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• Fabian Andres Diaz Malpik

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Aporte grupal Una de las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es la solución de problemas de temperatura, en los que un objeto absorbe calor del medio circundante. Para dichos casos, se puede establecer la Ley de enfriamiento o calentamiento de Newton que dice: “La temperatura de un cuerpo se modifica a una velocidad que es proporcional a la diferencia de las temperaturas entre el cuerpo y el medio externo, siempre que el medio mantenga constante su temperatura” 𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎) 𝑑𝑡 Problema 1: Una pequeña lámina de metal, cuya temperatura inicial es de 25 °C, se introduce en un recipiente que contiene agua hirviendo. Determinar el tiempo que dicha lámina tardará en alcanzar los 80 °C, si se tiene que su temperatura se incrementó 3 °C en un segundo, y calcular cuánto tardará la misma lámina en elevar su temperatura a 95 °C. Se procede a separar datos del problema: Temperatura inicial 25 °C= Ta T= 80°C 𝑑𝑇 𝑑𝑡

= 3°C/seg

t=? T= 95°C Condiciones: T=0s

Tf=25°C

T= 1s

Tf=28 °C

Aplicaremos la ley de Newton la cual describe el problema. 𝑑𝑇 = 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎) 𝑑𝑡 ∫

𝑑𝑇 = ∫ 𝑘 𝑑𝑡 100 − 𝑇

−∫

𝑑𝑇 = 𝑘 ∫ 𝑑𝑓 𝐿𝑛(100 − 𝑇) = 𝑘𝑡 + 𝑐 100 − 𝑇

Para: T=0s

Tf=25°C

𝐿𝑛(100 − 25) = 𝑘(0) + 𝑐 𝑐 = Ln(75)

Para: T= 1s

Tf=28 °C

𝐿𝑛(100 − 28) = 𝑘(1) + 𝐿𝑛(75) 𝑘 = 𝐿𝑛

72 75

72 𝐿𝑛(100 − 𝑇) = 𝐿𝑛 ( ) 𝑡 + 𝐿𝑛(75) 75 𝑒 𝐿𝑛(100−𝑇)= 𝑒

𝐿𝑛(

72 )𝑡+ln(75) 75

100 − 𝑇 = (

72 ) 𝑡 ∗ (75) 75

𝑇 = 100 − (

72 ) 𝑡 ∗ 75 75

Para determinar el tiempo en que la lámina tarde en alcanzar los 80 °C despejamos: 72 𝑇 = 80 = 100 − ( ) 𝑡 ∗ 75 75 Entonces: 4 𝐿𝑛( ) 15 𝑇= = 32,38 𝑠𝑒𝑔 72 𝐿𝑛( ) 75 Ahora para calcular en que tiempo la lámina se elevara a la temperatura de 95 °C procedemos a realizar el mismo despeje cambiando la varíale de T: 95 °C 72 𝑇 = 95 = 100 − ( ) 𝑡 ∗ 75 75 Entonces: 1 𝐿𝑛( ) 15 𝑇= = 66,35 𝑠𝑒𝑔 72 𝐿𝑛( ) 75 Entonces como solución se dice que la lámina al iniciar tenía 25°C y para alcanzar 80°C se tardó 32,38seg y que para alcanzar 95°C se tardó 66,35seg