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MATEMÁTICAS DISCRETAS

TUTOR: LUIS GERARDO ARGOTY HIDALGO

PRESENTADO POR:

GRUPO:

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN 03 DE OCTUBRE DE 2018

TEORÍA DE CONJUNTOS I. Escriba por extensión el conjunto y realice el diagrama de Venn. 1. 𝑴 = {𝒙/𝒙 ∊ ℤ, 𝒙𝟐 + 𝟒 = 𝟐𝟎} Para determinar un conjunto por extensión debemos nombrar cada uno de sus elementos, siendo para este caso en el cual tenemos el conjunto nombrado por comprensión primero debemos resolver la ecuación: 𝑥 2 + 4 = 20 Restamos 4 a cada lado de la ecuación 𝑥 2 + 4 − 4 = 20 − 4 𝑥 2 = 16 Sacamos raíz cuadrada en cada miembro de la ecuación √𝑥 2 = √16 𝑥=4 Podemos observar que nuestro conjunto por extensión es: 𝑀=4 Podemos representarlo en un diagrama de Venn

2.

N = {x/x εℤ, x2–5 = 20} R N=(20) N 20

3. R = {x/ x εℤ, x + 4 = 68} Para poderlo expresar por extensión necesitamos resolver:

x + 4 = 68 𝑥 = 68 − 4 𝑥 = 64 Sol: R = {64}

4.

S = {x/ x es una letra de la palabra “calcular”}

R/T

S = {calur} Diagrama de ven ……………………………… II.

Clasifique los dos conjuntos, por ejemplo, el conjunto M es finito, unitario, numérico, etc. Justifique adecuadamente. 1. A) 𝑴 = {𝒙/𝒙 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒆𝒎𝒂𝒏𝒂} Clasificación: -

Conjunto finito: aquel conjunto que tiene una cantidad exacta de elementos y como es sabido la semana solamente tiene 7 días y de los cuales 𝑥 podría ser 1 de los 7 días

-

Unitario: De los 7 días de la semana solamente escogeremos 1

B) {𝒙/𝒙 ∊ ℕ, 𝒙 ˂ 𝟏𝟐} Clasificación: -

Conjunto finito: aquel conjunto que tiene una cantidad exacta de elementos y en este caso 𝑥 comprende los números naturales del 1 al 11.

-

Conjunto numérico: conjunto comprendido solamente por números naturales.

2. a) C = {x/x ∈ℕ, -3 < x < 3} b) D = {x/x es vocal de la palabra “vals”} R/ C= es un conjunto finito ya que ningún valor de lo que los conforman es mayo a 3 D= este es un conjunto unitario que esta con formato por la vocal de la palabra vals 3. a) E = {x/x εℕ, x > 7} el conjunto E es: •

infinito: porque este conjunto pertenece a los números naturales y los números naturales son ilimitados. Numérico: es un conjunto numérico porque su contenido son números.

•

b) F = {x/x es un habitante de la Luna en el año 2018} el conjunto F es: •

Finito y Unitario: porque se está hablando de una sola persona, entonces esto significa que tiene fin. 4. a) G = {x/x es presidente de la Atlántida en el período 2016-2018}

R/T CLASIFICACION: G ES UN CONJUNTO VACIO. REPRESENTACION: G=Փ G={} JUSTIFICACION: La Atlántida no existió. Al menos, no existe evidencia de que haya existido. b) H = {x/x εℕ, x > 11}

R/T CLASIFICACION: ES UN CONJUNTO INFINITO REPRESENTACION: H = {12,13,14,15,15,16,17….} JUSTIFICACION: Ya que no es un conjunto finito, entendiendo que los números naturales no tiene fin.

III. Dados los conjuntos A = {r, s, t}; B = {t, u, v, w}, C= {v, w, x, y, z}, D = {a, b, c} U = {a, b, c, d, e, r, s, t, u, v, w, x, y, z} Justifique debidamente si las afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Revise primero los conceptos de pertenencia y contenencia. 1. A) {𝒓} ⊂ 𝑨 R/ es falso (F), el conjunto A no es un subconjunto del elemento 𝑟, siendo que 𝑟 está contenido en A y no viceversa B) 𝑫 ∉ 𝑼 R/ es falso (F), el conjunto D si pertenece al conjunto U ya que D es un subconjunto de U. 2. A) y ⊂ U b) A ∈ P (A) A) es falso por qué y no es un subconjunto de U B) es falso porque a no es un elemento del p

3. a) B ⊂ C falso R/ los elementos de conjunto B no están en su totalidad en el conjunto C b) a ∉ B verdadera R/ a no es un elemento de B, o a no pertenece al conjunto B.

4. a) {B} ∈ P (B) Si B = {t, u, v, w} entonces p (B) = {Ø, {t}, {u}, {v}, {w}, {t,u}, {t,v}, {t,w}, {u,v}, {u,w}, {v,w}, B} Aquí se coloca los dos subconjuntos impropios a los extremos después los unitarios y luego los compuestos, que vienen siendo todos los elementos posibles de haber y por haber. Entonces {B} ∈ P (B) es totalmente falso. b) u ⊂ P (B) Si B = {t, u, v, w} entonces p (B) = {Ø, {t}, {u}, {v}, {w}, {t,u}, {t,v}, {t,w}, {u,v}, {u,w}, {v,w}, B} Se observa que u es un elemento del conjunto B por lo tanto la expresión u ⊂ P (B) es totalmente falso

IV. Dados los conjuntos U = {x/x es número dígito}, M = {2, 4, 6, 8}, N = {1, 3, 5, 7}, R = {2, 4, 5, 7}, S = {0, 1, 3} Realice lo indicado:

1. A) Diagrama de Venn de 𝑴∆𝑹 𝑀∆𝑅 = (𝑀 − 𝑅) ∪ (𝑅 − 𝑀) 𝑀∆𝑅 = {5,6,7,8}

B) Analíticamente (𝑴′ − 𝑵) ∪ (𝑹′ − 𝑵) Primero identificamos los conjuntos 𝑀′ = {0,1,3,5,7} 𝑀′ − 𝑁 = {0} 𝑅 ′ = {0,1,3,6,8}

𝑅 ′ − 𝑁 = {0,6,8} Finalmente revolvemos (𝑀′ − 𝑁) ∪ (𝑅 ′ − 𝑁) = {0,6,8} 2.

a) Diagrama de Venn de RΔS S R 2,4 5,7

b) Analíticamente (N ⋂ M)’ U (R‒ N) N ⋂ M = {} R‒ N = {2,4} (N ⋂ M)’ U (R‒ N) = {2,4}

3. a) Diagrama de Venn de SΔM

b) Analíticamente (S ‒ R) ⋂ (M ⋂ N’) •

S ‒ R = {0,1,3}

•

M ⋂ N’= ▪ N’= {0, 2, 4, 6, 8, 9} ▪ M ∩ N’= {2, 4, 6, 8}

0,1,3

•

(S ‒ R) ⋂ (M ⋂ N’) = {∅}

4. a) Diagrama de Venn de RΔN

ENTONCES: R∆N = {1,2,3,4} b) Analíticamente (S’ – R’) ⋂ (M U N) Sc = S’ = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Rc = R’ = {0, 1, 3, 6, 8, 9} S’ – R’ = {2, 4, 5, 7}

M U N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (S’ – R’) ⋂ (M U N) = {2, 4, 5, 7,}

INDUCCIÓN Y RECURSIVIDAD 1. Demuestre por inducción matemática que: 𝟏 + 𝟐 + 𝟑 + ⋯+ 𝒏 =

𝒏(𝒏 + 𝟏) 𝟐

Solución: Si tomamos el primer entero positivo que es 1, es decir para 𝑛 = 1 de la formula obtenemos: 𝑛(𝑛 + 1) 1(1 + 1) 2 = = =1 2 2 2 Podemos observar que 1 = 1 En este caso 𝑛 = 1 se cumple la formula, en otras palabras la formula anterior es válida para 𝑛, pero que pasaría para 𝑛 + 1. Trataremos de demostrar que si se cumple para 𝑛, también debe cumplirse para 𝑛 + 1, es decir si se cumple para 1, debe cumplirse para 2, así también para 3, 4,… para todos los enteros positivos. 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)/2 Para esto tenemos que sumar a la formula 𝑛 + 1 en ambos lados de la ecuación 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 + (𝑛 + 1) =

𝑛(𝑛 + 1) + (𝑛 + 1) 2

𝑛(𝑛 + 1) + (𝑛 + 1) 2 Factor común 𝑛 + 1 𝑛 (𝑛 + 1) ( + 1) 2 Resolvemos la suma de fracciones 𝑛+2 (𝑛 + 1) ( ) 2 Reescribimos

(𝑛 + 1) (

𝑛+1+1 ) 2

Podemos observar que la fórmula es idéntica a la de 𝑛 (𝑛 + 1) + 1 (𝑛 + 1) [ ] 2 Entonces si la formula se cumple para 𝑛 = 1, entonces también se debe cumplir para 𝑛 + 1, en otras palabras, si se cumple para 1, también se cumple para 2, por lo tanto, también se debe cumplir para 3, 4, 5, …, todos los enteros positivos.

2. Demuestre por inducción matemática que 1 + 2 +… + n = (n2 + n + 2) /2 3. Demuestre por inducción matemática que 𝟏𝟐 + 𝟐𝟐 +… + 𝒏𝟐 = [n (n +1) (2n +1)] / 6, n>= 1 12 + 22 + ⋯ + 𝑛2 =

𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 6

Paso # 1 𝒏=𝟏

→

12 =

1(1 + 1)(2𝑥1 + 1) 6

1=

1(2)(3) 6

1=

6 6

1=1 Paso # 2 𝒏=𝒌 n = k+1

12 + 22 + ⋯ + 𝑘 2 =

𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1) 6

Paso # 3 12 + 22 + ⋯ + 𝑘 2 + (𝒌 + 𝟏) =

𝑘(𝑘 + 1)(2𝑘 + 1) + (𝒌 + 𝟏) 6

𝑘2 𝑘 𝑘 + (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1). + 1 + 3 6 2

Teniendo en cuenta el resultado del ejercicio y analizado las respuestas obtenidas, podemos decir que no se pudo demostrar la formula, que la formula no aplica.

4. Demuestre por inducción matemática que 2

+ 4 + 6 +… + 2n = n(n+1)

I)

Probar para n = 1 Sustituimos n por 1 …+ 2n = n(n+1) …+2(1) = (1)(1 + 1) 2 = 2 se cumple la primera inducción de la primera propiedad matemática para n = 1 ya que para ambos lados tienen el mismo valor.

II)

Hipótesis n = k 2 + 4 + 6 . . . 2k = k(k + 1)

III)

Tesis inductiva n = k + 1 2 + 4 + 6 . . . 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)

IV)

Demostración de la tesis en base a la hipótesis k(k + 1) + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2) k^2 + k + 2k + 2 = (k + 1)(k + 2) k^2 + 3k + 2 = (k + 1)(k + 2) Factorizando la cuadrática: (k + 1)(k + 2) = (k + 1)(k + 2)