• Author / Uploaded
• Julian Caicedo

• Categories
• Sistema coordinado
• Geometría
• Física y matemáticas
• Física
• Análisis matemático

Citation preview

2019

Trabajo colaborativo – Spira Mirabilis CALCULO III

Calculo III Politécnico Grancolombiano 04/06/2019

TRABAJO COLABORATIVO – SPIRA MIRABILIS

INTRODUCCION. Cuando comenzamos a estudiar Cálculo se suele trabajar de forma especial con coordenadas planas o coordenadas cartesianas, dejando de lado las coordenadas polares. Sin embargo, conforme se continúa avanzando en el estudio del Cálculo, nos damos cuenta de la necesidad de utilizar coordenadas polares para realizar ciertos cálculos y procedimientos que no podrían realizarse exitosamente con coordenadas cartesianas. No se trata de que un sistema de coordenadas sea mejor que el otro, sino que ambos son importantes, pero uno servirá algunas veces y el otro servirá en otras ocasiones, dependiendo de nuestras necesidades y del trabajo que estemos realizando. Por lo cual en esta actividad se vera la importancia de una de ellas Spira Mirabilis o también llamada espiral logarítmica este gráfico tiene la forma de una espiral, tal como su nombre lo indica. La espiral más simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre sí misma, una serpiente enrollada. La característica fundamental de esta espiral es que la expansión y la rotación tienen un vínculo geométrico o exponencial: mientras el ángulo de giro crece en progresión aritmética, el radio correspondiente crece en progresión geométrica. La gran diferencia de esta espiral con la de Arquímedes, es que el radio de curvatura respecto del centro crece cumpliendo una progresión geométrica. Esto quiere decir que en vez de crecer ese radio de forma constante, crece respecto al producto de valores anteriores. Es por eso que crece, y por tanto se aleja del centro, mucho más rápido que otras espirales.

Politécnico Grancolombiano | Facultad de Ingeniería y Ciencias básicas

1

TRABAJO COLABORATIVO – SPIRA MIRABILIS

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD. La espiral logarítmica, llamada la Spira Mirabilis o eadem mutata resugno es una curva paramétrica de la forma: 𝑐(𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 cos(𝑡) , 𝑎𝑒 𝑏𝑡 sin⁡(𝑡)) Donde a y b son números reales positivos.

Se quiere estudiar una propiedad geométrica de la espiral logarítmica que involucra el ángulo entre su línea radial y su línea tangencial. Efectúe los siguientes cálculos para comprobar las siguientes propiedades: 1. Muestre que la magnitud de la curva, ǁ𝑐(𝑡)ǁ⁡𝑒𝑠⁡⁡ǁ𝑐(𝑡)ǁ = 𝑎𝑒 𝑏𝑡  Se requiere calcular ⁡ǁc(t)⁡ǁ por medio de una operación de elevar al cuadrado cada componente de ⁡c(t) y sacando una operación pitagórica sacando su raíz cuadrada para conocer su magnitud. ǁ𝑐(𝑡)ǁ = ⁡ √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 ⁡𝐶𝑜𝑠(𝑡))2 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 ⁡𝑆𝑖𝑛(𝑡))2  Se operan los paréntesis y operan términos ⁡ǁ𝑐(𝑡)ǁ = √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 ⁡𝐶𝑜𝑠 2 (𝑡) + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 𝑆𝑖𝑛2 (𝑡)⁡ ⁡ǁ𝑐(𝑡)ǁ = √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 (𝐶𝑜𝑠 2 (𝑡) + 𝑆𝑖𝑛2 (𝑡))

Politécnico Grancolombiano | Facultad de Ingeniería y Ciencias básicas

2

TRABAJO COLABORATIVO – SPIRA MIRABILIS

 Se usa la identidad pitagórica mencionada anteriormente y de esa forma se halla su magnitud ⁡ǁ𝑐(𝑡)ǁ = √(𝑎𝑒 𝑏𝑡 )2 (1) ⁡ǁ𝑐(𝑡)ǁ = 𝑎𝑒 𝑏𝑡 De este resultado, puedo deducir que una espiral logarítmica se puede construir a partir de rayos igualmente espaciados comenzando en un punto a lo largo de un rayo, y dibujando el perpendicular a un rayo vecino. 2. Muestre que el vector tangente a la curva es 𝑐 ′ (𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏⁡𝐶𝑜𝑠(𝑡) − 𝑆𝑖𝑛(𝑡))) 𝑖 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏⁡𝑆𝑖𝑛(𝑡) + 𝐶𝑜𝑠(𝑡))) 𝑗  Se debe hallar el vector tangente a la curva por medio de una derivada a cada componente. 𝑑𝑐𝑦 𝑑𝑐𝑥 𝑐 ′ (𝑡) = 𝑖+ 𝑗 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑(𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝐶𝑜𝑠(𝑡)) 𝑑(𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝑆𝑖𝑛(𝑡)) 𝑐 ′ (𝑡) = 𝑖+ 𝑗 𝑑𝑡 𝑑𝑡  Pero se nos presenta un caso donde se hace uso de la regla del producto para derivadas. 𝑐 ′ (𝑡) = (𝑎𝑏𝑒 𝑏𝑡 𝐶𝑜𝑠(𝑡) − 𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝑆𝑖𝑛(𝑡))𝑖 + (𝑎𝑏𝑒 𝑏𝑡 𝑆𝑖𝑛(𝑡) + 𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝐶𝑜𝑠(𝑡))𝑗  Ya se opera el producto y solo es usar factorización para los términos comunes de 𝑎𝑒 𝑏𝑡 𝑐 ′ (𝑡) = (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏𝐶𝑜𝑠(𝑡) − 𝑆𝑖𝑛(𝑡))) 𝑖 + (𝑎𝑒 𝑏𝑡 (𝑏𝑆𝑖𝑛(𝑡) + 𝐶𝑜𝑠(𝑡))) 𝑗 3. De una breve reseña sobre la Spira Mirabilis (10 renglones máximo). El término espiral logarítmica se debe a Pierre Varignon. La espiral logarítmica fue estudiada por Descartes y Torricelli, pero la persona que le dedicó un libro fue Jakob Bernoulli, que la llamó Spira Mirabilis “la espiral maravillosa”. La espiral de crecimiento es una clase de curva espiral que aparece frecuentemente en la naturaleza, es una curva definida por un objeto que se mueve con velocidad lineal constante y velocidad angular, la característica fundamental de esta espiral es que la expansión y la rotación tienen un vínculo geométrico. Otros nombres que recibe esta espiral es la de equiángular o geométrica; el primer nombre lo recibe ya que el mismo ángulo de giro, puestos a construirla, crece en progresión aritmética, mientras que el segundo nombre lo recibe por el radio que crece en progresión geométrica. Politécnico Grancolombiano | Facultad de Ingeniería y Ciencias básicas

3

TRABAJO COLABORATIVO – SPIRA MIRABILIS

4. La velocidad del sonido viajando a través del océano es una función de la temperatura, salinidad del agua y la presión. Ésta es modelada por la función 𝐶(𝑇, 𝑆, 𝐷) = 1449.2 + 4.6𝑇 − 0.05572 + 0.00029𝑇 3 + (1.34 − 0.01𝑇)(𝑆 − 35) + 0.016𝐷 Donde C es la velocidad del sonido (medida en metros por segundo), T es la temperatura (medida en grados Celsius), S es la salinidad (número de gramos de sal disueltas en un litro de agua, su medida es gramos por litro), y D es la profundidad debajo de la superficie (medida en metros). Evalué

𝜕𝐶 𝜕𝐶

,

𝜕𝑇 𝜕𝑆

𝜕𝐶

⁡𝑦⁡ 𝜕𝐷

cuando T=10°C, S=35 g/l y D=100m. Expliqué el significado de estas derivadas parciales.  Se calcula las derivadas parciales de la función: Derivada parcial de C respecto a T, S Y D. 𝜕𝐶 = 4,6𝑇 − 0.11𝑇 + 0.00087𝑇 2 + 0.01𝑆 + 0,35) 𝜕𝑇 𝜕𝐶 = 1.34 − 0.01𝑇 𝜕𝑆 𝜕𝐶 = 0.016 𝜕𝐷  Reemplazamos T=10ºC, S=35 g/l y D=100 m. en las derivadas que hallamos en el punto 1 Derivada de C respecto a T; 𝜕𝐶 = 4,6 − 0.11(10) + 0.00087(10)2 + 0.01(35) + 0.35 𝜕𝑇 𝜕𝐶 = 4.6 − 1.1 + 0.087 𝜕𝑇 𝜕𝐶 𝑚 = 3.587 ( ) /°𝑐 𝜕𝑇 𝑠 Por cada grado centígrado que aumente la velocidad del sonido aumenta en 3.587m/s Derivada de C respecto a S;

Politécnico Grancolombiano | Facultad de Ingeniería y Ciencias básicas

4

TRABAJO COLABORATIVO – SPIRA MIRABILIS

𝜕𝐶 = 1.34 − 0.01(10) 𝜕𝑆 𝜕𝐶 = 1.34 − 0.1 𝜕𝑆 𝜕𝐶 𝑚 = 1.24 ( ) /𝑝𝑝𝑚 𝜕𝑆 𝑠 Por cada parte por millar que se aumente la velocidad del sonido aumenta en 1.24 m/s de velocidad. Derivada de C respecto a D; 𝜕𝐶 𝑚 = 0.016 ( ) /𝑚 𝜕𝐷 𝑠 Por cada metro que se aumente la velocidad del sonido aumenta en 0.016 m/s. 5.

Calcule la derivada direccional de la función 1 3𝑇−4𝑇ℎ−5ℎ ⁡⁡⁡⁡𝑒 ⁡en el punto (1,2) y en la dirección 𝑢 ⃗ = 2 (𝑖 + √3𝑗)

I

(T,h)

=

El ejercicio prácticamente se resuelve primero la derivada y de la derivada que me dio reemplazo los puntos (1,2), donde T=1 y h=2, éstos valores se reemplazarán en la derivada, donde T va ser el vector i y h el vector j, obteniendo el vector i y el vector j procedemos a formalizar el gradiente para hallar la derivada direccional que va a ser igual a: −7.6 ∗ 10−2 𝑖 + (−2.6 ∗ 10−7 𝑗) ⁡⁡⁡⁡𝑓(𝑇ℎ)3𝑇−4𝑇ℎ−5ℎ ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(1 = 𝑇, 2 = ℎ) 𝑑𝑓 = 𝑒 3𝑇−4𝑇ℎ−5ℎ ∗ 3 − 4ℎ 𝑑𝑡

⁡⁡⁡

⁡⁡⁡= 𝑒 3(1)−4(1)(2)−5(2) ∗ 3 − 4(2) ⁡⁡⁡= 𝑒 −15 ∗ −5 = −𝟏. 𝟓𝟐𝟗𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔𝒊 𝑑𝑓 = 𝑒 3𝑇−4𝑇ℎ−5ℎ ∗ 4𝑇 − 5 𝑑𝑡

⁡⁡⁡

⁡⁡⁡= 𝑒 3(1)−4(1)(2)−5(2) ∗ 4(1) − 5 ⁡⁡⁡= 𝑒 −15 ∗ −1 = 𝟑. 𝟎𝟓𝟗𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟕𝒋 Politécnico Grancolombiano | Facultad de Ingeniería y Ciencias básicas

5

TRABAJO COLABORATIVO – SPIRA MIRABILIS

⃗⃗⃗⃗ = ⁡ −1.5295 ∗ 10−6𝑖 + 3.0590 ∗ 10−7𝑗 𝑢𝑓 𝐷𝑢𝑓 = 𝑣𝑓(𝑇ℎ) ∗ 𝑢 ⃗⁡ 1 √3 = ⁡ −1.5295 ∗ 10−6𝑖 + 3.0590 ∗ 10−7𝑗 ∗ 𝑖 + 𝑗 2 2 = ⁡ −7.6 ∗ 10−2𝑖 + (−2.6 ∗ 10−7𝑗 )

Politécnico Grancolombiano | Facultad de Ingeniería y Ciencias básicas

6

TRABAJO COLABORATIVO – SPIRA MIRABILIS

CONCLUSIONES. A través del módulo y la socialización con los compañeros se pudo adquirí los conocimientos para el adecuado desarrollo del trabajo así dando a conocer el punto de vista del grupo.

Politécnico Grancolombiano | Facultad de Ingeniería y Ciencias básicas

7

TRABAJO COLABORATIVO – SPIRA MIRABILIS

REFERENCIAS https://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar%C3%ADtmica http://matematicas.univalle.edu.co/~dohin/calculo-III/guias123.pdf http://dspace.espoch.edu.ec/bitstream/123456789/9257/5/98T00212.pdf https://poli.instructure.com/courses/8224/files/2502756?module_item_id=458423

Politécnico Grancolombiano | Facultad de Ingeniería y Ciencias básicas

8