 4+3 i )=cos 4 ∙ ( e−3 +e 3 ) −sin 4 ∙ ( e−3 +e 3 ) 2 2i cos ( 4+3 i )=cos 4 ∙

[ ( ) ] [ ( )] 1 1+e 2 e3

6

cos ( 4+3 i )=−6.581+ 7.582i

−sin 4 ∙

1 1−e 2i e 3

6

Figura 1. Resolución en Matlab del Ejercicio 1.

FUNCIONES HIPERBÓLICAS Las funciones Hiperbólicas se definen de forma similar a las funciones trigonométricas de una variable real. Definición: las funciones seno y coseno hiperbólicos se definen para cada 1 z −z cosh z = ( e +e ) 2

z∈C

como:

1 z −z sin z= ( e −e ) 2

De la propia definición se deduce de manera inmediata la relación entre el seno y coseno hiperbólicos con el seno y coseno. Se tiene: sinh z=−isen ( iz )

cosh z =cos ( iz )

sin z=−isenh ( iz )

cos z=cosh ( iz )

Propiedades: Las funciones hiperbólicas se comportan también de forma análoga a las correspondientes reales. Se tienen, para todo z ∈ C las siguientes propiedades. 1.

cosh (−z )=cos h ( z )

2.

cosh z +sinh z=1

3.

cosh ( z + w )=cosh z cosh w+ sinh z sinh w

2

2

sinh ( z+ w ) =sinh z cosh w+cosh z sinh w 4.

senh z =sinh x cos y +icosh x+sin y

sinh (−z )=−sin h ( z )

5.

cosh z =cosh x cos y +isenh x +sin y

6.

sin z=sin ( x+ iy )=sin x cos ( iy ) +cos x sin ( iy ) sin z=sin x cosh y +icos x sinh y tanh z=

7.

sinh z =−i tan ( iz ) cosh z

Ejemplo: Transformar la siguiente expresión a la forma

x+ yi

cosh 2 i

Aplicamos la equivalencia para poder resolver. 1 z −z cosh z = ( e +e ) 2 Reemplazando tenemos: 1 2 i −2 i cosh (2 i )= ( e + e ) 2 cosh (2 i )=

1 2i 1 e + 2i 2 e

cosh (2 i )=

1 e +1 2 e2 i

(

)

4i

( )

Aplicamos las transformaciones para los respectivos exponenciales.

(

0

cosh (2 i )=

1 e ( cos 4 +isin 4 ) +1 2 e 0 ( cos 2+i sin 2 )

cosh (2 i )=

1 cos ( 4 )+1+i sin 4 2 cos 2+i sin 2

(

)

)

Aplicamos la conjugada para resolver la división.

cosh (2 i )=

1 cos ( 4 )+1+i sin 4 cos 2−i sin 2 ∙ 2 cos 2+isin 2 cos 2−i sin 2

cosh (2 i )=

1 cos ( 4 ) ∙ cos 2+cos 2−i ( cos 4 ∙ sin 2+ sin2 ) −sin 4 ∙ sin2+ ( sin 4 cos 2 ) i + 2 cos 2−i sin 2 ( cos 2 )2 −( sin 2 )2

(

)

(

)

1 cosh (2 i )= ( 0.221+0.482 i−1.053−0.482 i ) 2

1 cosh (2 i )= (−0.832 ) 2 cosh (2 i )=−0.416+0 i

Figura 1. Resolución en Matlab del Ejercicio 2.

FUNCIONES LOGARITMICAS Sea z un número complejo no nulo. Se dice que un número complejo w es un logaritmo de z y se w escribe w=log ⁡( z) , cuando e =z .

Definición: Dado

z=x +iy ∈C , z ≠ 0 , se define.

logz=ln| z|+ i ( Argz +2 kπ ) , cuando k ∈ z

Por ejemplo

( π2 +2 kπ )=i ( π2 +2 kπ ) , k ∈ z

a)

log i=ln |i|+i

b)

log −1=i ( π +2 kπ ) , k ∈ z

c)

log ( 1+ i )=ln √ 2+ i

( π4 + 2 kπ) , k ∈ z

El logaritmo asocia entonces a cada número complejo infinitos valores complejos, que tienen la misma parte real pero su parte imaginaria difiere entre ellos en un múltiplo de entero de 2 π . Si se restringen los valores del argumento de z a un determinado intervalo de amplitud 2 π , como puede ser el intervalo

[ −π , π )

, el logaritmo complejo se convierte en una función univoca

que se denomina logaritmo principal, o determinación principal del logaritmo, y se denota con mayúscula. log ( z )=ln |z|+iArg ( z ) , Arg ( z ) ∈ [−π , π ) Propiedades: Las propiedades de las funciones logarítmicas son: 1.

log ( z ∙ w )=log z+ log w

2.

log

3.

ln z ´ =

4.

e ln ( z)=z

( wz )=log z−log w ( 1z )

Ejemplo: Transformar la siguiente expresión a la forma log ( 2−2 i ) Aplicando la transformación tenemos: logz=ln| z|+ i ( Argz ) Reemplazando

x+ yi

( ( ))

log ( 2−2 i )=ln |√ 22 +22|+i atan

−2 2

log ( 2−2 i )=ln |√ 8|+ i ( atan (−1 ) )

| | ( −π4 ) 1

log ( 2−2 i )=ln ( 8 ) 2 +i

1 π log ( 2−2 i )= ln |8|− i 2 4 log ( 2−2 i )=1.04−0.785 i

Figura 3. Resolución en Matlab del Ejercicio 3.

FUNCIONES POTENCIA La función potencia se define como: w

z =e

w ∙ln z

Dado los números complejos c y d con c ≠ 0 , se define: c d =e (d ∙ log c ) La expresión anterior representa a infinitos números complejos, además se pueden definir funciones complejas como: f ( z )=e (c ∙ log z) , z ≠ 0

Propiedades: Las propiedades de las funciones logarítmicas son: d ( zw ) =w z w−1 dz

1.

Ejemplo: Transformar la siguiente expresión a la forma

( 1+i )1−i Transformando tenemos: z w =e w ∙ln z Reemplazando:

( 1+i )1−i=e( 1−i ) ∙ln (1+ i) Como primer paso resolvemos el ln ( 1+i ) : ln ( 1+i )=ln |z|+i arg ( z ) ln ( 1+i )=ln |√ 12 +12|+iatan (1 )

| | 1

ln ( 1+i )=ln ( 2 ) 2 +i

π 4

1 π ln ( 1+i )= ln |2|+i 2 4 Reemplazando en nuestra primera expresión: 1−i

( 1−i ) ∙

( 1+i ) =e 1−i

( 1+i ) =e

(12 ln|2|+i π4 )

1 π 1 π ∙ ln|2|+i − ∙ln |2|i+ 2 4 2 4

1

( 1+i )1−i=e 2

∙ ln|2|+

π 4

( 12 ∙ ln|2|− π4 ) i

−

∙e

Resolvemos la función exponencial con número complejo

x+ yi

( 12 ∙ln |2|− π4 )i

−

e

π 1 || π 1 || − ∙ ln 2 + isin − ∙ ln 2 )) ( ) ( ( 4 2 4 2

=e 0 ∙ cos

( 12 ∙ln |2|− π4 )i=1 ∙ ( 0.905+ 0.425i )

−

e

( 12 ∙ln |2|− π4 )i

−

e

=0.905+0.425 i

Reemplazamos en la expresión anterior: 1

( 1+i )1−i=e 2

∙ ln|2|+

π 4

∙ ( 0.905+0.425 i )

( 1+i )1−i=3.102∙ ( 0.905+0.425 i ) ( 1+i )1−i=2.807+1.318 i

Figura 4. Resolución en Matlab del Ejercicio 4.

CONCLUSIONES La transformación de las funciones trigonométricas, hiperbólicas, logarítmicas y exponenciales se resuelven por decir de una manera automatizada. Para lo cual es necesario aprenderse las fórmulas de transformación y sus diferentes propiedades.

Cuando se resuelven las funciones se pudo notar que no solamente se aplican las fórmulas de transformaciones sino que es necesario también en algunos ejercicios aplicar la conjugada y operaciones con números complejos como multiplicación, suma y resta. Al momento de desarrollar el software en Matlab no fue tan complicado, utilizamos la versatilidad del programa y su potencia al resolver problemas matemáticos. Básicamente decimos que para realizar el programa solo programamos el entorno gráfico y la gráfica del punto resultante.

Bibliografía Abia, J. A. (1 de Octubre de 2011). Departamento de Matematica Aplicada, Universidad de Valladolid. Obtenido de http://www.ma.uva.es/~antonio/Teleco/Apun_Mat2/Tema-10.pdf Departamento de Matematica Aplicada y Estadistica, U. P. (Septiembre de 2013). Universidad Politecnica de Cartagena. Obtenido de http://ocw.bib.upct.es/pluginfile.php/8209/mod_resource/content/2/tema2_FVC.pdf Kreyszig, E. (2013). Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. México: Limusa Wiley. Limaza, C. (2013). Variable Compleja; Teoria problemas resueltos y propuestos. Santiago. Márin, J. M. (2014). Teoría de Funcions de Variable Compleja. La Habana: Editorial Universitaria. Molero, M., Salvador, A., Menarguez, T., & Garmendia, L. (s.f.). Funciones Complejas. Obtenido de http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Analisis %20matematico/Temas/C02_Funciones_complejas.pdf Paz, C. d. (2012). FULL QUIMICA. Obtenido de http://www.fullquimica.com/2012/07/numeroscuanticos.html