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• Liliana Ballesteros

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3. Una empresa vende 70 teatro en casa al mes a 300 dólares cada uno, pero la investigación de mercado indica puede vender un televisor más al mes por cada reducción de $2 dólares en el precio. Le doy las fórmulas de ingreso para que se les facilite. I(q)= (70+q) * (500-2q) a. ¿Con qué cantidad de teatros en casa se maximiza la función de ingresos? b. ¿Con qué precio se maximizaría el ingreso? c. ¿A qué precio ocurre esto y cuál es el ingreso? Recuerde que: La función de ingresos es el valor del producto por la cantidad. Solución: a) Resolvemos la función de ingreso: 𝐼(𝑞) = (70 + 𝑞) ∗ (500 − 2𝑞) 𝐼(𝑞) = (35000 − 140𝑞 + 500𝑞 − 2𝑞 2 ) 𝐼(𝑞) = −2𝑞 2 + 360𝑞 + 35000 Ahora derivamos esta ecuación: 𝑑𝐼 = −4𝑞 + 360 𝑑𝑞 Igualamos esta ecuación a cero para hallar la cantidad de teatros en casa en que se maximiza la función de ingresos: 𝑑𝐼 = −4𝑞 + 360 = 0 𝑑𝑞 −4𝑞 = −360 −360 𝑞= = 90 −4 Se deben vender 90 teatros en casa para maximizar la función de ingresos b) Tenemos que el teatro en casa vale 300 dólares, así la función del precio estaría dada por: 𝑃(𝑞) = 300𝑞 El precio al cual se maximiza la función de ingresos esta dado al reemplazar q= 90 en la ecuación de precio: 𝑷(𝟗𝟎) = 𝟑𝟎𝟎(𝟗𝟎) = 𝟐𝟕𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒐𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔 c) El precio al cual ocurre la maximización de la función de ingresos corresponde al hallado anteriormente:

𝑃(90) = 300(90) = 27000 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 Para determinar el ingreso, reemplazamos q=90 en la función de ingresos: 𝐼(𝑞) = −2𝑞 2 + 360𝑞 + 35000 𝐼(90) = −2(90)2 + 360(90) + 35000 𝐼(90) = −2(8100) + 32400 + 35000 𝑰(𝟗𝟎) = −𝟏𝟔𝟐𝟎𝟎 + 𝟔𝟕𝟒𝟎𝟎 = 𝟓𝟏𝟐𝟎𝟎 𝒅𝒐𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔

8. La empresa AUTOS S.A. tiene en exclusiva el modelo Super-Turbo. Cada carro le cuesta a la empresa 90.000.000 pesos y sabe que en un mes puede vender 25 carros a 170.000.000 pesos cada uno. Un estudio de marketing le revela que, por cada 2.000.000 pesos de descuento sobre el precio anterior, puede aumentar la venta en 4 carros más al mes. Para que se les facilite realizar el ejercicio le envío directamente las fórmulas: Función de ingresos es: I(q)= (170-2q)*(25+4q), trabajando en miles de pesos. a. Encuentra la cantidad de automóviles que debe vender para obtener los máximos beneficios. b. Encuentre el valor de los máximos beneficios Solución: a) Los beneficios corresponden a la utilidad, asi hallamos la ecuación de costos y con la de ingresos determinamos la de utilidad: 𝑪(𝒒) = 𝟗𝟎𝒒 𝐼(𝑞) = (170 − 2𝑞) ∗ (25 + 4𝑞) 𝐼(𝑞) = (4250 + 680𝑞 − 50𝑞 − 8𝑞 2 ) 𝑰(𝒒) = −𝟖𝒒𝟐 + 𝟔𝟑𝟎𝒒 + 𝟒𝟐𝟓𝟎 Función utilidad: 𝑈(𝑞) = 𝐼(𝑞) − 𝐶(𝑞) 𝑈(𝑞) = (−8𝑞 2 + 630𝑞 + 4250) − (90𝑞) 𝑼(𝒒) = (−𝟖𝒒𝟐 + 𝟓𝟒𝟎𝒒 + 𝟒𝟐𝟓𝟎) Para hallar la cantidad donde se maximiza el beneficio se debe derivar e igualar a cero la ecuación de utilidad: 𝑈(𝑞) = (−8𝑞 2 + 540𝑞 + 4250)

𝑑𝑈 = (−16𝑞 + 540) 𝑑𝑞 Igualamos a cero: 𝑑𝑈 = (−16𝑞 + 540) = 0 𝑑𝑞 (−16𝑞 + 540) = 0 −16𝑞 = −540 𝒒=

−𝟓𝟒𝟎 = 𝟑𝟑. 𝟖 ≈ 𝟑𝟒 𝒂𝒖𝒕𝒐𝒔 −𝟏𝟔

b) El valor de los máximos beneficios se halla reemplazando q=34 en la función de utilidad:

𝑈(𝑞) = (−8𝑞 2 + 540𝑞 + 4250) 𝑈(34) = (−8(34)2 + 540(34) + 4250) 𝑈(34) = (−8(1156) + 18340 + 4250) 𝑼(𝟑𝟒) = (−𝟗𝟐𝟒𝟖 + 𝟏𝟖𝟑𝟒𝟎 + 𝟒𝟐𝟓𝟎) = 𝟏𝟑𝟑𝟒𝟐 𝒎𝒊𝒍𝒍𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔