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TRABAJO COLABORATIVO – TEOREMA DEL SENO Y COSENO

Instructor: ABAUNZA ANDREA

Presentado por: AREVALO VELASQUEZ CAMILO ANDRES ESPINOSA RICO MICHAEL ALEXANDER GARCIA ARBELAEZ LUISA FERNANDA OTALVAREZ SERRANO JONATHAN JAVIER VILLAMIL DUARTE CLARA MILENA

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS INGENIERÍA INDUSTRIAL 2018

INTRODUCCIÓN

El transporte aéreo a sido una pieza indispensable en el desarrollo global, conectando personas, países, culturas y solucionando problemas de tiempo que con otros medios de transporte serían más extensos, abarcando desde el transporte de pasajeros bien sea por turismo o trabajo hasta el transporte de mercancías pequeñas o a gran escala permitiendo el crecimiento de la economía de muchos países. Para el óptimo funcionamiento del transporte aéreo, teniendo en cuenta tiempos y costos controlados es necesario del uso de ciencias exactas que permitan su cálculo y control, para ello la trigonometría brinda opciones que permiten identificar ángulos y segmentos entre puntos determinados, como es en este caso el teorema del seno y del coseno.

ACTIVIDADES

1) ¿Se tienen tres ciudades A, B y C; y se conoce la distancia entre A y B, y la distancia entre A y C. ¿cómo se puede determinar trigonométricamente hablando, la distancia entre las ciudades B y C? Explique claramente su respuesta. SOLUCION Teorema de Pitágoras

En este debemos generar un triángulo y debemos tener conocimiento de los valores de la base y la altura, donde desarrollaríamos la siguiente fórmula:

𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 Siendo la distancia entre A y C la base la cual denominaremos con la letra a y la distancia entre A y B la altura la cual denominaremos con la letra b, ¿cuál es la distancia entre B y C la cual denominaremos con la letra c? Teniendo en cuenta que en el teorema de Pitágoras nos dan la siguiente fórmula y cumplimos la regla de tener los datos de la base y la altura. Solución Para determinar la distancia en forma trigonométrica lo podemos realizar también de la siguiente manera: Ley de cosenos Para determinar la distancia en forma trigonométrica lo podemos realizar de dos casos en los que se puede aplicar: 1. 2.

Cuando se conoce el valor de todos los lados. Donde se tiene el valor de dos lados y el valor de un ángulo.

Realizamos un triángulo para los puntos donde se desarrolla la fórmula de Pitágoras modificando con la ley de cosenos que sería la siguiente:

𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 se añade la ley de cosenos −2𝑎𝑏 (cos 𝐶) La distancia entre A y C la cual se denomina con la letra a y la distancia entre A y B la cual se denomina con la letra b, ¿cuál es la distancia entre B y C la esta se denomina con la letra c?.

Dando cuenta que los ángulos son con letras mayúsculas y las distancias con letras minúsculas en la ley de cosenos nos da siguiente fórmula 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 (𝐜𝐨𝐬 𝑪) y cumplimos con la regla establecida.

2) En la imagen No. 1 se muestran algunas rutas de una aerolínea que funciona en Colombia las distancias entre Bogotá y algunos de sus destinos. Con base en esta responda las siguientes preguntas: Imagen 1

(Abaunza, 2017)

a) Si la aerolínea desea crear rutas que conecten dichas ciudades, ¿escriba una función para establecer el costo del combustible por vuelo? Sugerencia: Defina las variables usadas y tenga en cuenta el tipo de aeronave Utilizaríamos la siguiente función, teniendo en cuenta que la aeronave es un airbus320 el cual consume 77 galones cada 100 Km. CCV= D x PG Donde: CCV: costo combustible por vuelo D: distancia PG: Precio por galón b) Calcule la distancia que hay entre la ciudad de Bogotá y Barranquilla, además encuentre los ángulos que faltan para resolver el triángulo BogotáBarranquilla-Rio Negro. El ángulo de Río Negro lo denominaremos con la letra A, el ángulo de Bogotá lo denominaremos con la letra B, el ángulo de Barranquilla lo denominaremos con la letra C, de estos ángulos conocemos el valor de B el cual es 35,55°. La distancia entre Bogotá y Barranquilla la denominaremos con la letra a, la distancia entre Barranquilla y Río Negro la denominaremos con la letra b y la distancia entre Río negro y Bogotá la denominaremos con la letra c, de estas distancias conocemos las distancias de b y c las cuales son: b= 543,61 Km y c= 218 Km. Siendo la distancia entre A y C la denominaremos con la letra b= 543,61 Km y la distancia entre A y B la cual denominaremos con la letra c=218 Km, ¿cuál es la distancia entre B y C la cual denominaremos con la letra a? a parte de la información de las distancias nos dan la de un ángulo opuesto al lado b el cual tiene es valor de 35,55° y lo denominaremos con la B. Teniendo en cuenta que en la ley del seno nos dan la siguiente fórmula y cumplimos la regla de conocer el valor de dos lados del triángulo y el valor del ángulo dado es opuesto a los lados que conocemos procedemos a desarrollar la incógnita.

sin(𝐴) sin(𝐵) sin(𝐶) = 𝑎 𝑏 𝑐

primero conoceremos el valor de los ángulos, iniciamos con la relación donde solo nos quede una incógnita y no 2, como conocemos los dos valores de B y uno de C diremos que:

sin(𝐵) sin(𝐶) = 𝑎 𝑐 sin(𝐶) =

sin(𝐵) 𝑐 𝑏

𝐶 = 𝑎𝑛𝑔𝑠𝑖𝑛

sin(𝐵) 𝑐 𝑏

Reemplazamos valores donde:

𝐶 = 𝑎𝑛𝑔𝑠𝑖𝑛

sin(35,55°) (218 𝑘𝑚) 543,61

𝑪 = 𝟏𝟐, 𝟏𝟐° La suma de todos los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°

180° = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 = 180° − 𝐵 − 𝐶 𝐴 = 180° − 35,55° − 12,12° 𝑨 = 𝟏𝟑𝟐, 𝟑𝟑° Para la ley de los senos debemos aplicar lo mismo para a, b y c, entonces quedaría:

sin(𝐴) sin(𝐶) = 𝑎 𝑐 sin(𝐶) sin(𝐴) = 𝑎 𝑐

sin(𝐴) 𝑎 = sin(𝐶) 𝑐 (𝑐)

sin(𝐴) = 𝑎 sin(𝐶)

Reemplazamos los valores:

𝑎 = (𝑐)

sin(132,33°) (218 𝑘𝑚) sin(12,12°)

Cancelamos las unidades iguales en este caso son los grados, quedaría:

𝒂 = 𝟖𝟎𝟗, 𝟕𝟏 𝒌𝒎 3) Dada la siguiente ruta Bogotá – Monterrey – Miami (imagen 3), Calcular: Imagen 2

(Abaunza, 2017)

a) Distancia entre la ciudad de Bogotá y la ciudad de Monterrey (México) Tenemos en la imagen dada, los valores de dos lados, y el valor de un ángulo y esto aplica para realizar la ley de cosenos Para este caso sería la siguiente formula:

𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 (𝐜𝐨𝐬 𝑪) Tenemos los siguientes valores, sabiendo que las leras mayúsculas equivalen a los ángulos y las minúsculas a las distancias: C = 111.31° a = 2403 km b = 2010 km

𝑐 2 = (2010)2 + (2403)2 − 2(2403)(2010) (cos 111,31°) 𝑐 2 = 13325108,46

→ sacamos raíz cuadrada c = √13325108,46 𝐜 = 𝟑𝟔𝟓𝟎, 𝟑𝟓°

Entonces la distancia entre A (Monterrey) y B (Bogotá) sería C= 3650, 35 km

b) Halle los ángulos A y B Para Hallar los ángulos A y B se requiere la siguiente formula:

𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒂𝒄 (𝐜𝐨𝐬 𝑩) Cambiamos la parte negativa a la izquierda para que cambie a positiva:

𝑏 2 + 2𝑎𝑐 (cos 𝐵) = 𝑎2 − 𝑐 2 Despejamos el valor de b y lo pasamos a la derecha a restar:

2𝑎𝑐 (cos 𝐵) = 𝑎2 + 𝑐 2 − 𝑏 2 Despejamos 2ac lo pasamos a la derecha a dividir 𝑎2 + 𝑐 2 − 𝑏 2 (cos 𝐵) = 2𝑎𝑐

(cos 𝐵) =

𝑎2 + 𝑐 2 − 𝑏 2 2𝑎𝑐

(2010)2 + (2650,36)2 − (2403)2 (cos 𝐵) = 2(2010)(3650,36) (cos 𝐵) = 0,7898 𝐵 = 𝑎𝑛𝑔 cos(0,7898) 𝐵 = 37,83° Para hallar el ángulo A que nos hace falta no olvidemos que la suma interna del triángulo nos da 180°, para esto usamos la siguiente formula: 180° = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝐴 = 180° − 𝐵 − 𝐶 𝐴 = 180° − 37,83° − 111,31° 𝐴 = 30,86° Entonces vemos que el ángulo A es de 30,86°.