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CALCULO INTEGRAL TAREA 2: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

PRESENTADO A: EDGAR CASTILLO GAMBA (TUTOR)

ENTREGADO POR: LUZ DARY FLÓREZ ANGULO (ESTUDIANTE) CÓDIGO: NANCY YOLIMA RODRIGUEZ (ESTUDIANTE) CÓDIGO: 1053559965 DIANA PAOLA GUIO SANDOVAL (ESTUDIANTE) CODIGO: 1010174097 ROSANA OSORIO (ESTUDIANTE) CÓDIGO:

GRUPO: 100411_475

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA 11 DE ABRIL DE 2019

INTRODUCCIÓN Con esta actividad aplicaremos el conocimiento adquirido para integrales de:  Método de integración I – Integración por sustitución.  Método de integración II – Integración por partes.  Método de integración II – Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales.  Integrales impropias. En la solución de los ejercicios propuestos. Igualmente, aprenderemos a trabajar en equipo y a fomentar el aprendizaje por medio de aportes y puntos de vista de los compañeros del grupo académico. El cálculo integral es la rama de las matemáticas muy utilizadas en ciencias, tecnología, ingeniería e investigación, que requiere un trabajo sistemático y planificado, para poder cumplir el proceso fundamental de técnicas que permiten solucionar problemas de estos campos, por ello, la integración es necesaria para otras áreas matemáticas más avanzadas y tiene muchas aplicaciones prácticas en nuestra vida profesional.

ESTUDIANTE: LUZ DARY FLÓREZ ANGULO 1. Desarrollar los ejercicios seleccionado utilizando el método de integración por sustitución. Ejercicio a. 2x

e dx ∫ 8+e 2x sustitución

y=8+ e2 x



y−8=e 2 x

2x

dy=2 e dx

dy =dx 2( y−8) ( y−8) dy e2 x 1 = ln( y) ∫ 8+e 2 x dx =∫ y 2( y−8) 2 Reemplazando: 2x

e dx ∫ 8+e 2x

=

2x

y=8+e

1 ln ( 8+e 2 x ) 2

2. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por partes. Ejercicio a. lnx ∫ 3 x dx √ u=ln ( x ) → eu =x 1 du= dx x 1 dv= 3 dx √x v=

3x 2

lnx

2 3

3

∫ 3 x dx= 2 ln ( x ) √

2

. x 3 −∫

3 x 23 1 dx 2 x

2 −1 3 ¿ ln ( x ) . x 3 −∫ 3 x 3 dx 2 2 2

2

2 3 3 3 ln ( x ) . x 3 − 9 x = 3 x (2 ln ( x )−3) = 2 4 4

3. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración adecuado:

Ejercicio a.

∫ √ xx 2+1 dx 2

Sustitución 1∗tanƟ=x ⇒ dx=sec 2 Ɵ dƟ secƟ= √ x 2 +1 1+ tan 2 θ 2 tan θ secƟ secθ (¿¿)secθ + 2 dƟ tan Ɵ secƟ 2 sec θ dθ .∫ ¿ tan 2 Ɵ 2 ∫ √ xx 2+1 dx=∫ ¿ secθ=ln∨secƟ +tanƟ∨¿ 1.∫ ¿ 2.

secƟ 1 1 cosθ dθ=∫ . dθ=∫ cotθ cscθ dθ=−cscθ 2 tanθ cosƟ senθ tan Ɵ

Retomandola integral y reemplazando con los valores originales antes de la sustitución tanθ=x secθ= √ x 2 +1 cscθ= √

x 2 +1 x

√ x 2 +1 dx=¿ ln|√ x 2 +1+ x|− 2 x

∫¿

√

x 2 +1 x

4. Según el ejercicio seleccionado, desarrollar la integral impropia. Ejercicio a. 0

∫ −x 3 e x dx

 La integral se obtiene de integrar tres veces por partes.

−∞

∫ x 3 e x dx=−x 3 e x −∫ e x (−3 x 2 ) dx=−x 3 e x − [ 3 x2 e x −∫ e x (−6 x ) dx ] 3

u=x u=−6 x

u=−3 x 2

du=−6 xdx

du=−3 x dx du=−6 dx

du=e x dx x du=e dx

du=e x dx

x

v =e x v =e

v =e

¿−x 3 e x +3 x2 e x + [−6 x e x −∫ e x (−6 ) dx ] 3

x

2 x

x

¿− x e +3 x e −6 x e +6 e

x

¿−e x [ x 3−3 x 2+ 6 x−6 ] 0

[−e x ( x 3−3 x 2+6 x−6 ) ] 0 ∫−x 3 e x dx=blim →−∞ b b

2

x

[

2

¿ lim −e o ( 03−3 ( 02 ) +6 ( 0 ) −6 ) + eb ( b3−3 ( 6 ) +6 b−6) b →−∞

=

b3 −3 ( 6 )2+ 6 b−6 b 6+ lim e ¿ b →−∞

]

)

lim ¿

b →−∞

¿ 6+0=6

ESTUDIANTE: NANCY YOLIMA RODRIGUEZ Tipo de ejercicios 1 – Integración por sustitución. Desarrollar los ejercicios seleccionado utilizando el método de integración por sustitución. Ejercicio c.

x

∫ (6 x 2 +5)3 dx

2

μ=6 x +5

dμ=12 x dx → dx= ¿∫

dμ 12 x

x dμ 1 1 ∗ =∫ μ−3 dμ= ∫ μ−3 dμ 3 12 x 12 12 μ

( )

−1 ∗1 1 1 μ 1 μ 24 −3 ¿ ∫ μ dμ= = = +d 12 12 −3+1 12 (−2 ) μ2

(

−3 +1

−2

)

1 ∗1 24 ¿− 2 +d μ 2

μ=6 x +5 6 x2 +5 ¿2 ¿ ¿ 1 ∗1 24 ¿− ¿

Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por partes. Ejercicio c.

∫ sen−1 (x)dx ∫ ARC SEN ( x ) dx=∫ se n−1 ( x ) dx Por partes:

dv=dx v =∫ dx=x

dμ=

1 ∗dx √1−x 2

μ= ARCSen(x ) ¿∫ ARCSen ( x ) dx= ARCsen ( x ) ⌈ x ⌉ −∫

x∗1 dx √ 1−x 2

¿ x ARCsen ( x )−∫

xdx √1−x 2

μ=1−x2 dμ=−2 x dx → dx=

dμ −2 x x

¿ x ARCsen ( x )−⌈

∫ μ ∗dμ −2 x

¿ ARCsen ( x ) −⌈ −

⌉

1 μ−1/ 2 dμ ⌉ ∫ 2

−1 +1 2

1 μ ¿ ARCsen ( x ) + ⌈ ⌉ 2 −1 +1 2

1 μ1 /2 ¿ ARCsen ( x ) + ( 2 ) 2 1 ¿ ARCsen ( x ) + √1−x 2 +∁

Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales. Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración adecuado:

Ejercicio c. x2 ∫ 2 dx √ x −4

∫

x2 x2 −4+ 4 x 2−4 4 dx= dx= dx +∫ 2 dx ∫ ∫ 2 2 2 √ x −4 √ x −4 √ x −4 √ x −4

¿∫ √ x −4 dx + 4∫ 2

dx √ x 2−4

∫ √ x 2−4 dx=x √ x 2−4−∫

x2 dx √ x 2−4

Partes:

v =√ x 2−4 → dv=

x dx √ x −4 2

dv=dx → v=x

d+

¿ ⌈ +⌉=ln| x+ √ x 2−4| + ¿=ln ¿ dx ∫ 2 =∫ ¿ √ x −4

+¿ x+ √ x 2−4

+¿ d+ ¿ x x+ √ x 2−4 √ x 2−4 dt= 1+ 2 dx= →dx= ¿ √ x −4 √ x 2−4

(

)

∫

x2 x2 x2 2 2 | | dx=x x −4− dx =4 ln x+ x −4 → dx √ √ ∫ ∫ √ x 2−4 √ x 2−4 √ x 2−4 1 ¿ x √ x2 −4 +2 ln (|√ x 2−4 + x|) 2

Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias. Según el ejercicio seleccionado, desarrollar la integral impropia. Ejercicio c.

0

∫ 4+4x 2 dx

−∞

0

lim

0

1 ⁡ ∫ dx ∫ 4 2 dx=4 lim a →−∞ 2 a →−∞ a 4+ x a 4+x ⁡

Cálculos auxiliares Se resuelve la integral como indefinida, con sustitución de variable, llegando a que la integral indefinida de Sustitución: 2t =x →2 dt=dx 2t ¿2 +4 ¿ ¿ 1 ¿ ∫¿ 1 1 1 x dt= arct ( t ) ˄ t = ∫ 2 2 t +1 2 2

∫ 4 +1 x 2 dx= 12 arctg ( x2 ) → fin de ∁ . aux 4 lim

[

2 lim

{

( )|

( )|

1 x x Arctg 4 lim ⁡ arctg 2 2 2 a →−∞ a →−∞ ⁡

⁡ arctg a →−∞

lim

( 02 )−arctg( a2 )]

⁡ arctg ( 0 )=0 a →−∞

x −π lim ⁡ arctg = 2 2 a →−∞

()

[ ( )]

→ 2 0−

−π =π 2

ESTUDIANTE: DIANA PAOLA GUIO SANDOVAL Tipo de ejercicios 1 – Integración por sustitución. Ejercicio d.

∫ √ 1−4 y dy Para hacer el cambio de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable que es Z, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

∫ f ' ( u )∗u ' dy Cuando se hace el cambio de variable se deben diferenciar los dos términos. z=u z=√ 1−4 y 2

z =1−4 y dz=u ' dy 2 zdz =−4 dy −2 zdz=4 dy

−2 z dz=dy 4 −z dz =dy 2 Se despeja

u

y

dy , sustituyendo en la integral

dz

∫ f ' ( z )∗u ' dy =∫ f '( z )dz −1 dz= ∫ z ( −z ∫ z 2 dz 2 ) 2 3

( ) −z ¿( +C 6 ) ¿−

1 z +C 2 3 3

En caso de que la integral resulte más sencilla se integra

∫ f ' ( z ) dz=f ( z ) +C Luego se vuelve a la variable inicial f ( z ) +C=f ( u )+C

Reemplazando z:

∫ √ 1−4 y dy=

−1 3 ( √ 1−4 y ) +C 6

Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes. Ejercicio d.

∫ x e3 x dx Se desarrolla haciendo uso de la siguiente ecuación:

∫ udv=uv −∫ vdu Que es el producto de dos factores Uno de los factores será Se calcula

y el otro será

u

dv derivando

dv

y se calcula

u

v

integrando

∫ x e3 x dx u=xdu=1 dv=e3 x ∫ dv=∫ e3 x dx 3x

v=

e 3

Usando la fórmula de integrales: mx

∫ e mx dx= em + c ∫ x∗e3 x dx= x∗e3 ¿

3x

−∫

e3 x dx 3

x∗e3 x 1 − ∫ e3 x dx 3 3

dv

1 3x ∗e x∗e 3 ¿ − +c 3 3 3x

¿

9 x∗e3 x −3 e 3 x +c 27

¿

3 e 3 x (3 x−1) +c 27

∫ x e3 x dx=

3x

e (3 x−1) 9

+c

Tipo de ejercicios 3 –Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales. Ejercicio d. 5 x−3

∫ (x 2 +1)( x +3) dx Primero miramos los factores y lo hacemos por fracciones parciales 5 x−3 A Bx+ C = + ( x +1 ) ( x+ 3 ) x +3 x2 +1 2

Para determinar las constantes podemos utilizar alguno de los métodos conocidos, multiplicando a ambos lados de la expresión por el a c ad +bc + = denominador y aplicando la fórmula: tenemos: b d bd A ( x 2 +1 ) + ( Bx+C ) ( x +3 ) 5 x−3 = ( x2 +1 ) ( x+ 3 ) ( x +3 ) ( x 2+1 ) Igualdad de dos fracciones con los mismos denominadores, se simplifica A ( x 2 +1 ) + ( Bx+C ) ( x +3 ) 5 x−3 = ( x2 +1 ) ( x+ 3 ) ( x +3 ) ( x 2+1 )

5 x−3= A ( x 2 +1 ) + ( Bx+C ) ( x +3 ) Aplicando la propiedad distributiva: 2

2

5 x−3= A x + A + B x +Cx+3 Bx+3 C

5 x−3=( A x 2 + B x 2 ) + ( Cx+ 3 Bx )+ ( A +3 C )

2 5 x−3=x ( A +B )+ x ( C+ 3 B ) + ( A+ 3C )

Igualando tenemos las siguientes ecuaciones: 1. A+B=0 2. C+3B=5 3. A+3C=-3 Tenemos 3 ecuaciones con tres incógnitas podemos de la primera ecuación despejar A y de la segunda ecuación despejar C teniendo así una cuarta y quinta ecuación: 4. A=-B 5. C=5-3B Se sustituye la ecuación 4 y 5 en la 3: A+3C=-3 (-B)+3(5-3B)=-3 -B+15-9B=-3 -10B+15=-3 10B=3+15 10B=18 B=

18 10

B= A=

9 5

−9 5

C=5−3 B

9 C=5−3 ( ) 5 C=5−

27 25−27 = 5 5

C=

−2 5

Los valores de las constantes obtenidos son:

A=

−9 5

;

B=

9 5

;

C=

−2 5

Ahora reemplazamos los valores de las constantes en la ecuación principal de fraccione parciales: 5 x−3 A Bx+ C = + ( x +1 ) ( x+ 3 ) x +3 x2 +1 2

9 −2 −9 x+ C 5 5 5 ¿ + 2 x +3 x +1

() ( )

5 x−3 −9 1 9 x−2 = + ( x +1 ) ( x+ 3 ) 5 ( x +3 ) 5 x 2+1

(

2

)

Desarrollando la integral: −9

1 9 x−2 dx x 2 +1

∫ x∗e3 x dx=∫ 5 ( x+3 ) + 5 ¿−

(

)

9 1 9 x 2 1 dx+ ∫ 2 dx− ∫ 2 dx 5 ∫ ( x +3 ) 5 x +1 5 x +1

se usa la siguiente fórmula para desarrollar la integral: x

∫ x2 +1 dx z=x 2+ 1 z−1=x2

√ z−1=x dz =2 xdz=2 xdx dx dx=

x

∫ x2 +1 dx=∫ 1 ¿∫ dz z

x ∗1 z dz 2x

dz 2x

¿ ln |z|+C

x

∫ x2 +1 dx=ln|x 2 +1|+C Reemplazando en la integral original:

∫ x∗e3 x dx=

−9 1 9 x 2 1 dx + ∫ 2 dx− ∫ 2 dx ∫ 5 5 x +1 5 x +1 ( x+ 3 )

∫ x∗e3 x dx=

−9 9 2 ln|x +3|+ ln |x 2 +1|− ln|x 2 +1|+C 5 5 5

Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias. Ejercicio d. ∞

∫ 16+x x 2 dx 0

b

lim ∫

b→∞ 0

x dx 16+ x2

Se multiplica y se divide por en el numerador porque la derivada de ( 16+x 2 ¿ ' =2 x 1 ∗2 x 2 lim ∫ dx 2 b → ∞ 0 16+ x b

lim 1

b→∞

2

b

lim 1

2x = b→ ∞ [ ln |16+ x 2|+C ] ∫ 16+ 2 2 x 0

Evaluando la integral: lim 1 b→∞

2 lim 1

b→∞

2

[ ( ln|16+( b) |)−( ln|16+(0) |)+ C ] 2

[ ( ln|16+( b) |)− ( ln|16|)+ C ] 2

Evaluando el límite: lim 1

b→∞

2

2

[ ln ( ∞ )−( ln|16|) +C ]

b 0

Estudiante: ROSANA OSORIO Tipo de ejercicios 1 – Integración por sustitución. e.  

∫ √3x

1+ √ X

dx Aplicamos u u=

√6 x

6 u8 ∫ 1+ u2 du ¿ 6∗∫

8

u du 1+u2

8

u 1 ¿ =u 6−u4 + u2−1+ 2 du 2 1+u u +1 1

∫ u6 du−∫ u4 du+∫ u 2 du−∫ 1 du+∫ u2+ 1 du aplicamosregla de lasuma=6 ¿

u 7 u5 u 3 − + −u+arctan ( u ) 7 5 3 ¿6¿ Sustituimos u= 7

( √6 x ) 7

−

( √6 x ) 5 3 ( √6 x ) ( 6√ x ) 5

+

3 ¿6¿

√6 x

6

−√ x+ arctan ¿

simplificar y agragamos laconstante

¿6

(

7

5

)

1 6 1 6 1 x − x + √ x+ √6 x −arctan ( √6 x ) + c 7 5 3

Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes. e. 

∫ e x sen ( x ) dx aplicamos integracion por partes u=e x ; v ' =sen ( x ) ¿−e x cos ( x ) −∫ −e x cos ( x ) dx sacamos la constante x

e cos ( x ) dx −∫ ¿ x

¿−e cos ( x ) −¿

aplicar integracion por partes u=e x ; v ' =cos ( x ) e ¿ x −(e sen ( x ) dx ¿ x sen ( x ) −∫ ¿ ) ¿−e x cos ( x )−¿ Entoncestenemos que x e sen ( x ) dx x −(e sen ( x )−∫ ¿) x x e sen ( x ) dx=¿−e cos ( x )−¿ ∫¿

aislamos

u=−e x cos ( x )−(−( e x sen ( x )−u ) ) u=−e x cos ( x ) +e x sen ( x )−u u+u=−e x cos ( x ) +e x sen ( x )−u +u

x

x

2u=−e cos ( x )+ e sen ( x ) x

x

2 u −e cos ( x ) e sen ( x ) = + 2 2 2 simplificamos x

u=

x

−e cos ( x ) e sen ( x ) + 2 2 Entonces

∫ e sen ( x ) dx= x

x

x

−e cos ( x ) e sen ( x ) + +c 2 2

Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones Parciales. e. 4

3

2

x +12 x + x−1 dx ∫ 3 x −12 3 x −4 x 2 +4 x es una fraccion impropia por su grado aplicamos su respecetiva division y nos da 3 x+

x−1 x −4 x2 + 4 x 3

x−1

∫ ❑3 x+ x 3−4 x 2+ 4 x dx tenemos una integral de suma ¿∫ 3 xdx =3∗∫ xdx =

3∗x 1+1 3 x 2 = 1+1 2

3 x2 ∫ 3 xdx= 2 por otrolado tenemos que x −1

∫ x3 −4 x 2 +4 x dx

2

x−2 ¿ ¿ ¿

x 2 2 − −¿ x −4 x +4 x−2

¿

2

x−2 ¿2 ¿ ¿ 3 x2 x 2 2 ¿ +¿ 2 − − 2 x −4 x + 4 x−2 ¿

Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias e. x−4 ¿ ¿ 1 ¿ 3 ¿ 1 ¿ 5

∫¿ 2

hay un punto indefinido dentro de loslimites en : 4

5

1 1 ¿∫ 3 dx+∫ 3 2 √ x−4 4 √ x−4 4

1 dx √ x −4

∫3 2

aplicamos u

¿∫

∫u ¿

1 du √u 3

−1 3

−1 +1 3

du=

u −1 +1 3

+1 x−4 −1 3 −1 +1 3

2

3 ¿ ( x−4) 5 +c 2 calculamos limites 2

−1¿ 5 ¿ 3¿ ¿ 0−¿ 2

−1 ¿ 5 ¿ 3¿ ¿−¿ 2

−1 ¿ 5 ¿ 3¿ ¿−¿ ahora 5

1 dx √ x −4

∫3 4

1

∫ 3 x −4 dx √

−1

∫ 31 du=∫ u 3 du √u aplicamos regla de potencia

x−4 ¿ ¿ ¿ −1

−1 +1 3

+1

u3 ¿ =¿ −1 +1 3 simplicamos 2

x−4 ¿ 3 +c 3 ¿ ¿ 2 calcular limites

3 ¿ −0 2 ¿

3 2

entonces 2 5

−1 ¿ ¿ 3¿ ¿−¿

Tabla links videos explicativos. Nombre Estudiant e Nancy Yolima Rodríguez

Ejercicios sustentado s integrales impropias

Link video explicativo

https://youtu.be/R8HEaj-b9g

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS EN NORMAS APA Método de integración I – Integración por sustitución. Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral. Editorial Unimagdalena. (pp. 24 – 32). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login? url=http://search.ebscohost.com/login.aspx? direct=true&db=edselb&AN=edselb.5045548&lang=es&site=eds-live Método de integración II – Integración Por partes Rivera, F. (2014). Calculo integral: sucesiones y series de funciones. México: Larousse – Grupo Editorial Patria. (pp. 88 – 95). Recuperado dehttps://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/reader.action? ppg=1&docID=3227578&tm=1536935311791 Método de integración III – Sustitución Trigonométrica Fracciones parciales. Velásquez, W. (2014). Cálculo Integral. Editorial Unimagdalena. (pp. 89 – 121). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login? url=http://search.ebscohost.com/login.aspx? direct=true&db=edselb&AN=edselb.5045548&lang=es&site=eds-live Integrales impropias. Aguayo, J. (2012). Cálculo integral y series. Editorial ebooks Patagonia J.C. Sáez Editor. (pp. 98 – 106). Recuperado dehttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login? url=http://search.ebscohost.com/login.aspx? direct=true&db=edselb&AN=edselb.3196635&lang=es&site=eds-live