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TRABAJO COLABORATIVO CALCULO 1 SUBGRUPO 5

Presentado a: Luisa Martínez. Instructor – Politécnico Grancolombiano.

Presentado por:

Anyie Lorena Lopéz Rodríguez. Cód: 1821982983 Santiago Fernando Gómez Olaya. Cód: 1821983158 Sandra Salazar Cortes - Cód: 1821981282

INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS INGENIERIA INDUSTRIAL 2019

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TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCION......................................................................................................................................3 OBJETIVOS...............................................................................................................................................4 Objetivo general.....................................................................................................................................4 Objetivos específicos...............................................................................................................................4 EJERCICIO #1...........................................................................................................................................5 EJERCICIO #2...........................................................................................................................................6 Pregunta A...............................................................................................................................................7 Pregunta B...............................................................................................................................................8 APLICACIÓN DE LA FUNCION PRECIO DEL COMBUSTIBLE..................................................11 EJERCICIO #3.........................................................................................................................................11 Pregunta A.............................................................................................................................................12 Pregunta B............................................................................................................................................13 CONCLUSIONES....................................................................................................................................14

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INTRODUCCION. En el presente ejercicio colaborativo realizado, se evidenció la correcta utilización de los elementos que constituyen algunos conocimientos matemáticos específicos, los cuales poseen un valor y un significado claro y cuyo propósito principal es el de ampliar las estrategias para la resolución de situaciones de la vida cotidiana. De esta manera, y aprovechando las herramientas de la trigonometría y visualizando los posibles métodos de solución, se logra calcular distancias, hallando los ángulos y estableciendo funciones en el transporte aéreo, lo cual logra constituir un aprendizaje efectivo, abordando los principales aspectos, evidenciando a cabalidad el desarrollo los principales objetivos propuestos, que implica el conocimiento y el dominio de los temas tratados en un módulo, así como el trabajo en equipo, el aporte individual con contribuciones que cooperaron para la toma de decisiones y la resolución eficaz de la actividad propuesta. En este orden de ideas, las acciones conjuntas desarrolladas por los participantes, las teleconferencias de cada semana, al igual que el foro colaborativo, estimularon progresivamente el buen funcionamiento del equipo así como el nivel del criterio de cada uno de los integrantes del grupo, llegando así a dar respuesta clara y valedera, logrando dar solución a la actividad propuesta. Finalmente, con la resolución de esta actividad, se propende que los conocimientos y aspectos vistos a lo largo del ejercicio propuesto, logren ser evidenciados en el desarrollo grupal con la participación activa de todos las personas inmersas en dicha actividad, con lo cual se materializó la meta principal la cual propiciaba la puesta en contexto de nuestros conocimientos previos en la resolución de problemas dados.

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OBJETIVOS. Objetivo general. Emplear adecuadamente las razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Que interviene directa o indirectamente en las demás ramas dela matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión con el fin de emplearlos en posibles acontecimientos que se pueden presentar en la vida laboral de las personas involucradas con los trabajos en los cuales se realicen desplazamientos por vía aérea, ya sean de carga o pasajeros.  

Objetivos específicos 

  

Comprender la utilización de las razones trigonométricas en la vida laboral como instrumento de localización y las aplicaciones que tiene en las diferentes áreas de la ingeniería. Utilizar el cálculo de funciones trigonométricas como herramienta de precisión en la medida de distancias y ángulos en una sociedad de avances tecnológicos. Fomentar la participación del estudiante incentivando la investigación, análisis e iniciativa. Asumir el compromiso de trabajo en equipo, resaltando las cualidades como: respeto, honestidad, colaboración, liderazgo, honestidad, responsabilidad, autonomía y creatividad

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EJERCICIO #1 1. ¿Se tienen tres ciudades A, B y C; y se conoce la distancia entre A y B, y la distancia entre A y C. ¿cómo se puede determinar trigonométricamente hablando, la distancia entre las ciudades B y C? Explique claramente su respuesta. RTA: Para empezar se debe de entender y saber que un significado no directo, pero asociado, de la Trigonométrica se realiza sobre el ejercicio base entre ángulos, lados o aristas y los puntos de intersección. Al tratarse de 3 ciudades el problema puede ser modelado como un triángulo, tal como muestra la figura 1.

Figura 1. Modelo de ciudades

Conociendo algunas distancias, entre las ciudades, y algún ángulo que estas pueden formar, entonces se puede hallar la distancia por triangulación por medio de. LEY DE COSENO: Se puede establecer la relación de la proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo y los cosenos de sus ángulos internos relativamente opuestos. Sea un triángulo cualquiera con lados A, B y C y con ángulos interiores α, β y γ (son los ángulos opuestos a los lados, respectivamente) se aplica. C 2=a2 +b 2−2 ab cos(°) LEY DE LO SENO:   Se puede establecer la relación de la proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo y el seno de sus ángulos internos relativamente opuestos A B C = = sen α sen β sen γ

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Ahora bien, suponiendo que el triángulo que forman las ciudades resulta ser un triángulo rectángulo, tal y como lo indica la figura 2.

Figura 2. Modelo de ciudades

Teniendo en cuenta que se conoce la distancia entre A y B, (cateto a) y la distancia entre A y C (cateto b) se podrá hallar la distancia entre B y C (hipotenusa). TEOREMA DE PITAGORAS C 2=a2 +b 2

EJERCICIO #2 En la siguiente imagen (imagen 1) se muestran algunas rutas de una aerolínea que funciona en Colombia las distancias entre Bogotá y algunos de sus destinos. Con base en esta responda las siguientes preguntas A y B

Imagen 1. Mapa ejercicio 2

Pregunta A

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Si la aerolínea desea crear rutas que conecten dichas ciudades, ¿escriba una función para establecer el costo del combustible por vuelo? Sugerencia: Tenga en cuenta el tipo de aeronave. RTA:  Para hallar la función correspondiente tenemos que sacar los diferentes criterios a analizar los cuales son:

X= Costo de combustible por viaje. D= Distancia recorrida de un destino a otro. C(t)= Consumo de combustible del avión tipo t. V(m)= Valor combustible según mes.

Para analizar correctamente los criterios dados se establecerá  que el avión tipo t corresponde a: Boeing 747 – 400  (el cual es uno de las aviones más usados para el transporte de pasajeros), el cual gasta a rededor de 11.81 litros por cada kilómetro recorrido y puede transportar 525 pasajeros. También se considera para el tipo de avión un  Land Rover Range Rover 5.0 V8 510 consume alrededor de 0.5 litros por kilómetro recorrido y transporta 5 personas por viaje. Estos aviones llevan una carga extra para emergencias del 30% (0.3) es decir que por cada litro consumido realmente llena el tanque con 1.3lt  Además se analizará  el histórico de valor de combustible según www.indexmundi.com el cual será m= jul. 2018 – dic. 2018.

Mes

Precio Tasa de cambio

jun. 2018

2,09

-

jul. 2018

2,10

0,38 %

ago. 2018

2,12

0,95 %

sep. 2018

2,19

3,31 %

oct. 2018

2,25

2,79 %

nov. 2018

1,95

-13,52 %

dic. 2018

1,71

-11,98 %

Tabla 1. Histórico de precios de combustible por galón americano para aviones

Entonces una vez analizado todos los factores anteriores y la variable que se desea obtener se dirá que la función para hallar el valor del combustible es:

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  X =D∗C ( t )∗1.3V (m) Pregunta B Calcule la distancia que hay entre la ciudad de Bogotá y Barranquilla, además encuentre los ángulos que faltan para resolver el triángulo Bogotá-Barranquilla-Rio Negro. RTA: Se consideran las 4 ciudades, las cuales e representaran de la siguiente manera A = 543.61 km Distancia entre las ciudades de Barranquilla a Rio Negro B = 218 km Distancia entre las ciudades de Rio Negro y Bogotá C = ¿? Distancia entre las ciudades de Bogotá y Barranquilla D = ¿? Distancia entre Rio Negro y Cali. E = ¿? Distancia entre Bogotá y Cali

α=

35.55° Angulo opuesto de la distancia entre Barranquilla y Rio Negro con origen en Barranquilla β = 42.44 ° Angulo opuesto de la distancia entre Rio Negro y Bogotá con origen en Cali

γ = 52.59° Angulo opuesto de la distancia entre Cali y Rio Negro y con origen en Bogotá δ

=

ε=

¿? Angulo opuesto de la distancia entre Bogotá y Rio Negro y con origen Barranquilla ¿? Ángulo opuesto de la distancia entre Bogotá y Barranquilla y con origen Rio Negro.

ϵ = ¿? Angulo opuesto de la distancia entre de Bogotá Cali y con origen en Rio Negro. Se emplearan los teoremas de seno y coseno para hallar las distancias desconocidas entre las ciudades y lo ángulos que estás forman de la siguiente manera:



A B Para δ se puede hallar mediante el teorema del seno la igualdad sin ( α ) = sin ( δ ) ,

−1 Realizando despeje queda de la forma δ =sin

( B∗sinA ( α ) )

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−1 Al remplazar los valores conocidos, se tiene que δ =sin

(

218 km∗sin ( 35.55° ) =19.62°. 543.61km

)

Entonces el ángulo opuesto de la distancia entre Bogotá y Rio Negro y con origen Barranquilla es:

δ = 19,62° 

Ya que la trigonometría nos indica el siguiente teorema: La suma de los 3 ángulos de

Cualquier triángulo es siempre 180 grados. Se toman las ciudades de Bogotá, Barranquilla y Rio Negro como vértices del triángulo para poder hallar ε. α +δ + ε=180 ° Despejando se tiene que: ε =180 °−δ −α Sustituyendo lo valores conocidos se obtiene: ε =180 °−19,62 °−35.55 °=124,83 Entonces el ángulo opuesto de la distancia entre Bogotá y Barranquilla y con origen Rio Negro

ε = 124,83°

es:



Como se conoce el ángulo de C, que representa la distancia entre las ciudades entre

Bogotá y Barranquilla, se puede conocer mediante el teorema de coseno, el cual corresponde a la expresión C 2=a2 +b 2−2 ab cos(°) Despejando y sustituyendo. C 2=543.61 km2 +218 km2−2∗543.61 km∗218 km∗cos (124,83 ) √ C2= √ 295511.83 km2 + 47524 km2−2∗543.61 km∗218 km∗cos ( 124.83 )=691.66 km.

Entonces la distancia entre Bogotá y Barranquilla es C = 691,66



Para la distancia entre las ciudades de Cali Y Rio Negro, Representado con la letra D, se

puede hallar mediante el teorema de seno con la igualdad:

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B D = sin ( β ) sin ( γ ) Con la metodología del despeje algebraico se tiene la expresión D=

B sin ( γ ) sin ( β )

Reemplazando los valores se obtiene D=

218 km∗sin ( 52.59 ° ) =256.60 km. sin ( 42.44 ° )

Entonces la distancia entre Cali y Rio Negro es C = 256,60



El ángulo entre Bogotá a Cali con origen en Rio Negro, representad con la letra griega ϵ,

se puede calcular de la misma forma como se hizo anteriormente para calcular el ángulo entre Bogotá y Rio Negro con origen en Barranquilla, representada con la le letra griega δ. Así que ϵ =180 °−β−γ, Al reemplazar3 los valores se tienen ϵ =180 °−42.44 °−52.59 °=84.97 ° Entonces el ángulo opuesto de la distancia entre de Bogotá y Cali y con origen en Rio Negro es:

δ = 84,97° 

Teniendo en cuenta el método con el que se hallaron las demás distancias y ángulos, se deduce el teorema del coseno aplica para hallar E, distancia entre Bogotá y Cali

C 2=a2 +b 2−2 ab cos(°) Despejando y sustituyendo la ecuación C 2=√ 65844.35 km2 + 47524 km2−2∗256.60 km∗218 km∗cos ( 84.97 ° )=321.81 km.

Entonces la distancia entre Bogotá y Cali es: C = 691,66

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APLICACIÓN DE LA FUNCION PRECIO DEL COMBUSTIBLE Puesto que ya se tiene las distancias entre las ciudades y la ecuación para hallar el precio del combustible se hará un breve ejemplo de su aplicación. Entonces para un viaje Bogotá - Rio negro hecho el 30 de diciembre de 2018 en un avión comercial Boeing 747-400 se tiene que la expresión para hallar el costo del viaje es

X =D∗C ( t )∗1.3V (m) Reemplazando los valores se tiene que

(

X¿ 218 km∗11.81

L $ COP 1 gal ∗1.3 ∗ 1,71 ∗ =$ 1. 511 , 9343COP . km gal 3.78541 L

)(

(

))

Así que el costo del combustible para un viaje entre Rio Negro y Bogotá, sin importar el sentido, en un avión comercial Boeing 747-400 es: 1.511,9343 pesos colombianos.

EJERCICIO #3

Dada la siguiente ruta Bogotá – Monterrey – Miami, (imagen 2.) Calcular:

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Pregunta A

La distancia entre la ciudad de Bogotá y la ciudad de Monterrey (México). RTA. Se le dará un valor a cada recorrido que hay entre ciudad y la otra, entonces se tiene que: Z= (2010km) Distancia entre Miami y Monterrey  Y= (2403km) Distancia entre Bogotá y Miami X= (¿?)Distancia entre Monterrey y Bogotá  β= (111.31°) Angulo opuesto a la distancia entre Bogotá y Monterrey y con origen en Miami.  Teniendo claro la aplicación de los teoremas de seno y coseno, ya que se conoce el valor de dos de sus lados y el valor del ángulo opuesto, se determina que la solución a la pregunta ¿qué distancia hay entra la ciudad de Bogotá y Monterrey? puede hallarse mediante el teorema de coseno cuya fórmula es:

a2= b2+ c2- 2bc * Cos (°) Donde: a=X b=Y c=Z La cual al ser remplazada se obtiene: X 2 =( 2403 km )2+ ( 2010 km )2−2∗2403 km∗2010 km∗cos ( 111.31° ) X 2 =5.774 .409 km2+ 4.104 .100 km2−9.966 .060(−0,3634) X 2 =9.814 .509 km2+ 3.510.465,804 km2 X =13.324 .974,804 km 2 √ X 2=√ 13.324 .974,804 km2 X =3650.33 km

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Por lo tanto dándole solución a la pregunta ¿qué distancia hay entra la ciudad de Bogotá y Monterrey? las respuesta exacta es 3650,33 km.

Pregunta B Halle los ángulos A y B Se puede aplicar el teorema del seno cuando se conoce todas las longitudes entre las ciudades y el valor del ángulo C (111,31°), por lo tanto se acudirá a la expresión X Z = sin (C ) sin ( A ) Una vez que esta expresión sea despejada esto será: A=sin−1

( Z∗sinX ( C ) )

Reemplazando los valores se obtiene A=sin−1

( 111,31° ) ( 2010 km∗sin )=30.86 °. 3650.60 km

Entonces el ángulo opuesto de la distancia entre de Bogotá y con origen en Monterrey es A=30.86° Este mismo método se usa para hallar el valor del ángulo B, llegando a la expresión B=sin−1

(

Y ∗sin ( C ) , X

)

Remplazando por los valores, se tiene que B=sin−1

( 111.31° ) ( 2403 km∗sin )=37.83°. 3650.60 km

Entonces el ángulo opuesto de la distancia entre de Miami y Monterrey y con origen en Bogotá es B=30.86°

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CONCLUSIONES Después de haber trabajado correctamente con todas las herramientas matemáticas como nuestro objetivo a investigar, logramos encontrar diferentes formas de analizar y distribuir los diferentes ejercicios presentado en el foro académico donde la importancia del buen manejo de grupo fue indispensable y vital para la entrega final. Identificamos de esta manera las diferentes decisiones de mayor importancia que se tomaron dentro de cada uno de los aportes que abarca el paso a paso de cada ejercicio, logrando entender que se puede solucionar cualquier inconveniente de la vida cotidiana. Logramos reconocer cómo plantear, ejecutar, y dar seguimiento a una determinada opinión, acción que va en pro de una solución a un determinado problema, con la firme intención de generar una grata experiencia, habiendo prestado atención a cada uno de los detalles desde el inicio, hasta el punto final de cada uno de los ejercicios. Por último, pero con igual importancia, aprendimos el concepto e importancia del manejo y procedimientos que se debía realizar, cómo es que la aplicamos en nuestro día a día, y cómo es que reconociendo conceptos básicos podemos mejorar los diferentes procesos dentro de nuestra vida cotidiana o incluso dentro de nuestras propias empresas.