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CALCULO DIFERENCIAL

TAREA 2

PRESENTADO POR: YURY ALEXANDRA BURGOS CODIGO: 1089293952 EVER DAVID MORAN CODIGO: LINA FERNANDA BOLAÑOS: 1086550962 MAGDA YAMILE DÍAS CÓDIGO:

TUTOR: ÁLVARO JOSÉ CERVELION

GRUPO: 100410_297

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS AGRICOLAS Y PECUARIAS DEL MEDIO AMBIENTE (ECAPMA) (AGRONOMÍA) CEAD PASTO NARIÑO OCTUBRE DEL 2018

INTRODUCCIÓN En el presente trabajo se realizaron ejercicios en relación al límite matemático, el cual es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de estas se acercan a un determinado valor, teniendo en cuenta que existen límites indeterminados, los cuales se pueden desarrollar mediante métodos de factorización o racionalización para así eliminar la indeterminación y obtener un límite determinado de la función dada; para lo cual los integrantes del grupo desarrollamos diversos limites tales como fueron de sustitución, indeterminados, al infinito y trigonométricos. También se desarrollaron ejercicios referentes a la continuidad de funciones; la cual nos indica que una función es continua en un punto dado cuando la función dada y el límite de la función en ese punto existen y ambas tienen un mismo valor; para este tema desarrollamos ejercicios tanto analíticos como gráficos, con la ayuda de geogebra para encontrar valores exactos que hiciesen continua funciones a trozos o por partes, permitiéndonos un conocimiento más profundo del tema. Para la finalización del trabajo cada integrante del grupo redacta un párrafo conceptualizando sus beneficios de los conocimientos de los temas de límites y continuidad de funciones en su vida profesional.

Estudiante 1, Yury Alexandra Burgos Rosales Ejercicio 1. lim

x→ 4

√ x−2 . x−4 x −4

lim

x→ 4

√ x−2 x−4 Es Divergente x −4

lim

x−4

x−2 x→ 4 + √ x−4

lim

=∞

x−4

x−2 x→ 4 + √ x−4

x−2 ¿ lim + √ . lim +(x) x −4 x→ 4 x→ 4

¿ lim +( √ x−2)( x→ 4

1 ) x−4

¿ lim +( √ x−2). lim +( x→ 4

x→4

1 ) x −4

¿ lim +( √ x−2)=√ 2 x→ 4

¿ √ 4−2 ¿ √2 lim + x→ 4

1 ( x−4 )=∞

lim + ( x ) =4 x→ 4

lim + ( 4 )=4 x→ 4

Ejercicio 2. 3

Lim

x → 27

√ x −3 x −27

Primero vamos a factorizar el numerador entonces Recordemos que (a-b)(a²+ab+b²)= a³-b³ Sabiendo que ∛27= 3 tenemos, lim ❑

De esta manera: lim ∛ x−3 2

3

( √ x−3 )( √3 x ) + 3(√3 x+3 2) 1 √ x +3 √3 x +9

lim ⁡= 3

2

Sustituyendo x por 27 1 √ 27 +3 √3 27+9

lim ⁡= 3

lim ¿

2

1 1 = =0.037 9+ 9+9 27

√3 x−√3 27 x−27

Ejercicio 3.

x2 3 x→ ∞ x +x

Lim lim

x→ ∞

x2 =0 x3 + x

Dividimos entre el denominador con mayor potencia 1 x 1+

1 x2

1 x →∞ x 1 1+ 2 x lim

1 lim ( ) x ¿ x →∞ 1 lim (1+ 2 ) x →∞ x

lim 1

x →∞

x

=0

lim 1+ x→ ∞

¿

1 =¿ 1 x2 0 1

¿0

Ejercicio 4.

Senθ θ→0 2 θ lim lim sin ∅ ∅→0

2∅

1 = (decimal0.5) 2

Se aplica la regla L’Hopital lim sin ∅ 1 ∅ →0 ¿ . 2 ∅ Se simplifica lim cos ∅ 1 ∅ →0 ¿ . 2 1 Se sustituye la variable 1 ¿ . lim ( cos ( ∅ )) 2 ∅→0 Simplificando se obtiene 1 1 ¿ ∗cos ( 0 ) = =0,5 2 2

Ejercicio 5. x 2+ ax+ 2 si≤ 1 f ( x )= 2 si−1< x ≤ 3 bx si x> 3

{

De acuerdo a la definición de continuidad, se debe analizar inicialmente para el valor de a, los limites por la izquierda y por la derecha de uno. lim [ x 2 +ax +2 ] =lim 2 x →1

x→1

Evaluando nos queda lo siguiente

( 1 )2 +a+2=2 1+a+2=2 a=2−3 a=−1 Ahora para b, se analiza el límite por la izquierda y por la derecha lim 2=lim bx x →3

x →3

Realizando nos queda que: 2=3 b 2=3 b b=

2 3

Ejercicio 6. f ( x )=

2 x+ a Si x < 4 2 Si x 4 x

{

Para encontrar el valor de a se igualan las expresiones 2 2 x+ a= x Lo primero que realizamos es la igualación a cero 2 2 x+ a− =0 x Ahora se operan términos semejantes Multiplicar ambos lados por x 2 2 xx+ ax− x =0∗x x Simplificar 2 x2 + ax−2=0 Ahora se tiene que: x=4 2(42 )+ a(4)−2=0 32+4 a−2=0 4 a−30=0 30 a= 4

Ejercicio 7. f ( x )=

3 x+ a=

3 x+ a Si x3

{

Se analizan por la izquierda de uno el siguiente límite x 2+ 2 ax+2 Nos da como resultado: (−1)2−2 a∗1+ 2=2 a+3

Ahora el límite por la derecha de uno de una constante nos da la misma constante que en este caso es 4 −2 a+3=4 Ahora simplificando encontramos a a=

−1 2

El límite de una constante es la misma contante Luego el límite por la izquierda de tres, en la constante 4 es el mismo 4 Y el límite por la derecha de tres de la siguiente función es: b∗3+1 Igualando se llega a que: 3 b+1=4 b=1

Ejercicio 6

2 a+3 Si x2

{

Para que sea continua en x=-1 lim −¿

x→−1

¿

2

x +3 ax+3

lim +¿

x→−1 −2¿

¿¿

¿

−3 a=−2−1−3 a=

−6 =2 −3

Para que sea continua en x=2 lim −¿

x→ 2 2

lim +¿

x→ 2 bx−1 ¿

¿ ¿¿

−2=2b−1 b=

−1 2

Ejercicio 6

2 Si x