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• MariaQuintana

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INTRODUCCION

Tanto el campo de la ingeniería eléctrica, como el de la electrónica han tenido la fuerte necesidad de crecer a la par con el desarrollo tecnológico humano, donde cada segundo cuenta, ya que siempre hay nuevos descubrimientos, que revolucionan por completo cada área de forma directa o indirecta, como lo causo los filtros, que tuvieron un gran impacto en la sociedad desde el año 1915, donde Campbell Wagner fue uno de sus pioneros, y gracias a este se pueden llegar a las siguientes interrogantes: ¿Qué es un filtro?, ¿Cómo funcionan? Y ¿Cómo se puede estudiar bajo un modelo matemático? Otro gran objeto de estudio para estos campos es la resonancia, que aunque es una palabra que se pueda escuchar en la vida diaria, es también una de las que difícilmente una persona sin estudios relacionados pueda saber cómo se manifiesta, y aunque este efecto ocurra de manera natural o forzada en el ambiente, es en este último siglo que se ha vuelto objeto de estudio, dejando inquietudes como: ¿Qué es la resonancia?, ¿Qué tipos existe? Y ¿Cómo se manifiesta en nuestras vidas? Todas estas preguntas se irán desarrollando de manera corta y precisa en el siguiente trabajo.

RESONANCIA El término resonancia se refiere a unos conjuntos de fenómenos relacionados con los movimientos periódicos o casi periódicos en que se produce reforzamiento de una oscilación al someter a un sistema a oscilaciones de una frecuencia determinada. Un sistema elástico, desplazado de su posición de equilibrio, una vez dejado libre, comienza a oscilar con cierta frecuencia, denominada frecuencia natural. Si el sistema no posee amortiguaciones, después de haber comenzado la oscilación, ésta continúa manifestándose con amplitud constante. Si se repite la acción que lo ha desplazado desde la posición de equilibrio después de un período, es decir con frecuencia igual a la frecuencia natural, la oscilación aumenta de amplitud, puesto que la segunda acción se suma a la primera: el efecto, en otras palabras, es superponer a la primera oscilación otra idéntica, que, al producirse al mismo tiempo y de igual manera que la primera, que se está repitiendo, determina una oscilación que resulta de amplitud doble. Repitiendo la acción de desplazamiento una tercera vez, una cuarta, y así sucesivamente, se aumenta desmesuradamente la amplitud de las oscilaciones. Si no intervienen rozamientos (internos al cuerpo, o externos) para amortiguar la vibración, ésta llega a conseguir amplitudes capaces de romper cualquier estructura.

RESONANCIA MECÁNICA La resonancia mecánica es un fenómeno que se produce cuando un elemento capaz de vibrar recibe la influencia de una fuerza periódica que tiene un periodo de vibración similar al periodo de vibración característico del elemento en cuestión. De este modo, una fuerza pequeña que se aplica repetidamente provoca que la amplitud del sistema oscilante se agrande. Este efecto puede ser destructivo en algunos materiales rígidos como el vaso que se rompe cuando un tenor canta. Por la misma razón, no se permite el paso por puentes de tropas marcando el paso, ya que pueden entrar en resonancia y derrumbarse

RESONANCIA MAGNÉTICA Dentro del ámbito medicina la resonancia magnética ha conseguido una notable importancia ya que permite realizar de una forma no invasiva imagines 3D para ver los órganos , tejidos y huesos dentro del cuerpo de forma certera y fiable sin hacer uso de la radiación utilizando fuertes campos magnéticos y onda de radios.

RESONANCIA ELÉCTRICA Es el comportamiento de un circuito con elementos inductivos y capacitivos, para el cual se verifica que la tensión aplicada en los terminales del mismo circuito, y la corriente absorbida, están en fase. La resonancia puede aparecer en todo circuito que tenga elementos L y C. Por lo tanto existirá una resonancia serie y otra resonancia en paralelo. El fenómeno de resonancia se manifiesta para una o varias frecuencias, dependiendo del circuito, pero nunca para cualquier frecuencia. Es por ello que existe una fuerte dependencia del comportamiento respecto de la frecuencia. Deviene de ello la gran importancia de los circuitos sintonizados, especialmente en el campo de las comunicaciones, en lo que hace a la sintonización de señales de frecuencias definidas o al "filtrado" de señales de frecuencias no deseadas. Genéricamente se dice que un circuito está en resonancia cuando la tensión aplicada y la corriente están en fase, el factor de potencia resulta unitario.

ANÁLISIS PARA RESONANCIA EN CIRCUITOS EN SERIE Para un circuito RLC serie como el dibujado, la impedancia será la siguiente:

Z=H ( w )=

Vs 1 =R+ jwL+ I jwC

(

Z=R+ j wL−

1 wC

)

La resonancia en un circuito se produce cuando la parte imaginaria de la función de transferencia es cero, siendo: ℑ ( z )=wL−

1 =0 wC

El valor de w que cumple esta condición recibe el nombre de frecuencia resonante (wo) por lo tanto, la condición de resonancia es woL=

1 woC

Siendo entonces: wo=

1 rad /s √ LC

Puesto que:wo=2 π fo fo=

1 2 π √ LC

Hz

DATOS IMPORTANTES QUE DESTACAR EN LA RESONANCIA: 1. La impedancia es puramente resistiva, por lo tal Z=R dándonos entender que la combinación en serie LC actúa como un cortocircuito y toda la tensión esta a través de R 2. La tensión Vs, y la corriente I se encuentra en fase, de modo que el factor de potencia es unitario. 3. La magnitud de la función de transferencia H(w)=Z(w) es mínima 4. La tensión a través de la bobina y del capacitor pueden ser mucho mayores que la tensión de la fuente

La frecuencia de la magnitud de corriente del circuito

I =|I |=

Vm

√

1 R + wL− wC 2

(

2

)

En la siguiente figura se muestra la amplitud de la corriente en comparación con la frecuencia para el circuito resonante:

La potencia promedio que disipa el circuito RLC: 1 P( w)= I 2 R 2

La mayor potencia que se disipa ocurre en la resonancia, cuando I=Vm/R, por lo tanto 1 V 2m ( ) P wo = 2 R En algunas frecuencias correspondientes a w=w1, w2 la potencia disipada es la mitad del valor máximo entonces: Vm 2 √2 V 2m P ( w 1 )=P ( w 2 ) = = 2R 4R

( )

Por tal W1 y W2 se denominan frecuencias de media potencia (corte), Estas frecuencias se obtienen al igualar Z a √ 2 R quedando expresado como:

√

(

R2 + wL−

1 2 = √2 R wC

)

Si se realiza un despeje de W podemos obtener:

−R w 1= + 2L

R 2 1 + 2L LC

R w 2= + 2L

R 2 1 + 2L LC

√( √(

)

)

Para el cálculo del ancho de banda (B) simplemente se define como la diferencia entre las 2 frecuencias de media potencia: B=w 2−w 1

Para poder medir la resonancia en un circuito resonante de forma cuántitativamente es por medio del factor de calidad (Q):

Q=

woL 1 = R WoCR

Teniendo en cuenta que el factor de calidad (Q) y el ancho de banda (B) son adimensionales se hacer una sustitución obteniendo la siguiente ecuación:

R Wo B= = L Q Se afirma que un circuito de alto Q cuando su factor de calidad sea igual o mayor que 10 dándonos las siguientes formulas. b b w 1 ≅ wo− w 2 ≅ wo+ 2 2

Ejercicio 1 En el siguiente circuito tenemos los siguientes valores R=2ohm, L=1mH y C=0.4uF a) determinar la frecuencia resonante y las frecuencias de media potencia b) calcular el factor de calidad y ancho de banda c) determinar la amplitud de la corriente en wo, w1, w2

Para el cálculo de de frecuencia resonante es wo=

1 1 = =50 k rad / s −3 √lc √ 10 .0.4 x 10−6

Para el cálculo de frecuencia w1 es

√(

R 2 1 + 2L LC

w 1=

−R + 2L

w 1=

−2 2.(1 x 10¿ ¿−3)+ √ ¿ ¿ ¿ ¿

)

W 1=49 k rad /s Para el cálculo de frecuencia w2 es R 2 1 + 2L LC

w 2=

R + 2L

w 2=

2 2.(1 x 10 ¿¿−3)+ √¿ ¿ ¿ ¿

√(

)

W 2=51 k rad / s

Para el cálculo de ancho de banda (b)

B=w 2−w 1 B=51 k −49 k B=2 k rad / s Para el cálculo de factor de calidad (Q)

q=

Wo 50 = =25 B 2

Para el cálculo de corriente

En Wo I=

Vm 20 = =10 A R 2

En w1, w2 I=

Vm 20 = =7,071 A √2 R 2 √2

Ejercicios 2 Un circuito conectado en serie tiene R =4ohm, L=25mh, V=100v

a) calcule el valor de C que produciría un factor de calidad de 50 Calculo de ancho de banda (B) R 4 B= = =150 rad /s L 25 x 10−3

Calculo de frecuencia resonante (wo)

Q=

Wo B

Wo=Q. B=50.150=8 k

Para el cálculo de C Wo=

1 √ Lc

Elevo al cuadrado ambos lados y realizo el despeje de C obteniendo C=

1 =0,625 uF Wo2 L

b) Determinar W1,W2 y B

Para W1 −R w 1= + 2L w 1=

√(

R 2 1 + 2L LC

)

−4 2.(25 x 10¿¿−3)+ √ ¿ ¿ ¿ ¿

W 1=7920 rad / s Para w2

R 2 1 + 2L LC

w 2=

R + 2L

w 2=

4 2.(25 x 10¿¿−3)+ √¿ ¿ ¿ ¿

√(

)

W 2=8080rad /s Para ancho de banda (B) Durante el ejercicios ya se hallo el valor de B pero ya teniendo w1 y w2 aplicaremos la siguiente formula B=w2-w1 para comprobar el resultado arrojado en calculo anteriores

B=w 2−w 1 B=8080−7920 B=150 rad / s c) Encontrar la potencia promedio disipada en wo,w1,w2

Potencia para Wo

P=

1 V 2 m 1 1002 = =1,25 Kw 2 R 2 4

Potencia para W1, W2

vm 2 √2 P ( w 1 )=P ( w 2 ) = =0,625 kw 2R

( )

ANÁLISIS DE CIRCUITOS RESONANTES PARALELO Un circuito RLC en paralelo como en la figura

Tenemos esta formula I 1 1 Y =h ( w ) = = + jwC+ V R jwL Expresándolo de otra manera Y=

1 1 + j wC− R wL

(

)

La resonancia existe cuando la parte imaginaria de Y es cero, wC −

1 =0 wL

Expresándolo de otra manera Wo=

1 Rad /s √ LC

Nota: la misma fórmula que la de circuitos resonantes en serie

Formulas para poder calcular W1 y W2 para circuitos resonantes en paralelo w 1=

−1 + 2 RC

w 2=

1 + 2 RC

√(

1 2 1 + 2 RC LC

√(

1 2 1 + 2 RC LC

) )

Para el cálculo de ancho de banda (B) B=w 2−w 1=

1 RC

Para el cálculo de factor de calidad (Q) Q=

Wo R =WoRC = B WoL

Teniendo las ecuaciones w1, w2 y Q se puede llegar expresar las frecuencias de media potencia en términos del factor de calidad dando como ecuaciones

1 2 w0 1 2 w0 w 1=wo 1+ − w 2=wo 1+ + 2q 2Q 2q 2Q

√

( )

√

( )

Para circuitos donde tiene una alta Q (Q≥10) b b w 1 ≅ wo− w 2 ≅ wo+ 2 2

Ejercicio 1 En el siguiente circuito RLC en paralelo se tiene r=8k ohm, L=0.2mh y C=8uf a) calcule wo,B y Q b)determine la potencia que se disipe en wo,w1,w2.

Para el cálculo Wo

Wo=

1 1 = =25 K rad /s −3 √ LC √ ( 0,2 x 10 ) ( 8 x 10−6 )

Para el cálculo factor de calidad Q=

R 8 x 103 = =1600 WoL ( 25 x 103 ) ( 0,2 x 10−3 )

Para el cálculo de ancho de banda B=

Wo =15.625 rad /s Q

Para el inciso b ya que el valor Q es alto se debe considerar a este como un circuito de alta Q: b rad w 1=wo− =25000−7812=24,992 k 2 s b rad w 2=wo+ =25000+7812=25,008 k 2 s Para el inciso C

En w=wo, Y=1/R o Z=R=8k ohm Io=

V 10 aun angulo de−90 ° = =1.25 aun angulo de−90 ° mA Z 8000

Ya que todas las corrientes pasan por R en la resonancia, la potencia promedio disipada en Wo es 2 1 2 1 P( wo)= |Io| R= ( 1.25 x 10−3 ) ( 8 x 103 )=6.25 mW 2 2

En w1, w2 P=

V2m =3.15 mW 4R

Ejercicio 2 Un circuito resonante en paralelo tiene R=100k ohm, L=20mH y C=5nF calcular wo, w1, w2, Q y B

Para el cálculo de Wo Wo=

1 1 = =100 K rad /s −3 √ LC √ ( 20 x 10 ) (5 x 10−9 )

Para el cálculo factor de calidad Q=

R 100 k = =50 WoL ( 100 k ) ( 20 x 10−3 )

Para el cálculo de ancho de banda B=

Wo =2 k rad /s Q

Para el inciso b ya que el valor de Q es alto se debe considerar a este como un circuito de alta Q: b rad w 1=wo− =100 k−1 k =99 k 2 s b rad w 2=wo+ =100 k +1 k =101 k 2 s

FILTRO

Un Filtro electrónico es un elemento que deja pasar señales eléctricas a través de él, a una cierta frecuencia o rangos de frecuencia mientras previene el paso de otras, pudiendo modificar tanto su amplitud como su fase. Es un dispositivo que separa, pasa o suprime un grupo de señales de una mezcla de señales. Pueden ser: analógicos o digitales, los filtros analógicos son aquellos en el que la señal puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, mientras que la señal de los filtros digitales toma solo valores discretos.

FILTRO PASIVOS

Se considera un filtro pasivo aquel solo posee elementos pasivos (resistencia, bobinas y condensadores) y se clasifica en 4 tipos de filtros ya sea pasivo o activo:

1. Filtro pasabajas: deja pasar frecuencias bajas y detiene frecuencias elevadas

2. Filtro pasaaltas: deja pasar altas frecuencias y rechaza las frecuencias bajas

3. Filtro pasabandas: deja pasar frecuencias dentro de una banda de frecuencia y bloquea o atenúa las frecuencias fuera de la banda.

4. Filtro rechazabanda: deja pasar frecuencias fuera de una banda de frecuencia y bloquea o atenúa frecuencias dentro de la banda.

En la siguiente tabla se nos mostrada un resumen de todas las característica de estos filtros ya mencionados y se debe estar consciente que esta tabla solo son válida para filtro de primer o segundo orden

ANÁLISIS DE UN FILTRO PASABAJAS Un filtro pasabajas común se forma cuando la salida de un circuito RC se toma del capacitor como se muestra en el siguiente circuito

Siendo la función de transferencia: 1 Vo jwC H (w)= = Vi 1 R+ jwC H (w)=

1 1+ jwRC

Teniendo cuenta que H (0)=1, H(∞)=0 y con el diagrama que se muestra |H(w)|, junto con la característica ideal. La frecuencia de media potencia o la frecuencia de corte Wc se obtiene igualando la magnitud de H (w) a 1/ √ 2, por lo tanto decimos

H ( wc ) =

1

√1+wc

2

2

R C

2

=

1 √2

Ósea Wc=

1 RC

NOTA: un filtro pasabaja se diseña pará dejar pasar únicamente las frecuencias de cd superiores a la frecuencia de corte Wc

ANÁLISIS DE UN FILTRO PASAALTAS: Un filtro pasaaltas se forma cuando la salida de un circuito RC se toma de la resistencia como se muestra en el circuito

Siendo la función de transferencia H (w)=

H (w)=

Vo = Vi

R R+

1 jwC

jwRC 1+ jwRC

Sabiendo que H(0)=0, H(∞)=1 y la grafica de |h(w)| también en este caso, la frecuencia de corte será Wc=

1 RC

Nota: Un filtro pasaaltas se diseña para dejar pasar las frecuencias superiores a su frecuencia de corte Wc

ANÁLISIS DE UN FILTRO PASABANDAS: El circuito resonante en serie RLC proporciona un filtro pasabandas cuando la salida se toma de la resistencia como se muestra en el circuito

La función de transferencia viene siendo

H (w)=

Vo = Vi

R R+ j(wL−

1 ) wC

Sabiendo que H(0)=0, H(∞)=o y la grafica de |h(w)|. El filtro pasabandas deja pasar una banda de frecuencias (w 1< w