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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS y PROBLEMAS TAREA 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD

UNIDAD 2 –TAREA 2 LÍMITES Y CONTINUIDAD

PRESENTADO POR. ARMANDO CORTEZ VALENCIA C.C. 14.795.395 SERGIO JOSÉ SOLARTE C.C.87531798 VÍCTOR HUGO BUITRAGO GARCÍA JORGE IVÁN MOTA

CÓDIGO: 100410_70

TUTOR: HECTOR FABIO CORTES CURSO: CALCULO DIFERENCIAL

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA: ECBTI PROGRAMA: INGENIERÍA ELECTRÓNICA JULIO 14 2019

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INTRODUCIÓN En el desarrollo del presente trabajo aplicamos algunos conocimientos adquiridos en el desarrollo de esta fase del curso sobre funciones, límites con su propiedad, continuidad de una función, limites unilaterales y calculo de los mismos, lo cual mediante el desarrollo de los diferentes ejercicios afianzamos algunos conocimientos adquiridos en las diferentes bibliografías recomendadas y páginas Web, además se presentan las gráficas con pequeño análisis de la interpretación de cada una de ella basadas en el plano cartesiano con el fin de observar los ejes YX estableciendo los valores negativos y positivos dentro de la misma. También se desarrollaron ejercicios referentes a la continuidad de funciones; la cual nos indica que una función es continua en un punto dado cuando la función dada y el límite de la función en ese punto existen y ambas tienen un mismo valor; para este tema desarrollamos ejercicios tanto analíticos como gráficos, con la ayuda de GeoGebra para encontrar valores exactos que hiciesen continuas funciones a trozos o por partes, permitiéndonos un conocimiento más profundo del tema.

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A continuación se presentan los ejercicios y grafícas asignados para el desarrollo de Tarea 2, en este grupo de trabajo:

Calcular los siguientes límites. 1. La siguiente imagen representa la gráfica de la función 𝒇(𝒙), de acuerdo a ella, identifique los siguientes límites. Gráfica Límites Estudiante 1. Víctor Hugo Buitrago García

Calcular: lim 𝑓(𝑥) = ∞ a) b) c) d) e)

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

𝑥→−∞

f)

lim 𝑓(𝑥) = ∞

g) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

𝑥→∞

lim − 𝑓(𝑥) = 𝟒

𝑥→−1

lim + 𝑓(𝑥) = 𝟒

𝑥→−1

lim 𝑓(𝑥) = 𝟒

𝑥→3−

lim+ 𝑓(𝑥) = 𝟒. 𝟎𝟏

𝑥→3

𝒙→−∞ 𝒙→∞

h) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) 𝒙→−𝟏

i)

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

𝒙→−𝟏+

j) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟑

k) 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟑

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Estudiante 2.

a) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→−∞

b) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→∞

c) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟎

d) 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟎

e) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟎.𝟓

f)

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

𝒙→𝟎.𝟓+

Estudiante 3

a) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

Jorge Iván Mota

b) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

𝒙→−∞ 𝒙→∞

c) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) 𝒙→−𝟐

d) 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) 𝒙→−𝟐

e) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟐

f) 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟐

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En la gráfica vemos que cuando X tiende a infinito la función describe una recta con pendiente positiva y si evaluamos la función con 𝑥 = ∞ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑦 = ∞ 1) lim − 𝑓(𝑥) 𝑥→−2

Por consiguiente lim (−𝑓(𝑥)) = 𝑓(−2,001) = 2

𝑥→−2

Evaluamos la función cuando X se acerca a -2 por la izquierda y vemos en la grafica que la función es la recta

1)

𝑦=2

lim 𝑓(𝑥)

𝑥→−2+

Si evaluamos la función con valores muy cercamos a X=-2 por la derecha vemos que la función describe la parábola que se observa en la gráfica. lim (𝑓(𝑥)) = 𝑓(−1,999) = 1 a medica que nos acercamos la función tiende a

𝑥→−2

Y=1

2) lim 𝑓(𝑥) 𝑥→2

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Observando la grafica vemos que en X=2 la función esta definida dentro de la parábola, es por eso que vemos el punto relleno con color y aquí Y=1 lim (𝑓(𝑥)) = 𝑓(2) = 1

𝑥→2

3) lim+ 𝑓(𝑥) 𝑥→2

Cuando nos acercamos a X=2 por la derecha por ejemplo com X=2,001 la función f(x) tiende a Y=0 lim (𝑓(𝑥)) = 𝑓(2,001) = 0

𝑥→2

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Estudiante 4

g) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

Sergio José solarte

h) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

𝒙→−∞ 𝒙→∞

i) j)

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

𝒙→−𝟒−

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

𝒙→−𝟒+

k) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) 𝒙→−𝟏

l)

a)

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = ∞

𝒙→−∞

El valor de este límite es debido a que cuando nos vamos a −∞ quiere decir que nos vamos para la izquierda en el recorrido del eje x, y miramos que valor del eje y toma. Que para este caso se va el eje y hacia arriba, es decir hacia∞

b) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = −𝟐 𝒙→∞

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙)

𝒙→−𝟏+

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Con la misma analogía que el limite anterior, este caso el límite es ∞ el eje de las x se va a recorrer hacia la derecha, y en el eje y para este valor se observa que es constante al valor de -2 c)

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = 𝟑

𝒙→−𝟒−

Este límite quiere decir que en la gráfica nos acercamos al valor de “-4” por la izquierda del eje x, es decir, desde −∞ hasta -4, con lo cual nos da un valor de 3

d) 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) = 𝟏 𝒙→−𝟒

Este caso es el contrario al limite anterior, en este caso nos acercamos al valor e “-4” por la derecha desde−∞ hasta -4 y se observa que el valor al que se acerca es 1

e) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) = −𝟐 𝒙→−𝟏

Como en el ejercicio “c” se hace el mismo planteamiento y se observa que al valor que se acerca es a -2 f)

𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) = −𝟐

𝒙→−𝟏+

Mismo planteamiento que el ejercicio “D” y se observa que el valor al que tiende es el de -2.

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En conclusión, esta función es continua en x=-1 porque sus límites laterales son iguales y su función evaluada en ese punto es igual también. Para el caso cuando x=-4, la función no es continua, debido a que los limites laterales no son iguales

Estudiante 5

a) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→−∞

b) 𝐥𝐢𝐦 𝒇(𝒙) 𝒙→∞

c) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) 𝒙→−𝟓

d) 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) 𝒙→−𝟓

e) 𝐥𝐢𝐦− 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟏

f) 𝐥𝐢𝐦+ 𝒇(𝒙) 𝒙→𝟏

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Temátic a

3. Calcular el siguiente límite indeterminado 0 de la forma

2. Evaluar el siguiente límite

0

𝑥 3 − 5𝑥 2 + 9𝑥 − 45 x→5 𝑥 5 − 5𝑥 4 + 𝑥 − 5 lim

Agrupar: 25𝑥 2 + 9𝑥 − 27 𝑥→−3 7𝑥 + 8 lim

Estudia nte 1: Víctor Hugo Buitrag o García

(25 ∗ (−3) ∧ 2 + 9 ∗ (−3) − 27) 7 ∗ (−3) + 8

𝑥 2 (𝑥 − 5) + 9(𝑥 − 5) (𝑥 − 5) + (𝑥 2 + 9)

lim

𝑥→0

√𝑥 6 + 5 √5 lim − 3 x→∞ 𝑥3 𝑥 Propiedad lim f(x) ± g(x) =

lim

𝑥→0

− lim 𝑓(𝑥) ± x→∞

(25 ∗ 9 + 9 ∗ (−3) − 27) 7 ∗ (−3) + 8

𝑥 − 5𝑥 + 𝑥 − 5

(225 − 27 − 27) −21 + 8

(𝑥 − 5) ∗ (𝑥 2 + 1)

𝟏𝟕𝟏 𝟏𝟑

Cot(𝑥) 𝑥→0 𝐶𝑠𝑐(𝑥) − 𝑆𝑒𝑛(𝑥) lim

x→∞

Agrupar:

−

5. Evaluar el siguiente límite trigonométrico

√𝑥 6 + 5 − √5 lim x→∞ 𝑥3 Expandir

𝑥 3 − 5𝑥 2 + 9𝑥 − 45

5

4. Calcular el siguiente límite al infinito

4

lim 𝑔(𝑥)

x→∞

lim

𝑥→0

4

𝑥 (𝑥 − 5) + (𝑥 − 5)

2

(𝑥 − 5) ∗ (𝑥 + 9) x→5 (𝑥 − 5) ∗ (𝑥 4 + 1) lim

(𝑥 2 + 9) x→5 (𝑥 4 + 1) lim 2

5 +9 54 + 1

√𝑥 6 + 5 x→∞ 𝑥3 √5 − lim 3 x→∞ 𝑥 lim

Resolver √𝟓 𝐥𝐢𝐦 =𝟎 𝐱→∞ 𝒙𝟑

Cos(𝑥) 1 ((𝑠𝑒𝑛 𝑥) − 𝑠𝑒𝑛 𝑥) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Cos(𝑥) 1 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑥 ((𝑠𝑒𝑛 𝑥) − ( ) ) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 Cos(𝑥) 1 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑥 ( ) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥

Cos(𝑥) 𝑥→0 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 ( ) 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 lim

Cos(𝑥) 𝑥→0 cos 2 𝑥 ( ) 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 lim

Cos(𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥→0 (𝑐𝑜𝑠𝑥 ∗ ( ) ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑠𝑒𝑛𝑥 lim

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25 + 9 625 + 1 34 626 Simplificando 𝟏𝟕 𝟑𝟏𝟑

Resolver

lim

Cos(𝑥) ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑥)

lim

Cos(𝑥) ∗ 𝑐𝑜𝑡𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑥)

lim

1 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑥)

𝑥→0 (𝑐𝑜𝑠𝑥

√𝑥 6 + 5 x→∞ 𝑥3 lim

√𝑥 6 + 5 𝑥6 lim x→∞ 𝑥3 √1 + ( 56 ) 𝑥 lim x→∞ 𝑥3 ( ) lim (𝑥

3

x→∞

𝑥→0 (𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑥→0 (𝑐𝑜𝑡𝑥

lim

1

𝑥→0 (( 𝑐𝑜𝑠𝑥 )

lim

𝑠𝑒𝑛𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑥) 1

𝑥→0 (( 𝑐𝑜𝑠𝑥 )

𝑠𝑒𝑛𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝑥)

5 1 ∗ √(1 + ( 6 )) /𝑥 3 ) lim 𝑥→0 (𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑥 lim 1

𝑥→0

5 lim √1 + ( 6 ) x→∞ 𝑥

lim (𝑐𝑜𝑠𝑥)

𝑥→0

1 1 5 √ lim 1 + ( 6 ) x→∞ 𝑥

1

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5 √ lim 1 + lim ( 6 ) x→∞ x→∞ 𝑥 √1 + 0 √1 1+0 1

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Estudia nte 2 Estudia nte 3

lim

𝑥→4

√𝑥 3 + 5𝑥 2 + 3𝑥 − 9

√𝑥 3 − 7𝑥 − 6 lim x→4 𝑥 2 − 4𝑥

√𝑥 5 − 8

lim 3𝑥 4 + 25𝑥 3 + 7𝑥

lim

𝑥→−5

9 − 𝑥2

x→3 5

3

− √−𝑥 3 − 5𝑥 2 − 8𝑥 + 24

𝑥2 + 𝑥 lim 2 x→∞ 𝑥 − 1

lim 𝑆𝑒𝑐 2 (𝑥) − tan(𝑥)

𝜋 𝑥→ 2

lim 𝑐𝑜𝑡 2 (𝑥) − 𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥) (𝑥 2 − 4)(𝑥 2 + 5𝑥 + 6) 𝑥→0 x→∞ 𝑥(𝑥 2 − 5𝑥 + 6) lim

− √𝑥 3 − 2 3

lim 3𝑥 4 + 25𝑥 3 + 7𝑥 − √−𝑥 3 − 5𝑥 2 − 8𝑥 + 24

𝑥→−5

Aplicamos la propiedad de los limites lim 𝑓(𝑥) = lim− 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑓(𝑥)

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

Vamos a evaluar la función aproximándonos por la izquierda es decir con X=-5,001 3

𝑓(−5,001) = 3(−5,001)4 + 25(−5,001)3 + 7(−5,001) − √−(−5,001)3 − 5(−5,001)2 − 8(−5,001) + 24 3

𝑓(−5,001) = 1876.5 − 3126.9 − 35 − √125.1 − 125.1 + 64 𝑓(−5,001) = −1285.4 − 66.10 𝑓(−5,001) = 1351.5 Ahora Vamos a evaluar la función aproximándonos por la derecha es decir con X=-4.999 3

𝑓(−4.999) = 3(−4,999)4 + 25(−4,999)3 + 7(−4,999) − √−(−4,999)3 − 5(−4,999)2 − 8(−4,999) + 24 3

𝑓(−4.999) = 1873.5 − 3123.12 − 35 − √124.9 − 125 + 64

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𝑓(−4.999) = −1284.6 − 66 𝑓(−4.999) = 1350.6 Entonces vemos que mediante la propiedad de la unicidad de limites comprobamos que el limite tanto por la izquierda como por la derecha tienden al mismo resultado.

2.1 Calcular el siguiente límite indeterminado de la forma lim

x→3 5

lim

x→3 5

0

9 − 𝑥2

x→3 5

lim

0

− √𝑥 3 − 2

9 − 32 − √33 − 2

9 − 𝑥2

.

=

0 0

5 + √𝑥 3 − 2

− √𝑥 3 − 2 5 + √𝑥 3 − 2

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=

(3 − 𝑥)(3 + 𝑥)(5 + √𝑥 3 − 2) (5 − √𝑥 3 − 2). (5 + √𝑥 3 − 2)

(3 − 𝑥)(3 + 𝑥)(5 + √𝑥 3 − 2) 52 (√𝑥 3 − 2) =

2

(3 − 𝑥)(3 + 𝑥)(5 + √𝑥 3 − 2) 25 − 𝑥 3 + 2

(3 − 𝑥)(3 + 𝑥)(5 + √𝑥 3 − 2) 27 − 𝑥 3 (3 − 𝑥)(3 + 𝑥)(5 + √𝑥 3 − 2) (3 − 𝑥)(9 + 3𝑥 + 𝑥 2 ) (3 + 𝑥)(5 + √𝑥 3 − 2) (9 + 3𝑥 + 𝑥 2 ) lim

x→3 5

9 − 𝑥2 − √𝑥 3 − 2 𝑓(3) =

(3 + 𝑥)(5 + √𝑥 3 − 2) x→3 (9 + 3𝑥 + 𝑥 2 )

= lim

(3 + (3)(5 + √(3)3 − 2) (9 + 3(3) + (3)2 ) 6(5 + √25) 9+9+9 =

6(5 + 5) 27

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=

6(10) 27

=

60 27

=

20 9

2.2 Calcular el siguiente límite al infinito

(𝑥 2 − 4)(𝑥 2 + 5𝑥 + 6) x→∞ 𝑥(𝑥 2 − 5𝑥 + 6) lim

((∞)2 − 4)((∞)2 + 5(∞) + 6) ∞ = x→∞ (∞)((∞)2 − 5(∞) + 6) ∞ lim

(𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 2 + 5𝑥 + 6) 𝑥→∞ 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 − 3) lim

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(𝑥 + 2)(𝑥 2 + 5𝑥 + 6) 𝑥→∞ 𝑥 2 − 3𝑥 lim

𝑥 2 𝑥 2 5𝑥 6 + 2 )( 2 + 2 + 2 ) 2 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 lim 𝑥 𝑥→∞ 𝑥 2 3𝑥 − 𝑥2 𝑥2 (

1 2 5 6 (𝑥 + 2 )(1 + 𝑥 + 2 ) 𝑥 𝑥 lim 3 𝑥→∞ 1−𝑥 1 2 5 6 (∞ + 2 )(1 + ∞ + 2 ) 0 ∞ ∞ lim = 3 𝑥→∞ 1 1− ∞ Se aplico la siguiente propiedad lim

𝑐

𝑥→∞ 𝑥 𝑛

=0

Por lo tanto lim

x→3 5

9 − 𝑥2 − √𝑥 3 − 2

=0

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2.4 Evaluar el siguiente límite trigonométrico

lim 𝑐𝑜𝑡 2 (𝑥) − 𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥)

𝑥→0

𝑐𝑜𝑡 2 (0) − 𝑐𝑠𝑐 2 (0) = 0 Usamos la siguiente identidad −𝑐𝑜𝑡 2 (𝑥) + 𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥) = 1 Por lo tanto 𝑐𝑜𝑡 2 (𝑥) − 𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥) = −1 lim (−1)

𝑥→0

lim 𝑐 = 𝑐

𝑥→𝑎

= −1

Estudia nte 4 Sergio José Solarte

4

lim √7𝑥 8 − 6𝑥 3 + 5𝑥 2 + 27𝑥 + √8𝑥 3

𝑥→2

√9 + 𝑥 − √9 − 𝑥 x→0 𝑥 lim

3

√ 𝑥 − √𝑥 x→∞ 𝑥2 lim

3

4

lim √7𝑥 8 − 6𝑥 3 + 5𝑥 2 + 27𝑥 + √8𝑥 3

𝑥→2

√9 + 𝑥 − √9 − 𝑥 lim x→0 𝑥

√lim (7𝑥 8 − 6𝑥 3 + 5𝑥 2 + 27𝑥 + √8𝑥 3 ) 𝑥→2

√ 𝑥 − √𝑥 x→∞ 𝑥2 lim 3

4

Evaluando el limite directamente:

lim𝜋

𝑥→

√𝑥 √𝑥 − lim 2 x→∞ 𝑥 2 x→∞ 𝑥 lim

2

lim𝜋

𝑥→

2

𝑇𝑎𝑛(𝑥) + cos(𝑥) sec(𝑥) + csc(𝑥)

𝑇𝑎𝑛(𝑥) + cos(𝑥) sec(𝑥) + csc(𝑥)

Evaluando el limite directamente:

Commented [HFCH1]: Debe sustituir el infinito para que quede infinito/infinito y poder aplicar el tratamiento algebraico Commented [HFCH2R1]:

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√lim (7𝑥 8 ) − lim (6𝑥 3 ) + lim (5𝑥 2 ) + lim (27𝑥) + lim (√8𝑥 3 √9 ) + 0 − √9 − 0

4

𝑥→2

𝑥→2

4

√7 lim(𝑥 8 ) 𝑥→2

𝑥→2

− 6lim (𝑥 3 ) + 𝑥→2

𝑥→2

5lim (𝑥 2 ) 𝑥→2

𝑥→2

0

√9 − √9 3 − 3 = 0 + 27lim (𝑥) + √8 lim (√𝑥 3 ) 0 𝑥→2

4

Como el limite da 0/0 buscamos otro método para hallar el limite.

4

lim

5 ∞3

→ √1792 − 48 + 20 + 54 + √(2)6 4

−

lim

→ lim

𝑥→2

lim

4

+

+ 27𝑥 +

= √1826 ≅ 6.537

√8𝑥 3

1

x→∞

1 3

2

x→∞

3

= 0−0

∞2

𝑥2

𝜋 sin ( 2 ) 𝜋 +0 1 cos (2) = 0 1 1 1 1 + 𝜋 + 𝜋 cos (2 ) sin ( 2 ) 0 1 ∞ ∞

𝑥2

=0

2

5𝑥 2

− lim

√9 + 𝑥 − √9 − 𝑥 √9 + 𝑥 + √9 − 𝑥 lim ( )( 3) x→0 𝑥 √9 + 𝑥 + √9 − 𝑥√𝑥 − √𝑥

→ √1818 + 8

− 6𝑥 3

1

x→∞ 5 𝑥3

1

4

√7𝑥 8

1

𝑥 2−3 1 − lim x→∞ 2−1 𝑥 2

𝑥→2

→ √7(256) − 6(8) + 5(4) + 27(2) + √(2)3 (2)3

4

1

lim

x→∞

0 0

→ √7(2)8 − 6(2)3 + 5(2)2 + 27(2) + √8√(2)3

𝜋 𝜋 𝑇𝑎𝑛 (2) + cos ( 2) 𝜋 𝜋 sec ( 2) + csc ( 2 )

1

𝑥3 𝑥2 lim − lim 2 x→∞ 𝑥 2 x→∞ 𝑥

Como el limite directo dio ∞/∞, buscamos otro método para hallar el limite.

=0

(√9 + 𝑥) − (√9 − 𝑥)

x→0

lim

(9 + 𝑥) − (9 − 𝑥)

x→0 𝑥(√9 +

lim

𝑥 + √9 − 𝑥)

sin 𝑥 + cos2 𝑥 ) cos 𝑥 lim𝜋 sin 𝑥 + cos 𝑥 𝑥→ 2 (sin 𝑥)(cos 𝑥)

9+𝑥−9+𝑥

x→0 𝑥(√9 +

lim

sin 𝑥 cos 𝑥 + cos 𝑥 lim𝜋 1 1 𝑥→ 2 cos 𝑥 + sin 𝑥

𝑥(√9 + 𝑥 + √9 − 𝑥)

x→0 𝑥(√9 +

(

𝑥 + √9 − 𝑥) 2𝑥 𝑥 + √9 − 𝑥)

lim𝜋

𝑥→

2

(sin 𝑥 + cos2 𝑥)(sin 𝑥)(cos 𝑥) (cos 𝑥)(sin 𝑥 + cos 𝑥)

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2

lim

x→0 (√9 + 𝑥

lim𝜋

+ √9 − 𝑥)

𝑥→

2

2

(sin 𝑥 + cos2 𝑥)(sin 𝑥) sin 𝑥 + cos 𝑥

(sin

√9 + 0 + √9 − 0 2 2 1 = = 3+3 6 3 lim

x→0

(1 + 0)(1) =1 1+0

√9 + 𝑥 − √9 − 𝑥 1 = 𝑥 3

lim𝜋

𝑥→

Estudian te 5 Armand o Cortez

(𝑥 2 − 7)(2𝑥 4 + 3𝑥 3 + 4𝑥 − 18 𝑥→7 3𝑥 5 + 4 lim

𝑥 3 − 𝑥 2 − 2𝑥 + 8 x→−2 𝑥+2 lim

2. EVALUAR EL SIGUIENTE LÍMITE ESTUDIANTE 5

(𝑥 2 − 7)(2𝑥 4 + 3𝑥 3 + 4𝑥 − 18) 𝑥→7 3𝑥 5 + 4 lim

Resolvemos la multiplicación de (𝑥 2 − 7) por (2𝑥 4 + 3𝑥 3 + 4𝑥 − 18)

𝜋 𝜋 𝜋 + cos2 ) (sin ) 2 2 2 𝜋 𝜋 sin 2 + cos 2

1 ( + 𝑥) lim 𝑥 + 1 x→∞ 𝑥−1

2

𝑇𝑎𝑛(𝑥) + cos(𝑥) =1 sec(𝑥) + csc(𝑥)

lim𝜋 𝑡𝑎𝑛2 (𝑥) − 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥)

𝑥→

2

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(2𝑥 6 + 3𝑥 5 − 14𝑥 4 − 17𝑥 3 − 18𝑥 2 − 28𝑥 + 126) 𝑥→7 3𝑥 5 + 4 lim

Aplicamos las propiedades de los Límites

(2𝑥 6 + 3𝑥 5 − 14𝑥 4 − 17𝑥 3 − 18𝑥 2 − 28𝑥 + 126) 𝑥→7 3𝑥 5 + 4 lim

lim 2𝑥 6 + lim 3𝑥 5 − lim 14𝑥 4 − lim 17𝑥 3 − lim 18𝑥 2 − lim 28𝑥 + lim 126

=

𝑥→7

𝑥→7

𝑥→7

𝑥→7

𝑥→7

𝑥→7

𝑥→7

lim 3𝑥 5 + lim 4

𝑥→7

𝑥→7

2 (lim 𝑥)6 + 3( lim 𝑥)5 − 14( lim 𝑥)4 − 17 (lim 𝑥)3 − 18 (lim 𝑥)2 − 28 (lim 𝑥) + 126 =

𝑥→7

𝑥→7

𝑥→7

3 (lim

𝑥→7

𝑥→7 𝑥)5 +

𝑥→7

𝑥→7

4

=

2(7)6 + 3(7)5 − 14(7)4 − 17 (7)3 − 18 (7)2 − 28 (7) + 126 3 (7)5 + 4

=

2(117.649) + 3(16.807) − 14(2.401) − 17 (343) − 18 (49) − 196 + 126 3 (16.807) + 4

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=

235.298 + 50.421 − 33.614 − 5.381 − 882 − 70 50.421 + 4

=

245.772 ≅ 4,87 50.425

(𝑥 2 − 7)(2𝑥 4 + 3𝑥 3 + 4𝑥 − 18 ≅ 4,87 𝑥→7 3𝑥 5 + 4 lim

3. CALCULAR EL SIGUIENTE LÍMITE INDETERMINADO DE LA FORMA

𝟎 ESTUDIANTE 5 𝟎

𝑥 3 − 𝑥 2 − 2𝑥 + 8 x→−2 𝑥+2 lim

Aplicando el teorema de sustitución tenemos (−2)3 − (−2)2 − 2(−2) + 8 −8 − 4 + 4 + 8 0 → = (−2) + 2 0 0 Indeterminación 𝟎

Como el límite es indeterminado del a forma 𝟎 , procedemos a evaluar si el numerador es simplificable para quitar la indeterminación existente en la expresión realizando división sobre la expresión original

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Por lo tanto el límite lim

𝑥 3 −𝑥 2 −2𝑥+8 𝑥+2

x→−2

lim

x→−2

𝑥 3 −𝑥 2 −2𝑥+8 𝑥+2

= lim

(𝑥 2 −3𝑥+4)(𝑥+2) (𝑥+2)

x→−2

lim (𝑥 2 − 3𝑥 + 4)

x→−2

Evaluando tenemos

lim ((−2)2 − 3(−2) + 4)

x→−2

lim 4 + 6 + 4 → lim = 14

x→−2

x→−2

Tenemos que 𝑥 3 − 𝑥 2 − 2𝑥 + 8 x→−2 𝑥+2 lim

se puede escribir como

= 14

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4. CALCULAR EL SIGUIENTE LÍMITE AL INFINITO ESTUDIANTE 5

1 + 𝑥) 𝑥 + 1 lim x→∞ 𝑥−1 (

Realizamos ley de orejas para simplificar

(

𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑥+1 ) → 𝑥−1 (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) 1

𝑥2 + 𝑥 + 1 x→∞ 𝑥 2 − 12 lim

Aplicando el teorema de sustitución tenemos (∞)2 + (∞) + 1 ∞ = x→∞ (∞)2 − 12 ∞ lim

Dividiendo todo sobre 𝑥2 tenemos

𝑥2 𝑥 1 + + 𝑥2 𝑥2 𝑥2 𝑥2 12 − 2 2 𝑥 𝑥 Evaluando tenemos 𝑥 1 1+ + 0 0 12 1− 0

=

1 1

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Por lo tanto 𝑥2 + 𝑥 + 1 =1 x→∞ 𝑥 2 − 12 lim

5. EVALUAR EL SIGUIENTE LÍMITE TRIGONOMÉTRICO ESTUDIANTE 5

lim 𝑡𝑎𝑛2 (𝑥) − 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥)

𝜋 𝑥→ 2

Teniendo en cuenta que 𝑆𝑒𝑛2 (𝑥)

𝑡𝑎𝑛2 (𝑥) = 𝐶𝑜𝑠2 (𝑥) 𝑆𝑒𝑐 2 (𝑥) =

1 𝐶𝑜𝑠 2 (𝑥)

Función identidad 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) + 𝐶𝑜𝑠 2 (𝑥) = 1

Aplicando el teorema de sustitución tenemos 2 𝜋 2 sin ( 2 ) 1 1 2 1 2 ( ) ( ) lim𝜋 ( ) − ( ) → − 𝜋 𝜋 0 0 𝑥→ cos (2 ) cos (2) 2

Es Indeterminada

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Entonces tenemos

lim𝜋 𝑡𝑎𝑛2 (𝑥) − 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥) = lim𝜋

𝑥→

lim𝜋

𝑥→

𝑥→

2

2

2

𝑆𝑒𝑛 2 (𝑥) 1 − 2 𝐶𝑜𝑠 (𝑥) 𝐶𝑜𝑠 2 (𝑥)

𝑆𝑒𝑛 2 (𝑥) − 1 𝐶𝑜𝑠 2 (𝑥)

𝐶𝑜𝑠 2 (𝑥) = 1 − 𝑆𝑒𝑛 2 (𝑥) → −𝐶𝑜𝑠 2 (𝑥) = 𝑆𝑒𝑛 2 (𝑥) − 1 lim𝜋

𝑥→

2

−𝐶𝑜𝑠 2 (𝑥) → lim𝜋 = −1 𝐶𝑜𝑠 2 (𝑥) 𝑥→ 2

Por tanto lim𝜋 𝑡𝑎𝑛2 (𝑥) − 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥) = −1 𝑥→

2

Gráficar función a trozos encontrando el punto de (a) que hace que la función sea continua. (Geogebra). Demostrar matemáticamente y realizar el respectivo análisis. 2𝑥 + 𝑎 𝑆𝑖 𝑥 < 2 a) 𝑓(𝑥) = { |𝑥| 𝑆𝑖 𝑥  2 2 b) 𝑓(𝑥) = {3𝑥 2+ 𝑎𝑥 − 4 −𝑥 + 5

Estudiante 1 Demostrar: c) 𝑓(𝑥) = {

2𝑥 + 𝑎 |𝑥|

𝑆𝑖 𝑥 < 2 𝑆𝑖 𝑥  2

𝑆𝑖 𝑥 < 1 𝑆𝑖 𝑥  1

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lim 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑓(𝑥)

𝑥→2−

𝑥→2

si x  2

Si x 2 Calcule los valores de 𝑎 𝑦 𝑏 que hacen que el túnel sea continuo. a.

lim 𝑓(𝑥) = lim + 𝑓(𝑥)

𝑥→−1−

𝑥→−1

X -1 lim 𝑥 2 + 𝑎𝑥 + 1 = lim 3

𝑥→−1

𝑥→−1

(−1)2 + 𝑎 ∗ 1 + 1 = 3 1+𝑎+1 =3 𝑎 + 2 = 3 [1] b. lim− 𝑓(𝑥) = lim+ 𝑓(𝑥) 𝑥→2

X 2 lim 3 = lim 𝑏2

𝑥→2

𝑥→2

3 = 𝑏 ∗ 2 [2]

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[1] 𝑎+2=3 𝑎 =3−2 𝑎=1

[2] 3= 𝑏∗2 3= 2∗𝑏 2∗𝑏 =3 3

𝑏 = − (2)

2.a. Límites. La población de una ciudad en el tiempo t años, está dada por la función P(t)= 50000(𝒕𝟏/𝟐 +3) a) Determine la población en el tiempo inicial. Estudiante 2

b) Determine la población a los 4 años. c) Determine la población cuando el tiempo crece indefinidamente?

2.b. Continuidad

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Un ingeniero está diseñando la ruta de una red eléctrica de alta tensión, la cual tiene una difícil topografía. Suponga que las mediciones obtenidas de los segmentos están dadas por la siguiente función en kilómetros.

𝑟(𝑥) = {

𝑥 2 + 2𝑎𝑥 + 2 4 𝑏𝑥 + 1

𝑠𝑖 ≤ −1 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 ≤ 3 𝑠𝑖 𝑥 > 3

Calcule los valores de 𝑎 𝑦 𝑏 que hacen que la ruta de la red eléctrica sea continua.

2.a. Límites. El precio de un microcircuito está definido en función del tiempo, de acuerdo con la expresión: 𝑷(𝒕) =

𝒂𝒕 + 𝟑𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒕+𝒃

Donde p(t) es el precio, a y b son las constantes para determinar y t es el tiempo establecido en meses. Dado que se estima que el precio del microcircuito, el próximo mes, es de $160.000 y al siguiente mes el costo disminuirá a $ 150.000. Calcular: Estudiante 3

a) El precio inicial del microcircuito. b) El mes en el que el precio será de $130.000 c) Encuentre el valor a largo plazo.

2.b. Continuidad En un terreno de difícil topografía se esta construyendo un viaducto, para lo cual se utilizan diferentes configuraciones de tubería, Suponga que las mediciones están dadas por la siguiente función en kilómetros 𝑡(𝑥) = {

𝑥 2 + 3𝑎𝑥 + 2 𝑠𝑖 ≤ −1 5 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 ≤ 2 𝑏𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 > 2

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𝑷(𝒕) =

𝒂𝒕 + 𝟑𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒕+𝒃

Donde p(t) es el precio, a y b son las constantes para determinar y t es el tiempo establecido en meses. Dado que se estima que el precio del microcircuito, el próximo mes, es de $160.000 y al siguiente mes el costo disminuirá a $ 150.000. Calcular: d) El precio inicial del microcircuito. e) El mes en el que el precio será de $130.000 f) Encuentre el valor a largo plazo. Solución Vamos a evaluar mediante limites cuando T tiende a 1 𝐥𝐢𝐦 𝒕→𝟏

𝒂𝒕 + 𝟑𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 𝒕+𝒃

Evaluamos esta función con 𝒕 = 𝟏 =

𝒂(𝟏) + 𝟑𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝟏+𝒃 𝒔𝒊 𝒕 = 𝟏

La función es

𝟏𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎 =

Ahora despejamos a (a)

𝒂 + 𝟑𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝟏+𝒃

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𝒂 + 𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝒃 𝒂 = 𝟏𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟏𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒃 − 𝟑𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒂 = 𝟏𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒃 − 𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒕=𝟐

Ahora evaluamos la función con

𝐥𝐢𝐦 𝒕→𝟐

𝒂(𝟐) + 𝟑𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐+𝒃

𝒂(𝟐) + 𝟑𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐+𝒃

2𝑎 + 360000 = 150000(2 + 𝑏) 2𝑎 = 300000 + 150000𝑏 − 360000 𝑎

150000𝑏 − 60000 = 75000𝑏 − 30000 2

160000𝑏 − 200000 = 75000𝑏 − 30000 160000𝑏 − 75000𝑏 = 200000 − 30000 85000𝑏 = 170000 𝑏=

170000 85000

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𝑏=2 Entonces 𝑎 = 160.000𝑏 − 200.000 𝑎 = 160.000(2) − 200.000 𝑎 = 320.000 − 200.000 𝑎 = 120.000

𝒑(𝒕) =

𝒑(𝟎) =

𝟏𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒕 + 𝟑𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒕+𝟐

𝟏𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎(𝟎) + 𝟑𝟔𝟎. . 𝟎𝟎𝟎 𝟎+𝟐

𝒑(𝟎) =

El precio inicial del microcircuito es de 180.000

𝟑𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟐

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130.000 =

120.000𝑡 + 360.000 𝑡+2

130.000𝑡260.000 = 120.000𝑡 + 360.000 130.000𝑡 − 120.000𝑡 = 360.000 − 260.000 10.000𝑡 = 100.000 𝑡=

100.000 10.000

𝑡 = 10 En 10 meses el precio va a ser de 130.000

𝒑(𝒕) =

𝒑(𝒕) =

𝟏𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒕 + 𝟑𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒕+𝟐

𝟏𝟐𝟎. 𝟎𝟎𝟎(𝟐𝟒) + 𝟑𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟒 + 𝟐

𝒑(𝒕) =

𝟐. 𝟖𝟖𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟑𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟔

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𝒑(𝒕) =

𝟐. 𝟖𝟖𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟑𝟔𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟔

𝒑(𝟐𝟒) = 𝟏𝟐𝟒. 𝟔𝟏𝟓 A 24 meses el precio será de 124.615

2.b. Continuidad En un terreno de difícil topografía se está construyendo un viaducto, para lo cual se utilizan diferentes configuraciones de tubería, Suponga que las mediciones están dadas por la siguiente función en kilómetros. 𝑡(𝑥) = {

𝑥 2 + 3𝑎𝑥 + 2 𝑠𝑖 ≤ −1 5 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 ≤ 2 𝑏𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 > 2

Calcule los valores de 𝑎 𝑦 𝑏 que hacen que la tubería sea continua.

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𝑡(𝑥) = {

𝑥 2 + 3𝑎𝑥 + 2 𝑠𝑖 ≤ −1 5 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 ≤ 2 𝑏𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 > 2

Esta es una función a trozos en donde vamos a evaluar mediante límites y así poder garantizar la continuidad de ella lim 𝑥 2 + 3𝑎𝑥 + 2 = lim + 5

𝑥→−1−

𝑥→−1

Hemos evaluado la función 𝑡(𝑥) realizando la aproximación a -1, tanto por la izquierda como por la derecha. Para que la función t(x) sea continua debemos igualar los 2 limites, y evaluamos con x=-1 en ambos casos. (−1)2 + 3𝑎(−1) + 2 = 5 Ahora vamos a despejar a (a) 1 − 3𝑎 + 2 = 5

−3𝑎 = 5 − 2 − 1

−3𝑎 = 2

𝑎=−

2 3

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Ahora vamos a evaluar el límite de la función cuando nos aproximamos a 2 por el lado izquierdo y el lado derecho, para este caso también vemos que para valores menores que 2 es una función y para mayores que 2 es otra función diferente. Es por eso que igualamos el limite para cada función: lim 𝑏𝑥 − 1 = lim− 5

𝑥→2+

𝑥→2

Luego evaluamos la función con (x= 2) en ambos limites y procedemos a despejar (b) 𝑏(2) − 1 = 5

2𝑏 − 1 = 5 2𝑏 = 5 + 1 𝑏=

6 2

𝑏=3

Link del video. https://www.youtube.com/watch?v=_uK3XZ-eebk&t=1s

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Calcule los valores de 𝑎 𝑦 𝑏 que hacen que la tubería sea continua.

2.a. Límites. Se estima que el desempleo, en una población, se rige por la expresión: 𝑫(𝒕) =

𝒎 +𝒏 𝟏 + 𝒆−𝟎.𝟐𝒕

Donde t es el tiempo, m y n son constantes. Si inicialmente el desempleo es 4% y al quinto mes se incrementa al 4.5%. Determine:

Estudiant e 4: Sergio José Solarte

a) Los valores de m y n Par el tiempo 𝒕𝟎 = 𝟎 el desempleo es de 𝑫(𝒕𝟎 ) = 𝟎. 𝟎𝟒 y par el timpo 𝒕 = 𝟓 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 el desempleo aumentó a 𝑫(𝟓) = 𝟎. 𝟎𝟒𝟓 Evaluando en la ecuación para hallar los valores de m y n. 𝐥𝐢𝐦 𝑫(𝒕) = 𝐥𝐢𝐦 ( 𝒕→𝟎

𝒕→𝟎

𝒎 𝒎 𝒎 𝒎 + 𝒏) = + 𝒏 = 𝟎. 𝟎𝟒𝟓 + 𝒏) = + 𝒏 = 𝟎. 𝟎𝟒 𝐥𝐢𝐦 𝑫(𝒕) = 𝐥𝐢𝐦 ( −𝟎.𝟐𝒕 −𝟎.𝟐𝒕 −𝟎.𝟐(𝟎) 𝒕→𝟓 𝒕→𝟓 𝟏+𝒆 𝟏+𝒆 𝟏 + 𝒆−𝟎.𝟐(𝟓) 𝟏+𝒆 ; 𝒎 𝒎 + 𝒏 = 𝟎. 𝟎𝟒𝟓 + 𝒏 = 𝟎. 𝟎𝟒 𝟏 + 𝒆−𝟏 𝟐

Despejando “n” de una ecuación y reemplazándola en la otra: 𝒏 = 𝟎. 𝟎𝟒 −

𝒎 𝒎 𝒎 ==> + (𝟎. 𝟎𝟒 − ) = 𝟎. 𝟎𝟒𝟓 𝟐 𝟏 + 𝒆−𝟏 𝟐

𝒎(

𝟏 𝟏 𝟏+𝒆 𝒎(

𝟏 − ) = 𝟎. 𝟎𝟒𝟓 − 𝟎. 𝟎𝟒 𝟐

𝒆 𝟏 − ) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟓 𝒆+𝟏 𝟐

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𝒎(

𝟐𝒆 − (𝒆 + 𝟏) 𝟏 )= 𝟐(𝒆 + 𝟏) 𝟐𝟎𝟎

𝒎( 𝒎=

𝒆−𝟏 𝟏 )= 𝟐(𝒆 + 𝟏) 𝟐𝟎𝟎

𝒆+𝟏 ≅ 𝟎. 𝟎𝟐𝟏𝟔𝟒 𝟏𝟎𝟎(𝒆 − 𝟏)

𝒆+𝟏 𝒆+𝟏 𝟏𝟎𝟎(𝒆 − 𝟏) 𝒏 = 𝟎. 𝟎𝟒 − = 𝟎. 𝟎𝟒 − ≅ 𝟎. 𝟎𝟐𝟗𝟏𝟖 𝟐 𝟐𝟎𝟎(𝒆 − 𝟏)

b) El porcentaje de desempleo en dos años Como ya se conocen los valores de m y n, entonces la función de desempleo está expresada por: 𝑫(𝒕) =

𝟎. 𝟎𝟐𝟏𝟔𝟒 + 𝟎. 𝟎𝟐𝟗𝟏𝟖 𝟏 + 𝒆−𝟎.𝟐𝒕

𝟐 𝒂ñ𝒐𝒔 ∗

𝟏𝟐 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 = 𝟐𝟒 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 𝟏 𝒂ñ𝒐

𝐥𝐢𝐦 𝑫(𝒕) = 𝐥𝐢𝐦 (

𝒕→𝟐𝟒

𝒕→𝟐𝟒

𝟎. 𝟎𝟐𝟏𝟔𝟒 + 𝟎. 𝟎𝟐𝟗𝟏𝟖) = 𝟎. 𝟎𝟓𝟎𝟔𝟒 = 𝟓. 𝟎𝟔𝟒% 𝟏 + 𝒆−𝟎.𝟐(𝟐𝟒)

c) El desempleo a largo plazo. el desempleo a largo plazo equivale a mirar cuando el tiempo tiende a un número muy grande, en este caso a infinito: lim 𝐷(𝑡) = lim (

𝑡→∞

𝑡→∞

lim (

𝑡→∞

𝟎. 𝟎𝟐𝟏𝟔𝟒 + 𝟎. 𝟎𝟐𝟗𝟏𝟖) 𝟏 + 𝒆−𝟎.𝟐𝒕

𝟎. 𝟎𝟐𝟏𝟔𝟒 + 𝟎. 𝟎𝟐𝟗𝟏𝟖) 𝟏 𝟏 + 𝟎.𝟐𝒕 𝒆

𝟎. 𝟎𝟐𝟏𝟔𝟒 + 𝟎. 𝟎𝟐𝟗𝟏𝟖 = 𝟎. 𝟎𝟓𝟏𝟒𝟓𝟖 = 𝟓. 𝟏𝟒𝟓𝟖% 𝟏+𝟎

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2.b. Continuidad Una empresa realizó un cambio en la forma de realizar su contabilidad. Los beneficios, en millones de pesos, está dada por la siguiente función: 𝟑𝒕 + 𝟏𝟎 , 𝒔𝒊 𝟎 < 𝒕 ≤ 𝟐𝟎 𝑩(𝒕) = { 𝒕 𝟐𝟐𝟑 𝒂𝒕 − , 𝒔𝒊 𝒕 > 𝟐𝟎 𝟐

Donde B es la función beneficio, t es el número de años transcurridos. Determine el valor de “a” para que el cambio en los beneficios resulte continuo. La función presenta discontinuidad en t=20, ahí debemos mirar para qué valores de “a” la función puede ser continua. Una función es continua si y solo si sus límites laterales existen y son iguales. También, que la función evaluada en ese punto esté determinada. Miremos los limites laterales: lim 𝐵(𝑡) = lim−

𝑡→20−

𝑡→20

lim 𝐵(𝑡) = lim+ (𝑎𝑡 −

𝑡→20+

𝑡→20

3𝑡 + 10 3(20) + 10 7 = = 𝑡 20 2

223 223 223 ) = 𝑎(20) − = 20𝑎 − 2 2 2

Igualando los límites: lim 𝐵(𝑡) = lim+ 𝐵(𝑡)

𝑡→20−

𝑡→20

7 223 = 20𝑎 − 2 2 20𝑎 =

7 223 + = 115 2 2

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𝑎= Así, la función es continua en a=23/4 y su grafica es:

115 23 = 20 4

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2.a. Límites. Una muestra de un compuesto tiende a evaporarse a temperatura ambiente, lo cual produce que su peso se afecte a medida que transcurre el tiempo de acuerdo con la expresión: 𝑷(𝒕) =

𝟓𝟎𝟎 𝟐𝟏 − 𝒆−𝟎.𝟏𝒕

Donde P(t) es el peso del compuesto en gramos y t el tiempo en días. Calcular: a) El peso inicial de la muestra b) El peso del compuesto a largo plazo

Estudiante 5

Para encontrar el peso inicial de la muestra evaluamos la expresión en t=0 días, por tanto 𝑷(𝟎) = 𝟓𝟎𝟎 𝑷(𝒕) = 𝟐𝟏 − 𝒆−𝟎.𝟏𝒕

𝐥𝐢𝐦 𝑷(𝒕) = 𝐥𝐢𝐦 𝒕→𝟎

𝒕→𝟎

𝟓𝟎𝟎 𝟐𝟏 − 𝒆−𝟎.𝟏𝒕

Evaluamos la función =

𝟓𝟎𝟎 𝟓𝟎𝟎 𝟓𝟎𝟎 → → = 𝟐𝟓 𝟎 −𝟎.𝟏(𝟎) 𝟐𝟏 − 𝒆 𝟐𝟎 𝟐𝟏 − 𝒆

𝐥𝐢𝐦 𝒕→𝟎

𝟓𝟎𝟎 = 𝟐𝟓𝒈𝒓𝒂𝒎𝒐𝒔 𝟐𝟏 − 𝒆−𝟎.𝟏𝒕

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Para encontrar el peso del compuesto a largo plazo debemos encontrar 𝐥𝐢𝐦 𝑷(𝒕) 𝒕→∞

𝐥𝐢𝐦 𝒕→∞

𝐥𝐢𝐦 𝒕→∞

𝟓𝟎𝟎 𝟐𝟏 − 𝒆−𝟎.𝟏𝒕 𝟓𝟎𝟎 𝟐𝟏 −

𝒆−𝟎.𝟏𝒕

→ 𝐥𝐢𝐦

𝟓𝟎𝟎 𝟏 𝐥𝐢𝐦 𝒕→∞ 𝟐𝟏𝒆𝒕 − 𝒆𝟎.𝟏 𝒆𝒕

𝒕→∞

→

𝟓𝟎𝟎 𝒆 𝟎.𝟏 𝟐𝟏 − 𝒕 𝒆

𝐥𝐢𝐦 𝒕→∞

𝟓𝟎𝟎𝒆𝒕 𝟐𝟏𝒆𝒕 − 𝒆𝟎.𝟏

Dividiendo sobre 𝒆𝒕

𝟓𝟎𝟎𝒆𝒕 𝒆𝒕 𝒍𝒊𝒎 𝒕→∞ 𝟐𝟏𝒆𝒕 𝒆𝟎.𝟏 − 𝒕 𝒆𝒕 𝒆

Evaluando tenemos

𝒍𝒊𝒎 𝒕→∞

𝟓𝟎𝟎 𝒆𝟎.𝟏 𝟐𝟏 − 𝒆∞

→ 𝒍𝒊𝒎 𝒕→∞

𝟓𝟎𝟎 ≅ 𝟐𝟑. 𝟖 𝟐𝟏 − 𝟎

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𝟓𝟎𝟎 𝒕→∞ 𝟐𝟏−𝒆−𝟎.𝟏𝒕

𝒍𝒊𝒎

≅ 𝟐𝟑. 𝟖

Por tanto el peso a largo plazo del compuesto es de 23.8 gramos

2.b. Continuidad En un circuito eléctrico se necesita garantizar que la resistencia sea positiva y continua siempre. La resistencia del circuito está dado por la siguiente función: 𝒂𝒕 + 𝟐 𝑅(𝒕) = {𝒃 − 𝟔𝒂 𝒕 − 𝟐𝒃

𝒔𝒊 𝟎 < 𝒕 ≤ 𝟒 𝒔𝒊 𝟒 < 𝒕 ≤ 𝟖 𝒔𝒊 𝒕 > 𝟖

Donde R es la función resistencia que depende del tiempo. Determine los valores de 𝑎 𝑦 𝑏 que hacen que la resistencia sea continua.

𝒂𝒕 + 𝟐 𝑅(𝒕) = {𝒃 − 𝟔𝒂 𝒕 − 𝟐𝒃

𝒔𝒊 𝟎 < 𝒕 ≤ 𝟒 𝒔𝒊 𝟒 < 𝒕 ≤ 𝟖 𝒔𝒊 𝒕 > 𝟖

Para encontrar la continuidad dela función, se debe cumplir

𝒇(𝟒) = 𝟒𝒂 + 𝟐

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𝒇(𝟖) = 𝒃 − 𝟔𝒂

lim 𝑎𝑡 + 2

𝑥→4−

Evaluando tenemos 𝑎(4) + 2 lim 𝑎𝑡 + 2 = 4𝑎 + 2 (Ec.1)

𝑥→4−

lim 𝑏 − 6𝑎

𝑥→4+

Evaluando tenemos 𝑏 − 6𝑎 lim 𝑏 − 6𝑎 = 𝑏 − 6𝑎

𝑥→4+

(Ec.2)

lim 𝑏 − 6𝑎

𝑥→8−

Evaluando tenemos 𝑏 − 6𝑎 lim 𝑏 − 6𝑎 = 𝑏 − 6𝑎

𝑥→8−

(Ec.3)

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lim 𝑡 − 2𝑏

𝑥→8+

Evaluando tenemos 8 − 2𝑏 lim 𝑡 − 2𝑏 = 8 − 2𝑏

𝑥→8+

(Ec.4)

Igualando Ec.1 y Ec.2 4𝑎 + 2 = 𝑏 − 6𝑎 10𝑎 + 2 = 𝑏 (Ec.5) Igualando Ec.3 y Ec.4 𝑏 − 6𝑎 = 8 − 2𝑏 3𝑏 − 6𝑎 = 8 (Ec.6) Reemplazando Ec.5 en Ec.6 3(10𝑎 + 2) − 6𝑎 = 8 30𝑎 + 6 − 6𝑎 = 8 → 24𝑎 = 2 𝑎=

1 12

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Reemplazando “a” en Ec.5 1

5

10 (12) + 2 = 𝑏 → 𝑏 = (6) + 2

𝑏=

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Conclusiones

El trabajo me permitió afianzar los conocimientos que ya traía sobre funciones además de estudiar los límites y aprender a desarrollarlos para solucionar problemas y ejercicios propuestos por el Señor Tutor , además de que me permitió realizar un análisis de las aplicaciones que pueden tener estos límites en mi vida laboral, lo cal, la realización del trabajo permite a los estudiantes adquirir un conocimiento más amplio acerca de los límites de funciones reales y funciones trigonométricas, sus propiedades, el cálculo de los límites y sus aplicaciones, también nos muestra la originalidad, organización y contenido en la elaboración de los ejercicios planteados en este trabajo

Referencias Bibliográficas. https://www.youtube.com/watch?v=0iA2sDzEm6Y http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2051/login.aspx?direct=true&db=edsebk&AN=865890&lang=es&site=eds-live https://www.youtube.com/watch?v=Ai0lxsXjBP4 http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&db=edselb&AN=edselb.3227452&lang=es&site=e ds-live https://www.youtube.com/watch?v=RIl55fsojTc http://hdl.handle.net/10596/11623

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http://hdl.handle.net/10596/11568 https://www.youtube.com/watch?v=dhncGofuF_c https://profbaptista.wordpress.com/2010/01/11/ejercicios-resueltos-limites-y-continuidad/ http://www.iessantvicent.com/departament/matematiques/solucions/MCS2_SM/u-5.pdf

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https://julioprofe.net/

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https://www.youtube.com/channel/UCanMxWvOoiwtjLYm08Bo8QQ

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https://es.calameo.com/read/004327115d9c9aacdf314