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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS E INGENIERÍA

Curso: Resistencia de Materiales I (MC 324)

Periodo de Nivelación 2016

TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZOS Sin embargo, este estado de esfuerzo no se presenta a menudo en la práctica de ingeniería; mas bien, el ingeniero hace con frecuencia aproximaciones o simplificaciones a fin de que el esfuerzo generado en un miembro estructural o elemento mecánico pueda ser analizado en un solo plano. Cuando éste es el caso, se dice que el material se encuentra sometido a esfuerzo plano (Figura 2).

INTRODUCCIÓN Los esfuerzos normales y cortantes en vigas, ejes y barras pueden calcularse con las fórmulas básicas estudiadas anteriormente; por ejemplo, los esfuerzos en una viga están dados por las fórmulas de flexión y corte, según se sabe:

σ=

Mz y Iz

τ=

VQ I zb

Sin embargo, los esfuerzos calculados con dichas fórmulas actúan sobre secciones transversales de los miembros, y a veces ocurren esfuerzos mayores sobre las secciones inclinadas, pero particularmente en un solo punto de dicha sección; así entonces, empezaremos a analizar los esfuerzos estudiando los métodos para calcular los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre las secciones inclinadas cortadas en los miembros estructurales o elementos mecánicos a analizar.

Figura 2. Elemento sometido a un estado plano de esfuerzos.

El estado general de esfuerzo plano en un punto está por tanto representado por una combinación de dos componentes de esfuerzo normal (σx; σy) y una componente de esfuerzo cortante (τxy) que actúan en 4 caras del elemento (Fig. 2). Por conveniencia trataremos todo el estado de esfuerzo planteado en el plano xy (Fig. 3).

Transformación del Esfuerzo Plano En condiciones generales, el estado de esfuerzo en un punto está caracterizado por seis componentes independientes del esfuerzo normal y cortante, las cuales actúan sobre las caras de un elemento de materiales localizado en un punto (Figura 1).

y

x

Figura 1. Elemento sometido a un estado general de esfuerzos. Profesor: Ing. José Martín Casado Márquez

Figura 3. Representación en el plano xy de un estado plano de esfuerzos.

1

y

Debe entonces entenderse que, si estas 3 componentes de esfuerzo en un punto son conocidos para un elemento orientado en las direcciones x e y, entonces las tres componentes de esfuerzo que representan el mismo estado de esfuerzo en el punto, pero sobre un elemento orientado en las direcciones x’ e y’ serán diferentes (Fig. 4). En otras palabras: El estado de esfuerzo plano en un punto está representado en forma única por 3 componentes que actúan sobre un elemento que tiene una orientación específica en dicho punto (σx’; σy’ y τx’y’).

y

y’

x’ θ

x

x Figura 6. Elemento con sección inclinada que será sometida a un estado plano de esfuerzos según las direcciones x’ e y’.

τx’y’

σx’

Figura 4. El estado plano de esfuerzos según los ejes x’ e y’ es equivalente al del estado según los ejes x e y.

Ecuaciones Generales para la Transformación de un Estado Plano de Esfuerzos En primer lugar, adoptaremos la convención de signos mostrada en la figura 5 para los esfuerzos definidos en el plano x-y. Ahora consideremos una sección inclinada como la mostrada en la figura 6, sometido a un estado de esfuerzo plano, y hagamos un diagrama de cuerpo libre adecuadamente (figuras 7 y 8), de modo que se pueda obtener esfuerzos en las direcciones x’ e y’.

Figura 7. Esfuerzos que actúan sobre el elemento de sección inclinada.

τx’y’A0secθ

y

σx’A0secθ

+σy +τxy +σx

x

Figura 8. Fuerzas que actúan sobre el elemento de sección inclinada. La cara vertical tiene área A0.

Figura 5. Convención de signos para definir un estado plano de esfuerzos.

Profesor: Ing. José Martín Casado Márquez

Para determinar la magnitud de σx’; σy’ y τx’y’ aplicamos las ecuaciones de equilibrio.

2

∑F

x'

⇒

σ x ' A0 sec θ − σ x A0 cos θ − τ xy A0 sin θ − σ y A0 tan θ sin θ − τ yx A0 tan θ cos θ = 0

∑F ⇒

=0

y'

=0

τ x ' y ' A0 sec θ + σ x A0 sin θ − τ xy A0 cos θ − σ y A0 tan θ cos θ + τ yx A0 tan θ sin θ = 0

Sabiendo que τxy = τyx, luego de simplificar apropiadamente, se obtienen las siguientes relaciones:

σ x ' = σ x cos 2 θ + σ y sin 2 θ + 2τ xy sin θ cos θ

(I)

τ x ' y ' = −(σ x − σ y ) sin θ cos θ + τ xy (cos 2 θ − sin 2 θ) Teniendo en cuenta las siguientes equivalencias:

Así entonces, para determinar la orientación de dicho(s) plano(s), aplicaremos el criterio de maximización de una función para σx’ y τx’y’. Al derivar (1) con respecto a θ se obtiene:

sin 2θ = 2 sin θ cos θ cos 2θ = cos 2 θ − sin 2 θ 1 − cos 2θ sin 2 θ = 2 1 + cos 2θ cos 2 θ = 2

dσ x ' = −(σ x − σ y ) sin 2θ + 2τ xy cos 2θ = 0 dθ De esta relación obtendremos el menor ángulo θ (representado por θp) para obtener la magnitud de los esfuerzos principales. Al despejar θ se obtiene:

Al reemplazarlas en (I) y (II) obtenemos expresiones más simples, y que toman las siguientes formas:

σ x' =

σx +σy 2

tan 2θ p =

σ −σ y   cos 2θ + τ xy sin 2θ (1) +  x  2 

 σx − σy τ x ' y ' = − 2 

  sin 2θ + τ xy cos 2θ 

σx + σy 2

 σx − σy −  2 

Así entonces, obteniendo sin2θp y cos2θp para reemplazarlas en (1) y (3), se hallan los esfuerzos principales (σ1 y σ2), cuyas fórmulas son:

(2)

σ máx = σ1 = σ mín = σ 2 =

  cos 2θ − τ xy sin 2θ (3)  

σx + σy 2 σx + σy 2

 σx − σ y +  2 

  + τ 2xy 

 σx − σy −  2 

  + τ 2xy 

2

2

τ12 = 0

Cálculo de los Esfuerzos Principales en un Estado Plano de Esfuerzos

De estas fórmulas se deduce que en los planos definidos por los ejes principales el esfuerzo cortante es nulo. De forma análoga, para hallar el valor del máximo esfuerzo cortante (τmáx) se debe tener en cuenta lo siguiente:

Así entonces, de (1), (2) y (3) vemos que los esfuerzos en los puntos de un determinado plano dependen de la orientación de éste. Sin embargo, en la práctica de Ingeniería suele ser muy importante determinar la orientación de dicho plano o planos que ocasionan que los esfuerzos normales y el esfuerzo cortante tengan valores críticos (máximos y mínimos). Estos esfuerzos se conocen como esfuerzos principales. Profesor: Ing. José Martín Casado Márquez

τ xy σ x − σ y (4) 2

Si desearamos obtener el esfuerzo normal en la dirección y’ (σy’), bastará que en la ecuación (I) se sustituya θ por θ + 90º, obteniendo así la siguiente relación:

σ y' =

(II)

dτ x ' y ' dθ

=0

Así entonces, en la ecuación (2) se tiene:

3

dτ x ' y ' dθ

Círculo de Mohr para un Estado Plano de Esfuerzos

= −(σ x − σ y ) cos 2θ − 2τ xy sin 2θ = 0

Empleando las ecuaciones (1) y (2) se probará que las ecuaciones deducidas tienen una representación gráfica muy sencilla de usar y recordar. Replanteando dichas ecuaciones se tiene:

La solución de esta ecuación se representará por θs. Así entonces:

tan 2θ s = − De donde:

sin 2θ = cos 2θ =

σx − σy

(5)

2τ xy

σ x' −

− (σ x − σ y )

(σ

(σ

− σ y ) + 4τ 2

x

τ x'y'

2

σ + σy   σ x ' − x 2 

Sustituyendo estas expresiones en (1), (2) y (3) se obtiene:

τ máx τ mín

 σx − σy = −  2 

σ x '' = σ y '' = σ prom

 σx − σy   cos 2θ + τ xy sin 2θ =   2    σx − σy   sin 2θ + τ xy cos 2θ = −  2  

Eliminando θ al elevar al cuadrado y sumar miembro a miembro se obtiene:

− σ y ) + 4τ 2xy

 σx − σy =  2 

2

2 xy

2τ xy

x

σx + σy

  σ − σy  + τ 2x ' y ' =  x 2   2

2

  + τ 2xy 

2

  + τ 2xy 

Para un problema específico, σx, σy y τxy son conocidos. Así entonces, la ecuación anterior se puede reducir a la siguiente:

2

  + τ 2xy  σx + σy = 2

(σ

− σ prom ) + τ 2x ' y ' = R 2 2

x'

Siendo R el radio del Círculo de Mohr, donde:

De las relaciones (4) y (5) se nota que tan2θs es el inverso negativo de tan2θp. Esto entonces significa que los ángulos 2θp y 2θs difieren en 90º, por lo que θp y θs difieren en 45º. Así entonces se concluye que los planos de esfuerzo cortante están a 45º de los planos principales.

 σx − σy R =  2 

2

  + τ 2xy 

El centro del círculo se encuentra en el punto C = (σprom; 0) = (h; 0). Este círculo representa gráficamente las ecuaciones de transformación de esfuerzo. En la gráfica adjunta se muestra la representación de todas las magnitudes indicadas antes.

τ

De la gráfica se puede notar que, para hallar σmáx se debe girar el ángulo 2θp en sentido horario desde el punto de coordenadas (σx; τxy) en el círculo (punto conocido), y en la dirección diametral opuesta se encontrará el punto (σy; -τxy).

σ

Así también, de la gráfica se puede plantear las ecuaciones correspondientes para σmáx (σ1 en B) y σmín (σ2 en D) y τmáx en función a las “dimensiones” del Círculo de Mohr. EL PROFESOR DEL CURSO: JMCM Lima, 06 de febrero del 2017

Figura 9. Representación de los esfuerzos en un material en el Circulo de Mohr. Profesor: Ing. José Martín Casado Márquez

4