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ECUACIONES DIFERENCIALES TRABAJO COLABORATIVO 1

ECUACIONES DIFERECIALES

INTEGRANTES: ALBERTO CARLOS CASTILLO ANGULO COD: 1083002040 BRENDA RIVERA FONTALVO YESSICA KATHERINE GALINDO CRISTIAN FERNANDO MARTINEZ EDWIN ALBERTO NAVARRO OROZCO

TUTOR: FRANCISCO FERNANDEZ

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

20 MAR. 2016

SANTA MARTA (MAGDALENA)

ECUACIONES DIFERENCIALES INTRODUCCION

En Ecuaciones diferenciales Hay diferentes temas muy completos cualquier ingeniero debe saber, con base a un buen entendimiento a temas anteriores y cursos de este mismo podemos abordar este curso con más facilidad. En este trabajo colaborativo 1, se realiza una serie de ejercicios de ecuaciones y todo lo relacionado con ello para poder tener un buen desempeño en la vida profesional como en la académica.

ECUACIONES DIFERENCIALES SOLUCIÓN: 𝑑𝑦

A. 𝑥 2 sin 𝑥 − (cos 𝑥) 𝑦 = (sin 𝑥) 𝑑𝑥 es de orden 1, y es lineal porque el termino y es lineal 𝑑𝑦

B. 𝑦 𝑑𝑥 + (sin 𝑥) 𝑦 3 = 𝑒 𝑥 + 1 es de orden 1, y No es lineal porque la variable y esta elevada al cubo C.

𝑑2 𝑦 𝑑𝑥 2

+

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 𝑦 = cos(𝑥 + 𝑦) es de orden 2, y no es lineal porque la función coseno

depende de y. D.

𝑑2 𝑟 𝑑𝑢2

𝑑𝑟 2

= √1 + (𝑑𝑢) es de orden 2 y no es lineal porque la función raíz cuadrada no

es lineal y la variable r depende de ella. E. (𝑦 2 − 1)𝑑𝑥 + 6𝑥𝑑𝑦 = 0 es de orden 1, y no es lineal debido a que la variable y esta elevada al cuadrado. 2. 𝑒 −𝑦 + 𝑒 −2𝑥−𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑦

𝑑𝑦 𝑑𝑥

Solución: (𝑒 −𝑦 + 𝑒 −2𝑥−𝑦 )𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑦𝑑𝑦 Forma diferencial (𝑒 −𝑦 + 𝑒 −2𝑥 ∗ 𝑒 −𝑦 )𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑦𝑑𝑦 [𝑒 −𝑦 (1 + 𝑒 −2𝑥 )]𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑦𝑑𝑦 Factorizamos (1+𝑒 −2𝑥 ) 𝑒𝑥

𝑑𝑥 = 𝑦𝑒 𝑦 𝑑𝑦 Separar variables (𝑒 −𝑥 + 𝑒 −3𝑥 )𝑑𝑥 = 𝑦𝑒 𝑦 𝑑𝑦

Integrando obtenemos: ∫(𝑒 −𝑥 + 𝑒 −3𝑥 )𝑑𝑥 = ∫ 𝑦𝑒 𝑦 𝑑𝑦 Parte 1 1 ∫(𝑒 −𝑥 + 𝑒 −3𝑥 )𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑒 −3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 −𝑥 + 𝑒 −3𝑥 + 𝑐 3 Factorizando queda 1 1 𝑒 −𝑥 + 𝑒 −3𝑥 = 𝑒 −𝑥 (1 + 𝑒 −2𝑥 ) + 𝐶1 3 3 Parte 2 aplicamos método integración por parte ∫ 𝑦𝑒 𝑦 𝑑𝑦 Sea 𝑢 = 𝑦 , 𝑑𝑢 = 𝑑𝑦

ECUACIONES DIFERENCIALES 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑦 , 𝑣 = 𝑒 𝑦 ∫ 𝑦𝑒 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑦𝑒 𝑦 − ∫ 𝑒 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑦𝑒 𝑦 − 𝑒 𝑦 + 𝑐 Factorizando queda 𝑒 𝑦 (𝑦 − 1) + 𝐶2 Uniendo 1 y 2 obtenemos 1

𝑒 −𝑥 (1 + 3 𝑒 −2𝑥 ) + 𝑐1 = 𝑒 𝑦 (𝑦 − 1) + 𝑐2 Como 𝐶1 − 𝐶2 = 𝐶 1 (1 + 3 𝑒 −2𝑥 ) (𝑦 − 1)

1 (1 + 3 𝑒 −2𝑥 ) 𝑒𝑦 + 𝐶 = −𝑥 → + 𝐶 = 𝑒 𝑦−𝑥 (𝑦 − 1) 𝑒

∎

B. Determine si la ecuación dada es exacta. Si lo es resuélvala. Ojo es de anotar que le faltó el dx 𝑦 (1 − ln 𝑥) 𝑑𝑦 = (1 + ln 𝑥 + ) 𝑑𝑥 𝑥 𝑦 (1 + ln 𝑥 + ) 𝑑𝑥 + (ln 𝑥 − 1)𝑑𝑦 = 0 𝑥 𝑦 1 𝑀𝑥 = (1 + ln 𝑥 + ) = 𝑥 𝑥 𝑁𝑦 = (ln 𝑥 − 1) =

1 𝑥

𝑦

La ecuación (1 − ln 𝑥) 𝑑𝑦 = (1 + ln 𝑥 + 𝑥 ) 𝑑𝑥 Podemos obtener la solución general 𝑓(𝑥, 𝑦) como sigue. 𝑦

𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = ∫(1 + ln 𝑥 + 𝑥 ) 𝑑𝑥 Repartimos las integrales y obtenemos 𝑦

∫ 1𝑑𝑥 + ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 𝑑𝑥 Solucionamos cada una de las integrales y obtenemos ∫ 1𝑑𝑥 = 𝑥 ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 Vemos se presenta un producto, luego se sospecha una integración por partes. Hacemos el cambio de variable.𝑢 = ln 𝑥 , 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥, entonces debemos derivar u e integrar 1 v, veamos: 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, 𝑣 = 𝑥 Como ya tenemos todas las partes que necesitamos, 𝑥 reemplazamos en la ecuación:

ECUACIONES DIFERENCIALES

∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 ∗ 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 1 ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − ∫ 𝑥 ∗ 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 𝑥 𝑦 1 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑦 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑦 ln 𝑥 𝑥 𝑥 𝑦 ∫(1 + ln 𝑥 + ) 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝑦 ln 𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 + 𝑦 ln 𝑥 + 𝑔(𝑦) 𝑥 Determinamos g( y) integrando M( x,y) con respecto a y e igualando las dos expresiones de f(x,y) 𝑥 ln 𝑥 + 𝑦 ln 𝑥 + 𝑔(𝑦) = ln 𝑥 − 1 ln 𝑥 + 𝑔′(𝑦) = ln 𝑥 − 1 Despejamos 𝑔′(𝑦) 𝑔′ (𝑦) = ln 𝑥 − 1 − ln 𝑥 → 𝑔′ (𝑦) = −1 → 𝑔(𝑦) = −𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑦 + 𝑦 ln 𝑥 + 𝑥 ln 𝑥 = 𝐶

∎

c. Resolver la siguiente ecuación diferencial hallando el factor integrante: 6𝑥𝑦𝑑𝑥 + (4𝑦 + 9𝑥 2 )𝑑𝑦 = 0 Solución: primero verificar si la ecuación es exacta 𝑀𝑥 = (6𝑥𝑦) = 6𝑥 𝑁𝑦 = (4𝑦 + 9𝑥 2 ) = 18𝑥 La ecuación no es exacta. Sin embargo 𝑀𝑥 − 𝑁𝑥 = 6𝑥 − 18𝑥 = −12𝑥 Luego

𝑀𝑥 −𝑁𝑥 𝑀

12𝑥

2

2

= − 6𝑥𝑦 = − 𝑦 = −𝑔(𝑦) → 𝑦 = 𝑔(𝑦) 𝑒 ∫ 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑒

1 2 ∫ 𝑑𝑦 𝑦

2

= 𝑒 2 ln 𝑦 = 𝑒 ln 𝑦 = 𝑦 2

Es un factor integrante, al remplazarlo en la ecuación diferencial inicial la ecuación es exacta. 𝑦 2 (6𝑥𝑦)𝑑𝑥 + 𝑦 2 (4𝑦 + 9𝑥 2 )𝑑𝑦 = 0 6𝑥𝑦 3 𝑑𝑥 + (4𝑦 3 + 9𝑥 2 𝑦 2 )𝑑𝑦 = 0

ECUACIONES DIFERENCIALES 𝑀𝑥 = (6𝑥𝑦 3 ) = 18𝑥𝑦 2 𝑁𝑦 = (4𝑦 3 + 9𝑥 2 𝑦 2 ) = 18𝑥𝑦 2 La ecuación 6𝑥𝑦 3 𝑑𝑥 + (4𝑦 3 + 9𝑥 2 𝑦 2 )𝑑𝑦 = 0 Podemos obtener la solución general 𝑓(𝑥, 𝑦) como sigue. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 = ∫(6𝑥𝑦 3 ) 𝑑𝑥 = 6𝑦 3 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑦 3 𝑥 2 + 𝑔(𝑦) Determinamos g( y) integrando M( x,y) con respecto a y e igualando las dos expresiones de f(x,y) 3𝑦 3 𝑥 2 + 𝑔(𝑦) = 4𝑦 3 + 9𝑥 2 𝑦 2 9𝑦 2 𝑥 2 + 𝑔′(𝑦) = 4𝑦 3 + 9𝑥 2 𝑦 2 Despejamos 𝑔′(𝑦) 𝑔′ (𝑦) = 4𝑦 3 + 9𝑥 2 𝑦 2 − 9𝑦 2 𝑥 2 → 𝑔′ (𝑦) = 4𝑦 3 → 𝑔(𝑦) = 𝑦 4 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 4 + 3𝑦 3 𝑥 2 = 𝐶

∎

D. resuelva la ecuación diferencial: (𝑦 2 + 𝑦𝑥)𝑑𝑥 − 𝑥 2 𝑑𝑦 Solución: Al examinar 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑦 2 + 𝑦𝑥 𝑦 𝑁(𝑥, 𝑦) = −𝑥 2 vemos que los coeficientes son funciones homogéneas de grado 2. Si escribimos 𝑦 = 𝑢𝑥, entonces 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑥; así, después de sustituir, la ecuación dada se transforma en: (𝑢2 𝑥 2 + 𝑢𝑥 2 )𝑑𝑥 − 𝑥 2 (𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0 Factorizamos y aplicamos la propiedad Distributiva de la multiplicación obtenemos 𝑥 2 (𝑢2 + 𝑢)𝑑𝑥 − 𝑢𝑥 2 𝑑𝑥 − 𝑥 3 𝑑𝑢 = 0 𝑥 2 𝑢2 𝑑𝑥 − 𝑥 3 𝑑𝑢 = 0 𝑑𝑥 𝑥

1

Multiplicando por el factor racionalizante 𝑥 3 𝑢2 obtenemos

𝑑𝑢

− 𝑢2 = 0

Luego de integrar, se transforma en 1

ln 𝑥 − 𝑢 = 𝐶 𝑥 𝑦

ln 𝑥 − = 𝐶

𝑦

Restitución 𝑢 = 𝑥 nos queda Ahora multiplicamos por y para obtener

𝑦 ln 𝑥 − 𝑥 = 𝐶𝑦 ∎

Que es la solución de la ecuación diferencial.

ECUACIONES DIFERENCIALES E. Resuelva el siguiente ejercicio de valor inicial. (𝑥 2 + 2𝑦 2 )

𝑑𝑥 𝑑𝑦

− 𝑥𝑦 = 0 Esta ecuación la transformamos para que quede en la forma

estándar: (𝑥 2 + 2𝑦 2 )𝑑𝑥 − 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 Solución: Al examinar 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 2𝑦 2 𝑦 𝑁(𝑥, 𝑦) = −𝑥𝑦 vemos que los coeficientes son funciones homogéneas de grado 2. Si escribimos 𝑦 = 𝑢𝑥, entonces 𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑥; así, después de sustituir, la ecuación dada se transforma en: (𝑥 2 + 2𝑢2 𝑥 2 )𝑑𝑥 − 𝑢𝑥 2 (𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢) = 0 Factorizamos y aplicamos la propiedad Distributiva de la multiplicación obtenemos 𝑥 2 ( 1 + 2𝑢2 )𝑑𝑥 − 𝑢2 𝑥 2 𝑑𝑥 − 𝑢𝑥 3 𝑑𝑢 = 0 1

𝑥 2 ( 1 + 𝑢2 )𝑑𝑥 − 𝑢𝑥 3 𝑑𝑢 = 0 Multiplicando por el factor racionalizante 𝑥 3 (1+𝑢2 ) obtenemos 𝑑𝑥 𝑥

𝑢

− 1+𝑢2 𝑑𝑢 = 0

Luego de integrar, se transforma en 1

ln|𝑥| − 2 ln|1 + 𝑢2 | = ln|𝐶| 2 ln|𝑥| − ln |1 +

𝑦2 | 𝑥2

= ln|𝐶|

𝑦

Restitución 𝑢 = 𝑥 nos queda y multiplicando por 2 como 1 +

𝑦2 𝑥2

=

𝑥 2 +𝑦 2 𝑥2

𝑥2 + 𝑦2 2 ln|𝑥| − ln | | = ln|𝐶| 𝑥2 Ahora aplicamos las propiedades de los logaritmos para escribir la solución anterior en la forma 𝑥2

ln |𝑥2 +𝑦2 | = ln|𝐶|

Aplicamos la división de fraccionarios y nos queda

𝑥2

𝑥4

ln |𝑥 2 +𝑦2 | = ln|𝐶| Aplicamos la función Euler a ambos lados de la ecuación para obtener 𝑥4 𝑥 2 +𝑦 2

= 𝐶 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 4 = 𝐶(𝑥 2 + 𝑦 2 ) ∎ Que es la solución de la ecuación diferencial.

PROBLEMAS 1. Considere un gran tanque que contiene 1000L de agua, dentro del cual una solución salada de salmuera empieza a fluir a una velocidad constante de 6 L/min.

ECUACIONES DIFERENCIALES La solución dentro del tanque se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior del tanque a una velocidad de 6L/min. SI la concentración de sal en la salmuera que entra en el tanque es de 1Kg/L, determine cuando será de 1/2kg/L la concentración de sal en el tanque. Solución: debemos sacar los datos 𝑉𝑜 = 1000 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 ,

𝐴=6

𝐿 , 𝑚𝑖𝑛

𝐵=6

𝐿 𝑘𝑔 1 𝑘𝑔 , 𝑄𝑜 = 0 , 𝑄𝑡 = ,𝐶 𝑚𝑖𝑛 𝐿 2 𝐿 1

𝑉(𝑡) = (𝐴 − 𝐵) ∗ 𝑡 + 𝑉𝑂 Donde 𝐴 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜,

𝐵 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜

𝑉𝑡 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡 𝑦 𝑉0 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑄0 = 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙, 𝑄𝑡 = 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡 𝑦 𝐶1 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑎𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒

𝑑𝑄 𝑄𝑡 = 𝐴 ∗ 𝐶1 − 𝐵 𝑑𝑡 𝑉𝑡 𝑉(𝑡) = (6 − 6) ∗ 𝑡 + 1000 → 𝑉(𝑡) = 1000 𝑑𝑄 𝑄𝑡 𝑑𝑄 = 6 ∗ (1) − 6 → 𝑑𝑡 1000 𝑑𝑡 =6 𝑄𝑡 −6 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑦 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 1000 𝑑𝑄 3𝑄𝑡 + =6 𝑑𝑡 500

𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒

Como p(t) = 3/500 tenemos que el factor integrante es 3

3

𝑒 ∫500𝑑𝑡 = 𝑒 500𝑡 Multiplicamos la ecuación por este factor y obtenemos 3

𝑑𝑄

3

3𝑄

𝑒 500𝑡 ( 𝑑𝑡 + 500𝑡 = 6) → 𝑒 500𝑡 ∗ 3 𝑑𝑄 𝑡 500 [𝑒 𝑑𝑡

3

𝑑𝑄 𝑑𝑡

3

3

3𝑄

+ 𝑒 500𝑡 ∗ 500𝑡 = 𝑒 500𝑡 ∗ 6 que es lo mismo que

3

∗ 𝑄] = 6𝑒 500𝑡 3

Al integrar ambos lados de la última ecuación se obtiene 3

𝑄𝑒 500𝑡 = 1000𝑒 500𝑡 + 𝐶 → 𝑄 = 1000 + 𝐶𝑒 −500𝑡

ECUACIONES DIFERENCIALES Cuando 𝑄0 = 0 𝑦 𝑡0 = 0 encontramos que: 3

1000 + 𝐶𝑒 −500(0) = 0 → 1000 + 𝐶𝑒 0 = 0 → 1000 + 𝐶(1) = 0 Despejamos c 𝐶 = −1000 Entonces la cantidad de sal en el tanque en el tiempo t está dada por 3

𝑄𝑡 = 1000 − 1000𝑒 −500𝑡 Como necesitamos saber cuándo será la concentración en el tanque igual a ½ entonces tenemos 3 3 3 1 1 1999 = 1000 − 1000𝑒 −500𝑡 → − 1000 = −1000𝑒 −500𝑡 → − = −1000𝑒 −500𝑡 2 2 2 1999

3

1999

3

→ − 2(−1000) = 𝑒 −500𝑡 → 2000 = 𝑒 −500𝑡 Extraemos logaritmos naturales a ambos lados 3

ln|0,9995| = ln |𝑒 −500𝑡 | → −0,00050013 = −

3 500 𝑡→𝑡=− ∗ 0,00050013 500 3

𝑡 = 0,0833542 𝑚𝑖𝑛 La concentración de sal será de ½ de Kilogramos, al cabo de 0,0833542 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 Un paracaidista de masa 100 Kg (incluyendo su equipo) se deja caer de un avión que vuela a una altura de 2000 m, y cae bajo la influencia de la gravedad y de la resistencia del aire. Supongamos que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del paracaidista en cada instante, con constante de proporcionalidad 30 N.s/m con el paracaídas cerrado, y 90 N.s/m con el paracaídas abierto. Si el paracaídas se abre a los diez segundos del lanzamiento, hallar el instante aproximado en el que el paracaidista llega al piso. ¿Cuál es su velocidad en ese instante? (Considere la gravedad como 𝑚 𝑔 = 10 2 ) 𝑠𝑒𝑔

Solución: Por la segunda Ley de Newton 𝑚𝑎 = 𝐹 𝑛𝑒𝑡𝑎 Asumiendo que la resistencia es proporcional a la velocidad y la dirección con que baja es 𝑑𝑣 positiva y sabiendo que 𝐹 = 𝑚𝑔 el modelo para la velocidad es 𝑚 𝑑𝑡 = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣. Usando separación de variables para resolver la ecuación diferencial obtenemos 𝑑𝑣 𝑚 = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑚 𝑦 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑡 𝑘 𝑘 𝑑𝑣 𝑘 + 𝑣 = 𝑔 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒 ∫𝑚𝑑𝑡 = 𝑒 𝑚𝑡 𝑑𝑡 𝑚 Multiplicando la ecuación diferencial por este factor integrante, tenemos. 𝑘 𝑘 𝑘 𝑑𝑣 𝑘 𝑒 𝑚𝑡 ∗ + 𝑒 𝑚𝑡 ∗ 𝑣 = 𝑒 𝑚𝑡 ∗ 𝑔 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒 𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑑𝑡 𝑚 𝑘 𝑑𝑣 𝑘 𝑡 (𝑒 𝑚 ∗ 𝑣) = 𝑔 ∗ 𝑒 𝑚𝑡 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑡 𝑑𝑡

ECUACIONES DIFERENCIALES 𝑘 𝑘 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝑒 𝑚𝑡 + 𝐶 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒 𝑚𝑡 𝑘 𝑘 𝑘 𝑚 𝑡 𝑒 𝑚𝑡 ∗ 𝑣 𝑘 ∗ 𝑔 ∗ 𝑒 𝑚 𝐶 = + 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑟𝑟𝑜𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑘

𝑒 𝑚𝑡 ∗ 𝑣 =

𝑘

𝑘

𝑒 𝑚𝑡

𝑒 𝑚𝑡

𝑘

𝑒 𝑚𝑡

𝑘 𝑚 ∗ 𝑔 + 𝐶𝑒 −𝑚𝑡 𝑘 Aplicando las condiciones iniciales y haciendo 𝑣(0) = 𝑣0 𝑦 𝑡 = 0 obtenemos 𝑚𝑔 𝑚𝑔 𝑣0 = + 𝐶 → 𝐶 = 𝑣0 − 𝑘 𝑘 Entonces la velocidad en cualquier instante t esta dado por la formula y sabiendo que 𝑣0 = 0

𝑣=

𝑣(𝑡) =

𝑚 𝑘

∗ 𝑔 + (𝑣0 −

𝑘 𝑚𝑔 ) 𝑒 −𝑚𝑡 𝑘

𝑚

𝑘

𝑚𝑔

𝑘

→ 𝑣(𝑡) = ∗ 𝑔 + 𝑣0 ∗ 𝑒 −𝑚𝑡 − ∗ 𝑒 −𝑚𝑡 factorizando 𝑘 𝑘 𝑚 𝑚𝑔 − 𝑘 𝑡 𝑣(𝑡) = ∗ 𝑔 + (𝑣0 − )𝑒 𝑚 𝑘 𝑘 𝑑𝑥

Teniendo encuenta que 𝑣(𝑡) = , 𝑦 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑥(0) = 𝑥0 se llega 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑚 𝑚𝑔 − 𝑘 𝑡 = ∗ 𝑔 + (𝑣0 − )𝑒 𝑚 𝑑𝑡 𝑘 𝑘 Integrando respecto a t 𝑑𝑥 𝑚 𝑚𝑔 − 𝑘 𝑡 ∫ = ∫ [ ∗ 𝑔 + (𝑣0 − ) 𝑒 𝑚 ] 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑘 𝑘 𝑘 𝑚𝑔 𝑚 𝑚2 𝑔 − 𝑘 𝑡 − 𝑡 𝑚 𝑥= 𝑡 − 𝑣0 𝑒 + 2 𝑒 𝑚 +𝐶 𝑘 𝑘 𝑘 Entonces como t=0 y despejamos C obtenemos: 𝑘 𝑚𝑔 𝑚 𝑚2 𝑔 − 𝑘 (0) − (0) 𝑚 𝑥(0) = (0) − 𝑣0 𝑒 + 2 𝑒 𝑚 +𝐶 𝑘 𝑘 𝑘 𝑚 𝑚2 𝑔 𝑚 𝑚2 𝑔 𝑥0 = − 𝑣0 + 2 + 𝐶 → 𝐶 = 𝑥0 + 𝑣0 − 2 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑥(𝑡) =

𝑘 𝑚𝑔 𝑚 𝑚2 𝑔 𝑘 𝑚 𝑚2 𝑔 𝑡 − 𝑣0 𝑒 −𝑚𝑡 + 2 𝑒 −𝑚𝑡 + 𝑥0 + 𝑣0 − 2 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘

𝑘 𝑚𝑔 𝑚 𝑚2 𝑔 𝑘 𝑚 𝑚2 𝑔 𝑡 − 𝑣0 𝑒 −𝑚𝑡 + 2 𝑒 −𝑚𝑡 + 𝑥0 + 𝑣0 − 2 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑚𝑔 𝑚 −𝑘 𝑡 𝑚𝑔 𝑚 𝑚𝑔 𝑚 𝑥(𝑡) = 𝑡− 𝑒 (𝑣0 − ) + (𝑣0 − ) + 𝑥0 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑚𝑔 𝑚 𝑚𝑔 𝑥(𝑡) = 𝑡 + (𝑣0 − ) (1 − 𝑒 −𝑚𝑡 ) + 𝑥0 𝑘 𝑘 𝑘 𝑚 Considerando la gravedad 𝑔 = 10 2 y la etapa inicial en la que el paracaídas está

𝑥(𝑡) =

𝑠𝑒𝑔

𝑁𝑠

cerrado, donde 𝑥0 = 0, 𝑣0 = 0 𝑦 𝑘 = 30 𝑚 , 𝑦 𝑚 = 100 𝐾𝑔. 𝑣(𝑡) =

30 100 100 ∗ 10 + (0 − ∗ 10) 𝑒 −100𝑡 30 30

ECUACIONES DIFERENCIALES

𝑣(𝑡) =

100 100 − 3 𝑡 − 𝑒 10 3 3

30 100 ∗ 10 100 100 ∗ 10 𝑡+ (0 − ) (1 − 𝑒 −100𝑡 ) + 0 30 30 30 100 1000 − 3 𝑡 𝑥(𝑡) = 𝑡+ 𝑒 10 3 9 Luego como t=10 seg

𝑥(𝑡) =

𝑣(𝑡) =

100 100 − 3 (10) − 𝑒 10 3 3

𝑣(10) =

100 100 −3 𝑚 − 𝑒 ≈ 31,67376 3 3 𝑠𝑒𝑔

100 1000 − 3 (10) (10) + 𝑒 10 3 9 1000 1000 −3 𝑥(10) = + 𝑒 ≈ 338,8652 𝑚 3 9 Para la segunda etapa, es decir, cuando el paracaídas está abierto, se toma como 𝑁𝑠 instante aquel en el que el paracaídas se abre. Con lo que se tiene que 𝑘 = 90 con lo 𝑚 que se tiene 𝑥(0) = 338,8652 𝑚 𝑦 𝑣(0) = 31,6737 𝑚 Entonces 100 100 ∗ 10 − 90 𝑡 𝑣(𝑡) = ∗ (10) + (31,6737 − ) 𝑒 100 90 90 𝑥(10) =

𝑣(𝑡) =

100 100 − 9 𝑡 + (31,6737 − ) 𝑒 10 9 9

𝑣(𝑡) =

𝑥(𝑡) =

100∗10 𝑡 90

+

9 100 + 20,5626𝑒 −10𝑡 9

100 100∗10 (31,6737 − 90 ) (1 − 90

90

𝑒 −100𝑡 ) + 338,8652

9 100 𝑡 + 22,8473 (1 − 𝑒 −10𝑡 ) + 338,8652 9 9 100 𝑥(𝑡) = 𝑡 + 22,8473 − 22,8472𝑒 −10𝑡 + 338,8652 9 9 100 𝑥(𝑡) = 𝑡 + 361,7125 − 22,8473𝑒 −10𝑡 9 Pero como x(t) es 2000 m reemplazamos y obtenemos

𝑥(𝑡) =

2000 =

100 𝑡 9

9

+ 361,7125 − 22,8473𝑒 −10𝑡 Despejando t obtenemos

9 100 𝑡 = 2000 − 361,7125 + 22,8473𝑒 −10𝑡 9

ECUACIONES DIFERENCIALES 9

100𝑡 = 14744,5875 + 205,6257𝑒 −10𝑡

9

Es decir 𝑡 = 147,4459 + 2,056257𝑒 −10𝑡

9

En la presente ecuación el término 2,056257𝑒 −10𝑡 se desprecia para valores de tiempo relativamente grandes (mayores que 10), es decir, este valor su límite tiende a cero, entonces, 𝑡 = 147,4459de aquí se deduce que el paracaidista tarda aproximadamente 10 𝑠𝑒𝑔 + 147,4459 𝑠𝑒𝑔 = 157,4459 𝑠𝑒𝑔 aproximadamente en llegar al suelo desde que se arrojó del avión. La velocidad de este al llegar al suelo es de aproximadamente 9 100 𝑣(𝑡) = + 20,5626𝑒 −10𝑡 9 9 En la presente ecuación el término 20,5626𝑒 −10𝑡 se desprecia para valores de tiempo relativamente grandes (mayores que 10), es decir, este valor su límite tiende a cero. 100 𝐾𝑚 𝑣(𝑡) = ≈ 11,11 9 𝑠𝑒𝑔

ECUACIONES DIFERENCIALES CONCLUSIONES

En este trabajo aprendimos la Identificación de los principios de ECUACIONES DIFERENCIALES con el desarrollo que obtuvimos Interpretamos las diferentes teorías, definiciones y teoremas de este para poder comprender en diversos escenarios su mejor manera de utilizarlos

ECUACIONES DIFERENCIALES BIBLIOGRAFIA

García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. 2-30. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467

Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. 1-18. Recuperado de:http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022

Caicedo, A., García, J., Ospina, L. (2010). Métodos para resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Ediciones Elizcom. 9-24. Recuperado de :http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/id/10565809

Unad. (2015). Introducción a las Ecuaciones Diferenciales. [Videos]. Disponible en:: www.youtube.com/embed/5ubUDOcAL9I