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• Yolanda Garcia Urquijo

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Tarea 1 – Resolver Problemas y Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden. Curso Ecuaciones Diferenciales. 100412ª_612

Presentado A: Tutor. Luis Alcides Murillo.

Presentado Por: Frank Ramirez.

Grupo: 87

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD. Escuela de Ciencias Básicas Tecnologias e Ingenierías – ECBTI. Programa de Ingeniería en Telecomunicaciones. Año 2019.

Introducción.

Actividades a Desarrollar.

Ejercicios 1. Variables Separables. Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de variables separables (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionada en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollar del mismo). 

(𝑥𝑦 + 𝑥)𝑑𝑥 = (𝑥 2 𝑦 2 + 𝑥 2 + 𝑦 2 + 1)𝑑𝑦

Factorizamos 𝑥(𝑦 + 1)𝑑𝑥 = [𝑥 2 + (𝑦 2 + 1) + (𝑦 2 + 1)]𝑑𝑦 𝑥(𝑦 + 1)𝑑𝑥 = [(𝑦 2 + 1)(𝑥 2 + 1)]𝑑𝑦 Separación de variables. 𝑥 𝑦2 + 1 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑥2 + 1 𝑦+1 Solución Integrales. ∫

𝑥 𝑦2 + 1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑦 𝑥2 + 1 𝑦+1

Sustituimos 𝑢 = 𝑥2 + 1

𝑧 =𝑦+1

𝑧−1=𝑦

𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑧 = 𝑑𝑦

(𝑧 − 1)2=𝑦

𝑑𝑢 =𝑥 2

Remplazamos y resolvemos.

1 𝑑𝑢 𝑧2 − 2𝑧 + 1 + 1 ∫ =∫ = 𝑑𝑧 2 𝑢 𝑧

2

𝑧 2 − 2𝑧 + 1 = 𝑦 2

Ejercicios 2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas. Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo). 

𝑥(𝐿𝑛(𝑥) − 𝐿𝑛(𝑦))𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 = 0

Ejercicios 3. Ecuaciones Diferenciales Exactas. Solucionar las siguientes ecuaciones diferenciales empleando el método de exactas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo) 

𝑥𝑦𝑑𝑥 + (2𝑥 2 + 3𝑦 2 − 20)𝑑𝑦 = 0; 𝑠𝑖 𝑦(1) = 1

Ejercicio 4. Situación problema. A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas. Problema: Un tanque Hemisférico posee un radio de 4 pies y en el instante inicial (t=0) está completamente lleno de un líquido acuoso que se requiere para hacer una mezcla. En ese momento; en el fondo del tanque se abre un agujero circular con diámetro de una (1) pulgada. ¿Cuánto tiempo tardará en salir todo el líquido acuoso del tanque?

a. 28 minutos 30 segundos b. 35 minutos 50 segundos c. 30 minutos 20 segundos d. 41 minutos 40 segundos