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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS E INGENIERÍA

Curso: Resistencia de Materiales I (MC 324)

Periodo de Nivelación 2016

TRANSFORMACIÓN DE DEFORMACIONES INTRODUCCIÓN El estado de deformación de un material determina la variación en su volumen. Considerando el elemento de un material cuyas dimensiones se muestran en la figura 2, su volumen será dV0 = dx0dy0dz0; y en el estado deformado, las dimensiones del elemento son:

dx = (1 + εx)dx0 dy = (1 + εy)dy0 dz = (1 + εz)dz0 Así, el cambio en su volumen será:

dV – dV0 = (1+εεx)(1+εεy)(1+εεz) dx0dy0dz0

Figura 1

Con dicho cambio podemos medir la dilatación del material, definida como el cambio del volumen por unidad de su volumen original.

e=

dV − dV0 dV0

⇒

e = εx + εy + εz

Figura 2. Elemento en estado de deformación

Así entonces, luego de la dilatación, si el estado de deformación del elemento sucede solo en un plano (xy por lo general), entonces εz = γxz = γyz = 0, según se aprecia en la figura 3. El propósito de este acápite es determinar dónde tienen lugar las máximas deformaciones (normal y cortante) en un material.

Profesor: Ing. José Martín Casado Márquez

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γxydycosθ. Si estas tres elongaciones se juntan, la elongación resultante dx’ es:

Figura 4b Figura 3. Elemento sometido a un estado plano de deformaciones

Para desarrollar las ecuaciones de transformación de deformación para determinar εx’, debemos determinar la elongación del segmento dx’ que yace sobre el eje x’, que se sujeta a las deformaciones εx, εy y γxy. Así entonces, según la Fig. 4a, las componentes del segmento dx’ a lo largo de los ejes x e y son:

dx = dx’cosθ θ dy = dx’senθ θ

(1) Figura 4c

Figura 4a

Figura 4d

Cuando la deformación normal εx tiene lugar (Fig. 4b), el segmento dx se elonga εxdx, lo que causa que el segmento dx’ se estire εxdxcosθ. Del mismo modo, cuando εy tiene lugar (Fig. 4c), el segmento dy se elonga εydy, lo que causa que el segmento dx’ se estire εydysenθ. Finalmente, asumiendo que dx no se altera en posición, la deformación por corte γxy, que mide el cambio del ángulo entre dx y dy causa que el borde del segmento dy se desplace γxydy hacia la derecha (Fig. 4d). Esto causa que dx’ se elongue

dx’ = εxdxcosθ + εydysenθ + γxydycosθ

Profesor: Ing. José Martín Casado Márquez

Como εx’ = δx’/dx’, empleando las relaciones (1), obtenemos finalmente:

(2) Así, la deformación εy’ será: (3) 2

La ecuación de transformación de deformación para hallar γx’y’ se puede desarrollar considerando la rotación que los segmentos dx’ y dy’ sufren cuando se someten a las deformaciones εx, εy y γxy (Fig. 4e). Primero consideremos la rotación de dx’, definida por el ángulo α, que se puede obtener mediante α = δy’/dx’.

Para determinar las deformaciones principales derivamos εx’ con respecto a θ, y obtenemos:

γ xy εx −εy

tan 2θ p =

θp viene a ser el ángulo para el cual se obtienen las deformaciones principales (máxima y mínima), cuyos valores son:

Para obtener δy’, consideremos los tres componentes de desplazamiento que actúan a lo largo de la dirección y’: Una de εx, que viene a ser –εεxdxsenθ θ (Fig. 4b), una de εy, que viene a ser εydycosθ θ (Fig. 4c), y la última de γxy, que da –γγxydycosθ θ (Fig. 4d). Así, δy’ será:

ε máx =

εx +εy

mín

2

εx −εy ±   2

  γ xy   +   2    2

2

Asimismo, para determinar la máxima deformación angular, derivamos γx’y’ con respecto a θ, y así obtenemos:

tan 2θ s = −

(ε x − ε y )

γ xy

Con lo cual, la máxima deformación angular en el punto será:

εx −εy =  2  2

γ máx

Figura 4e

dx’ = -εxdxsenθ + εydycosθ - γxydysenθ

ε prom =

(4)

(5)

sen# %

y'

εx + εy 2

±

εx −ε y 2

cos 2θ ±

Al simplificar las expresiones obtenidas para la deformación en estado plano, se obtiene la siguiente ecuación:

γ xy sin 2θ 2

ε x + ε y   γ x' y '   ε x − ε y   =  ε x ' −  +  2 2      2 2

γ x' y ' γ ε −εy =− x sin 2θ + xy cos 2θ 2 2 2 Profesor: Ing. José Martín Casado Márquez

2

Al reemplazar el valor de θp en las expresiones de εx’ y εy’ del estado plano de esfuerzos, se demuestra que dichas deformaciones están contenidos en otro Círculo de Mohr.

(6)

Finalmente, haciendo la correspondiente transformación a ángulo doble, las fórmulas (2), (3) y (6) quedan del siguiente modo:

ε x' =

εx +εy

Círculo de Mohr para Deformaciones Planas

Finalmente, γx’y’ será: "cos #

2

Para determinar los esfuerzos del material en un estado plano de deformaciones, bastará con reemplazar la información conocida en las relaciones de la Ley Generalizada de Hooke.

Nótese en la Fig. 4e que dy’ se obtiene al rotar un ángulo β; por lo tanto, reemplazando θ por θ + 90° en (2), obtendremos:

sin cos

2

Sustituyendo θs en εx’ se obtiene:

Como α = δy’/dx’, y empleando las relaciones (1), obtenemos finalmente:

2

  γ xy   +   2   

3

2

  γ xy   +   2    2

2

En una forma simplificada:

 τ x' y'   = R 2 (ε x ' − ε prom ) +   2  2

2

El procedimiento gráfico para determinar las deformaciones principales es el mismo que para determinar el momento de inercia de áreas planas.

RELACIÓN ENTRE E, G y ν Anteriormente determinamos relaciones entre esfuerzos y deformaciones en función de los módulos elástico, de corte y de Poisson. En forma analítica existe una relación directa entre estas propiedades de un material. Para ello sometemos al elemento de un material a un estado plano de esfuerzos cortantes (fig. 6), en las que σx = σy = σz = 0.

Figura 5. Círculo de Mohr para un estado plano de deformaciones.

Si hacemos girar los ejes de coordenadas 45º, se generará un estado de esfuerzos tal que:

σx’ = τsen(2.45°) = τ

σy’ = -τsen(2.45°) = -τ

;

Asimismo, la deformación unitaria εx’ en la dirección x’ será:

ε x' =

γ xy 2

sin(2.45º ) =

τ 2G

Figura 6. Elemento sometido a esfuerzo cortante puro.

Ya que consideramos que el material es isotrópico, εx’ y σx’, σy’ y σz’ deben satisfacer la ecuación:

ε x' = τ 2G

σ x'

=

E

τ

E

− +

υ

E

Despejando G se obtiene:

G=

(σ y ' + σ z ' )

υτ E

Profesor: Ing. José Martín Casado Márquez

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E 2(1 + υ )

APLICACIÓN DE EXTENSÓMETROS (STRAIN DETERMINACIÓN DE DEFORMACIONES PLANAS

GAGES)

EN

LA

Para medir las deformaciones en piezas sometidas a esfuerzos, se emplean dispositivos sumamente pequeños y sensibles a la temperatura, denominados extensómetros o strain gages, con los cuales se podrán determinar los esfuerzos principales que actúan en un punto de una pieza mecánica. Experimentalmente está comprobado que los extensómetros dan resultados sumamente precisos si el incremento de temperatura que sufren no excede de 15°C. En la figura 8 se muestra uno de los dispositivos, con sus partes más saltantes, cuyas magnitudes dependen de factores como: a) b) c) d)

Material de trabajo. Longitud de medición. Forma geométrica. Temperatura de trabajo.

Fig. 7. Análisis experimental de deformaciones en el ala de un avión. Los resultados servirán para determinar los máximos esfuerzos de trabajo en el ala.

Fig. 8. Partes constituyentes de un extensómetro. Profesor: Ing. José Martín Casado Márquez

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Para determinar el estado completo de deformaciones en un material se utilizan conjuntos de extensómetros dispuestos en una forma determinada, según el tipo de carga a los que se encuentren sometidos. En esta ocasión se denominan rosetas. Los dos tipos de rosetas más empleadas industrialmente son: •

A partir de las deformaciones medidas en estos extensómetros en las direcciones a, b y c dadas podemos conocer las deformaciones principales correspondientes, así como los esfuerzos principales asociados. Para cada caso los resultados son: EN UNA ROSETA RECTANGULAR (Ángulos: θa = 0º; θb = 45º; θc = 90º), las deformaciones principales son:

Roseta rectangular o de 45° (fig. 9).

εx = εa ε y = εc γ xy = 2ε b − (ε a + ε c ) Las deformaciones principales son:

&'á) 'í+

•

Roseta delta (fig. 10).

1 -& 2 .

&/ 0 12"&.

&/ %#

2"&/

&2 %# 3

La dirección de las deformaciones principales viene dado por:

tan 2θ p =

γ xy 2ε − (ε a + ε c ) = b εx −ε y εa −εc

Los esfuerzos principales con esta roseta se determinarán del siguiente modo:

σ máx = mín

E ε a + ε c 1 2 2 ± 2(ε a − ε b ) + 2(ε b − ε c )   2  1−υ (1 + υ ) 

Y el esfuerzo cortante máximo se determinará del siguiente modo:

τ máx =

2E 2(1 + υ )

(ε a − ε b )2 + (ε b − ε c )2

EN UNA ROSETA TRIANGULAR O DELTA (Ángulos: θa = 0º; θb = 60º; θc = 120º), las deformaciones son:

εx = εa

1 (2ε b + 2ε c − ε a ) 3 2 = (ε b − ε c ) 3

εy = γ xy

Profesor: Ing. José Martín Casado Márquez

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Las deformaciones principales son:

ε máx = ε a + ε b + ε c ± 2 (ε a − ε c )2 + (ε c − ε b )2 + (ε b − ε a )2   3 mín 1

La dirección de las deformaciones principales viene dado por:

tan 2θ p =

3 (ε c − ε b ) 2ε b − ε a − ε c

Y los esfuerzos principales con esta roseta serán:

σ máx = mín

E ε a + ε b + ε c 2 ±  3  1 −υ 1+υ



(ε a − ε c )2 + (ε c − ε b )2 + (ε b − ε a )2  

Y el esfuerzo cortante máximo se determinará del siguiente modo:

τ máx =

E 2 2 2 2(ε a − ε b ) + 2(ε b − ε c ) + 2(ε c − ε a ) 3(1 + υ ) EL PROFESOR DEL CURSO: JMCM Bellavista, 9 de febrero del 2017

Profesor: Ing. José Martín Casado Márquez

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