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Ecuaciones diferenciales

Reconocimiento general y de actores

Daniel Vargas Reyes

Grupo: 100412_75 Tutor: Robeiro Beltran Tovar

13 de Marzo del 2015

Unad Cead Pitalito

Desarrollo de actividades. 1). Escoger del listado de ejercicios propuesto un ejercicio de cada temática y desarrollarlo de forma individual. Temática: introducción a las ecuaciones diferenciales 1). Muestre que y = 1/x es una solución de la ecuación diferencial dy y 1 ( )  y2   2  0 dx x x Solución. dy x 1 2 =−y − + 2 dx y x

Se extrae la derivada de y ,=

y=

1 x

−1 2 x

Se reemplaza el valor de y^, en la ecuación Se obtiene −1 x 1 =− y 2− + 2 2 y x x

Sustituimos el valor de y 2

−1 1 x 1 = − + 2 2 x x 1 x x

()

()

Se obtiene −1 −1 1 1 = 2 − 2+ 2 x2 x x x

dy x 1 =−y 2− + 2 dx y x

Como de lado y lado se cumple la igualdad que

y=

1 x

si es una solución de la ecuación

−1 −1 = 2 x2 x

podemos decir

( dydx )+ y + xy −1 /x =0 2

2

Temática: ecuaciones diferenciales de primer orden 2). Resuelva la siguiente ecuación diferencial por el método de variables separables: dy/dx=(-2x)/y Solución. Separamos las variables y·dy=−2 x·dx

Las integramos y2 =−x ²+c 2

Simplificando y=± √ C−2 x 2

Sustituimos la condición inicial para hallar la solución particular. −1=± √ C−2 1=C−2 3=C

Por lo tanto f ( x)=± √ 3−2 x 2 f (1.1)=± √ 3−2.42 f ( 1.1 )=± 0.7616

Situación problema.

Una fábrica está situada cerca de un rio con caudal constante de 10000m3/s que vierte sus aguas por la única entrada de un lago con volumen de 6000 millones de m3. Suponga que la fábrica empezó a funcionar el 1 de enero de 1999, y que desde entonces, dos veces por día, de 4 a 6 de la mañana y de 4 a 6 de la tarde, bombea contaminantes al río a razón de 2 m3/s. Suponga que el lago tiene una salida de 8000m3/s de agua bien mezclada. Esboce la gráfica de la solución y determine la concentración de contaminantes en el lago después de un día, un mes (30 días), un año (365 días). Solución. Caudal rio 10000m3/s Volumen lago 6000 millones m3 Salida del agua mezclada del lago 8000m3/s Si se bombea contaminantes a 2m3/s entre las 4 a 6 am y de 4 a 6pm. Con lo anterior se evidencia que se emplean 4 horas diarias de bombeo de contaminantes por día se bombea 14400m3/día de esta forma de 4 a 6am, vierte 7200m3/2, y de 4 a 6 pm se vierte 7200m3/s. Calculando después de un mes si se vierte 14400m3/s por día multiplicados por 30 obtendremos 432000m3/mes. Lo que indicaría que después de un año se vertería 525600m3/Año.