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• Daniel Cevallos

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Trabajo de Algebra Lineal Entregar el día del examen Ing. Ibeth Delgado 1-

Defina qué es una matriz?

2-

Escriba las propiedades de la suma de matrices. Qué requisitos deben cumplir?

3-

Escriba las propiedades del producto de un escalar por matrices.

4-

Escriba las propiedades del producto de matrices. Qué requisitos deben cumplir?

5-

Cuál de las siguientes aseveraciones es cierta para la matriz 1 2 3 = 7 −1 0 a- A es una matriz cuadrada b- Es una matriz de 3x2 3 1 4 −2 1 1 7 2 0 0 1 0 −1 Si se multiplica la matriz A por el escalar -1, el producto es −7

c- Es la suma de las matrices d6-

Cuáles serían los elementos de la segunda columna de la matriz B si

abcd7-

3 −4 2 8

-2, -8 , 1 4, -8 2, 8, -1 -4, 8

0 + 1

=

0 0 0 ? 0 0 0

Cuál de las siguientes opciones debe ser la segunda fila de la matriz B si 3A-B=2C para

abcd8-

−2 −3 1 0

-3, 2, 6 3, -2, 6 0, -2, 9 0, 2, -9

1 −1 = 0 0 4 2

1 3 0

1 = 0 0

0 0 1 0 0 1

Realice las operaciones indicadas con

a- 3C-2B+A

1 = −2 0

4 −2 −8

=

−4 0 8

7 1 −3

5 −9 = 3 0 6 1

b- B-A-2C c- 7C-B+2A 9-

De las siguientes afirmaciones, cuál es cierta para la multiplicación de las matrices A y B? a- Se puede realizar sólo si A y B son matrices cuadradas? b- Cada elemento cij es el producto de aij y bij c- AB=BA d- Se puede realizar sólo si el número de columnas de A es igual al número de filas de B

10- Cuál de los siguientes sería el tamaño de la matriz producto AB si se multiplica la matriz A de 2x4 por la matriz B de 4x3? a- 2x3 b- 3x2 c- 4x4 d- El producto no se puede realizar 11- Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el producto AB es cierta si A es una matriz de 4x5? a- B debe tener cuatro filas y el resultado tendrá cinco columnas b- B debe tener cinco columnas y el resultado será una matriz cuadrada c- B debe tener cuatro columnas y el resultado tendrá cinco filas d- B debe tener cinco filas y el resultado tendrá cuatro filas 12- En qué consisten las tres operaciones elementales por fila para una matriz? 13- Escriba un ejemplo de matriz escalonada reducida por filas y un ejemplo de matriz reducida por filas. Cuál es la diferencia? 14- Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? ab-

En toda matriz escalonada reducida por filas se encuentra una matriz escalonada por filas? En toda matriz escalonada por filas se encuentra una matriz escalonada reducida por filas?

15- Hallar las matrices B y P tal que B=PA (P=inversa de A) 5 5 1 = 0 2 3 1 1 1 16- Hallar a, b, c, tal que la matriz A sea simétrica.

2 = 3 0

−2 +2 5 −2

2 + + + 7

17- Hallar el determinante de : −3 −3 8 6 −1

0 3 2 9 5

0 0 0 0 0 0 7 0 0 8 −1 0 7 3 7

a-

=

b-

0 = 1 0 1

−3 4 0 2 1 1 1 3

c-

1 = 2 2 1

5 −1 1 12 0 3 14 2 4 0 3 0

d-

0 9 6 −5 0 1 3 −7 3 −1

=

−1 0 2 0

−2 0 9 0 0 0 0 −2 −5 0

0 0 0 4 8

18- Hallar los valores de k para que el determinante de A sea diferente de 0

=

1 −3 1+

19- Dado: = 5;

ℎ Encontrar: ℎ

=

a-

b-

−4 +

−4 + ℎ

−4 +

=

−1 2 4 −5 −3 3

−4 +

−4 +

−4 + =

cℎ

20- Si: = −5 4

−5 5

a-

Encontrar el determinante de la matriz A

b-

Encontrar la matriz de los cofactores de A

c-

Encontrar la adjunta de A

d-

Encontrar la inversa de A

21- Si una matriz A de orden 4x4 con filas entonces el

,

,

5 5

+ 5 +6

tiene un determinante igual a -8,

=

22- Dos matrices A y B son de orden 2x2 y, el det(A)=-4 y el det(B)=4, entonces: a-

det(AB)=

b-

det(3A)=

c-

det(AT)=

d-

det(B-1)=

e-

det(B4)=

23- Dada la matriz =

3+2 − 4−4

−4 − 2 + 4 1+ −2 8−8

0 0 1+2

a-

Encontrar el determinante de la matriz M

b-

Utilizar el método de la matriz adjunta para encontrar M-1

24- Sea la matriz : 1 9 0 = 1 9 6 1 −8 6

Entonces = Halle :

=?

25- Suponga que usted está en el negocio de suministros para jardín. Naturalmente, una de las cosas que usted vende es el fertilizante. Usted tiene tres marcas disponibles: Vigoro, Parker’s y Bleyer’s. La cantidad de nitrógeno, ácido fosfórico y potasa por 100 libras para cada marca está dada por los vectores de nutrientes:

10 = 37 ; 38

2 = 7 , 7

5 = 20 21

Determine la cantidad de Vigoro, Parker’s y Bleyer’s que se requiere para producir 113 libras de nitrógeno, 428 libras de ácido fosfórico y 442 libras de potasa? 26- Seleccione lo correcto de las siguientes instrucciones para todas las matrices invertibles A y B de orden nxn. a-

(In+A)(In+A-1)=2In+A+A-1

b-

A+B es invertible

c-

(A+B)(A-B)=A2-B2

d-

AB=BA

e-

(AB)-1=A-1B-1

f-

8A es invertible

27- Resolver para la matriz X si AX(D+BX)-1=C. Asumir que todas las matrices son de orden nxn y son invertibles en los casos necesarios.

28- Sean −6 = 1 −1 1

−18 24 −18 8 16 −17 ; 23 −13 1 1 −9 17

=

Se requiere determinar si AX=B tiene una única solución para cualquier B ∈ ℝ4 . Escoger la mejor respuesta: a- La ecuación no tiene solución única para cualquier B porque el número de filas y columnas in A es el mismo.

b- La ecuación tiene una única solución para cualquier B ∈ ℝ4 porque el número de filas y columnas en el mismo. c- La ecuación tiene una única solución para cualquier B ∈ ℝ4 porque después de obtener la matriz A reducida por filas, la matriz no tiene una fila de ceros. d- La ecuación tiene una única solución para cualquier B ∈ ℝ4 porque después de obtener la matriz A reducida por filas, se tiene una fila de ceros en la matriz. e- La matriz no tiene única solución para cualquier B ∈ ℝ4 porque después de reducir por filas a la matriz A, la matriz no tiene una fila de ceros. f- La ecuación no tiene una única solución para cualquier B ∈ ℝ4 porque después de obtener la matriz A reducida por filas, se tiene una fila de ceros en la matriz. g- No se puede decir si la ecuación tiene una única solución para cualquier B ∈ ℝ4 .

29- Realice las siguientes demostraciones: a- Sabiendo que A*B son conmutables y que A es involutiva y B es idempotente, pruebe que: ( + ) + ( − ) = 8 b- Demuestre la propiedad conmutativa de la suma de matrices. c- SÌ A es una matriz involutiva, demostrar que: ( + ) Idempotentes y que ( + ). ( − d- Si

=

e- Si

, demostrar que

) son matrices

) es la matriz cero. ( )=

( ).

= , demuestre que (

=

( −

)(

) =

f- Sean B, (I-A.B) matrices inversibles del mismo orden, demostrar que: .( − . ) . B

− .( − . ) .

=

30- Conteste verdadero o falso a las siguientes afirmaciones. Para las respuestas falsas indicar por qué? a. Una matriz b. Si A y B ∈ no singular.

se le denomina involutiva ssi A2= I

∈

( ) . Si A y B son matrices no singulares, entonces A+B también es

c. Sea A una matriz cuadrada de orden cuatro. Si su determinante es | | = 2 , si se multiplica un escalar = 4 a una sola fila de A su nuevo determinante es 16. d. Sea A una matriz cuadrada de orden cuatro. Si su determinante es | | = 2 , si se multiplica un escalar = 3 a una sola fila de A su nuevo determinante es 6. e. Sea A una matriz cuadrada de orden cuatro. Si su determinante es | | = 2 , si se multiplica un escalar = 2 a toda la matriz A su nuevo determinante es 16. f. ¿Si AB es inversible, entonces det(A) =0? g. Si .

=0  .

h. ¿Si A ∈

= 0?

( ) , A es ortogonal, entonces

( ) = ±1?

i.

Si a cada elemento de una columna de la matriz de orden “n” se le suma el producto del número K por ele elemento correspondiente de otra columna; entonces el valor del determinante cambia?

j.

Si dos productos AB y BA están definidos y A es una matriz de orden Mxn, entonces B es una matriz de orden mxn?

k.

Si la suma de A+B y el producto AB son matrices normales (ortogonales); entonces A y B son normales?

l.

Toda matriz de orden “n” es equivalente por filas a una matriz reducida por filas?

m. El valor de un determinante se altera si la matriz se transpone? n.

Si a cada elemento de una fila de la matriz de orden “n” se le suma el producto del número K por ele elemento correspondiente de otra fila; entonces el valor del determinante cambia?

o.

Si las matrices A y B son conmutables para el producto, entonces las matrices conjugadas son anticonmutables?

p.

El rango de una matriz varía de acuerdo a las operaciones elementales realizadas?

31- Justifique su respuesta ab-

Sea a una matriz de período 6. Qué valores puede tomar el determinante de A8 Una matriz antisimétrica: Puede tener inversa? Justifique su respuesta

c-

Una matriz ortogonal puede tener un determinante igual a cero? Justifique su respuesta

32- Sea A. 33- Sea

=

∈

tal que

=0,

=1

≠ . Hallar el determinante de la matriz

=

∈

tal que

=

í { , } , . Hallar el determinante de la matriz A.

34- Sea

=

∈

tal que

=

á { , } , . Hallar el determinante de la matriz A.

35- Sea

=

∈

tal que

= |2 − 3 | , . Hallar el determinante de la matriz A.

36- Dada la matriz 1 −1 4 6 −1 3 6 3 2 Exprese la matriz A como la suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica =

37- Dada la matriz =

√−2 + 1 6+2 √−1 + 6

3 −1 −1 3

4 3+ + √−

Exprese la matriz A como la suma de una matriz hermítica y otra antihermítica

38- Para qué valores de “m” el sistema de ecuaciones tiene única solución, infinitas soluciones o no tiene solución.

(1 − ) + 2 − 2 = 1 ( − 1) − + = 1 − 2) − 2 + (4 − ) = −2

a(2

+ ( − 3) + 4 = 0 − +2 + ( + 1) = 0 −2 − 2 + = 0

b-

− c-

+

= −1 + + =1 − + = −1

39- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones con m, n, p, q, r incógnitas 4 − 3 = 10 2 −5 =5 + 3 = 19 3 + = 13 2 − 4 = 11

40- Dada la matriz A, encuentre su inversa y determine An , siendo

a-

=

2 3 −1 0 2 −3 0 0 2

b-

=

3 −2 0 3 0 0

c-

=

1 0 0 0

41- Calcular A2n

=

1 0 1

0 1 1 0 0 1

−1 1 3 1 1

∈

. (4p)

42- Utilizando únicamente las propiedades de los determinantes hallar el valor del det(A) =

− 0 0

−2 − −1 −1 0 0

0 1− +1

43- Sea =

sin( ) cos( ) −cos( ) sin( ) sin( ) + cos( ) sin( ) − cos( )

a-

Para qué valores de x, la matriz B tiene inversa?

b-

Calcular la inversa para un valor adecuado de x

0 0 1

44- Hallar el valor de “x” que hace que la siguiente matriz, tenga un rango menor a 4 1 0 1 2 − = 1 1 0 1

−

0 0

1 1 1 1−