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Cap´ıtulo 5

Transformaciones

M

at

Transformaci´ on de una variable aleatoria ww

w.

5.1.

em

at ic a1

.c

om

Sea X una variable aleatoria con distribuci´on conocida, y sea ϕ es una funci´on tal que Y = ϕ(X) es otra variable aleatoria. ¿Cu´al es la distribuci´on de Y ? En este cap´ıtulo se da respuesta a esta pregunta tanto en el caso unidimensional como en el caso de vectores aleatorios. En particular, se encuentran f´ormulas expl´ıcitas para la funci´on de densidad de la suma, diferencia, producto y cociente de dos variables aleatorias absolutamente continuas.

En esta secci´on se estudian un par de resultados que proveen de f´ormulas para la funci´on de densidad de la variable ϕ(X), en t´erminos de la funci´on de densidad de X. Gr´aficamente tal transformaci´on se muestra en la Figura 5.1.

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230

´ n de una variable aleatoria 5.1. Transformacio

ϕ

X

b

b

b

ω

X(ω)

ϕ(X(ω))

Ω

R

R

Y = ϕ(X)

Figura 5.1: La composici´on Y = ϕ ◦ X.

ww

w.

M

at

em at

ic

a1

.c

om

Teorema de cambio de variable 1. Sea X una variable aleatoria continua con valores dentro de un intervalo (a, b) ⊆ R, y con funci´on de densidad fX (x). Sea ϕ : (a, b) → R una funci´on continua, estrictamente creciente o decreciente, y con inversa diferenciable. Entonces la variable aleatoria Y = ϕ(X) toma valores dentro del intervalo ϕ(a, b), y tiene funci´on de densidad   f (ϕ−1 (y)) | d ϕ−1 (y)| para y ∈ ϕ(a, b), X dy fY (y) =  0 otro caso. Demostraci´ on. Suponga primero el caso ϕ estrictamente creciente. Entonces para y ∈ ϕ(a, b), FY (y) = P (Y ≤ y)

= P (ϕ(X) ≤ y)

= P (X ≤ ϕ−1 (y)) = FX (ϕ−1 (y)).

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Cap´ıtulo 5. Transformaciones Derivando se obtiene fY (y) = fX (ϕ−1 (y)) ·

decreciente,

231

d −1 ϕ (y). Para ϕ estrictamente dy

FY (y) = P (Y ≤ y)

= P (ϕ(X) ≤ y)

= P (X ≥ ϕ−1 (y))

= 1 − FX (ϕ−1 (y)). Entonces fY (y) = fX (ϕ−1 (y)) · [− el resultado enunciado.

d −1 ϕ (y)]. En cualquiera caso se obtiene dy

ϕ(x) = ex

ww w.

M

at

em

at

ic

a1

.c

om

Por ejemplo, la funci´on ϕ(x) = ex , definida sobre toda la recta real cumple con las condiciones del teorema anterior. Usaremos esta funci´on para mostrar con dos ejemplos la forma de aplicar este resultado.

x

Figura 5.2: La transformaci´on ϕ(x) = ex . ´ n log normal). Sea X con distribuci´on N(µ, σ 2 ), Ejemplo. (Distribucio y sea ϕ la funci´on estrictamente creciente ϕ(x) = ex , con inversa diferenciable ϕ−1 (y) = ln y. Entonces la variable aleatoria Y = eX toma valores en el intervalo (0, ∞), y su distribuci´on se conoce con el nombre de distribuci´on log normal(µ, σ 2 ). Su funci´on de densidad tiene la siguiente expresi´on cuya

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232

´ n de una variable aleatoria 5.1. Transformacio

gr´afica ha sido mostrada antes en la Figura 2.24.  (ln y − µ)2   √1 exp [− ] 2σ 2 y 2πσ 2 fY (y) =   0

si y > 0, si y ≤ 0. 

em at ic

a1

.c om

´ n log gama). Sea X con distribuci´on gama(n, λ), Ejemplo. (Distribucio y sea nuevamente ϕ(x) = ex , con inversa diferenciable ϕ−1 (y) = ln y. Entonces la variable aleatoria Y = eX toma valores en el intervalo (0, ∞), y su distribuci´on se conoce como distribuci´on log gama(n, λ). Su funci´on de densidad es  n−1   (λ ln y) λy −λ−1 si y > 0, Γ(n) fY (y) =   0 si y ≤ 0. 

ww

w.

M

at

El resultado anterior puede extenderse al caso en el que la transformaci´on ϕ es estrictamente mon´otona por pedazos. Se enuncia y demuestra a continuaci´on este resultado cuando la transformaci´on se descompone en dos partes mon´otonas, siendo f´acil la extensi´on cuando se tiene un mayor n´ umero de secciones. Ejercicio. Encuentre la funci´on de densidad del cuadrado de una variable aleatoria con distribuci´on exp(λ).  Ejercicio. Sea X con distribuci´on unif(0, 1) y sea λ > 0. Demuestre que

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Cap´ıtulo 5. Transformaciones

233

la variable aleatoria Y = −(1/λ) ln X tiene distribuci´on exp(λ).



Teorema de cambio de variable 2. Sea X una variable aleatoria continua con valores dentro de un intervalo (a, c) ⊆ R, y con funci´on de densidad fX (x). Sea ϕ : (a, c) → R una funci´on tal que admite la descomposici´on  ϕ1 (x) si x ∈ (a, b), ϕ(x) = ϕ2 (x) si x ∈ (b, c), en donde a < b < c, y cada una de las funciones ϕ1 (x) : (a, b) → R y ϕ2 (x) : (b, c) → R es continua, estrictamente creciente o decreciente, y con inversa diferenciable. Entonces la variable aleatoria Y = ϕ(X) toma valores dentro del intervalo ϕ(a, c), y tiene funci´on de densidad

ww

w.

M

at e

m

at ic a1

.c o

m

d −1 ϕ (y)| · 1ϕ1 (a,b) (y) dy 1 d −1 ϕ (y)| · 1ϕ2 (b,c) (y). + fX (ϕ−1 2 (y)) | dy 2

fY (y) = fX (ϕ−1 1 (y)) |

Demostraci´ on. La prueba es an´aloga al caso anterior, u ´nicamente hay que hacer el an´alisis sobre cada uno de los intervalos de monoton´ıa estricta. Para cualquier y en R, FY (y) = P (Y ≤ y)

= P (ϕ(X) ≤ y)

= P [(ϕ1 (X) ≤ y) ∩ (X ∈ (a, b))]

+ P [(ϕ2 (X) ≤ y) ∩ (X ∈ (b, c))].

Nos interesa el comportamiento de estas probabilidades como funciones de y, puesto que calcularemos la derivada de ellas para encontrar fY (y). Por ejemplo, la primera probabilidad, vista como funci´on de y, es y 7→ P [(ϕ1 (X) ≤ y) ∩ (X ∈ (a, b))],

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234

´ n de una variable aleatoria 5.1. Transformacio

que permanece constante para y ∈ / ϕ1 (a, b), de modo que, suponiendo por ejemplo ϕ1 creciente, y para y ∈ ϕ1 (a, b), d P [(ϕ1 (X) ≤ y) ∩ (X ∈ (a, b))] = dy

d P [(X ≤ ϕ−1 1 (y)) ∩ (X ∈ (a, b))] dy d P [a < X ≤ ϕ−1 = 1 (y)] dy d = FX (ϕ−1 1 (y)) dy d −1 = fX (ϕ−1 ϕ (y). 1 (y)) dy 1

.c om

De manera an´aloga se procede respecto del segundo sumando, considerando tambi´en el caso cuando se presenta la monoton´ıa decreciente. De esta forma se obtiene la f´ormula enunciada.

at

em at ic

a1

Ejemplo. Sea X continua con funci´on de densidad fX (x). Considere la transformaci´on ϕ(x) = x2 , la cual es estrictamente decreciente en (−∞, 0), y estrictamente creciente en (0, ∞).

ww

w.

M

ϕ(x) = x2

bc

ϕ1

ϕ2

x

Figura 5.3: La transformaci´on ϕ(x) = x2 como dos secciones mon´otonas. Defina entonces las funciones mon´otonas ϕ1 (x) = x2 sobre (−∞, 0), y √ ϕ2 (x) = x2 sobre (0, ∞). Entonces sus inversas son ϕ−1 1 (y) = − y, y √ ϕ−1 y. La variable Y = X 2 tiene por lo tanto funci´on de densi2 (y) = dad  1 1 √  f (−√y) √ + fX ( y) √ si y > 0, X 2 y 2 y fY (y) =  0 si y ≤ 0. www.cienciamatematica.com

Cap´ıtulo 5. Transformaciones

235

 Ejercicio. Sea X con distribuci´on uniforme en el intervalo (0, 1). Demuestre que la funci´on de densidad de la variable Y = 4X(1 − X) es   √1 si 0 < y < 1, 2 1−y f (y) =  0 otro caso.





em

at

ic

a1

.c om

Ejercicio. Sea X con distribuci´on normal est´andar. Demuestre que la variable aleatoria Y = |X| tiene funci´on de densidad  r  2 −y2 /2  e si y > 0, π f (y) =   0 si y ≤ 0.

ww

w.

M

at

Ejercicio. Sea X con distribuci´on uniforme en √el intervalo [−1, 1]. Encuen tre la funci´on de densidad de la variable Y = 1 − X 2 .

5.2.

Transformaci´ on de un vector aleatorio

Suponga ahora que (X, Y ) es un vector con funci´on de densidad conocida, y ϕ(x, y) es una funci´on definida en alg´ un subconjunto de R2 y con valores 2 en R . El problema es encontrar la funci´on de densidad del nuevo vector ϕ(X, Y ). Gr´aficamente esta transformaci´on se ilustra en la Figura 5.4. La transformaci´on ϕ(x, y) se escribir´a como (ϕ1 (x, y), ϕ2 (x, y)), y la derivada de la primera componente respecto de x, por ejemplo, se escribe ∂x ϕ1 .

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236

´ n de un vector aleatorio 5.2. Transformacio

ϕ

(X, Y )

R2

Ω

R2

(U, V ) = ϕ(X, Y )

Figura 5.4: La composici´on ϕ ◦ (X, Y ).

∂ ϕ−1 ∂ ϕ−1 J(u, v) = u 1−1 v 1−1 ∂u ϕ2 ∂v ϕ2 ww w.

M

at

en donde

em

at

ic

a1

.c om

Teorema de cambio de variable 3. Sea (X, Y ) un vector continuo con valores en I ⊆ R2 , y con funci´on de densidad fX,Y (x, y). Sea ϕ(x, y) : I → R2 una funci´on continua con inversa ϕ−1 (u, v) diferenciable. Entonces el vector (U, V ) = ϕ(X, Y ) toma valores en ϕ(I) y tiene funci´on de densidad ( fX,Y (ϕ−1 (u, v)) |J(u, v)| para (u, v) ∈ ϕ(I), fU,V (u, v) = (5.1) 0 otro caso, .

Una prueba rigurosa de este teorema resulta ser un tanto elaborada y la omitiremos. Sin embargo, puede usarse el siguiente argumento intuitivo para encontrar la f´ormula enunciada. Sea (U, V ) = ϕ(X, Y ) = (ϕ1 (X, Y ), ϕ2 (X, Y )), con inversa −1 (X, Y ) = ϕ−1 (U, V ) = (ϕ−1 1 (U, V ), ϕ2 (U, V )).

Sea A el rect´angulo de ´area infinitesimal de esquinas con coordenadas (x, y), (x+ dx, y), (x, y + dy) y (x + dx, y + dy). Bajo la transformaci´on ϕ las coordenadas de las esquinas del rect´angulo A se transforman en las siguientes

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Cap´ıtulo 5. Transformaciones

237

coordenadas: (x, y) 7→ (ϕ1 (x, y), ϕ2 (x, y)). (x + dx, y) 7→ (ϕ1 (x + dx, y), ϕ2 (x + dx, y)) . = (ϕ1 (x, y) + ∂x ϕ1 (x, y)dx, ϕ2 (x, y) +∂x ϕ2 (x, y)dx. (x, y + dy) 7→ (ϕ1 (x, y + dy), ϕ2 (x, y + dy)) . = (ϕ1 (x, y) + ∂y ϕ1 (x, y)dy, ϕ2 (x, y) +∂y ϕ2 (x, y)dy.

em at ic

a1

.c om

(x + dx, y + dy) 7→ (ϕ1 (x + dx, y + dy), ϕ2 (x + dx, y + dy)) . = (ϕ1 (x, y) + ∂x ϕ1 (x, y)dx + ∂y ϕ1 (x, y)dy,

at

ϕ2 (x, y) + ∂x ϕ2 (x, y)dx + ∂y ϕ2 (x, y)dy).

ww

w.

M

Gr´aficamente la transformaci´on de estos puntos se muestra en la Figura 5.5.

y + dy

(ϕ1 + ∂y ϕ1 , ϕ2 + ∂y ϕ2 ) b

ϕ

b

b

A y b

b

(ϕ1 + ∂x ϕ1 + ∂y ϕ1 , ϕ2 + ∂x ϕ2 + ∂y ϕ2 )

b

(ϕ1 , ϕ2 ) x

b

ϕ(A) b

(ϕ1 + ∂x ϕ1 , ϕ2 + ∂x ϕ2 )

x + dx

Figura 5.5: La transformaci´on ϕ aplicada al rect´angulo A. Entonces P ((X, Y ) ∈ A) = P ((U, V ) ∈ ϕ(A)). Por lo tanto ´ fX,Y (x, y) dxdy = fU,V (u, v) × “Area de ϕ(A)”.

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´ n de un vector aleatorio 5.2. Transformacio

238 En donde

´ “Area de ϕ(A)” = |∂x ϕ1 · ∂y ϕ2 − ∂x ϕ2 · ∂y ϕ1 | dxdy ∂x ϕ1 ∂y ϕ1 dxdy = ∂x ϕ2 ∂y ϕ2 = |J(x, y)| dxdy.

Adem´as |J(x, y)| =

1 . Por lo tanto |J(u, v)|

fX,Y (x, y) dxdy = fU,V (u, v)

dxdy . |J(u, v)|

−1 Es decir, fU,V (u, v) = fX,Y (ϕ−1 1 (u, v), ϕ2 (u, v))|J(u, v)|.

m

at ic

a1

.c o

m

Como ejemplo de aplicaci´on de esta f´ormula, en las secciones siguientes encontraremos expresiones para la funci´on de densidad de la suma, diferencia, producto y cociente de dos variables aleatorias.

ww w.

M

at e

Las f´ormulas generales sobre transformaciones encontradas hasta ahora se resumen en la siguiente tabla, que s´olo sirve como referencia general pues no se mencionan las condiciones precisas de su validez.

Transformaciones

Y = ϕ(X)

⇒

fY (y) = fX (ϕ−1 (y)) |

(U, V ) = ϕ(X, Y )

⇒

d −1 ϕ (y)|. dy

fU,V (u, v) = fX,Y (ϕ−1 (u, v)) |J(u, v)|, ∂ ϕ−1 ∂v ϕ−1 1 . en donde J(u, v) = u 1−1 ∂u ϕ2 ∂v ϕ−1 2

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Cap´ıtulo 5. Transformaciones

239

Distribuci´ on de la suma El siguiente resultado proporciona una f´ormula para la funci´on de densidad de la suma de dos variables aleatorias absolutamente continuas. ´ n. Sea (X, Y ) un vector absolutamente continuo con funci´on Proposicio de densidad fX,Y (x, y). Entonces X + Y tiene funci´on de densidad Z ∞ fX+Y (u) = fX,Y (u − v, v) dv. (5.2) −∞

em

at

ic

a1

.c

om

Demostraci´ on. Sea ϕ : R2 → R2 la transformaci´on ϕ(x, y) = (x + y, y), con −1 inversa ϕ (u, v) = (u − v, v). El Jacobiano de la transformaci´on inversa es ∂u ϕ−1 ∂v ϕ−1 1 −1 1 1 J(u, v) = = 0 1 = 1. ∂u ϕ−1 ∂v ϕ−1 2 2 ww w.

M

at

Por la f´ormula (5.1), fX+Y,Y (u, v) = fX,Y (u − v, v). Integrando respecto a v se obtiene (5.2). Observe que haciendo el cambio de variable z(v) = u − v en (5.2) se obtiene la expresi´on equivalente Z ∞ fX+Y (u) = fX,Y (z, u − z) dz. (5.3) −∞

Ello refleja el hecho de que la suma de dos variables aleatorias es conmutativa. En particular, cuando X y Y son independientes, la f´ormula (5.2) se reduce a Z ∞ fX+Y (u) = fX (u − v)fY (v) dv (5.4) −∞ Z ∞ = fX (u − v) dFY (v). −∞

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240

´ n de un vector aleatorio 5.2. Transformacio

Integrando respecto de u e intercambiando el orden de las integrales se obtiene la correspondiente funci´on de distribuci´on Z ∞ FX+Y (u) = FX (u − v) dFY (v). −∞

M´as generalmente, puede demostrarse que esta f´ormula es v´alida para cualesquiera dos variables aleatorias independientes X y Y , incluyendo el caso cuando una de ellas es discreta y la otra continua.

.c om

En el caso cuando X y Y son discretas, independientes y con valores enteros, es sencillo verificar que la funci´onPde probabilidad de X + Y es, en completa analog´ıa con (5.4), fX+Y (u) = k fX (u − k)fY (k), en donde la suma se toma sobre todos los posibles valores enteros k que la variable aleatoria Y puede tomar.

em

at

ic

a1

Ejercicio. Use la f´ormula anterior para demostrar que si X y Y son independientes con distribuci´on bin(n, p) y bin(m, p) respectivamente, entonces X + Y tiene distribuci´on bin(n + n, p). 

ww

w.

M

at

Puede obtenerse la misma f´ormula (5.2) mediante el procedimiento usual de encontrar primero la funci´on de distribuci´on de X + Y y despu´es derivar para encontrar la funci´on de densidad. El procedimiento se muestra a continuaci´on. FX+Y (u) = P (X + Y ≤ u) Z Z = fX,Y (x, y) dy dx =

Z

x+y≤u ∞ Z u−x

−∞

fX,Y (x, y) dy dx.

−∞

La regi´on de integraci´on se muestra en la Figura 5.6. Derivando respecto a u se obtiene Z ∞ fX+Y (u) = fX,Y (x, u − x) dx, −∞

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Cap´ıtulo 5. Transformaciones

241

y u

x

Figura 5.6: Regi´on de integraci´on x + y ≤ u. que corresponde a la expresi´on (5.3) equivalente a (5.2).

a1

.c

om

Ejercicio. Sean X y Y independientes cada una con distribuci´on normal est´andar. Use (5.2) para demostrar que X + Y tiene distribuci´on N(0, 2), es decir, su funci´on de densidad es



at

em

at

ic

1 2 f (u) = √ e−u /4 . 2 π

ww w.

M

Ejercicio. Encuentre la funci´on de densidad de X + Y cuando X y Y tienen funci´on de densidad conjunta  3(x2 + y 2 )/16 si 0 < x < y < 2, f (x, y) = 0 otro caso.  Ejercicio. Sea (X, Y, Z) un vector absolutamente continuo con funci´on de densidad fX,Y,Z (x, y, z). Demuestre que la variable X + Y + Z tiene funci´on de densidad Z ∞Z ∞ f (u) = fX,Y,Z (u − y − z, y, z) dydz. −∞

−∞

Aplique esta f´ormula para encontrar la funci´on de densidad de la suma de tres variables aleatorias independientes, en donde cada sumando tiene

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242

´ n de un vector aleatorio 5.2. Transformacio

distribuci´on unif(0, 1).



´ n. La convoluci´on de dos funciones de densidad continuas f1 Convolucio y f2 , es una funci´on de densidad denotada por f1 ∗ f2 , y definida como sigue Z ∞ (f1 ∗ f2 )(x) = f1 (x − y)f2 (y) dy. −∞

M´as generalmente, la convoluci´on de dos funciones de distribuci´on F1 y F2 es la funci´on de distribuci´on Z ∞ F1 (x − y)dF2 (y). (F1 ∗ F2 )(x) = −∞

at

em

at

ic

a1

.c om

En consecuencia, si X y Y son dos variables aleatorias independientes con correspondientes funciones de distribuci´on FX y FY , entonces la funci´on de distribuci´on de la variable X + Y es la convoluci´on FX ∗ FY . No es dif´ıcil comprobar que FX ∗ FY = FY ∗ FX . En particular, la suma de n variables aleatorias independientes todas con la misma funci´on de distribuci´on F tiene funci´on de distribuci´on F ∗ · · · ∗ F , que se escribe simplemente como F ∗n .

ww

w.

M

Observe que hemos denotado la convoluci´on por el mismo s´ımbolo, primero cuando los argumentos son funciones de densidad y en el otro cuando son funciones de distribuci´on. Para el caso de funciones de distribuci´on absolutamente continuas, se tiene la relaci´on d (F1 ∗ F2 )(x) = (f1 ∗ f2 )(x). dx

Distribuci´ on de la diferencia Se encontrar´a ahora una f´ormula para la funci´on de densidad de la diferencia de dos variables aleatorias.

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Cap´ıtulo 5. Transformaciones

243

´ n. Sea (X, Y ) un vector absolutamente continuo con funci´on Proposicio de densidad fX,Y (x, y). Entonces X − Y tiene funci´on de densidad Z ∞ fX−Y (u) = fX,Y (u + v, v) dv. (5.5) −∞

.c o

m

Demostraci´ on. Procedemos como en la secci´on anterior. Sea ϕ : R2 → R2 la transformaci´on ϕ(x, y) = (x − y, y) con inversa ϕ−1 (u, v) = (u + v, v). El Jacobiano de la transformaci´on inversa es ∂u ϕ−1 ∂v ϕ−1 1 1 1 1 = 1. J(u, v) = −1 = 0 1 ∂u ϕ−1 ∂ ϕ v 2 2

at em

at ic

a1

Por la f´ormula (5.1), fX−Y,Y (u, v) = fX,Y (u + v, v). Integrando respecto a v se obtiene (5.5).

ww w.

M

Con el cambio de variable z(v) = u + v en (5.5) se obtiene la expresi´on equivalente Z ∞ fX−Y (u) = fX,Y (z, z − u) dz. (5.6) −∞

Cuando X y Y son independientes la f´ormula (5.5) se reduce a Z ∞ fX−Y (u) = fX (u + v)fY (v) dv. −∞

En el caso discreto cuando X y Y son independientes con valores enteros, la variable X−Y tambi´en toma valores enteros, y tiene funci´on de probabilidad X fX−Y (u) = fX (u + k)fY (k), k

en donde la suma se toma sobre todos los posibles valores enteros k que Y puede tomar.

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244

´ n de un vector aleatorio 5.2. Transformacio

Nuevamente se puede demostrar (5.5) mediante el procedimiento usual de encontrar primero la funci´on de distribuci´on y despu´es derivar para encontrar la funci´on de densidad. Por definici´on, FX−Y (u) = P (X − Y ≤ u) Z Z = fX,Y (x, y) dy dx x−y≤u Z ∞Z ∞ = fX,Y (x, y) dy dx. −∞

x−u

La regi´on de integraci´on aparece en la Figura 5.7.

ic a1

.c

om

y

x

ww

w.

M

at

em

at

u

Figura 5.7: Regi´on de integraci´on x − y ≤ u. Derivando respecto a u se obtiene (5.6) equivalente a (5.5). A partir de la f´ormula para la suma de dos variables aleatorias se puede construir una tercera demostraci´on de (5.5). Por la f´ormula para la suma, Z ∞ fX−Y (u) = fX+(−Y ) (u) = fX,−Y (u − v, v) dv. −∞

Haciendo el cambio de variable x = −v, se obtiene Z ∞ fX−Y (u) = fX,−Y (u + x, −x) dx −∞ Z ∞ = fX,Y (u + x, x) dx. −∞

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Cap´ıtulo 5. Transformaciones

245

Ejercicio. Sean X y Y independientes cada una con distribuci´on normal est´andar. Use (5.5) para demostrar que X − Y tiene distribuci´on N(0, 2), es decir, su funci´on de densidad es 1 2 f (u) = √ e−u /4 . 2 π  Ejercicio. Encuentre la funci´on de densidad de Y − X cuando X y Y tienen funci´on de densidad conjunta  3(x2 + y 2 )/16 si 0 < x < y < 2, f (x, y) = 0 otro caso. 

at

em

at ic a1

.c o

m

Ejercicio. Sean X y Y independientes cada una con distribuci´on normal est´andar. En ejercicios anteriores se ha pedido comprobar que tanto X + Y como X − Y tienen distribuci´on N(0, 2). Demuestre ahora que X + Y y X − Y son independientes. 

ww

w.

M

Ejercicio. Sea (X, Y, Z) un vector absolutamente continuo con funci´on de densidad fX,Y,Z (x, y, z). Demuestre que la variable X − Y − Z tiene funci´on de densidad Z ∞Z ∞ fX−Y −Z (u) = fX,Y,Z (u + y + z, y, z) dydz. −∞

−∞

Aplique esta f´ormula para encontrar la funci´on de densidad de X − Y − Z, cuando estas variables son independientes y cada una de ellas tiene distribuci´on unif(0, 1). 

Distribuci´ on del producto Ahora se encontrar´a una f´ormula para la funci´on de densidad del producto de dos variables aleatorias absolutamente continuas.

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246

´ n de un vector aleatorio 5.2. Transformacio

´ n. Sea (X, Y ) un vector absolutamente continuo con funci´on Proposicio de densidad fX,Y (x, y). Entonces XY tiene funci´on de densidad Z ∞ fXY (u) = fX,Y (u/v, v) |1/v| dv. (5.7) −∞

Demostraci´ on. Se usa nuevamente la f´ormula (5.1). Sea ϕ : R2 → R2 la transformaci´on ϕ(x, y) = (xy, y) cuya inversa es, para v 6= 0, ϕ−1 (u, v) = (u/v, v). El Jacobiano de la transformaci´on inversa es ∂u ϕ−1 ∂v ϕ−1 1/v u/v 2 1 1 = = 1/v. J(u, v) = 0 1 ∂u ϕ−1 ∂v ϕ−1 2 2

at

ic

a1

.c

om

Por la f´ormula (5.1), para v 6= 0, fXY,Y (u, v) = fX,Y (u/v, v) |1/v|. Integrando respecto a v se obtiene (5.7).

M at

em

Haciendo x(v) = u/v en (5.7) se obtiene la expresi´on equivalente Z ∞ fXY (u) = fX,Y (x, u/x) |1/x| dx.

(5.8)

ww

w.

−∞

Cuando X y Y son independientes (5.7) se reduce a Z ∞ fXY (u) = fX (u/v)fY (v) |1/v| dv. −∞

Usaremos nuevamente el procedimiento usual de encontrar primero la funci´on de distribuci´on de XY y despu´es derivar para encontrar la funci´on de densidad. Por definici´on, FXY (u) = P (XY ≤ u) Z Z = fX,Y (x, y) dy dx =

Z

0

xy≤u Z ∞

−∞

u/x

fX,Y (x, y) dydx +

Z

0

∞ Z u/x −∞

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fX,Y (x, y) dydx.

Cap´ıtulo 5. Transformaciones

247

La regi´on de integraci´on se muestra en la Figura 5.8. y

y

y

x

x

u0

u=0

Figura 5.8: Regi´on de integraci´on xy ≤ u. Derivando respecto a u, .c om

0

fX,Y (x, u/x)(−1/x) dydx Z ∞ + fX,Y (x, u/x)(1/x) dydx.

ic a1

fXY (u) =

Z

∞

M

=

Z

at em at

−∞

0

fX,Y (x, u/x)|1/x| dx,

ww w.

−∞

que corresponde a (5.8), equivalente a (5.7). Ejercicio. Encuentre la funci´on de densidad de XY cuando X y Y tienen funci´on de densidad conjunta  3(x2 + y 2 )/16 si 0 < x < y < 2, f (x, y) = 0 otro caso.  Ejercicio. Sea (X, Y, Z) un vector absolutamente continuo con funci´on de densidad fX,Y,Z (x, y, z). Demuestre que la variable XY Z tiene funci´on de densidad Z ∞Z ∞ 1 u | dv dw. f (u) = fX,Y,Z ( , v, w) | vw vw −∞ −∞ www.cienciamatematica.com

248

´ n de un vector aleatorio 5.2. Transformacio

Aplique este resultado al caso cuando X, Y y Z son independientes cada una de ellas con distribuci´on unif(0, 1). 

Distribuci´ on del cociente Finalmente se encontrar´a una f´ormula para el cociente de dos variables aleatorias absolutamente continuas. ´ n. Sea (X, Y ) un vector absolutamente continuo con funci´on Proposicio de densidad fX,Y (x, y) y tal que Y 6= 0. Entonces X/Y tiene funci´on de densidad Z ∞ fX/Y (u) = fX,Y (uv, v) |v| dv. (5.9)

at

ic

a1

.c o

m

−∞

ww

w.

M at

em

Demostraci´ on. Procederemos como en las secciones anteriores. Sea ϕ : R2 → 2 R la transformaci´on ϕ(x, y) = (x/y, y) para y 6= 0, y con inversa ϕ−1 (u, v) = (uv, v). El Jacobiano de la transformaci´on inversa es ∂ ϕ−1 ∂ ϕ−1 v u = v. J(u, v) = u 1−1 v 1−1 = 0 1 ∂u ϕ2 ∂v ϕ2

Por la f´ormula (5.1), fX/Y,Y (u, v) = fX,Y (uv, v) |v|, de donde se obtiene (5.9) integrando respecto a v. Haciendo x(v) = uv en (5.9) se obtiene la expresi´on equivalente Z ∞ fX/Y (u) = fX,Y (x, x/u) |x/u2 | dx.

(5.10)

−∞

Observe nuevamente que cuando X y Y son independientes, el integrando en la f´ormula (5.9) se escribe como el producto de las densidades marginales.

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Cap´ıtulo 5. Transformaciones

249

Ahora usaremos el procedimiento usual de encontrar primero la funci´on de distribuci´on y despu´es derivar para encontrar la funci´on de densidad. FX/Y (u) = P (X/Y ≤ u) Z Z = fX,Y (x, y) dx dy =

Z

0

x/y≤u Z ∞

−∞

fX,Y (x, y) dx dy +

uy

Z

0

∞ Z uy

fX,Y (x, y) dx dy.

−∞

La regi´on de integraci´on se muestra en la Figura 5.9. y

y

a1

.c

om

y

x

x

at

em

at

ic

x

u>0

u=0

w.

M

u 0, f|X| (x) = 0 si x ≤ 0.

em

at ic a1

425. Sea X con distribuci´on uniforme en el intervalo (0, 2π). Encuentre la funci´on de densidad de la variable

M w.

b) Y = cos(X).

at

a) Y = sen(X).

ww

426. Encuentre la distribuci´on de Y = X n para cada n en N, cuando X tiene distribuci´on a) unif(0, 1). b) unif(−1, 1). c) exp(λ). 427. Sea X con distribuci´on unif(−1, 1). Encuentre la funci´on de densidad de X 2 . 428. Sea X absolutamente continua con funci´on de distribuci´on F (x). Demuestre que Y = F (X) tiene distribuci´on unif[0, 1].

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Cap´ıtulo 5. Transformaciones 429. Encuentre la funci´on de densidad de Y de densidad   1/2 fX (x) = 1/(2x2 )  0

253

= 1/X cuando X tiene funci´on si 0 < x ≤ 1, si x > 1, si x ≤ 0.

430. Sea X con distribuci´on unif(a, b). Encuentre la distribuci´on de la variable aleatoria Y = X/(b − X).

Transformaci´ on de un vector aleatorio 431. Sean X y Y independientes ambas con distribuci´on unif(0, 1). Encuentre la funci´on de densidad del vector

a1

.c om

a) (X, X + Y ). b) (X + Y, X − Y ).

at M

ww w.

a) (X + Y, X − Y ). b) (X, |Y − X|). c) (X − Y, Y − X).

em

at

ic

432. Sean X y Y independientes ambas con distribuci´on unif(−1, 1). Encuentre la funci´on de densidad del vector

433. Sea (X, Y ) un vector con distribuci´on uniforme en el c´ırculo unitario {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 1}. Encuentre la funci´on de densidad del vector p (R, Θ) = ( X 2 + Y 2 , arctan(Y /X)). 434. Sean X y Y independientes cada una con distribuci´on exp(λ). Demuestre que el vector (X, X + Y ) tiene funci´on de densidad  2 −λv λ e si 0 < u < v, f (u, v) = 0 otro caso.

435. Sea (X, Y ) con funci´on de densidad fX,Y (x, y). Demuestre que la funci´on de densidad del vector (U, V ) = (X + Y, X/(X + Y )) es fU,V (u, v) = fX,Y (uv, u(1 − v))u.

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254

5.3. Ejercicios

Distribuci´ on de la suma 436. Encuentre la funci´on de densidad de la suma de dos variables aleatorias cuya funci´on de densidad conjunta es 1 , para 0 < x < a, 0 < y < b. ab b) f (x, y) = e−x−y , para x, y > 0.

a) f (x, y) =

c) f (x, y) = e−y , para 0 < x < y. d) f (x, y) = 8xy, para 0 < x < y < 1. e) f (x, y) = 4x(1 − y), para 0 < x, y < 1.

ic a1

.c

om

437. Encuentre la funci´on de densidad de la suma de dos variables aleatorias independientes cada una de ellas con distribuci´on: a) unif(0, 1). b) exp(λ).

em

at

438. Encuentre la funci´on de densidad de la suma de dos variables aleatorias independientes cada una de ellas con funci´on de densidad

M at

a) f (x) = 2x, para 0 < x < 1. ww

w.

b) f (x) = 6x(1 − x), para 0 < x < 1.

c) f (x) = (1 + x)/2, para −1 < x < 1. 439. Encuentre la funci´on de densidad de la suma de dos variables aleatorias independientes X y Y , tales que a) X tiene distribuci´on unif(−1, 0) y Y tiene distribuci´on unif(0, 1). b) X tiene distribuci´on unif(0, 1) y Y tiene distribuci´on exp(λ). 440. Encuentre la funci´on de densidad de la suma de dos variables aleatorias con distribuci´on conjunta uniforme en el cuadrado (−1, 1) × (−1, 1). 441. Encuentre la funci´on de densidad de la suma de tres variables aleatorias con distribuci´on conjunta uniforme en el cubo (−1, 1) × (−1, 1) × (−1, 1).

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Cap´ıtulo 5. Transformaciones

255

442. Encuentre la funci´on de densidad de la suma de n variables aleatorias con distribuci´on conjunta uniforme en el hipercubo (−1, 1) × · · · × (−1, 1) . {z } | n

443. Demuestre que la suma de dos variables aleatorias independientes, cada una de ellas con distribuci´on normal, tiene nuevamente distribuci´on normal, con media la suma de las medias, y varianza la suma de las varianzas.

k=1

ic a

k=1

1.c

om

444. Sean X1 , . . . , Xn independientes en donde Xk tiene distribuci´on N(µk , σk2 ) para k = 1, . . . , n. Sean c1 , . . . , cn constantes dadas, no todas cero. Demuestre que n n n X X X ck Xk ∼ N( ck µk , c2k σk2 ). k=1

M

at em

at

445. Sean X1 , . . . , Xn independientes y con id´entica distribuci´on N(µ, σ 2 ). Demuestre que la media muestral dada por (X1 + · · · + Xn )/n tiene distribuci´on N(µ, σ 2 /n). ww w.

446. Demuestre que la suma de dos variables aleatorias independientes, cada una de ellas con distribuci´on exp(λ), tiene distribuci´on gama(2, λ). M´as generalmente, demuestre que la suma de n variables aleatorias independientes, cada una de ellas con distribuci´on exp(λ), tiene distribuci´on gama(n, λ). 447. Demuestre que la suma de dos variables aleatorias independientes con distribuci´on gama(n, λ) y gama(m, λ), tiene distribuci´on gama(n + m, λ). 448. Sean X y Y son discretas,Pindependientes y con valores enteros. Demuestre que fX+Y (u) = k fX (u − k)fY (k), en donde la suma se efect´ ua sobre todos los posibles valores enteros k que la variable aleatoria Y puede tomar.

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256

5.3. Ejercicios

449. Sea (X1 , . . . , Xn ) un vector aleatorio absolutamente continuo. Demuestre que la variable X1 + · · · + Xn tiene funci´on de densidad Z ∞ Z ∞ f (u) = ··· fX1 ,...,Xn (u − v2 − · · · − vn , v2 , . . . , vn ) dv2 · · · dvn . −∞

−∞

Aplique esta f´ormula para encontrar la funci´on de densidad de la suma de n variables aleatorias independientes, en donde cada sumando tiene distribuci´on unif(0, 1).

Distribuci´ on de la diferencia 450. Encuentre la funci´on de densidad de X − Y , para (X, Y ) un vector con funci´on de densidad .c om

1 , para 0 < x < a, 0 < y < b. ab b) f (x, y) = e−x−y , para x, y > 0.

at

ic

a1

a) f (x, y) =

em

c) f (x, y) = e−y , para 0 < x < y.

M

at

d) f (x, y) = 8xy, para 0 < x < y < 1. ww w.

e) f (x, y) = 4x(1 − y), para 0 < x, y < 1. 451. Encuentre la funci´on de densidad de X − Y , cuando X y Y son independientes y ambas con distribuci´on: a) unif(0, 1). b) exp(λ). 452. Encuentre la funci´on de densidad de X − Y , cuando X y Y son independientes y ambas con funci´on de densidad a) f (x) = 2x, para 0 < x < 1. b) f (x) = 6x(1 − x), para 0 < x < 1.

c) f (x) = (1 + x)/2, para −1 < x < 1. 453. Encuentre la funci´on de densidad de X − Y , cuando X y Y son independientes y tales que a) X tiene distribuci´on unif(1, 2) y Y tiene distribuci´on unif(0, 1).

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Cap´ıtulo 5. Transformaciones

257

b) X tiene distribuci´on exp(λ) y Y tiene distribuci´on unif(0, 1). 454. Sea a una constante. Demuestre que la diferencia de dos variables aleatorias independientes ambas con distribuci´on uniforme en el intervalo (a − 1/2, a + 1/2) tiene funci´on de densidad ( 1 − |u| si − 1 < u < 1, f (u) = 0 otro caso. 455. Demuestre que la diferencia de dos variables aleatorias independientes, cada una de ellas con distribuci´on normal, tiene nuevamente distribuci´on normal, con media la diferencia de las medias, y varianza la suma de las varianzas.

em

at

ic a1

.c om

456. Sean X y Y son discretas,Pindependientes y con valores enteros. Demuestre que fX−Y (u) = k fX (u + k)fY (k), en donde la suma se efect´ ua sobre todos los posibles valores enteros k que la variable aleatoria Y puede tomar.

ww

w.

M

at

457. Sea (X, Y, Z) un vector aleatorio absolutamente continuo. Encuentre una f´ormula para la funci´on de densidad de la variable X + Y − Z. 458. Sea (X, Y, Z) un vector aleatorio absolutamente continuo. Encuentre una f´ormula para la funci´on de densidad de la variable X − Y + Z. 459. Sea (X1 , . . . , Xn ) un vector absolutamente continuo con funci´on de densidad fX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ). Demuestre que la variable X1 − X2 − · · · − Xn tiene funci´on de densidad Z ∞ Z ∞ f (u) = ··· fX1 ,...,Xn (u + v2 + · · · + vn , v2 , . . . , vn ) dv2 · · · dvn . −∞

−∞

Aplique esta f´ormula al caso cuando las variables X1 , . . . , Xn son independientes y cada una de ellas tiene distribuci´on unif(0, 1).

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258

5.3. Ejercicios

Distribuci´ on del producto 460. Encuentre la funci´on de densidad del producto de dos variables aleatorias independientes ambas con distribuci´on: a) unif(0, 1). b) exp(λ). 461. Encuentre la funci´on de densidad del producto de dos variables aleatorias cuya funci´on de densidad conjunta es 1 , para 0 < x < a, 0 < y < b. ab b) f (x, y) = e−x−y , para x, y > 0.

a) f (x, y) =

c) f (x, y) = e−y , para 0 < x < y. d) f (x, y) = 8xy, para 0 < x < y < 1. m

e) f (x, y) = 4x(1 − y), para 0 < x, y < 1.

at ic

a1

.c o

462. Encuentre la funci´on de densidad del producto de dos variables aleatorias independientes cada una de ellas con funci´on de densidad

em

a) f (x) = 2x, para 0 < x < 1.

at

b) f (x) = 6x(1 − x), para 0 < x < 1. ww

w.

M

c) f (x) = (1 + x)/2, para −1 < x < 1. 463. Encuentre la funci´on de densidad del producto de dos variables aleatorias independientes X y Y , tales que a) X tiene distribuci´on unif(−1, 0) y Y tiene distribuci´on unif(0, 1). b) X tiene distribuci´on unif(0, 1) y Y tiene distribuci´on exp(λ). 464. Sea (X1 , . . . , Xn ) un vector absolutamente continuo con funci´on de densidad fX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ). Demuestre que la variable producto X1 · · · Xn tiene funci´on de densidad Z ∞ Z ∞ u 1 , v2 , . . . , vn ) | | dv2 · · · dvn . f (u) = ··· fX1 ,...,Xn ( v · · · v v · 2 n 2 · · vn −∞ −∞ Aplique este resultado al caso cuando todas las variables son independientes y cada una de ellas tiene distribuci´on unif(0, 1).

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Cap´ıtulo 5. Transformaciones

259

Distribuci´ on del cociente 465. Encuentre la funci´on de densidad de X/Y para (X, Y ) un vector con funci´on de densidad 1 para 0 < x < a, 0 < y < b. a) f (x, y) = ab b) f (x, y) = e−x−y , para x, y > 0. c) f (x, y) = e−y , para 0 < x < y. d) f (x, y) = 8xy, para 0 < x < y < 1. e) f (x, y) = 4x(1 − y), para 0 < x, y < 1. f ) f (x, y) = 2e−x−y , para 0 < x < y.

.c o

m

466. Encuentre la funci´on de densidad de X/Y cuando X y Y son independientes y ambas con distribuci´on: a) unif(0, 1). b) exp(λ).

em at ic

a1

467. Encuentre la funci´on de densidad de X/Y cuando X y Y son independientes y ambas con funci´on de densidad

ww

w.

M

at

a) f (x) = 2x, para 0 < x < 1. b) f (x) = 6x(1 − x), para 0 < x < 1. c) f (x) = (1 + x)/2, para −1 < x < 1. 468. Encuentre la funci´on de densidad de X/Y cuando X y Y son independientes y son tales que a) X tiene distribuci´on unif(−1, 0) y Y tiene distribuci´on unif(0, 1). b) X tiene distribuci´on unif(0, 1) y Y tiene distribuci´on exp(λ). 469. Sean X y Y independientes con distribuci´on exp(λ). Encuentre la funci´on de densidad de X/(X + Y ). 470. Sea (X1 , . . . , Xn ) un vector absolutamente continuo con funci´on de densidad fX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ). Demuestre que la variable X1 /(X2 · · · Xn ) tiene funci´on de densidad Z ∞ Z ∞ f (u) = ··· fX1 ,...,Xn (uv2 · · · vn , v2 , . . . , vn ) |v2 · · · vn | dv2 · · · dvn . −∞

−∞

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